偏导数：沿坐标方向看变化

多变量函数有几个输入。我们想知道函数在某一点附近怎样变化时，可以先做一件朴素的事：暂时固定其他变量，只让一个变量动起来。

这就是偏导数的入口。对二元函数 $z=f(x,y)$ 来说， $f_x$ 看的是“向 $x$ 方向挪一点， $z$ 变多快”， $f_y$ 看的是“向 $y$ 方向挪一点， $z$ 变多快”。它不是把另一个变量删掉，而是把另一个变量当作当前背景条件。

固定一个变量后观察曲面截线斜率的总览图

偏导数把二元曲面上的局部变化拆成两个坐标方向的截线斜率。

先固定一个变量

设 $z=f(x,y)$ 。如果我们站在点 $(a,b)$ 附近，只让 $x$ 改变，让 $y$ 保持为 $b$ ，就得到一个单变量函数

g(x)=f(x,b)

它的普通导数 $g'(a)$ 就是 $f$ 关于 $x$ 的偏导数，记作 $f_x(a,b)$ 或 $\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ 。

类似地，只让 $y$ 改变，让 $x$ 保持为 $a$ ，得到

h(y)=f(a,y)

它的普通导数 $h'(b)$ 就是 $f_y(a,b)$ 。

定义

二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处关于 $x$ 的偏导数定义为

f_x(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}

关于 $y$ 的偏导数定义为

f_y(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}

这两个极限的形式和单变量导数完全一样。区别只在于：单变量导数没有别的输入需要固定；偏导数必须明确“谁在变，谁不变”。

计算偏导数时，“把另一个变量看成常数”是一条计算口令，不是概念本身。概念本身是沿坐标方向取差商，再让步长趋于 0。

一个最小例子

设

f(x,y)=x^2+3xy-y^2

在点 $(1,2)$ ，沿 $x$ 方向看：

f_x(x,y)=2x+3y

所以

f_x(1,2)=2\cdot 1+3\cdot 2=8

沿 $y$ 方向看：

f_y(x,y)=3x-2y

所以

f_y(1,2)=3\cdot 1-2\cdot 2=-1

这个结果的意思很具体：在 $(1,2)$ 附近，若 $y$ 暂时固定为 $2$ ， $x$ 每增加一个很小单位， $z$ 约增加 $8$ 个单位；若 $x$ 暂时固定为 $1$ ， $y$ 每增加一个很小单位， $z$ 约减少 $1$ 个单位。

几何意义：截线的斜率

对曲面 $z=f(x,y)$ ，固定 $y=b$ 相当于用竖直平面 $y=b$ 去切曲面。切出来的是一条平面曲线，它的斜率就是 $f_x(a,b)$ 。

固定 $x=a$ 时，用竖直平面 $x=a$ 去切曲面。切出来的另一条曲线在点上的斜率就是 $f_y(a,b)$ 。

曲面在平面 y=b 上的 x 方向截线与切线斜率

固定 $y=b$ 后，曲面问题变成一条单变量曲线的切线斜率问题。

例题：用截线解释数值

设

f(x,y)=4-x^2-\frac{1}{2}y^2

求 $f_x(1,2)$ 和 $f_y(1,2)$ ，并说明它们的几何意义。

先求关于 $x$ 的偏导。计算时把 $y$ 当成常数， $4$ 和 $-\dfrac{1}{2}y^2$ 都不随 $x$ 改变，因此

f_x(x,y)=-2x

把点 $(1,2)$ 代入，得到

f_x(1,2)=-2

这说明在平面 $y=2$ 切出的截线上，点 $(1,2,f(1,2))$ 处的切线斜率是 $-2$ 。

再求关于 $y$ 的偏导。计算时把 $x$ 当成常数， $4-x^2$ 不随 $y$ 改变，因此

f_y(x,y)=-y

代入点 $(1,2)$ ，得到

f_y(1,2)=-2

这说明在平面 $x=1$ 切出的截线上，同一点处的切线斜率也是 $-2$ 。

两个方向上的偏导数刚好相同，并不表示两个截线一样。它只表示这两条截线在该点的瞬时斜率数值相同。

从图像读偏导的正负

有时函数没有公式，只有曲面图或等高线图。偏导数仍然可以读出大致信息。

在等高线图上， $f_x(a,b)$ 看的是从点 $(a,b)$ 向右走时高度如何变化。如果右侧等高线数值更大， $f_x(a,b)>0$ ；如果更小， $f_x(a,b)<0$ ；如果附近几乎没有变化，则 $f_x(a,b)$ 接近 $0$ 。

$f_y(a,b)$ 看的是从点 $(a,b)$ 向上走时高度如何变化。

等高线图上从点 A 向右和向上判断偏导数正负

沿坐标方向穿过等高线时，等高线数值的增减决定对应偏导数的正负。

读图时看两件事

第一，看数值是增大还是减小。这决定偏导数的正负。

第二，看等高线密不密。在相同水平距离内跨过更多等高线，说明高度变化更快，对应偏导数的绝对值更大。

等高线密集只说明“某些方向上变化快”。判断 $f_x$ 时只能看向右或向左的局部变化，判断 $f_y$ 时只能看向上或向下的局部变化。不要把最陡方向和坐标方向混在一起。

计算规则与符号口径

偏导计算通常比定义更常用。核心规则只有一句：对哪个变量求偏导，就让哪个变量变化；其他变量按常数处理。

表达式	求 $x$ 偏导时	求 $y$ 偏导时
$x^2y$	$y$ 是常数，导数为 $2xy$	$x^2$ 是常数，导数为 $x^2$
$e^{xy}$	链式法则给 $ye^{xy}$	链式法则给 $xe^{xy}$
$\sin(x+y)$	导数为 $\cos(x+y)$	导数为 $\cos(x+y)$
$y^3$	导数为 $0$	导数为 $3y^2$

例题：含指数和三角函数的偏导

设

f(x,y)=e^{xy}+x^2\sin y-y^3

求 $f_x$ 和 $f_y$ 。

求 $f_x$ 时，把 $y$ 当成常数。对 $e^{xy}$ 使用链式法则， $xy$ 对 $x$ 的导数是 $y$ ，所以这一项的导数是 $ye^{xy}$ 。

对 $x^2\sin y$ 求 $x$ 偏导时， $\sin y$ 是常数，导数为 $2x\sin y$ 。对 $-y^3$ 求 $x$ 偏导时，它不含 $x$ ，导数为 $0$ 。因此

f_x(x,y)=ye^{xy}+2x\sin y

求 $f_y$ 时，把 $x$ 当成常数。对 $e^{xy}$ 使用链式法则， $xy$ 对 $y$ 的导数是 $x$ ，所以这一项的导数是 $xe^{xy}$ 。

对 $x^2\sin y$ 求 $y$ 偏导时， $x^2$ 是常数，导数为 $x^2\cos y$ 。对 $-y^3$ 求 $y$ 偏导得到 $-3y^2$ 。因此

f_y(x,y)=xe^{xy}+x^2\cos y-3y^2

常见记号

同一个偏导数可能有几种写法：

f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}

如果函数写成 $z=f(x,y)$ ，这些记号通常表达同一件事。若变量之间还存在额外关系，例如 $x=x(t)$ 、 $y=y(t)$ ，就要格外小心。本章先讨论 $x$ 、 $y$ 独立输入的情形，变量互相依赖时会在链式法则中处理。

不要把 $\partial$ 当成装饰版的 $d$ 。 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 默认是在其他独立变量保持不变时看 $x$ 方向变化； $\dfrac{dz}{dx}$ 通常表示单变量关系或沿某条路径的总变化。

高阶偏导与混合偏导

偏导数本身也是函数。既然 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 仍然依赖 $x,y$ ，就可以继续求偏导。

常见二阶偏导有四个：

f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(f_x\right)

f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(f_y\right)

f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(f_x\right)

f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(f_y\right)

这里 $f_{xy}$ 的读法是：先对 $x$ 求偏导，得到 $f_x$ ；再对 $y$ 求偏导。不同教材的下标解释有时会强调“从左到右看操作”，本课采用上面这个常见约定，并在计算时直接写出中间函数，避免记号误读。

二阶偏导和混合偏导的四种局部变化含义

二阶偏导描述“一阶变化率本身怎样变化”，混合偏导描述一个方向的斜率如何随另一个方向改变。

例题：计算所有二阶偏导

设

f(x,y)=x^3y^2+e^{xy}

求 $f_{xx}$ 、 $f_{yy}$ 、 $f_{xy}$ 、 $f_{yx}$ 。

先求一阶偏导：

f_x=3x^2y^2+ye^{xy}

f_y=2x^3y+xe^{xy}

对 $f_x$ 再按 $x$ 求偏导，得到

f_{xx}=6xy^2+y^2e^{xy}

对 $f_y$ 再按 $y$ 求偏导，得到

f_{yy}=2x^3+x^2e^{xy}

对 $f_x$ 再按 $y$ 求偏导。 $3x^2y^2$ 的 $y$ 偏导是 $6x^2y$ ， $ye^{xy}$ 的 $y$ 偏导用乘积法则：

f_{xy}=6x^2y+e^{xy}+xye^{xy}

对 $f_y$ 再按 $x$ 求偏导。 $2x^3y$ 的 $x$ 偏导是 $6x^2y$ ， $xe^{xy}$ 的 $x$ 偏导用乘积法则：

f_{yx}=6x^2y+e^{xy}+xye^{xy}

在这个例子中，两个混合偏导相等。

Clairaut 定理：交换顺序什么时候可以

很多光滑函数都有

f_{xy}=f_{yx}

这不是纯粹的符号巧合。一个常用的充分条件是：如果 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点附近存在并且连续，那么它们在该点相等。这个结论常叫 Clairaut 定理，也常叫 Schwarz 定理。

光滑曲面小补丁上先沿 x 后沿 y 与先沿 y 后沿 x 的局部比较

在足够光滑的局部补丁上，先比较一个方向的斜率再换另一个方向，结果会一致。

定理中的“连续”很关键。直观上，光滑曲面的一小块没有尖折、断裂或突然跳变。你在一个小矩形里先沿 $x$ 再沿 $y$ ，或先沿 $y$ 再沿 $x$ ，衡量到的二阶局部变化会匹配。

在本课程的大多数常规计算题中，多项式、指数函数、三角函数和它们的有限次组合都足够光滑。遇到这类函数，通常可以放心使用 $f_{xy}=f_{yx}$ 来检查计算。

例题：用混合偏导检查计算

设

f(x,y)=x^2\cos y+y^2\sin x

先求

f_x=2x\cos y+y^2\cos x

再对 $y$ 求偏导：

f_{xy}=-2x\sin y+2y\cos x

另一方面，

f_y=-x^2\sin y+2y\sin x

再对 $x$ 求偏导：

f_{yx}=-2x\sin y+2y\cos x

两个结果一致。这里函数由光滑的基本函数组成，所以这种一致性也符合 Clairaut 定理的条件。

偏导存在并不保证函数连续

单变量函数在某点可导，一定在该点连续。多变量里，如果只知道两个坐标方向的偏导数存在，结论就弱得多。

看下面这个函数：

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, &(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

沿 $x$ 轴， $y=0$ ，函数值恒为 $0$ 。沿 $y$ 轴， $x=0$ ，函数值也恒为 $0$ 。因此在原点沿两个坐标方向取差商时，

f_x(0,0)=0

f_y(0,0)=0

可是沿直线 $y=x$ 靠近原点时，

f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}

这个值不趋近于 $0$ 。所以 $f$ 在原点不连续。

偏导存在但函数不连续的路径反例示意图

坐标轴方向的变化正常，不代表所有靠近路径都正常。

“ $f_x$ 和 $f_y$ 存在”只说明函数沿两条坐标轴方向有瞬时变化率。连续性要求从所有方向靠近时函数值一致，这比只检查两个坐标方向强得多。

例题：验证偏导存在但不连续

对上面的函数，验证原点处两个偏导存在，并说明为什么函数不连续。

按定义计算 $f_x(0,0)$ ：

f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}

因为 $f(h,0)=0$ 且 $f(0,0)=0$ ，所以差商恒为 $0$ ，极限为 $0$ 。

同理，

f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0

现在检查连续性。沿路径 $y=x$ ，当 $x\ne 0$ 时，

f(x,x)=\frac{1}{2}

但 $f(0,0)=0$ ，所以函数值不可能趋于 $0$ 。

因此两个偏导数在原点存在，但函数在原点不连续。这说明偏导存在不是可微性的充分条件，也不是连续性的充分条件。

应用：局部敏感度

偏导数最常见的用法，是把一个多因素问题拆成单因素敏感度。

在温度场 $T(x,y)$ 中， $T_x$ 表示向东走时温度的瞬时变化率， $T_y$ 表示向北走时温度的瞬时变化率。它们都依赖你站在哪里。同一张天气图上，海岸边和内陆点的局部变化可能完全不同。

温度场中东西方向和南北方向的偏导数

偏导数可以读作“在当前条件不变时，一个输入变量的局部影响”。

在经济模型中，如果成本写成 $C(q_1,q_2)$ ，其中 $q_1$ 、 $q_2$ 是两种产品的产量，那么 $C_{q_1}$ 描述在 $q_2$ 暂时不变时，多生产一点第一种产品带来的成本变化； $C_{q_2}$ 描述另一种产品的边际成本。

在误差估计中，如果测量量 $V$ 依赖长度 $l$ 、宽度 $w$ 、高度 $h$ ，那么 $\dfrac{\partial V}{\partial l}$ 描述长度误差对 $V$ 的局部影响。全微分会把这些方向上的影响合在一起，这是下一章的主题。

练习

练习一：基本计算

设

f(x,y)=x^4y-2xy^3+5y

求 $f_x$ 、 $f_y$ ，并计算 $f_x(1,-1)$ 、 $f_y(1,-1)$ 。

计算得到

f_x=4x^3y-2y^3

f_y=x^4-6xy^2+5

代入 $(1,-1)$ ：

f_x(1,-1)=4\cdot 1^3\cdot(-1)-2(-1)^3=-4+2=-2

f_y(1,-1)=1-6\cdot 1\cdot 1+5=0

练习二：指数函数

设

g(x,y)=x e^{x+y}+y^2 e^x

求 $g_x$ 和 $g_y$ 。

对 $x e^{x+y}$ 求 $x$ 偏导时用乘积法则：

\frac{\partial}{\partial x}\left(x e^{x+y}\right)=e^{x+y}+x e^{x+y}

对 $y^2e^x$ 求 $x$ 偏导得到 $y^2e^x$ 。因此

g_x=(1+x)e^{x+y}+y^2e^x

对 $y$ 求偏导时，第一项给出 $xe^{x+y}$ ，第二项给出 $2ye^x$ 。因此

g_y=xe^{x+y}+2ye^x

练习三：从文字判断偏导符号

某山坡高度为 $H(x,y)$ ， $x$ 表示向东距离， $y$ 表示向北距离。某点附近向东走高度升高，向北走高度降低。判断 $H_x$ 和 $H_y$ 的符号。

向东走对应 $x$ 增大。高度升高，说明

H_x>0

向北走对应 $y$ 增大。高度降低，说明

H_y<0

练习四：二阶偏导

设

p(x,y)=x^2y^3+\ln(1+x^2+y^2)

求 $p_{xy}$ 。

先求

p_x=2xy^3+\frac{2x}{1+x^2+y^2}

再对 $y$ 求偏导：

p_{xy}=6xy^2-\frac{4xy}{(1+x^2+y^2)^2}

练习五：混合偏导检查

设

q(x,y)=x^3y+\sin(xy)

分别求 $q_{xy}$ 和 $q_{yx}$ 。

先求

q_x=3x^2y+y\cos(xy)

再对 $y$ 求偏导：

q_{xy}=3x^2+\cos(xy)-xy\sin(xy)

另一方面，

q_y=x^3+x\cos(xy)

再对 $x$ 求偏导：

q_{yx}=3x^2+\cos(xy)-xy\sin(xy)

两个结果相同。

练习六：偏导存在与连续性

设

r(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, &(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

试判断 $r_x(0,0)$ 、 $r_y(0,0)$ 是否存在，并思考函数在原点是否连续。

沿 $x$ 方向：

r_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{r(h,0)-r(0,0)}{h}=0

沿 $y$ 方向：

r_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{r(0,h)-r(0,0)}{h}=0

所以两个偏导都存在。检查连续性时，取路径 $y=x^2$ ：

r(x,x^2)=\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4}=\frac{1}{2}

它不趋于 $0$ ，所以 $r$ 在原点不连续。

本章小结

偏导数把多变量函数的局部变化拆成坐标方向上的变化率。计算时可以把其他独立变量暂时看作常数；理解时要回到差商、截线和局部敏感度。

本章最需要带走三点。第一， $f_x$ 和 $f_y$ 是不同方向上的瞬时变化率。第二，二阶偏导描述一阶变化率怎样继续变化，混合偏导在光滑条件下可以交换顺序。第三，偏导存在只检查了少数方向，不足以保证连续或可微。下一章会把这些方向上的信息合成一个切平面，开始讨论线性近似和全微分。

偏导数：沿坐标方向看变化

多变量函数有几个输入。我们想知道函数在某一点附近怎样变化时，可以先做一件朴素的事：暂时固定其他变量，只让一个变量动起来。

固定一个变量后观察曲面截线斜率的总览图

偏导数把二元曲面上的局部变化拆成两个坐标方向的截线斜率。

先固定一个变量

设 $z=f(x,y)$ 。如果我们站在点 $(a,b)$ 附近，只让 $x$ 改变，让 $y$ 保持为 $b$ ，就得到一个单变量函数

g(x)=f(x,b)

它的普通导数 $g'(a)$ 就是 $f$ 关于 $x$ 的偏导数，记作 $f_x(a,b)$ 或 $\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ 。

类似地，只让 $y$ 改变，让 $x$ 保持为 $a$ ，得到

h(y)=f(a,y)

它的普通导数 $h'(b)$ 就是 $f_y(a,b)$ 。

定义

二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处关于 $x$ 的偏导数定义为

f_x(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}

关于 $y$ 的偏导数定义为

f_y(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}

这两个极限的形式和单变量导数完全一样。区别只在于：单变量导数没有别的输入需要固定；偏导数必须明确“谁在变，谁不变”。

计算偏导数时，“把另一个变量看成常数”是一条计算口令，不是概念本身。概念本身是沿坐标方向取差商，再让步长趋于 0。

一个最小例子

设

f(x,y)=x^2+3xy-y^2

在点 $(1,2)$ ，沿 $x$ 方向看：

f_x(x,y)=2x+3y

所以

f_x(1,2)=2\cdot 1+3\cdot 2=8

沿 $y$ 方向看：

f_y(x,y)=3x-2y

所以

f_y(1,2)=3\cdot 1-2\cdot 2=-1

几何意义：截线的斜率

对曲面 $z=f(x,y)$ ，固定 $y=b$ 相当于用竖直平面 $y=b$ 去切曲面。切出来的是一条平面曲线，它的斜率就是 $f_x(a,b)$ 。

固定 $x=a$ 时，用竖直平面 $x=a$ 去切曲面。切出来的另一条曲线在点上的斜率就是 $f_y(a,b)$ 。

曲面在平面 y=b 上的 x 方向截线与切线斜率

固定 $y=b$ 后，曲面问题变成一条单变量曲线的切线斜率问题。

例题：用截线解释数值

设

f(x,y)=4-x^2-\frac{1}{2}y^2

求 $f_x(1,2)$ 和 $f_y(1,2)$ ，并说明它们的几何意义。

先求关于 $x$ 的偏导。计算时把 $y$ 当成常数， $4$ 和 $-\dfrac{1}{2}y^2$ 都不随 $x$ 改变，因此

f_x(x,y)=-2x

把点 $(1,2)$ 代入，得到

f_x(1,2)=-2

这说明在平面 $y=2$ 切出的截线上，点 $(1,2,f(1,2))$ 处的切线斜率是 $-2$ 。

再求关于 $y$ 的偏导。计算时把 $x$ 当成常数， $4-x^2$ 不随 $y$ 改变，因此

f_y(x,y)=-y

代入点 $(1,2)$ ，得到

f_y(1,2)=-2

这说明在平面 $x=1$ 切出的截线上，同一点处的切线斜率也是 $-2$ 。

两个方向上的偏导数刚好相同，并不表示两个截线一样。它只表示这两条截线在该点的瞬时斜率数值相同。

从图像读偏导的正负

有时函数没有公式，只有曲面图或等高线图。偏导数仍然可以读出大致信息。

$f_y(a,b)$ 看的是从点 $(a,b)$ 向上走时高度如何变化。

等高线图上从点 A 向右和向上判断偏导数正负

沿坐标方向穿过等高线时，等高线数值的增减决定对应偏导数的正负。

读图时看两件事

第一，看数值是增大还是减小。这决定偏导数的正负。

第二，看等高线密不密。在相同水平距离内跨过更多等高线，说明高度变化更快，对应偏导数的绝对值更大。

计算规则与符号口径

偏导计算通常比定义更常用。核心规则只有一句：对哪个变量求偏导，就让哪个变量变化；其他变量按常数处理。

表达式	求 $x$ 偏导时	求 $y$ 偏导时
$x^2y$	$y$ 是常数，导数为 $2xy$	$x^2$ 是常数，导数为 $x^2$
$e^{xy}$	链式法则给 $ye^{xy}$	链式法则给 $xe^{xy}$
$\sin(x+y)$	导数为 $\cos(x+y)$	导数为 $\cos(x+y)$
$y^3$	导数为 $0$	导数为 $3y^2$

例题：含指数和三角函数的偏导

设

f(x,y)=e^{xy}+x^2\sin y-y^3

求 $f_x$ 和 $f_y$ 。

求 $f_x$ 时，把 $y$ 当成常数。对 $e^{xy}$ 使用链式法则， $xy$ 对 $x$ 的导数是 $y$ ，所以这一项的导数是 $ye^{xy}$ 。

对 $x^2\sin y$ 求 $x$ 偏导时， $\sin y$ 是常数，导数为 $2x\sin y$ 。对 $-y^3$ 求 $x$ 偏导时，它不含 $x$ ，导数为 $0$ 。因此

f_x(x,y)=ye^{xy}+2x\sin y

求 $f_y$ 时，把 $x$ 当成常数。对 $e^{xy}$ 使用链式法则， $xy$ 对 $y$ 的导数是 $x$ ，所以这一项的导数是 $xe^{xy}$ 。

对 $x^2\sin y$ 求 $y$ 偏导时， $x^2$ 是常数，导数为 $x^2\cos y$ 。对 $-y^3$ 求 $y$ 偏导得到 $-3y^2$ 。因此

f_y(x,y)=xe^{xy}+x^2\cos y-3y^2

常见记号

同一个偏导数可能有几种写法：

f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}

高阶偏导与混合偏导

偏导数本身也是函数。既然 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 仍然依赖 $x,y$ ，就可以继续求偏导。

常见二阶偏导有四个：

f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(f_x\right)

f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(f_y\right)

f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(f_x\right)

f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(f_y\right)

二阶偏导和混合偏导的四种局部变化含义

二阶偏导描述“一阶变化率本身怎样变化”，混合偏导描述一个方向的斜率如何随另一个方向改变。

例题：计算所有二阶偏导

设

f(x,y)=x^3y^2+e^{xy}

求 $f_{xx}$ 、 $f_{yy}$ 、 $f_{xy}$ 、 $f_{yx}$ 。

先求一阶偏导：

f_x=3x^2y^2+ye^{xy}

f_y=2x^3y+xe^{xy}

对 $f_x$ 再按 $x$ 求偏导，得到

f_{xx}=6xy^2+y^2e^{xy}

对 $f_y$ 再按 $y$ 求偏导，得到

f_{yy}=2x^3+x^2e^{xy}

对 $f_x$ 再按 $y$ 求偏导。 $3x^2y^2$ 的 $y$ 偏导是 $6x^2y$ ， $ye^{xy}$ 的 $y$ 偏导用乘积法则：

f_{xy}=6x^2y+e^{xy}+xye^{xy}

对 $f_y$ 再按 $x$ 求偏导。 $2x^3y$ 的 $x$ 偏导是 $6x^2y$ ， $xe^{xy}$ 的 $x$ 偏导用乘积法则：

f_{yx}=6x^2y+e^{xy}+xye^{xy}

在这个例子中，两个混合偏导相等。

Clairaut 定理：交换顺序什么时候可以

很多光滑函数都有

f_{xy}=f_{yx}

光滑曲面小补丁上先沿 x 后沿 y 与先沿 y 后沿 x 的局部比较

在足够光滑的局部补丁上，先比较一个方向的斜率再换另一个方向，结果会一致。

例题：用混合偏导检查计算

设

f(x,y)=x^2\cos y+y^2\sin x

先求

f_x=2x\cos y+y^2\cos x

再对 $y$ 求偏导：

f_{xy}=-2x\sin y+2y\cos x

另一方面，

f_y=-x^2\sin y+2y\sin x

再对 $x$ 求偏导：

f_{yx}=-2x\sin y+2y\cos x

两个结果一致。这里函数由光滑的基本函数组成，所以这种一致性也符合 Clairaut 定理的条件。

偏导存在并不保证函数连续

单变量函数在某点可导，一定在该点连续。多变量里，如果只知道两个坐标方向的偏导数存在，结论就弱得多。

看下面这个函数：

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, &(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

沿 $x$ 轴， $y=0$ ，函数值恒为 $0$ 。沿 $y$ 轴， $x=0$ ，函数值也恒为 $0$ 。因此在原点沿两个坐标方向取差商时，

f_x(0,0)=0

f_y(0,0)=0

可是沿直线 $y=x$ 靠近原点时，

f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}

这个值不趋近于 $0$ 。所以 $f$ 在原点不连续。

偏导存在但函数不连续的路径反例示意图

坐标轴方向的变化正常，不代表所有靠近路径都正常。

“ $f_x$ 和 $f_y$ 存在”只说明函数沿两条坐标轴方向有瞬时变化率。连续性要求从所有方向靠近时函数值一致，这比只检查两个坐标方向强得多。

例题：验证偏导存在但不连续

对上面的函数，验证原点处两个偏导存在，并说明为什么函数不连续。

按定义计算 $f_x(0,0)$ ：

f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}

因为 $f(h,0)=0$ 且 $f(0,0)=0$ ，所以差商恒为 $0$ ，极限为 $0$ 。

同理，

f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0

现在检查连续性。沿路径 $y=x$ ，当 $x\ne 0$ 时，

f(x,x)=\frac{1}{2}

但 $f(0,0)=0$ ，所以函数值不可能趋于 $0$ 。

因此两个偏导数在原点存在，但函数在原点不连续。这说明偏导存在不是可微性的充分条件，也不是连续性的充分条件。

应用：局部敏感度

偏导数最常见的用法，是把一个多因素问题拆成单因素敏感度。

温度场中东西方向和南北方向的偏导数

偏导数可以读作“在当前条件不变时，一个输入变量的局部影响”。

练习

练习一：基本计算

设

f(x,y)=x^4y-2xy^3+5y

求 $f_x$ 、 $f_y$ ，并计算 $f_x(1,-1)$ 、 $f_y(1,-1)$ 。

计算得到

f_x=4x^3y-2y^3

f_y=x^4-6xy^2+5

代入 $(1,-1)$ ：

f_x(1,-1)=4\cdot 1^3\cdot(-1)-2(-1)^3=-4+2=-2

f_y(1,-1)=1-6\cdot 1\cdot 1+5=0

练习二：指数函数

设

g(x,y)=x e^{x+y}+y^2 e^x

求 $g_x$ 和 $g_y$ 。

对 $x e^{x+y}$ 求 $x$ 偏导时用乘积法则：

\frac{\partial}{\partial x}\left(x e^{x+y}\right)=e^{x+y}+x e^{x+y}

对 $y^2e^x$ 求 $x$ 偏导得到 $y^2e^x$ 。因此

g_x=(1+x)e^{x+y}+y^2e^x

对 $y$ 求偏导时，第一项给出 $xe^{x+y}$ ，第二项给出 $2ye^x$ 。因此

g_y=xe^{x+y}+2ye^x

练习三：从文字判断偏导符号

某山坡高度为 $H(x,y)$ ， $x$ 表示向东距离， $y$ 表示向北距离。某点附近向东走高度升高，向北走高度降低。判断 $H_x$ 和 $H_y$ 的符号。

向东走对应 $x$ 增大。高度升高，说明

H_x>0

向北走对应 $y$ 增大。高度降低，说明

H_y<0

练习四：二阶偏导

设

p(x,y)=x^2y^3+\ln(1+x^2+y^2)

求 $p_{xy}$ 。

先求

p_x=2xy^3+\frac{2x}{1+x^2+y^2}

再对 $y$ 求偏导：

p_{xy}=6xy^2-\frac{4xy}{(1+x^2+y^2)^2}

练习五：混合偏导检查

设

q(x,y)=x^3y+\sin(xy)

分别求 $q_{xy}$ 和 $q_{yx}$ 。

先求

q_x=3x^2y+y\cos(xy)

再对 $y$ 求偏导：

q_{xy}=3x^2+\cos(xy)-xy\sin(xy)

另一方面，

q_y=x^3+x\cos(xy)

再对 $x$ 求偏导：

q_{yx}=3x^2+\cos(xy)-xy\sin(xy)

两个结果相同。

练习六：偏导存在与连续性

设

r(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, &(x,y)\ne(0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

试判断 $r_x(0,0)$ 、 $r_y(0,0)$ 是否存在，并思考函数在原点是否连续。

沿 $x$ 方向：

r_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{r(h,0)-r(0,0)}{h}=0

沿 $y$ 方向：

r_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{r(0,h)-r(0,0)}{h}=0

所以两个偏导都存在。检查连续性时，取路径 $y=x^2$ ：

r(x,x^2)=\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4}=\frac{1}{2}

它不趋于 $0$ ，所以 $r$ 在原点不连续。

本章小结

偏导数把多变量函数的局部变化拆成坐标方向上的变化率。计算时可以把其他独立变量暂时看作常数；理解时要回到差商、截线和局部敏感度。