偏导数：多元函数没有“唯一斜率”

上一章讨论多变量极限与连续性时，我们反复强调一件事：从 $(x,y)$ 靠近一点，可以走无数条路径。现在要研究“函数在一点变化得多快”，同一个麻烦又回来了，而且这次躲不过去。

一元函数只有一个输入。站在数轴上的某一点，你能做的局部移动无非是让 $x$ 增加或减少，所以导数可以用一个数概括那里的斜率。可是在平面上，向东、向北、向东北，甚至沿一条弯曲路径出发，都是不同的移动方式。同一张曲面在这些方向上可能一边上升、一边下降，还可能在另一个方向上暂时不升不降。于是，“这个点的斜率是多少”已经不是一个完整的问题——你得先说清楚往哪儿走。

偏导数的办法很克制：先不急着处理所有方向，一次只放开一个坐标。研究 $x$ 方向时，把 $y$ 钉住；研究 $y$ 方向时，把 $x$ 钉住。这样就把一张曲面切成了一条曲线，也把一个多变量问题暂时退回了熟悉的一元微积分。

偏导数把曲面在一点的变化拆成固定 y 的 x 方向截线斜率和固定 x 的 y 方向截线斜率

偏导数没有给曲面安排一个“总斜率”，而是先记录两个坐标方向上的截线斜率。

偏导数只回答“其他独立变量保持不变时，这一个变量造成的瞬时变化有多快”。它很有用，但它还不是函数在这个点附近的完整线性模型。

把多元问题退回一元

设曲面由

z=f(x,y)

给出，我们关心输入点 $(a,b)$ 。

如果把 $y$ 固定为 $b$ ，只让 $x$ 变化，就得到一元函数

g(x)=f(x,b).

$g'(a)$ 是这条一元曲线在 $x=a$ 处的斜率。我们把它叫作 $f$ 在 $(a,b)$ 处关于 $x$ 的偏导数：

f_x(a,b) =\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) =\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}.

反过来，把 $x$ 固定为 $a$ ，只让 $y$ 变化，得到

q(y)=f(a,y),

于是

f_y(a,b) =\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) =\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}.

这里故意用了两个不同的步长字母 $h$ 和 $k$ 。求 $f_x$ 时，输入点从 $(a,b)$ 移到 $(a+h,b)$ ；求 $f_y$ 时，输入点从 $(a,b)$ 移到 $(a,b+k)$ 。两次差商只沿两条坐标线取点。

记号到底在说什么

下面几种写法通常表示同一件事：

f_x =\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial x}.

符号 $\partial$ 提醒我们：函数还有别的输入，只是当前只让 $x$ 动。它不是装饰版的 $d$ 。如果后来 $x=x(t)$ 、 $y=y(t)$ 都随着 $t$ 改变，那么 $dz/dt$ 会同时收到两个变量的影响，那是链式法则要处理的问题。

“把 $y$ 当常数”不等于“令 $y=0$ ”。它的意思是：不管当前 $y$ 是 $2$ 、 $-5$ 还是某个参数，都保持这个值不变。比如对 $xy$ 求 $x$ 偏导得到 $y$ ，不是 $0$ 。

例题：从定义亲手算一次

设

f(x,y)=x^2+3xy-y^2.

用差商定义求 $f_x(1,2)$ 和 $f_y(1,2)$ 。

先算基准点的函数值：

f(1,2)=1+6-4=3.

求 $x$ 偏导时固定 $y=2$ ，只把 $x=1$ 改成 $1+h$ ：

f(1+h,2) =(1+h)^2+6(1+h)-4 =3+8h+h^2.

因而

f_x(1,2) =\lim_{h\to0}\frac{8h+h^2}{h} =\lim_{h\to0}(8+h) =8.

求 $y$ 偏导时固定 $x=1$ ，只把 $y=2$ 改成 $2+k$ ：

f(1,2+k) =1+3(2+k)-(2+k)^2 =3-k-k^2.

所以

f_y(1,2) =\lim_{k\to0}\frac{-k-k^2}{k} =\lim_{k\to0}(-1-k) =-1.

两个结果的正负已经给出局部画面：固定 $y=2$ 向 $x$ 正方向走，函数值上升；固定 $x=1$ 向 $y$ 正方向走，函数值下降。两个方向的斜率不需要相同，甚至可以一正一负。

定义告诉我们偏导数究竟是什么；实际计算时通常不必每次重做差商。后面会把这一步压缩成更熟悉的求导规则。

几何上，它是竖直截线的切线斜率

把曲面 $z=f(x,y)$ 想成一座起伏的地形。固定 $y=b$ ，相当于拿竖直平面 $y=b$ 去切这座地形。平面与曲面的交线是

z=f(x,b),

它是一条普通的一元曲线。这条截线在

P=(a,b,f(a,b))

处的切线斜率就是 $f_x(a,b)$ 。

竖直平面 y=b 切出 x 方向截线，截线在 P 点的切线斜率为 f_x(a,b)

固定 $x=a$ 时则用另一个竖直平面去切，交线 $z=f(a,y)$ 在 $P$ 点的斜率是 $f_y(a,b)$ 。不要把这两种竖直截线和上一章的等高线混在一起：等高线来自水平平面 $z=c$ ，它描述“哪里高度相同”；偏导截线来自竖直平面，它描述“沿一个坐标方向怎样升降”。

例题：一个方向水平，另一个方向上升

看距离函数

r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.

在原点之外，链式法则给出

r_x(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad r_y(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

站在 $(0,2)$ 时，

r_x(0,2)=0, \qquad r_y(0,2)=1.

这不难想象。固定 $y=2$ 左右移动时，你正处在截线 $\sqrt{x^2+4}$ 的最低点，瞬时斜率为 $0$ ；固定 $x=0$ 向上移动时，截线是 $|y|$ ，在 $y=2$ 处斜率为 $1$ 。

可是到了原点，情况变了：

r_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}

不存在， $r_y(0,0)$ 也一样。函数在原点明明连续，偏导数却不存在，因为圆锥尖端的两侧斜率接不上。连续只保证高度没有跳变，并不保证截线有切线。

只有等高线时，怎样读出偏导的正负

真实问题不总会给出曲面公式。有时你只有地形图、气压图或温度图。此时仍然可以从等高线判断偏导数。

在点 $(a,b)$ 判断 $f_x(a,b)$ ，就从这个点向右迈一小步：等高线标值变大， $f_x>0$ ；标值变小， $f_x<0$ ；若向右的局部移动几乎不改变高度， $f_x$ 接近 $0$ 。判断 $f_y$ 时，把“向右”换成“向上”。

等高线图中从 A 点向右高度增加所以 f_x 为正，向上高度减小所以 f_y 为负

等高线的疏密还给出绝对值的线索。若相邻等高线代表相同的高度差，那么同样走 $0.1$ 个水平单位，跨过的线越多，高度变化就越大，对应偏导数的绝对值通常越大。

等高线最密的方向可能是斜着的。判断 $f_x$ 时只能沿水平方向读，判断 $f_y$ 时只能沿竖直方向读。偏导数记录的是坐标方向斜率，不一定是最陡方向的斜率。

计算时，只让目标变量动

差商定义把概念钉牢之后，计算就可以退回一元求导：对 $x$ 求偏导时，使用一元微积分的幂函数、乘积、商与链式法则，只把所有不含 $x$ 的量看成常数；对 $y$ 求偏导时反过来。

原函数中的一项	对 $x$ 求偏导	对 $y$ 求偏导
$x^2y$	$2xy$	$x^2$
$e^{xy}$	$ye^{xy}$	$xe^{xy}$
$\sin(x+y)$	$\cos(x+y)$	$\cos(x+y)$
$\ln(x^2+y^2)$	$\dfrac{2x}{x^2+y^2}$	$\dfrac{2y}{x^2+y^2}$
$y^3$	$0$	$3y^2$

第一行最能看出“常数”和“零”的区别。求 $x$ 偏导时， $y$ 不动，但它仍然作为系数留在答案里；只有整个一项都不含 $x$ 时，它对 $x$ 的偏导才是 $0$ 。

例题：乘积与链式法则一起出现

设

f(x,y)=e^{xy}+x^2\sin y-y^3.

求 $f_x$ 和 $f_y$ 。

求 $f_x$ 时把 $y$ 固定。 $e^{xy}$ 的外层仍是指数函数，内层 $xy$ 对 $x$ 的导数是 $y$ ，所以

\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=ye^{xy}.

$x^2\sin y$ 对 $x$ 求导时， $\sin y$ 是固定系数； $-y^3$ 完全不随 $x$ 变化。因此

f_x(x,y)=ye^{xy}+2x\sin y.

求 $f_y$ 时把 $x$ 固定。指数项给出 $xe^{xy}$ ，第二项给出 $x^2\cos y$ ，最后一项给出 $-3y^2$ 。所以

f_y(x,y)=xe^{xy}+x^2\cos y-3y^2.

输入不一定叫 $x$ 和 $y$

偏导数关心的是“哪些量被当作变量”，而不是字母长什么样。理想气体模型写成

P(T,V)=\frac{nRT}{V},

其中 $T$ 和 $V$ 是变量， $n$ 与 $R$ 在这个模型中固定。于是

\frac{\partial P}{\partial T}=\frac{nR}{V}, \qquad \frac{\partial P}{\partial V}=-\frac{nRT}{V^2}.

没有 $\partial P/\partial R$ ，不是因为不能对字母 $R$ 求导，而是因为当前模型已经把 $R$ 指定为常数。若研究对象换了，变量和常数的角色也可以换。

三个或更多输入也没有新规则。例如

F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

有

F_x=2x, \qquad F_y=2y, \qquad F_z=2z.

每次仍然只放开一个变量。

数值之外，还要读出单位和物理含义

偏导数是“输出变化量除以某一个输入变化量”，所以单位不能丢。设 $x,y$ 用千米表示，温度场 $T(x,y)$ 用摄氏度表示，那么

T_x, T_y

的单位都是“摄氏度每千米”。它们不是温度，而是沿指定方向的温度变化率。

温度场中点 P 的东向变化率 T_x 与北向变化率 T_y

看一个具体模型：

T(x,y)=18+2x-\frac{y^2}{4}.

于是

T_x=2, \qquad T_y=-\frac{y}{2}.

在 $(3,2)$ 处，

T_x(3,2)=2\ {^\circ\mathrm C}/{\mathrm{km}}, \qquad T_y(3,2)=-1\ {^\circ\mathrm C}/{\mathrm{km}}.

第一项表示：暂时保持南北位置不变，向东移动一小段，温度大约每千米升高 $2^\circ\mathrm C$ 。第二项表示：保持东西位置不变，向北移动一小段，温度大约每千米降低 $1^\circ\mathrm C$ 。

如果只向东走 $0.05$ 千米，局部温度变化约为

\Delta T\approx T_x(3,2)\cdot0.05=0.1^\circ\mathrm C.

这里的“约”很重要。偏导数是瞬时变化率，乘上一个很小的位移才给出局部变化的近似；走得很远以后，斜率本身可能已经变了。

同样， $\partial P/\partial T$ 的单位是“压强每温度”， $\partial P/\partial V$ 的单位是“压强每体积”。两个偏导数即使数值碰巧相同，也未必能直接比较，因为单位可能不同。

在物理和经济模型里，“固定其他变量”还代表一个实验条件。说 $\partial P/\partial T$ 时，你必须想象体积确实被控制不变；如果加热过程中体积也在变化，真实的总变化率就不能只用这个偏导数描述。

两个偏导都为零，也未必站在山顶或谷底

一元函数在内部极值点常有 $f'(a)=0$ 。到了二元函数，我们自然会寻找

f_x(a,b)=0, \qquad f_y(a,b)=0.

但这两条等式只说两条坐标截线都暂时水平，还不能保证这个点是最高或最低。

例如

f(x,y)=y^2-x^2.

它的偏导数是

f_x=-2x, \qquad f_y=2y,

所以原点处两个偏导都为 $0$ 。可沿 $x$ 轴走，

f(x,0)=-x^2\le0;

沿 $y$ 轴走，

f(0,y)=y^2\ge0.

原点在一个截面上像山顶，在另一个截面上却像谷底。这种点叫鞍点。它提醒我们：一阶偏导等于零只是寻找极值的候选条件，不是结论。

二阶偏导：斜率本身还会怎样变化

$f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 本身仍是二元函数，所以可以继续求偏导。两个一阶偏导会产生四个二阶偏导：

f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}(f_x) =\frac{\partial^2f}{\partial x^2},

f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}(f_x) =\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x},

f_{yx} =\frac{\partial}{\partial x}(f_y) =\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y},

f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}(f_y) =\frac{\partial^2f}{\partial y^2}.

本课把 $f_{xy}$ 读作“先对 $x$ 求偏导，再对 $y$ 求偏导”。分式记号中最靠近 $f$ 的 $\partial x$ 先执行，正好与这个顺序一致。为了不被下标绕晕，计算时写出中间函数 $f_x$ 或 $f_y$ 最稳妥。

纯二阶偏导与混合偏导分别描述坐标截线弯曲和一个方向斜率随另一方向的变化

$f_{xx}$ 描述 $x$ 方向斜率怎样随 $x$ 改变。若 $f_{xx}>0$ ，固定 $y$ 得到的截线在局部向上弯；若 $f_{xx}<0$ ，截线在局部向下弯。 $f_{yy}$ 对 $y$ 方向做同样的记录。

$f_{xy}$ 的意思稍微绕一点：先得到“向东的斜率” $f_x$ ，再问这个向东斜率随着向北移动怎样变化。若 $f_{xy}>0$ ，说明向北移动时，向东的坡度在增大。它的单位是“输出单位除以 $x$ 的单位，再除以 $y$ 的单位”。

例题：把四个二阶偏导全部算清楚

设

f(x,y)=x^3y^2+e^{xy}.

先求一阶偏导：

f_x=3x^2y^2+ye^{xy},

f_y=2x^3y+xe^{xy}.

对 $f_x$ 再按 $x$ 求偏导：

f_{xx}=6xy^2+y^2e^{xy}.

指数项中， $y$ 是原来留下的系数，再乘上内层 $xy$ 对 $x$ 的导数 $y$ ，所以出现 $y^2e^{xy}$ 。

对 $f_y$ 再按 $y$ 求偏导：

f_{yy}=2x^3+x^2e^{xy}.

对 $f_x$ 按 $y$ 求偏导。第二项需要乘积法则：

\frac{\partial}{\partial y}\left(ye^{xy}\right) =e^{xy}+xye^{xy}.

因此

f_{xy}=6x^2y+e^{xy}+xye^{xy}.

对 $f_y$ 按 $x$ 求偏导，同样使用乘积法则：

f_{yx}=6x^2y+e^{xy}+xye^{xy}.

这一次两个混合偏导相等。下一节会说明什么时候可以预先期待这种相等。

混合偏导能交换顺序，但要看条件

对多项式、指数函数、三角函数以及它们在定义域内部的常规组合，我们经常算到

f_{xy}=f_{yx}.

这条规律不是单靠符号就能保证。一个常用而稳妥的充分条件是：如果两个混合偏导 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在点 $(a,b)$ 的某个邻域内存在并且连续，那么

f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b).

这个结论叫 Clairaut 定理，也常叫 Schwarz 定理。条件中的“邻域内连续”是核心，不是可有可无的技术尾巴。

光滑曲面小区域中两种坐标变化顺序在混合偏导层面给出相同结果

可以把它想成在点附近画一个很小的坐标矩形。先比较左右两边的 $x$ 方向变化，再沿 $y$ 比较；或者先比较上下两边的 $y$ 方向变化，再沿 $x$ 比较。两种记账方式都在计算同一个四角总差。当二阶变化在小矩形里连续，没有突然跳动时，矩形缩到一点，两种平均变化率就会落到同一个数上。

看到多项式、指数函数、三角函数或分母不为零的有理函数时，二阶偏导通常在定义域内部连续。此时可以用 $f_{xy}=f_{yx}$ 检查运算，也可以只算其中一个混合偏导后直接写出另一个。

条件失效时，顺序真的可能不同

定义

g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

先固定 $y$ ，从定义可得

g_x(0,y)=-y.

因此

g_{xy}(0,0) =\lim_{y\to0}\frac{g_x(0,y)-g_x(0,0)}{y} =-1.

反过来，先固定 $x$ ，有

g_y(x,0)=x,

所以

g_{yx}(0,0) =\lim_{x\to0}\frac{g_y(x,0)-g_y(0,0)}{x} =1.

两个混合偏导都存在，却不相等。矛盾并没有出现：这个函数在原点附近不满足混合偏导连续的条件，所以不能套用 Clairaut 定理。

偏导存在，不等于连续，更不等于可微

现在把上一章“必须检查所有路径”的经验接回来。 $f_x(a,b)$ 和 $f_y(a,b)$ 只检查了通过 $(a,b)$ 的两条坐标线；连续性却要求从所有路径靠近时，函数值都趋向 $f(a,b)$ 。两条线的信息当然不够覆盖整个平面。

定义

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

沿两条坐标轴，函数值都恒为 $0$ ，所以

f_x(0,0)=0, \qquad f_y(0,0)=0.

可是沿 $y=x$ 靠近原点时，

f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac12.

它不趋于 $f(0,0)=0$ ，因此函数在原点不连续。

坐标轴上函数值为零但沿 y=x 不趋于零，说明偏导存在仍可不连续

按定义计算 $x$ 偏导：

f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =0.

同理，

f_y(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =0.

这两步只用了 $x$ 轴和 $y$ 轴。连续性要看所有靠近方式，而路径 $y=x$ 已经给出不同极限，所以函数不连续。

可微一定推出连续，因此这个函数在原点也不可能可微。偏导存在只给出两条截线的切线，不能自动拼出一个可靠的切平面。

连续再加两个偏导，仍然不一定可微

也许你会想：上一个反例只是输在不连续。如果再补上连续性，总该可微了吧？仍然不够。

定义

h(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

因为

|h(x,y)| =|x|\frac{x^2}{x^2+y^2} \le|x|,

所以 $h$ 在原点连续。由定义还能算出

h_x(0,0)=1, \qquad h_y(0,0)=0.

如果它在原点可微，那么一阶线性部分应当是 $x$ 。但沿 $y=x$ 有

h(x,x)=\frac{x}{2},

线性预测与真实值的误差是 $-x/2$ 。把误差除以到原点的距离，得到

\frac{|h(x,x)-x|}{\sqrt{x^2+x^2}} =\frac{1}{2\sqrt2},

它没有趋于 $0$ ，所以 $h$ 在原点不可微。

这几种性质的关系可以记成：

\text{可微} \Longrightarrow \text{连续且偏导存在},

但反方向一般不成立。一个实用的充分条件是：若一阶偏导在点的某个邻域内存在，并且在该点附近连续，那么函数在该点可微。下一章会把“可微”解释成曲面能够被一个切平面准确地做局部一阶近似。

一套不容易混乱的解题流程

遇到偏导数问题时，可以按下面的顺序检查。

先认清自变量、因变量和定义域。题目写 $P(T,V)$ ，就不要机械地寻找 $x$ 、 $y$ ；还要分清哪些字母是变量，哪些是模型常数。

明确这次谁在动。求 $f_x$ 就固定其余变量，只对 $x$ 使用一元求导规则；求 $f_y$ 就固定其余变量，只对 $y$ 求导。

若题目指定点，先得到偏导函数，再代入坐标。不要把 $(a,b)$ 过早代入，除非题目明确要求用差商定义；过早代入容易把本来应当保留的变量一并消掉。

给数值补上方向、符号和单位。 $T_y=-3$ 不是一句完整解释；应当说明“其他输入不变时，沿 $y$ 正方向每移动一个单位，温度局部约下降 $3$ 个温度单位”。

算混合偏导时写出中间函数，并在使用 $f_{xy}=f_{yx}$ 前检查光滑条件。遇到分段函数、绝对值、分母在目标点为零的有理式，尤其不能只凭经验交换顺序。

最后区分结论强弱。偏导存在不保证连续或可微；两个偏导为零也不保证极值。只有题目给出额外条件时，才能继续推出更强结论。

练习

练习一：基本计算与点值

设

f(x,y)=x^4y-2xy^3+5y.

求 $f_x$ 、 $f_y$ ，并计算 $f_x(1,-1)$ 、 $f_y(1,-1)$ 。

求 $x$ 偏导时把 $y$ 固定：

f_x=4x^3y-2y^3.

求 $y$ 偏导时把 $x$ 固定：

f_y=x^4-6xy^2+5.

代入 $(1,-1)$ ：

f_x(1,-1) =4(1)^3(-1)-2(-1)^3 =-2,

f_y(1,-1) =1-6+5 =0.

因此该点沿 $x$ 正方向的局部斜率为 $-2$ ，沿 $y$ 正方向的局部斜率为 $0$ 。

练习二：乘积与指数函数

设

g(x,y)=xe^{x+y}+y^2e^x.

求 $g_x$ 和 $g_y$ 。

练习三：从等高线描述判断符号

某山坡高度为 $H(x,y)$ ， $x$ 表示向东距离， $y$ 表示向北距离。某点附近向东走高度升高，向北走高度降低；向北方向的等高线比向东方向更密。判断 $H_x$ 、 $H_y$ 的符号，并比较两个偏导数绝对值的大小。

练习四：单位与解释

一种材料的长度写成 $L(T,p)$ ， $T$ 的单位是摄氏度， $p$ 的单位是千帕， $L$ 的单位是毫米。在某状态下测得

L_T=0.08, \qquad L_p=-0.003.

写出两个偏导数的单位，并解释它们的含义。

$L_T$ 的单位是毫米每摄氏度。它表示压力保持不变时，温度每升高 $1^\circ\mathrm C$ ，材料长度在该状态附近约增加 $0.08$ 毫米。

$L_p$ 的单位是毫米每千帕。它表示温度保持不变时，压力每增加 $1$ 千帕，材料长度在该状态附近约减少 $0.003$ 毫米。

两个数不能只看大小直接比较，因为它们除以的是不同输入单位。

练习五：二阶偏导

设

p(x,y)=x^2y^3+\ln(1+x^2+y^2).

求 $p_{xy}$ 。

练习六：用交换顺序检查结果

设

q(x,y)=x^3y+\sin(xy).

分别求 $q_{xy}$ 和 $q_{yx}$ ，并说明为什么应当相等。

先求

q_x=3x^2y+y\cos(xy),

再对 $y$ 求偏导：

q_{xy} =3x^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).

另一方面，

q_y=x^3+x\cos(xy),

再对 $x$ 求偏导：

q_{yx} =3x^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).

这个函数由多项式和三角函数组合而成，两个混合偏导在整个平面连续，所以 Clairaut 定理保证它们相等。

练习七：偏导存在但不连续

设

r(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

判断 $r_x(0,0)$ 、 $r_y(0,0)$ 是否存在，并判断函数在原点是否连续。

沿 $x$ 方向，

r_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{r(h,0)-r(0,0)}{h} =0.

沿 $y$ 方向，

r_y(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{r(0,k)-r(0,0)}{k} =0.

两个偏导都存在。检查连续性时取抛物线路径 $y=x^2$ ：

r(x,x^2) =\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4} =\frac12.

它不趋于 $r(0,0)=0$ ，所以 $r$ 在原点不连续，也不可能在原点可微。

练习八：两个偏导为零能否推出极值

设

s(x,y)=2xy.

求 $s_x(0,0)$ 、 $s_y(0,0)$ ，并判断原点是不是局部极大值点或局部极小值点。

有

s_x=2y, \qquad s_y=2x,

因此

s_x(0,0)=s_y(0,0)=0.

沿直线 $y=x$ ，

s(x,x)=2x^2\ge0;

沿直线 $y=-x$ ，

s(x,-x)=-2x^2\le0.

原点附近既有正值又有负值，所以原点既不是局部极大值点，也不是局部极小值点，而是鞍点。

从两条截线走向一个切平面

这一章先把复杂问题拆开： $f_x$ 记录 $x$ 方向的截线斜率， $f_y$ 记录 $y$ 方向的截线斜率；二阶偏导继续记录这些斜率怎样变化。它们把多变量函数在一点附近的局部信息一块块收集起来。

但我们也看到了边界：两条坐标截线正常，不代表函数从所有方向看都正常；两个偏导存在，不保证连续或可微；两个偏导都为零，也不保证极值。

下一章要做的正是把这些碎片重新合起来。如果函数在一点可微，那么 $f_x(a,b)$ 与 $f_y(a,b)$ 会共同确定一个切平面，并给出

\Delta f \approx f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y.

到那时，“多元函数没有唯一斜率”不会再是障碍：我们不再强行找一个数，而是用一个平面同时容纳两个独立方向上的一阶变化。