偏导数：沿坐标方向看变化 | 多变量微积分 I | 自在学偏导数：沿坐标方向看变化
多变量函数有几个输入。我们想知道函数在某一点附近怎样变化时，可以先做一件朴素的事：暂时固定其他变量，只让一个变量动起来。
这就是偏导数的入口。对二元函数 z=f(x,y) 来说，fx 看的是“向 x 方向挪一点，z 变多快”， 看的是“向 方向挪一点， 变多快”。它不是把另一个变量删掉，而是把另一个变量当作当前背景条件。
fy
偏导数把二元曲面上的局部变化拆成两个坐标方向的截线斜率。
先固定一个变量
设 z=f(x,y)。如果我们站在点 (a,b) 附近，只让 x 改变，让 y 保持为 b，就得到一个单变量函数
g(x)=f(x,b) 它的普通导数 g′(a) 就是 f 关于 x 的偏导数，记作 fx(a,b) 或 ∂x∂f(a,b)。
类似地，只让 y 改变，让 x 保持为 a，得到
h(y)=f(a,y) 它的普通导数 h′(b) 就是 fy(a,b)。
定义
二元函数 f(x,y) 在点 (a,b) 处关于 x 的偏导数定义为
fx(a,b)=h→0limhf(a+h,b)−f(a,b) fy(a,b)=h→0limhf(a,b+h)−f(a,b) 这两个极限的形式和单变量导数完全一样。区别只在于：单变量导数没有别的输入需要固定；偏导数必须明确“谁在变，谁不变”。
计算偏导数时，“把另一个变量看成常数”是一条计算口令，不是概念本身。概念本身是沿坐标方向取差商，再让步长趋于 0。
一个最小例子
f(x,y)=x2+3xy−y2 在点 (1,2)，沿 x 方向看：
fx(x,y)=2x+3y fx(1,2)=2⋅1+3⋅2=8 fy(x,y)=3x−2y fy(1,2)=3⋅1−2⋅2=−1 这个结果的意思很具体：在 (1,2) 附近，若 y 暂时固定为 2，x 每增加一个很小单位，z 约增加 8 个单位；若 x 暂时固定为 1，y 每增加一个很小单位，z 约减少 1 个单位。
几何意义：截线的斜率
对曲面 z=f(x,y)，固定 y=b 相当于用竖直平面 y=b 去切曲面。切出来的是一条平面曲线，它的斜率就是 fx(a,b)。
固定 x=a 时，用竖直平面 x=a 去切曲面。切出来的另一条曲线在点上的斜率就是 fy(a,b)。
固定 y=b 后，曲面问题变成一条单变量曲线的切线斜率问题。
例题：用截线解释数值
f(x,y)=4−x2−21y2 求 fx(1,2) 和 fy(1,2)，并说明它们的几何意义。
先求关于 x 的偏导。计算时把 y 当成常数，4 和 −21y2 都不随 x 改变，因此
fx(x,y)=−2x把点 (1,2) 代入，得到
fx(1,2)=−2这说明在平面 切出的截线上，点 处的切线斜率是 。
再求关于 y 的偏导。计算时把 x 当成常数，4−x2 不随 y 改变，因此
代入点 (1,2)，得到
fy(1,2)=−2这说明在平面 切出的截线上，同一点处的切线斜率也是 。
两个方向上的偏导数刚好相同，并不表示两个截线一样。它只表示这两条截线在该点的瞬时斜率数值相同。
从图像读偏导的正负
有时函数没有公式，只有曲面图或等高线图。偏导数仍然可以读出大致信息。
在等高线图上，fx(a,b) 看的是从点 (a,b) 向右走时高度如何变化。如果右侧等高线数值更大，fx(a,b)>0；如果更小，fx(a,b)<0；如果附近几乎没有变化，则 fx(a,b) 接近 0。
fy(a,b) 看的是从点 (a,b) 向上走时高度如何变化。
沿坐标方向穿过等高线时，等高线数值的增减决定对应偏导数的正负。
读图时看两件事
第二，看等高线密不密。在相同水平距离内跨过更多等高线，说明高度变化更快，对应偏导数的绝对值更大。
等高线密集只说明“某些方向上变化快”。判断 fx 时只能看向右或向左的局部变化，判断 fy 时只能看向上或向下的局部变化。不要把最陡方向和坐标方向混在一起。
计算规则与符号口径
偏导计算通常比定义更常用。核心规则只有一句：对哪个变量求偏导，就让哪个变量变化；其他变量按常数处理。
例题：含指数和三角函数的偏导
f(x,y)=exy+x2siny−y3 求 fx 时，把 y 当成常数。对 exy 使用链式法则，xy 对 x 的导数是 y，所以这一项的导数是 yexy。
对 x2siny 求 x 偏导时，siny 是常数，导数为 2。对 求 偏导时，它不含 ，导数为 。因此
求 fy 时，把 x 当成常数。对 exy 使用链式法则， 对 的导数是 ，所以这一项的导数是 。
对 x2siny 求 y 偏导时，x2 是常数，导数为 。对 求 偏导得到 。因此
常见记号
fx=∂x∂f=∂x∂z 如果函数写成 z=f(x,y)，这些记号通常表达同一件事。若变量之间还存在额外关系，例如 x=x(t)、y=y(t)，就要格外小心。本章先讨论 x、y 独立输入的情形，变量互相依赖时会在链式法则中处理。
不要把 ∂ 当成装饰版的 d。∂x∂z 默认是在其他独立变量保持不变时看 x 方向变化；dxdz 通常表示单变量关系或沿某条路径的总变化。
高阶偏导与混合偏导
偏导数本身也是函数。既然 fx(x,y) 和 fy(x,y) 仍然依赖 x,y，就可以继续求偏导。
fxx=∂x∂(fx) fyy=∂y∂(fy) fxy=∂y∂(fx) fyx=∂x∂(fy) 这里 fxy 的读法是：先对 x 求偏导，得到 fx；再对 y 求偏导。不同教材的下标解释有时会强调“从左到右看操作”，本课采用上面这个常见约定，并在计算时直接写出中间函数，避免记号误读。
二阶偏导描述“一阶变化率本身怎样变化”，混合偏导描述一个方向的斜率如何随另一个方向改变。
例题：计算所有二阶偏导
f(x,y)=x3y2+exy 求 fxx、fyy、fxy、fyx。
先求一阶偏导：
fx=3x2y2+yexyfy=2x3y+xexy对 fx 再按 x 求偏导，得到
f对 fy 再按 y 求偏导，得到
f对 fx 再按 y 求偏导。3x2y 的 偏导是 ， 的 偏导用乘积法则：
对 fy 再按 x 求偏导。2x3y 的 偏导是 ， 的 偏导用乘积法则：
Clairaut 定理：交换顺序什么时候可以
fxy=fyx 这不是纯粹的符号巧合。一个常用的充分条件是：如果 fxy 和 fyx 在点附近存在并且连续，那么它们在该点相等。这个结论常叫 Clairaut 定理，也常叫 Schwarz 定理。
在足够光滑的局部补丁上，先比较一个方向的斜率再换另一个方向，结果会一致。
定理中的“连续”很关键。直观上，光滑曲面的一小块没有尖折、断裂或突然跳变。你在一个小矩形里先沿 x 再沿 y，或先沿 y 再沿 x，衡量到的二阶局部变化会匹配。
在本课程的大多数常规计算题中，多项式、指数函数、三角函数和它们的有限次组合都足够光滑。遇到这类函数，通常可以放心使用 fxy=fyx 来检查计算。
例题：用混合偏导检查计算
f(x,y)=x2cosy+y2sinx fx=2xcosy+y2cosx fxy=−2xsiny+2ycosx fy=−x2siny+2ysinx fyx=−2xsiny+2ycosx 两个结果一致。这里函数由光滑的基本函数组成，所以这种一致性也符合 Clairaut 定理的条件。
偏导存在并不保证函数连续
单变量函数在某点可导，一定在该点连续。多变量里，如果只知道两个坐标方向的偏导数存在，结论就弱得多。
f(x,y)=⎩⎨⎧x2+y2xy,0,(x,y) 沿 x 轴，y=0，函数值恒为 0。沿 y 轴，x=0，函数值也恒为 0。因此在原点沿两个坐标方向取差商时，
fx(0,0)=0 fy(0,0)=0 f(x,x)=2x2x2=21 这个值不趋近于 0。所以 f 在原点不连续。
“fx 和 fy 存在”只说明函数沿两条坐标轴方向有瞬时变化率。连续性要求从所有方向靠近时函数值一致，这比只检查两个坐标方向强得多。
例题：验证偏导存在但不连续
对上面的函数，验证原点处两个偏导存在，并说明为什么函数不连续。
按定义计算 fx(0,0)：
fx(0,0)=h→0limhf(h,0)−f(0,0)因为 f(h,0)=0 且 f(0,0)=0，所以差商恒为 0，极限为 0。
同理，
fy(0,0)=现在检查连续性。沿路径 y=x，当 x=0 时，
f(因此两个偏导数在原点存在，但函数在原点不连续。这说明偏导存在不是可微性的充分条件，也不是连续性的充分条件。
应用：局部敏感度
偏导数最常见的用法，是把一个多因素问题拆成单因素敏感度。
在温度场 T(x,y) 中，Tx 表示向东走时温度的瞬时变化率，Ty 表示向北走时温度的瞬时变化率。它们都依赖你站在哪里。同一张天气图上，海岸边和内陆点的局部变化可能完全不同。
偏导数可以读作“在当前条件不变时，一个输入变量的局部影响”。
在经济模型中，如果成本写成 C(q1,q2)，其中 q1、q2 是两种产品的产量，那么 Cq1 描述在 q2 暂时不变时，多生产一点第一种产品带来的成本变化；Cq2 描述另一种产品的边际成本。
在误差估计中，如果测量量 V 依赖长度 l、宽度 w、高度 h，那么 ∂l∂V 描述长度误差对 V 的局部影响。全微分会把这些方向上的影响合在一起，这是下一章的主题。
练习
练习一：基本计算
f(x,y)=x4y−2xy3+5y 求 fx、fy，并计算 fx(1,−1)、fy(1,−1)。
计算得到
fx=4x3y−2y3fy=x4−6xy2+5代入 (1,−1)：
fx(1,−1)=4⋅13⋅(−1)−fy(1,−1)=1−6⋅1⋅1+5=0练习二：指数函数
g(x,y)=xex+y+y2ex 对 xex+y 求 x 偏导时用乘积法则：
∂x∂(xex+y)=ex+y+xex+y对 y2ex 求 x 偏导得到 y2ex。因此
gx=(1+x)ex+y+y2对 y 求偏导时，第一项给出 xex+y，第二项给出 2yex。因此
gy=xex+y+2yex练习三：从文字判断偏导符号
某山坡高度为 H(x,y)，x 表示向东距离，y 表示向北距离。某点附近向东走高度升高，向北走高度降低。判断 Hx 和 Hy 的符号。
向东走对应 x 增大。高度升高，说明
Hx>0向北走对应 y 增大。高度降低，说明
Hy<0练习四：二阶偏导
p(x,y)=x2y3+ln(1+x2+y2) 先求
px=2xy3+1+x2+y22x再对 y 求偏导：
pxy=6xy2−(1+x练习五：混合偏导检查
q(x,y)=x3y+sin(xy) 分别求 qxy 和 qyx。
先求
qx=3x2y+ycos(xy)再对 y 求偏导：
qxy=3x2+cos(xy)−xysin(xy)另一方面，
qy=x3+xcos(xy)再对 x 求偏导：
qyx=3x2+cos(xy)−xysin(xy两个结果相同。
练习六：偏导存在与连续性
r(x,y)=⎩⎨⎧x4+y2x2y,0,(x, 试判断 rx(0,0)、ry(0,0) 是否存在，并思考函数在原点是否连续。
沿 x 方向：
rx(0,0)=h→0limhr(h,0)−r(0,0)=0沿 y 方向：
ry(0,0)=h→0lim所以两个偏导都存在。检查连续性时，取路径 y=x2：
r(x,x2)=x4+x4它不趋于 0，所以 r 在原点不连续。
本章小结
偏导数把多变量函数的局部变化拆成坐标方向上的变化率。计算时可以把其他独立变量暂时看作常数；理解时要回到差商、截线和局部敏感度。
本章最需要带走三点。第一，fx 和 fy 是不同方向上的瞬时变化率。第二，二阶偏导描述一阶变化率怎样继续变化，混合偏导在光滑条件下可以交换顺序。第三，偏导存在只检查了少数方向，不足以保证连续或可微。下一章会把这些方向上的信息合成一个切平面，开始讨论线性近似和全微分。
y=2
(1,2,f(1,2)) fy(x,y)=−y
x=1
x
sin
y
fx(x,y)=yexy+2xsiny xy
x2cosy
fy(x,y)=xexy+x2cosy−3y2 xx
=
6xy2+
y2exy
yy
=
2x3+
x2exy
2
fxy=6x2y+exy+xyexy x
fyx=6x2y+exy+xyexy
=
(
0
,
0
)
(x,y)=(0,0)
h→0
lim
hf(0,h)−f(0,0)
=
0
x
,
x
)
=
21
但 f(0,0)=0，所以函数值不可能趋于 0。
2(−1)3=
−4+
2=
−2
e
x
2
+
y2
)2
4xy
)
y
)
=
(
0
,
0
)
(x,y)=(0,0)
h
r(0,h)−r(0,0)
=
0
x2⋅x2
=
21
