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上一节三维坐标、向量与空间几何下一节向量值函数与空间曲线
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数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场曲面、二次曲面与坐标变换初识

曲面、二次曲面与坐标变换初识

单变量函数的图像通常是一条曲线。到了三维空间，方程能描述的对象变得更丰富：一个平面、一只球面、一根柱面、一只碗形抛物面，甚至一个马鞍形曲面，都可以由几个变量之间的关系写出来。

本章先不追求计算技巧，而是训练三件事：读懂曲面的方程，借助截痕判断三维形状，在合适的时候把直角坐标换成柱坐标或球坐标。后面学习二重积分、三重积分、曲面积分时，很多边界之所以容易或困难，往往就取决于这一步看图和选坐标的能力。

三维曲面的方程、截痕与等值面概览

一条曲面方程可以从整体看，也可以用平面截开后从二维曲线看。

曲面方程的基本读法

在三维空间中，一个方程通常不是只确定一个点，而是确定一整片点集。例如

x2+y2+z2=9x^2+y^2+z^2=9x2+y2+z2=9

表示所有到原点距离为 333 的点，因此它是一张球面。方程

z=x2+y2z=x^2+y^2z=x2+y2

表示每一对 (x,y)(x,y)(x,y) 都对应一个高度 zzz，它是一张向上打开的抛物面。再看

x2+y2=4x^2+y^2=4x2+y2=4

这里没有出现 zzz。只要 (x,y)(x,y)(x,y) 在半径为 222 的圆上，zzz 可以任意取值，所以它不是一个圆，而是一根沿 zzz 方向延伸的圆柱面。

读曲面方程时，先问两个问题：哪些变量真的限制了点的位置？有没有某个变量完全没有出现？缺少的变量往往表示曲面沿对应方向平移延伸。

缺少变量时得到沿该方向延伸的柱面

显式曲面与隐式曲面

如果曲面可以写成 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)，我们常把它看成“平面上每个点的高度”。这种曲面适合用地形来想象。

如果曲面写成

F(x,y,z)=kF(x,y,z)=kF(x,y,z)=k

它更像一个三维空间中的等值面。球面、椭球面、锥面和很多物理场中的等势面，都更自然地以这种方式出现。

等值面这个语言很有用。二维地图中，等高线是高度相同的点组成的曲线；三维空间中，等值面是函数值相同的点组成的曲面。以后讨论温度场、电势场、压力场时，同一个想法会反复出现。

例题：把方程读成球面

判断方程

x2+y2+z2−4x+6y−2z=10x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z=10x2+y2+z2−4x+6y−2z=10

表示什么曲面。

把同类变量放在一起，准备配方：

(x2−4x)+(y2+6y)+(z2−2z)=10 (x^2-4x)+(y^2+6y)+(z^2-2z)=10(x2−4x)+(y2+6y)+(z2−2z)=10

对每一组二次式配方。为了保持等式不变，左边补了多少，右边也补多少：

(x−2)2+(y+3)2+(z−1)2=10+4+9+1 (x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=10+4+9+1(x−2)2+(y+3)2+(z−1)2=10+4+9+1

化简得到

(x−2)2+(y+3)2+(z−1)2=24 (x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=24(x−2)2+(y+3)2+(z−1)2=24

所以这是以 (2,−3,1)(2,-3,1)(2,−3,1) 为球心、半径为 262\sqrt{6}26​ 的球面。

截痕：把三维图形切回二维

直接想象三维曲面有时很难。一个稳妥办法是用平面去切它，观察切出来的二维曲线。这样的曲线叫截痕。

常用的三类截痕是：

  • 固定 x=cx=cx=c，看曲面在平面 x=cx=cx=c 上的形状。
  • 固定 y=cy=cy=c，看曲面在平面 y=cy=cy=c 上的形状。
  • 固定 z=cz=cz=c，看曲面的水平截痕。

例如曲面

z=x2+y2z=x^2+y^2z=x2+y2

在水平平面 z=4z=4z=4 上的截痕是

x2+y2=4x^2+y^2=4x2+y2=4

这是一条圆。随着 zzz 从 111 增大到 999，圆半径从 111 增大到 333，于是整体形状是一只向上打开的圆抛物面。

截痕法的核心不是把很多截面都画得很精确，而是抓住“截痕类型如何变化”。圆逐渐变大、椭圆逐渐变大、抛物线朝向改变，这些变化比单个截面的细节更能说明曲面整体。

例题：用截痕识别曲面

判断

z=9−x24−y29z=9-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}z=9−4x2​−9y2​

的形状和开口方向。

先看水平截痕。令 z=cz=cz=c，得到

x24+y29=9−c \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=9-c4x2​+9y2​=9−c

当 c<9c\lt 9c<9 时，右边为正，截痕是椭圆；当 c=9c=9c=9 时，只剩下顶点 (0,0,9)(0,0,9)(0,0,9)。

再看竖直截痕。令 y=0y=0y=0，得到 z=9−x24z=9-\frac{x^2}{4}z=9−4x2​；令 x=0x=0x=0，得到 z=9−y29z=9-\frac{y^2}{9}z=9−9y2​。两条都是向下开的抛物线。

水平截痕是椭圆，竖直截痕是向下开的抛物线，所以曲面是向下打开的椭圆抛物面，顶点在 (0,0,9)(0,0,9)(0,0,9)。

二次曲面的基本家族

二次曲面由三维变量的二次方程给出。这里先看没有交叉项的标准形，例如 x2x^2x2、y2y^2y2、z2z^2z2 分别出现，变量之间不出现 xyxyxy、yzyzyz、xzxzxz。这已经覆盖了本课最常见的图形。

六类常见二次曲面图库

椭球面

椭球面的标准形是

x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1a2x2​+b2y2​+c2z2​=1

其中 aaa、bbb、ccc 分别控制三个坐标方向上的半轴长度。当 a=b=ca=b=ca=b=c 时，椭球面退回球面。只要三个半轴不完全相同，球面就被拉伸成椭球面。

椭球面的三个半轴和主截面

抛物面

椭圆抛物面的典型形式是

z=x2a2+y2b2z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}z=a2x2​+b2y2​

它像一只碗。水平截痕是椭圆，竖直截痕是抛物线。

双曲抛物面的典型形式是

z=x2a2−y2b2z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}z=a2x2​−b2y2​

它像马鞍。沿一个方向切，抛物线向上开；沿另一个方向切，抛物线向下开。

椭圆抛物面与双曲抛物面的截痕对比

双曲面与锥面

单叶双曲面的一个标准形是

x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1a2x2​+b2y2​−c2z2​=1

它在 z=0z=0z=0 处有一圈“腰”，随着 ∣z∣|z|∣z∣ 增大，水平截痕变大，但曲面始终连成一片。

双叶双曲面的一个标准形是

z2c2−x2a2−y2b2=1\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1c2z2​−a2x2​−b2y2​=1

它分成上下两片，中间没有点。这个差异来自右边是 111，而正号只落在 z2z^2z2 一项上。

椭圆锥面的典型形式是

x2a2+y2b2=z2c2\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}a2x2​+b2y2​=c2z2​

它经过原点，水平截痕是随 ∣z∣|z|∣z∣ 增大的椭圆。

不要只凭“有一个负号”就匆忙判断曲面。双曲面的片数、开口轴和是否穿过原点，都要结合等式右边和正负号所在的变量一起看。

例题：识别双曲面

判断

x29+y24−z216=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-\frac{z^2}{16}=19x2​+4y2​−16z2​=1

是哪一种曲面，并说明它的大致方向。

方程左边有两个正平方项和一个负平方项，右边是 111。这符合单叶双曲面的标准结构。

令 z=0z=0z=0，得到

x29+y24=1 \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=19x2​+4y2​=1

这是曲面最窄处的一条椭圆截痕。

令 z=cz=cz=c，得到

x29+y24=1+c216 \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1+\frac{c^2}{16}9x2​+4y2​=1+16c2​

右边随 ∣c∣|c|∣c∣ 增大而增大，水平椭圆也随之变大。曲面沿 zzz 方向延伸，是一张以 zzz 轴为中心轴的单叶双曲面。

坐标变换的直观来源

直角坐标用 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 描述点的位置。它适合长方体、平面边界和沿坐标轴排列的对象。可很多空间区域本身带有圆、球或旋转对称性。此时继续用 xxx、yyy、zzz 描述，边界方程可能会变得很别扭。

坐标变换的目的不是换一种写法显得高级，而是让图形边界变简单。

柱坐标定位同一点的几何含义

柱坐标

柱坐标把平面极坐标搬到三维空间中：

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=zx=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=zx=rcosθ,y=rsinθ,z=z

其中 rrr 是点到 zzz 轴的距离，θ\thetaθ 是点在 xyxyxy 平面投影的极角，zzz 仍然是高度。

柱坐标特别适合描述圆柱、圆盘、圆锥和绕 zzz 轴旋转的区域。例如圆柱面

x2+y2=9x^2+y^2=9x2+y2=9

在柱坐标中直接变成

r=3r=3r=3

这比原来的方程更能说明它是“离 zzz 轴距离恒为 333 的点”。

球坐标定位同一点的几何含义

球坐标

本课程采用常见的数学约定：

x=ρsin⁡φcos⁡θ,y=ρsin⁡φsin⁡θ,z=ρcos⁡φx=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphix=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ

这里 ρ\rhoρ 是点到原点的距离，θ\thetaθ 是 xyxyxy 平面中的极角，φ\varphiφ 是从正 zzz 轴向下量到点的角。

球坐标适合球面、球壳、圆锥和以原点为中心的区域。例如球面

x2+y2+z2=25x^2+y^2+z^2=25x2+y2+z2=25

在球坐标中就是

ρ=5\rho=5ρ=5

不同教材有时会交换 θ\thetaθ 和 φ\varphiφ 的含义。做题时先看清约定。本课中，θ\thetaθ 在 xyxyxy 平面里转，φ\varphiφ 从正 zzz 轴向下量。

例题：同一个区域的两种描述

把区域

x2+y2≤9,0≤z≤5x^2+y^2\le 9,\qquad 0\le z\le 5x2+y2≤9,0≤z≤5

改写成柱坐标描述。

先识别几何形状。x2+y2≤9x^2+y^2\le 9x2+y2≤9 表示 xyxyxy 平面中的半径为 333 的圆盘，而 0≤z≤50\le z\le 50≤z≤5 限制高度。

在柱坐标中，x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2，所以圆盘条件变为 0≤r≤30\le r\le 30≤r≤3。

圆盘绕满一圈，所以角度范围是 0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi0≤θ≤2π。高度没有变，仍是 0≤z≤50\le z\le 50≤z≤5。

因此区域可以写成

0≤r≤3,0≤θ≤2π,0≤z≤5 0\le r\le 3,\qquad 0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le 50≤r≤3,0≤θ≤2π,0≤z≤5

这正是一根半径为 333、高度为 555 的实心圆柱。

什么时候换坐标

选择坐标时，可以先看边界，而不是先看公式。边界如果反复出现 x2+y2x^2+y^2x2+y2，柱坐标通常值得尝试；边界如果反复出现 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2x2+y2+z2，球坐标通常更自然。

二次曲面在反射面、建筑外形和球面距离中的应用

适合柱坐标的信号

柱坐标常见于这些情形：

  • 围绕某一条轴旋转的区域。
  • 圆柱面 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2x2+y2=a2。
  • 圆锥面 z=kx2+y2z=k\sqrt{x^2+y^2}z=kx2+y2​。
  • 水平圆盘、圆环、扇形柱。

例如圆锥面

z=2x2+y2z=2\sqrt{x^2+y^2}z=2x2+y2​

在柱坐标中变成

z=2rz=2rz=2r

它的几何意思马上变清楚：高度与到 zzz 轴的距离成正比。

适合球坐标的信号

球坐标常见于这些情形：

  • 球面 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2x2+y2+z2=a2。
  • 球壳 a≤x2+y2+z2≤ba\le \sqrt{x^2+y^2+z^2}\le ba≤x2+y2+z2​≤b。
  • 以原点为顶点的圆锥。
  • 和距离原点有关的场量。

例题：球与锥围成的区域

用球坐标描述球

x2+y2+z2≤16x^2+y^2+z^2\le 16x2+y2+z2≤16

内部且在圆锥

z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}z=x2+y2​

上方的区域。

球面以原点为中心，所以先把 x2+y2+z2≤16x^2+y^2+z^2\le 16x2+y2+z2≤16 改写成 0≤ρ≤40\le \rho\le 40≤ρ≤4。

圆锥条件可以用角度看。因为 z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}z=x2+y2​，在柱坐标中是 z=rz=rz=r。这表示点和正 zzz 轴之间的角是 φ=π4\varphi=\frac{\pi}{4}φ=4π​。

“在圆锥上方”表示更靠近正 zzz 轴，所以角度范围是 0≤φ≤π40\le \varphi\le \frac{\pi}{4}0≤φ≤4π​。

区域绕 zzz 轴一整圈，因此 0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi0≤θ≤2π。完整描述为

0≤ρ≤4,0≤φ≤π4,0≤θ≤2π 0\le\rho\le4,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\qquad 0\le\theta\le2\pi0≤ρ≤4,0≤φ≤4π​,0≤θ≤2π

常见误区

把柱面看成平面曲线

方程 x2+y2=4x^2+y^2=4x2+y2=4 在 xyxyxy 平面里是一条圆，但在三维空间里是圆柱面。题目如果明确处在三维空间，就要允许没出现的变量自由变化。

只看一个截痕就下结论

一个曲面在某个平面上的截痕是圆，并不代表它一定是球面。圆柱面、圆锥面、抛物面、椭球面都可能出现圆形截痕。至少要比较两个方向的截痕，或同时看水平截痕如何随高度变化。

混淆双曲面的片数

单叶双曲面和双叶双曲面的公式很像。判断时不要背“正正负”这几个字就结束，要问：哪些截面存在？曲面在中间是否断开？

双曲面与锥面的符号和截痕误区对比

把 ρ\rhoρ 当成 rrr

柱坐标中的 rrr 是点到 zzz 轴的距离；球坐标中的 ρ\rhoρ 是点到原点的距离。空间中同一个点通常满足

r=ρsin⁡φr=\rho\sin\varphir=ρsinφ

它们不是同一个量。

做坐标变换时，最危险的错误是只替换一半。例如把 x2+y2x^2+y^2x2+y2 改成 r2r^2r2，却忘了圆锥中的 zzz 和 rrr 之间还有角度关系。每次转换都要同时检查边界、变量范围和几何含义。

练习

练习一：配方识别球面

判断

x2+y2+z2+2x−8y+4z=4x^2+y^2+z^2+2x-8y+4z=4x2+y2+z2+2x−8y+4z=4

表示什么曲面。

配方得到

(x+1)2+(y−4)2+(z+2)2=25 (x+1)^2+(y-4)^2+(z+2)^2=25(x+1)2+(y−4)2+(z+2)2=25

所以这是球心为 (−1,4,−2)(-1,4,-2)(−1,4,−2)、半径为 555 的球面。

练习二：缺少变量

方程

y=x2y=x^2y=x2

在三维空间中表示什么图形？

方程没有出现 zzz，所以平面曲线 y=x2y=x^2y=x2 会沿 zzz 方向平移延伸，得到抛物柱面。

练习三：识别二次曲面

判断

x24+y29+z216=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=14x2​+9y2​+16z2​=1

的曲面类型，并写出三个方向的半轴长度。

三个平方项全为正，右边是 111，所以它是椭球面。三个方向的半轴长度分别是 222、333、444。

练习四：判断抛物面的开口方向

判断

x=y24+z29x=\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}x=4y2​+9z2​

的形状和开口方向。

这是椭圆抛物面。因为左边是 xxx，右边是两个非负平方项，所以顶点在原点，曲面沿正 xxx 方向打开。

练习五：柱坐标换算

柱坐标点

(r,θ,z)=(4,π6,2)(r,\theta,z)=\left(4,\frac{\pi}{6},2\right)(r,θ,z)=(4,6π​,2)

对应的直角坐标是什么？

使用 x=rcos⁡θx=r\cos\thetax=rcosθ、y=rsin⁡θy=r\sin\thetay=rsinθ，得到

x=4⋅32=23,y=4⋅12=2,z=2 x=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3,\qquad y=4\cdot\frac12=2,\qquad z=2x=4⋅23​​=23​,y=4⋅21​=2,z=2

所以直角坐标是 (23,2,2)(2\sqrt3,2,2)(23​,2,2)。

练习六：把方程改写成柱坐标

把

x2+y2=6zx^2+y^2=6zx2+y2=6z

改写成柱坐标，并说明它是什么曲面。

因为 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2，方程变成

r2=6z r^2=6zr2=6z

也就是 z=r26z=\frac{r^2}{6}z=6r2​。这是沿正 zzz 方向打开的圆抛物面。

练习七：球坐标描述区域

用球坐标描述球壳

9≤x2+y2+z2≤259\le x^2+y^2+z^2\le 259≤x2+y2+z2≤25

的完整区域。

球壳只限制到原点的距离，因此

3≤ρ≤5,0≤φ≤π,0≤θ≤2π 3\le\rho\le5,\qquad 0\le\varphi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le2\pi3≤ρ≤5,0≤φ≤π,0≤θ≤2π

练习八：选择坐标

区域由

x2+y2≤16,y≥0,1≤z≤3x^2+y^2\le 16,\qquad y\ge 0,\qquad 1\le z\le 3x2+y2≤16,y≥0,1≤z≤3

给出。你会优先选直角坐标、柱坐标还是球坐标？

优先选柱坐标。边界 x2+y2≤16x^2+y^2\le16x2+y2≤16 是圆盘，y≥0y\ge0y≥0 表示上半圆，对应 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi0≤θ≤π。高度范围仍是 1≤z≤31\le z\le31≤z≤3，所以区域可写成

0≤r≤4,0≤θ≤π,1≤z≤3 0\le r\le4,\qquad 0\le\theta\le\pi,\qquad 1\le z\le30≤r≤4,0≤θ≤π,1≤z≤3
  • 曲面方程的基本读法
    • 显式曲面与隐式曲面
    • 例题：把方程读成球面
  • 截痕：把三维图形切回二维
    • 例题：用截痕识别曲面
  • 二次曲面的基本家族
    • 椭球面
    • 抛物面
    • 双曲面与锥面
    • 例题：识别双曲面
  • 坐标变换的直观来源
    • 柱坐标
    • 球坐标
    • 例题：同一个区域的两种描述
  • 什么时候换坐标
    • 适合柱坐标的信号
    • 适合球坐标的信号
    • 例题：球与锥围成的区域
  • 常见误区
    • 把柱面看成平面曲线
    • 只看一个截痕就下结论
    • 混淆双曲面的片数
    • 把 $\rho$ 当成 $r$
  • 练习
    • 练习一：配方识别球面
    • 练习二：缺少变量
    • 练习三：识别二次曲面
    • 练习四：判断抛物面的开口方向
    • 练习五：柱坐标换算
    • 练习六：把方程改写成柱坐标
    • 练习七：球坐标描述区域
    • 练习八：选择坐标

目录

  • 曲面方程的基本读法
    • 显式曲面与隐式曲面
    • 例题：把方程读成球面
  • 截痕：把三维图形切回二维
    • 例题：用截痕识别曲面
  • 二次曲面的基本家族
    • 椭球面
    • 抛物面
    • 双曲面与锥面
    • 例题：识别双曲面
  • 坐标变换的直观来源
    • 柱坐标
    • 球坐标
    • 例题：同一个区域的两种描述
  • 什么时候换坐标
    • 适合柱坐标的信号
    • 适合球坐标的信号
    • 例题：球与锥围成的区域
  • 常见误区
    • 把柱面看成平面曲线
    • 只看一个截痕就下结论
    • 混淆双曲面的片数
    • 把 $\rho$ 当成 $r$
  • 练习
    • 练习一：配方识别球面
    • 练习二：缺少变量
    • 练习三：识别二次曲面
    • 练习四：判断抛物面的开口方向
    • 练习五：柱坐标换算
    • 练习六：把方程改写成柱坐标
    • 练习七：球坐标描述区域
    • 练习八：选择坐标