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上一节曲面、二次曲面与坐标变换初识下一节多变量函数、定义域、图像与等值线
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数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场向量值函数与空间曲线

向量值函数与空间曲线

单变量函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 把一个数送到另一个数。向量值函数把一个数送到一个向量：

r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangler(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩

当 ttt 改变时，点 (x(t),y(t),z(t))(x(t),y(t),z(t))(x(t),y(t),z(t)) 在空间中移动，留下的轨迹就是一条空间曲线。这个语言很适合描述粒子运动、圆周运动、螺旋上升、飞行轨迹，也会在后面的线积分、曲面积分和 Stokes 定理中反复出现。

三维坐标系中，位置向量 r(t) 从原点指向螺旋空间曲线上的点 P(t)，并用箭头标出参数 t 增大方向。

一个参数 ttt 决定空间中的一个点。点连续移动时，位置向量的端点扫出一条曲线。

一条曲线如何由一个参数生成

向量值函数的输入通常记作 ttt。如果 ttt 表示时间，r(t)\mathbf r(t)r(t) 就是时刻 ttt 的位置向量；如果 ttt 只是一个参数，它仍然能按顺序标记曲线上的点。

例如

r(t)=⟨cos⁡t,sin⁡t,t⟩\mathbf r(t)=\langle \cos t,\sin t,t\rangler(t)=⟨cost,sint,t⟩

的前两个分量在单位圆上转动，第三个分量随 ttt 上升，所以它不是平面圆，而是一条绕 zzz 轴上升的螺旋线。

参数区间也很重要。函数公式给出曲线的形状，参数范围决定取哪一段。例如

0≤t≤2π0\le t\le 2\pi0≤t≤2π

只取螺旋线的一圈；若让 ttt 取所有实数，就得到无限延伸的螺旋线。

向量值函数有两个层次：r(t)\mathbf r(t)r(t) 是从参数到空间点的规则，曲线是这些点组成的几何轨迹。两个不同的参数化可能画出同一条曲线，但它们给出的运动快慢和方向可以不同。

参数不是永远等于时间

在物理问题里，ttt 经常表示时间。这时 r′(t)\mathbf r'(t)r′(t) 就是速度，单位可能是米每秒。在纯几何问题里，ttt 只是沿曲线编号的变量。此时说“速度”仍有计算意义，但不一定有真实的物理时间单位。

这个区别会影响读题。题目若问“曲线的形状”，可以改变参数化而不改变轨迹；题目若问“运动的速率”或“加速度”，参数化就是问题本身的一部分。

从分量函数看曲线

向量值函数可以按分量理解：

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k\mathbf r(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

其中 x(t)x(t)x(t)、y(t)y(t)y(t)、z(t)z(t)z(t) 是三个普通单变量函数。它们分别控制点在三个坐标方向上的位置。

三条分量函数 x(t)、y(t)、z(t) 汇入向量值函数 r(t)，并在三维坐标系中确定空间曲线上的点。

同一个参数 ttt 同时送入三个分量函数，得到空间中的一个点。

看分量时，常用两个问题帮助判断曲线：

  • 哪些分量是周期函数？周期分量常产生圆、椭圆或摆动。
  • 哪些分量单调变化？单调分量常把平面曲线拉成空间曲线。
  • 分量之间能否消去参数？消去参数后可以看出曲线落在哪个曲面或平面上。

例题：判断曲线落在哪个曲面上

设

r(t)=⟨2cos⁡t,2sin⁡t,3t⟩\mathbf r(t)=\langle 2\cos t,2\sin t,3t\rangler(t)=⟨2cost,2sint,3t⟩

判断这条曲线大致是什么形状，并说明它落在哪个曲面上。

先看前两个分量。它们满足 x=2cos⁡tx=2\cos tx=2cost、y=2sin⁡ty=2\sin ty=2sint，所以

x2+y2=4cos⁡2t+4sin⁡2t=4x^2+y^2=4\cos^2 t+4\sin^2 t=4x2+y2=4cos2t+4sin2t=4

这说明曲线始终落在半径为 222 的圆柱面 x2+y2=4x^2+y^2=4x2+y2=4 上。

再看第三个分量。z=3tz=3tz=3t 随 ttt 单调增加，因此点在圆柱面上绕一圈的同时不断上升。

合在一起，这条曲线是在圆柱面 x2+y2=4x^2+y^2=4x2+y2=4 上上升的螺旋线。参数每增加 2π2\pi2π，前两个分量回到原来的水平位置，而高度增加 6π6\pi6π。

速度、速率与加速度

如果 r(t)\mathbf r(t)r(t) 描述运动，那么速度向量定义为

v(t)=r′(t)=⟨x′(t),y′(t),z′(t)⟩\mathbf v(t)=\mathbf r'(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\ranglev(t)=r′(t)=⟨x′(t),y′(t),z′(t)⟩

速度向量沿曲线的切线方向，表示当前位置下一瞬间要往哪里走。它的长度叫速率：

速率=∥v(t)∥=∥r′(t)∥\text{速率}=\|\mathbf v(t)\|=\|\mathbf r'(t)\|速率=∥v(t)∥=∥r′(t)∥

加速度向量是速度的导数：

a(t)=v′(t)=r′′(t)\mathbf a(t)=\mathbf v'(t)=\mathbf r''(t)a(t)=v′(t)=r′′(t)

加速度不一定与速度同向。它可以改变速率，也可以改变运动方向。圆周运动中，即使速率保持不变，加速度也会指向圆心，因为速度方向一直在变。

三维空间曲线上的运动点，标出速度、速率、加速度及其切向分量和法向分量。

速度是向量，速率是标量。两个物体可以有相同速率，却有不同速度；同一个物体也可以速率不变但速度一直改变，例如匀速圆周运动。

例题：从位置求速度、速率和加速度

设

r(t)=⟨t2,sin⁡t,et⟩\mathbf r(t)=\langle t^2,\sin t,e^t\rangler(t)=⟨t2,sint,et⟩

求 v(t)\mathbf v(t)v(t)、a(t)\mathbf a(t)a(t)，并计算 t=0t=0t=0 时的速率。

对每个分量分别求导，得到速度：

v(t)=r′(t)=⟨2t,cos⁡t,et⟩\mathbf v(t)=\mathbf r'(t)=\langle 2t,\cos t,e^t\ranglev(t)=r′(t)=⟨2t,cost,et⟩

再对速度求导，得到加速度：

a(t)=r′′(t)=⟨2,−sin⁡t,et⟩\mathbf a(t)=\mathbf r''(t)=\langle 2,-\sin t,e^t\ranglea(t)=r′′(t)=⟨2,−sint,et⟩

在 t=0t=0t=0 时，速度为

v(0)=⟨0,1,1⟩\mathbf v(0)=\langle 0,1,1\ranglev(0)=⟨0,1,1⟩

所以速率是

∥v(0)∥=02+12+12=2\|\mathbf v(0)\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt2∥v(0)∥=02+12+12​=2​

下面的交互把螺旋线上的位置、速度和加速度放在同一幅图里。调节半径、上升速度和参数，观察速度向量为什么沿切线方向，而加速度为什么会指向弯曲内侧。

典型空间曲线

很多空间曲线都可以从熟悉的平面曲线出发理解。先看坐标分量，再看它们共同约束出什么几何对象。

直线

穿过点 r0\mathbf r_0r0​、方向向量为 d\mathbf dd 的空间直线可以写成

r(t)=r0+td\mathbf r(t)=\mathbf r_0+t\mathbf dr(t)=r0​+td

它的速度是常向量 d\mathbf dd，加速度为零。直线没有弯曲，这一点会和后面的曲率对应起来。

圆

半径为 RRR、位于 xyxyxy 平面的圆可以写成

r(t)=⟨Rcos⁡t,Rsin⁡t,0⟩\mathbf r(t)=\langle R\cos t,R\sin t,0\rangler(t)=⟨Rcost,Rsint,0⟩

这条曲线的速度为

r′(t)=⟨−Rsin⁡t,Rcos⁡t,0⟩\mathbf r'(t)=\langle -R\sin t,R\cos t,0\rangler′(t)=⟨−Rsint,Rcost,0⟩

速度始终与半径方向垂直。速率是常数 RRR，如果 ttt 表示秒，那么参数每增加 111，角度增加 111 弧度。

螺旋线

最常见的圆柱螺旋线可以写成

r(t)=⟨Rcos⁡t,Rsin⁡t,ct⟩\mathbf r(t)=\langle R\cos t,R\sin t,ct\rangler(t)=⟨Rcost,Rsint,ct⟩

它的水平投影是半径为 RRR 的圆，高度随 ttt 匀速上升。参数增加 2π2\pi2π 时，水平位置回到原处，高度增加 2πc2\pi c2πc。

螺旋线结构图，标出圆柱半径 R、竖直一圈升高 h、轴线、俯视圆，以及一圈展开后的弧长关系。

读空间曲线时，投影很有用。把曲线投影到 xyxyxy 平面、xzxzxz 平面或 yzyzyz 平面，常能先看清它的平面影子，再判断第三个方向如何把它抬起来。

空间曲线的弧长

在单变量微积分中，平面参数曲线的弧长来自小线段长度的极限。空间曲线也一样。若

r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩,a≤t≤b\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle,\qquad a\le t\le br(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩,a≤t≤b

且 r′(t)\mathbf r'(t)r′(t) 连续，那么弧长为

L=∫ab∥r′(t)∥ dtL=\int_a^b \|\mathbf r'(t)\|\,dtL=∫ab​∥r′(t)∥dt

写成分量形式就是

L=∫ab(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2 dtL=\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\,dtL=∫ab​(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2​dt

这个公式有一个直接的运动解释：∥r′(t)∥\|\mathbf r'(t)\|∥r′(t)∥ 是速率，弧长就是总路程。

空间曲线由若干短折线段近似，局部放大显示弧长微元 ds≈|r'(t)|dt，并给出弧长积分公式。

弧长积分积的是速率 ∥r′(t)∥\|\mathbf r'(t)\|∥r′(t)∥，不是速度向量 r′(t)\mathbf r'(t)r′(t)。向量有方向，不能直接当作长度累加。

例题：螺旋线的一圈长度

求

r(t)=⟨3cos⁡t,3sin⁡t,4t⟩,0≤t≤2π\mathbf r(t)=\langle 3\cos t,3\sin t,4t\rangle,\qquad 0\le t\le 2\pir(t)=⟨3cost,3sint,4t⟩,0≤t≤2π

的弧长。

先求导：

r′(t)=⟨−3sin⁡t,3cos⁡t,4⟩\mathbf r'(t)=\langle -3\sin t,3\cos t,4\rangler′(t)=⟨−3sint,3cost,4⟩

计算速率：

∥r′(t)∥=9sin⁡2t+9cos⁡2t+16=25=5\|\mathbf r'(t)\| =\sqrt{9\sin^2 t+9\cos^2 t+16} =\sqrt{25}=5∥r′(t)∥=9sin2t+9cos2t+16​=25​=5

这条螺旋线以恒定速率运动。

积分得到一圈长度：

L=∫02π5 dt=10πL=\int_0^{2\pi}5\,dt=10\piL=∫02π​5dt=10π

这个结果也能从展开图理解：水平绕一圈的长度是 2π⋅3=6π2\pi\cdot 3=6\pi2π⋅3=6π，竖直升高是 8π8\pi8π。展开后是一条直角三角形的斜边，长度为

(6π)2+(8π)2=10π\sqrt{(6\pi)^2+(8\pi)^2}=10\pi(6π)2+(8π)2​=10π

下面的交互展示“折线近似弧长”的过程。把分割数调小，你会看到折线明显短于真实曲线；分割数增加后，折线长度逐渐稳定。

单位切向量与曲率

速度向量既有方向也有长度。如果只想表示曲线在某点的切线方向，就把速度向量归一化：

T(t)=r′(t)∥r′(t)∥\mathbf T(t)=\frac{\mathbf r'(t)}{\|\mathbf r'(t)\|}T(t)=∥r′(t)∥r′(t)​

这里要求 r′(t)≠0\mathbf r'(t)\ne \mathbf 0r′(t)=0。这样的点叫正则点；如果速度为零，曲线可能停住、折返或出现尖点，切线方向需要另外分析。

曲率描述单位切向量沿曲线本身转向的快慢。它的定义是

κ=∥dTds∥\kappa=\left\|\frac{d\mathbf T}{ds}\right\|κ=​dsdT​​

其中 sss 是弧长参数。若用一般参数 ttt 计算，可以写成

κ(t)=∥T′(t)∥∥r′(t)∥\kappa(t)=\frac{\|\mathbf T'(t)\|}{\|\mathbf r'(t)\|}κ(t)=∥r′(t)∥∥T′(t)∥​

在三维空间中，还有一个常用公式：

κ(t)=∥r′(t)×r′′(t)∥∥r′(t)∥3\kappa(t)=\frac{\|\mathbf r'(t)\times \mathbf r''(t)\|}{\|\mathbf r'(t)\|^3}κ(t)=∥r′(t)∥3∥r′(t)×r′′(t)∥​

平滑曲线上一点的单位切向量 T、法向方向 N 和密切圆，标出曲率半径 1/κ，并对比大半径弯得慢、小半径弯得急。

曲率不是“走得快不快”。同一条圆形轨道上，车速翻倍，圆的曲率仍是 1/R1/R1/R；但法向加速度会变成原来的四倍，因为 an=v2/Ra_n=v^2/Ran​=v2/R。

例题：圆的曲率

设半径为 RRR 的圆参数化为

r(t)=⟨Rcos⁡t,Rsin⁡t,0⟩\mathbf r(t)=\langle R\cos t,R\sin t,0\rangler(t)=⟨Rcost,Rsint,0⟩

求它的曲率。

求一阶和二阶导数：

r′(t)=⟨−Rsin⁡t,Rcos⁡t,0⟩\mathbf r'(t)=\langle -R\sin t,R\cos t,0\rangler′(t)=⟨−Rsint,Rcost,0⟩r′′(t)=⟨−Rcos⁡t,−Rsin⁡t,0⟩\mathbf r''(t)=\langle -R\cos t,-R\sin t,0\rangler′′(t)=⟨−Rcost,−Rsint,0⟩

计算速度长度：

∥r′(t)∥=R\|\mathbf r'(t)\|=R∥r′(t)∥=R

叉积的长度为

∥r′(t)×r′′(t)∥=R2\|\mathbf r'(t)\times \mathbf r''(t)\|=R^2∥r′(t)×r′′(t)∥=R2

代入曲率公式：

κ(t)=R2R3=1R\kappa(t)=\frac{R^2}{R^3}=\frac1Rκ(t)=R3R2​=R1​

半径越小，圆弯得越急；半径越大，圆弯得越缓。

下面的交互把曲率和速率分开。调节半径会改变曲率；调节速率不会改变曲率，但会改变法向加速度。

运动问题的建模步骤

向量值函数题目常常把几何、导数和物理语言混在一起。解题时可以按下面顺序拆开。

先确认 r(t)\mathbf r(t)r(t) 的含义。它是位置、路径参数化，还是由速度积分得到的位置？如果题目给了初始位置，别忘了常向量。

再求速度和加速度。速度是 r′(t)\mathbf r'(t)r′(t)，加速度是 r′′(t)\mathbf r''(t)r′′(t)。如果只问速率，要取速度向量的长度。

判断题目要的是几何量还是运动量。弧长、切向量、曲率多是几何量；速度、加速度、路程和时间间隔多是运动量。

最后检查单位和参数范围。弧长积分不能漏上下限；参数化若只给出曲线的一段，不要把整条曲线都算进去。

例题：由速度和初始位置求轨迹

一个粒子的速度为

v(t)=⟨2t,3,cos⁡t⟩\mathbf v(t)=\langle 2t,3,\cos t\ranglev(t)=⟨2t,3,cost⟩

且初始位置为

r(0)=⟨1,−2,0⟩\mathbf r(0)=\langle 1,-2,0\rangler(0)=⟨1,−2,0⟩

求位置函数 r(t)\mathbf r(t)r(t)。

位置函数的导数是速度，所以对速度按分量积分：

r(t)=⟨t2+C1,3t+C2,sin⁡t+C3⟩\mathbf r(t)=\left\langle t^2+C_1,3t+C_2,\sin t+C_3\right\rangler(t)=⟨t2+C1​,3t+C2​,sint+C3​⟩

代入 t=0t=0t=0：

r(0)=⟨C1,C2,C3⟩\mathbf r(0)=\langle C_1,C_2,C_3\rangler(0)=⟨C1​,C2​,C3​⟩

与初始位置比较，得到 C1=1C_1=1C1​=1、C2=−2C_2=-2C2​=−2、C3=0C_3=0C3​=0。

因此

r(t)=⟨t2+1,3t−2,sin⁡t⟩\mathbf r(t)=\langle t^2+1,3t-2,\sin t\rangler(t)=⟨t2+1,3t−2,sint⟩

如果只给速度而不给初始位置，位置函数只能确定到一个常向量。这个常向量表示整条轨迹在空间中平移了多少。

练习

  1. 设
r(t)=⟨t2,2t,ln⁡t⟩,t>0\mathbf r(t)=\langle t^2,2t,\ln t\rangle,\qquad t>0r(t)=⟨t2,2t,lnt⟩,t>0

求 v(t)\mathbf v(t)v(t)、a(t)\mathbf a(t)a(t)，并计算 t=1t=1t=1 时的速率。

对各分量求导：

v(t)=⟨2t,2,1/t⟩\mathbf v(t)=\langle 2t,2,1/t\ranglev(t)=⟨2t,2,1/t⟩a(t)=⟨2,0,−1/t2⟩\mathbf a(t)=\langle 2,0,-1/t^2\ranglea(t)=⟨2,0,−1/t2⟩

当 t=1t=1t=1 时，

v(1)=⟨2,2,1⟩\mathbf v(1)=\langle 2,2,1\ranglev(1)=⟨2,2,1⟩

所以速率为

∥v(1)∥=22+22+12=3\|\mathbf v(1)\|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3∥v(1)∥=22+22+12​=3
  1. 求螺旋线
r(t)=⟨5cos⁡t,5sin⁡t,12t⟩,0≤t≤2π\mathbf r(t)=\langle 5\cos t,5\sin t,12t\rangle,\qquad 0\le t\le 2\pir(t)=⟨5cost,5sint,12t⟩,0≤t≤2π

的弧长。

先求导：

r′(t)=⟨−5sin⁡t,5cos⁡t,12⟩\mathbf r'(t)=\langle -5\sin t,5\cos t,12\rangler′(t)=⟨−5sint,5cost,12⟩

速率为

∥r′(t)∥=25sin⁡2t+25cos⁡2t+144=13\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt{25\sin^2 t+25\cos^2 t+144}=13∥r′(t)∥=25sin2t+25cos2t+144​=13

因此弧长为

L=∫02π13 dt=26πL=\int_0^{2\pi}13\,dt=26\piL=∫02π​13dt=26π
  1. 设
r(t)=⟨cos⁡t,sin⁡t,t⟩\mathbf r(t)=\langle \cos t,\sin t,t\rangler(t)=⟨cost,sint,t⟩

求单位切向量 T(t)\mathbf T(t)T(t)，并写出 T(π/2)\mathbf T(\pi/2)T(π/2)。

求导：

r′(t)=⟨−sin⁡t,cos⁡t,1⟩\mathbf r'(t)=\langle -\sin t,\cos t,1\rangler′(t)=⟨−sint,cost,1⟩

速度长度为

∥r′(t)∥=sin⁡2t+cos⁡2t+1=2\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}=\sqrt2∥r′(t)∥=sin2t+cos2t+1​=2​

所以

T(t)=12⟨−sin⁡t,cos⁡t,1⟩\mathbf T(t)=\frac{1}{\sqrt2}\langle -\sin t,\cos t,1\rangleT(t)=2​1​⟨−sint,cost,1⟩

当 t=π/2t=\pi/2t=π/2 时，

T(π/2)=12⟨−1,0,1⟩\mathbf T(\pi/2)=\frac{1}{\sqrt2}\langle -1,0,1\rangleT(π/2)=2​1​⟨−1,0,1⟩
  1. 同一条圆轨道半径为 101010。甲车以速率 222 行驶，乙车以速率 666 行驶。两车所在轨道的曲率是否相同？法向加速度是否相同？

曲率只由圆的半径决定：

κ=110\kappa=\frac1{10}κ=101​

所以两车轨道的曲率相同。法向加速度为

an=v2Ra_n=\frac{v^2}{R}an​=Rv2​

甲车的法向加速度为

2210=0.4\frac{2^2}{10}=0.41022​=0.4

乙车的法向加速度为

6210=3.6\frac{6^2}{10}=3.61062​=3.6

因此速率不同会改变法向加速度，但不会改变轨道曲率。

  1. 粒子的速度为
v(t)=⟨et,2t,4⟩\mathbf v(t)=\langle e^t,2t,4\ranglev(t)=⟨et,2t,4⟩

且 r(0)=⟨0,1,−3⟩\mathbf r(0)=\langle 0,1,-3\rangler(0)=⟨0,1,−3⟩。求 r(t)\mathbf r(t)r(t)。

对速度积分：

r(t)=⟨et+C1,t2+C2,4t+C3⟩\mathbf r(t)=\langle e^t+C_1,t^2+C_2,4t+C_3\rangler(t)=⟨et+C1​,t2+C2​,4t+C3​⟩

代入 t=0t=0t=0：

r(0)=⟨1+C1,C2,C3⟩=⟨0,1,−3⟩\mathbf r(0)=\langle 1+C_1,C_2,C_3\rangle=\langle 0,1,-3\rangler(0)=⟨1+C1​,C2​,C3​⟩=⟨0,1,−3⟩

所以 C1=−1C_1=-1C1​=−1、C2=1C_2=1C2​=1、C3=−3C_3=-3C3​=−3。位置函数为

r(t)=⟨et−1,t2+1,4t−3⟩\mathbf r(t)=\langle e^t-1,t^2+1,4t-3\rangler(t)=⟨et−1,t2+1,4t−3⟩
  • 一条曲线如何由一个参数生成
    • 参数不是永远等于时间
  • 从分量函数看曲线
    • 例题：判断曲线落在哪个曲面上
  • 速度、速率与加速度
    • 例题：从位置求速度、速率和加速度
  • 典型空间曲线
    • 直线
    • 圆
    • 螺旋线
  • 空间曲线的弧长
    • 例题：螺旋线的一圈长度
  • 单位切向量与曲率
    • 例题：圆的曲率
  • 运动问题的建模步骤
    • 例题：由速度和初始位置求轨迹
  • 练习

目录

  • 一条曲线如何由一个参数生成
    • 参数不是永远等于时间
  • 从分量函数看曲线
    • 例题：判断曲线落在哪个曲面上
  • 速度、速率与加速度
    • 例题：从位置求速度、速率和加速度
  • 典型空间曲线
    • 直线
    • 圆
    • 螺旋线
  • 空间曲线的弧长
    • 例题：螺旋线的一圈长度
  • 单位切向量与曲率
    • 例题：圆的曲率
  • 运动问题的建模步骤
    • 例题：由速度和初始位置求轨迹
  • 练习