向量值函数与空间曲线 | 多变量微积分 I | 自在学向量值函数与空间曲线
单变量函数 y=f(x) 把一个数送到另一个数。向量值函数把一个数送到一个向量：
r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩
当 改变时，点 在空间中移动，留下的轨迹就是一条空间曲线。这个语言很适合描述粒子运动、圆周运动、螺旋上升、飞行轨迹，也会在后面的线积分、曲面积分和 Stokes 定理中反复出现。
t
(x(t),y(t),z(t)) 一个参数 t 决定空间中的一个点。点连续移动时，位置向量的端点扫出一条曲线。
一条曲线如何由一个参数生成
向量值函数的输入通常记作 t。如果 t 表示时间，r(t) 就是时刻 t 的位置向量；如果 t 只是一个参数，它仍然能按顺序标记曲线上的点。
r(t)=⟨cost,sint,t⟩ 的前两个分量在单位圆上转动，第三个分量随 t 上升，所以它不是平面圆，而是一条绕 z 轴上升的螺旋线。
参数区间也很重要。函数公式给出曲线的形状，参数范围决定取哪一段。例如
0≤t≤2π 只取螺旋线的一圈；若让 t 取所有实数，就得到无限延伸的螺旋线。
向量值函数有两个层次：r(t) 是从参数到空间点的规则，曲线是这些点组成的几何轨迹。两个不同的参数化可能画出同一条曲线，但它们给出的运动快慢和方向可以不同。
参数不是永远等于时间
在物理问题里，t 经常表示时间。这时 r′(t) 就是速度，单位可能是米每秒。在纯几何问题里，t 只是沿曲线编号的变量。此时说“速度”仍有计算意义，但不一定有真实的物理时间单位。
这个区别会影响读题。题目若问“曲线的形状”，可以改变参数化而不改变轨迹；题目若问“运动的速率”或“加速度”，参数化就是问题本身的一部分。
从分量函数看曲线
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k 其中 x(t)、y(t)、z(t) 是三个普通单变量函数。它们分别控制点在三个坐标方向上的位置。
同一个参数 t 同时送入三个分量函数，得到空间中的一个点。
- 哪些分量是周期函数？周期分量常产生圆、椭圆或摆动。
- 哪些分量单调变化？单调分量常把平面曲线拉成空间曲线。
- 分量之间能否消去参数？消去参数后可以看出曲线落在哪个曲面或平面上。
例题：判断曲线落在哪个曲面上
r(t)=⟨2cost,2sint,3t⟩ 判断这条曲线大致是什么形状，并说明它落在哪个曲面上。
先看前两个分量。它们满足 x=2cost、y=2sint，所以
x2+y2=4cos2t+4sin2t=4这说明曲线始终落在半径为 2 的圆柱面 x2+y2=4 上。
再看第三个分量。z=3t 随 t 单调增加，因此点在圆柱面上绕一圈的同时不断上升。
合在一起，这条曲线是在圆柱面 x2+y2=4 上上升的螺旋线。参数每增加 2π，前两个分量回到原来的水平位置，而高度增加 。
速度、速率与加速度
如果 r(t) 描述运动，那么速度向量定义为
v(t)=r′(t)=⟨x′(t),y′(t),z′(t)⟩ 速度向量沿曲线的切线方向，表示当前位置下一瞬间要往哪里走。它的长度叫速率：
速率=∥v(t)∥=∥r′(t)∥ a(t)=v′(t)=r′′(t) 加速度不一定与速度同向。它可以改变速率，也可以改变运动方向。圆周运动中，即使速率保持不变，加速度也会指向圆心，因为速度方向一直在变。
速度是向量，速率是标量。两个物体可以有相同速率，却有不同速度；同一个物体也可以速率不变但速度一直改变，例如匀速圆周运动。
例题：从位置求速度、速率和加速度
r(t)=⟨t2,sint,et⟩ 求 v(t)、a(t)，并计算 t=0 时的速率。
对每个分量分别求导，得到速度：
v(t)=r′(t)=⟨2t,cost,et⟩再对速度求导，得到加速度：
a(t)=r′′(t)=⟨2,−sin在 t=0 时，速度为
v(0)=⟨0,1,1⟩所以速率是
下面的交互把螺旋线上的位置、速度和加速度放在同一幅图里。调节半径、上升速度和参数，观察速度向量为什么沿切线方向，而加速度为什么会指向弯曲内侧。
典型空间曲线
很多空间曲线都可以从熟悉的平面曲线出发理解。先看坐标分量，再看它们共同约束出什么几何对象。
直线
穿过点 r0、方向向量为 d 的空间直线可以写成
r(t)=r0+td 它的速度是常向量 d，加速度为零。直线没有弯曲，这一点会和后面的曲率对应起来。
圆
半径为 R、位于 xy 平面的圆可以写成
r(t)=⟨Rcost,Rsint,0⟩ r′(t)=⟨−Rsint,Rcost,0⟩ 速度始终与半径方向垂直。速率是常数 R，如果 t 表示秒，那么参数每增加 1，角度增加 1 弧度。
螺旋线
r(t)=⟨Rcost,Rsint,ct⟩ 它的水平投影是半径为 R 的圆，高度随 t 匀速上升。参数增加 2π 时，水平位置回到原处，高度增加 2πc。
读空间曲线时，投影很有用。把曲线投影到 xy 平面、xz 平面或 yz 平面，常能先看清它的平面影子，再判断第三个方向如何把它抬起来。
空间曲线的弧长
在单变量微积分中，平面参数曲线的弧长来自小线段长度的极限。空间曲线也一样。若
r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩,a≤t≤b 且 r′(t) 连续，那么弧长为
L=∫ab∥r′(t)∥dt L=∫ab(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2dt 这个公式有一个直接的运动解释：∥r′(t)∥ 是速率，弧长就是总路程。
弧长积分积的是速率 ∥r′(t)∥，不是速度向量 r′(t)。向量有方向，不能直接当作长度累加。
例题：螺旋线的一圈长度
r(t)=⟨3cost,3sint,4t⟩,0≤t≤2π 先求导：
r′(t)=⟨−3sint,3cost,4⟩计算速率：
∥r′(t)∥=9sin2t+9积分得到一圈长度：
L=∫02π5dt=10π这个结果也能从展开图理解：水平绕一圈的长度是 2π⋅3=6π，竖直升高是 8π。展开后是一条直角三角形的斜边，长度为
(6π)2+(8π)2=10π 下面的交互展示“折线近似弧长”的过程。把分割数调小，你会看到折线明显短于真实曲线；分割数增加后，折线长度逐渐稳定。
单位切向量与曲率
速度向量既有方向也有长度。如果只想表示曲线在某点的切线方向，就把速度向量归一化：
T(t)=∥r′(t)∥r′(t) 这里要求 r′(t)=0。这样的点叫正则点；如果速度为零，曲线可能停住、折返或出现尖点，切线方向需要另外分析。
曲率描述单位切向量沿曲线本身转向的快慢。它的定义是
κ=dsdT 其中 s 是弧长参数。若用一般参数 t 计算，可以写成
κ(t)=∥r′(t)∥∥T′(t)∥ κ(t)=∥r′(t)∥3∥r′(t)×r′′(t)∥ 曲率不是“走得快不快”。同一条圆形轨道上，车速翻倍，圆的曲率仍是 1/R；但法向加速度会变成原来的四倍，因为 an=v2/R。
例题：圆的曲率
r(t)=⟨Rcost,Rsint,0⟩ 求一阶和二阶导数：
r′(t)=⟨−Rsint,Rcost,0⟩r′′(t)=⟨−Rcost,−Rsint,0⟩计算速度长度：
∥r′(t)∥=R叉积的长度为
∥r′(t)×r′′(t)∥=代入曲率公式：
κ(t)=R3R2下面的交互把曲率和速率分开。调节半径会改变曲率；调节速率不会改变曲率，但会改变法向加速度。
运动问题的建模步骤
向量值函数题目常常把几何、导数和物理语言混在一起。解题时可以按下面顺序拆开。
先确认 r(t) 的含义。它是位置、路径参数化，还是由速度积分得到的位置？如果题目给了初始位置，别忘了常向量。
再求速度和加速度。速度是 r′(t)，加速度是 r′′(t)。如果只问速率，要取速度向量的长度。
判断题目要的是几何量还是运动量。弧长、切向量、曲率多是几何量；速度、加速度、路程和时间间隔多是运动量。
最后检查单位和参数范围。弧长积分不能漏上下限；参数化若只给出曲线的一段，不要把整条曲线都算进去。
例题：由速度和初始位置求轨迹
v(t)=⟨2t,3,cost⟩ r(0)=⟨1,−2,0⟩ 求位置函数 r(t)。
位置函数的导数是速度，所以对速度按分量积分：
r(t)=⟨t2+C1,3t+C2,sint+C3⟩代入 t=0：
r(0)=⟨C1,与初始位置比较，得到 C1=1、C2=、。
因此
r(t)=⟨t2+1,3t−2,sin如果只给速度而不给初始位置，位置函数只能确定到一个常向量。这个常向量表示整条轨迹在空间中平移了多少。
练习
r(t)=⟨t2,2t,lnt⟩,t>0 求 v(t)、a(t)，并计算 t=1 时的速率。
对各分量求导：
v(t)=⟨2t,2,1/t⟩a(t)=⟨2,0,−1/t2⟩当 t=1 时，
v(1)=⟨2,2,1⟩所以速率为
∥v(1)∥=22+22+12r(t)=⟨5cost,5sint,12t⟩,0≤t≤2π 先求导：
r′(t)=⟨−5sint,5cost,12⟩速率为
∥r′(t)∥=25sin2t+25cos2t+144因此弧长为
L=∫02π13dt=26πr(t)=⟨cost,sint,t⟩ 求单位切向量 T(t)，并写出 T(π/2)。
求导：
r′(t)=⟨−sint,cost,1⟩速度长度为
∥r′(t)∥=sin2t+cos2t+1所以
T(t)=21⟨当 t=π/2 时，
T(π/2)=21
- 同一条圆轨道半径为 10。甲车以速率 2 行驶，乙车以速率 6 行驶。两车所在轨道的曲率是否相同？法向加速度是否相同？
曲率只由圆的半径决定：
κ=101所以两车轨道的曲率相同。法向加速度为
an=Rv2甲车的法向加速度为
1022=0.4乙车的法向加速度为
1062=3.6因此速率不同会改变法向加速度，但不会改变轨道曲率。
v(t)=⟨et,2t,4⟩ 且 r(0)=⟨0,1,−3⟩。求 r(t)。
对速度积分：
r(t)=⟨et+C1,t2+C2,4t+C3⟩代入 t=0：
r(0)=⟨1+C1,C2,C所以 C1=−1、C2=1、C。位置函数为
r(t)=⟨et−1,t2+1,4t−3⟩6π
t
,
et
⟩
cos
2
t
+
16
=
5
R2
=
R1
C2
,
C3
⟩
−
2
t
⟩
=
3
=
13
=
−
sin
t
,
cos
t
,
1
⟩
⟨
−
1
,
0
,
1
⟩
3
⟩
=
⟨0,1,−3⟩
3
=
−3
