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上一节多变量微积分研究什么下一节曲面、二次曲面与坐标变换初识
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数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场三维坐标、向量与空间几何

三维坐标、向量与空间几何

多变量微积分从一条数轴走向一片区域，再走向三维空间。空间里最先要解决的不是求导或积分，而是怎样说清楚一个点在哪里、一个物体朝哪里移动、一个平面怎样倾斜。

这部分让我们把这些语言整理成一套可计算的工具：坐标用来定位，向量用来表示位移和方向，点积用来比较方向和做投影，叉积用来找垂直方向和面积，直线和平面用方程表达。后面学习曲面、梯度、通量和 Stokes 定理时，这些工具会反复出现。

三维坐标系先解决定位问题

三维直角坐标系由三条互相垂直的坐标轴组成。一个点 P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z) 的三个数不是随意排列的标签，而是从原点出发，分别沿 xxx 轴、yyy 轴、zzz 轴移动的有向距离。

在平面解析几何里，一个点通常投影到两条坐标轴。三维空间多了一个坐标方向，也多了三个坐标平面：xyxyxy 平面、xzxzxz 平面、yzyzyz 平面。点的投影能帮助我们把空间问题拆回熟悉的二维或一维问题。

三维直角坐标系示意图，展示 x 轴、y 轴、z 轴、xy 平面、xz 平面、yz 平面以及点 P(2,3,4) 到三个坐标面的虚线投影。

三维坐标不是把平面图“画得立体”而已，它给每个点一个可计算的位置。

两个点

P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)P(x_1,y_1,z_1), \quad Q(x_2,y_2,z_2)P(x1​,y1​,z1​),Q(x2​,y2​,z2​)

之间的距离来自三次互相垂直的位移：

d(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}d(P,Q)=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​

中点坐标则是三个方向分别取平均：

M=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)M=(2x1​+x2​​,2y1​+y2​​,2z1​+z2​​)

三维距离公式本质上还是勾股定理。先在一个坐标平面里算出水平位移的长度，再和第三个方向的位移组成直角三角形，就得到上面的公式。

例题：距离与中点

已知 A(−1,2,4)A(-1,2,4)A(−1,2,4)，B(3,−2,1)B(3,-2,1)B(3,−2,1)。求线段 ABABAB 的长度和中点。

先分别计算三个方向上的坐标差：

Δx=3−(−1)=4,Δy=−2−2=−4,Δz=1−4=−3\Delta x=3-(-1)=4,\quad \Delta y=-2-2=-4,\quad \Delta z=1-4=-3Δx=3−(−1)=4,Δy=−2−2=−4,Δz=1−4=−3

把三个互相垂直的位移代入距离公式：

∣AB∣=42+(−4)2+(−3)2=41|AB|=\sqrt{4^2+(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{41}∣AB∣=42+(−4)2+(−3)2​=41​

中点的三个坐标分别取平均：

M=(−1+32,2+(−2)2,4+12)=(1,0,52)M=\left(\frac{-1+3}{2},\frac{2+(-2)}{2},\frac{4+1}{2}\right)=\left(1,0,\frac{5}{2}\right)M=(2−1+3​,22+(−2)​,24+1​)=(1,0,25​)

向量记录位移而不是固定位置

点回答“在哪里”，向量回答“从哪里往哪里移动”。从 A(x1,y1,z1)A(x_1,y_1,z_1)A(x1​,y1​,z1​) 到 B(x2,y2,z2)B(x_2,y_2,z_2)B(x2​,y2​,z2​) 的位移向量是

AB→=⟨x2−x1, y2−y1, z2−z1⟩\overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1\rangleAB=⟨x2​−x1​, y2​−y1​, z2​−z1​⟩

只要长度和方向相同，向量可以平移到空间中的任意位置。这个观点很重要：我们经常把一个方向向量移到原点、移到曲面上一点，或移到平面上一点，只要不改变它的分量，它仍是同一个向量。

同一向量在不同起点可平移，向量 a 与 b 首尾相接并通过平行四边形法则得到 a+b。

向量加法的几何意思是连续走两段位移。

若

a=⟨a1,a2,a3⟩,b=⟨b1,b2,b3⟩\mathbf a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle,\quad \mathbf b=\langle b_1,b_2,b_3\ranglea=⟨a1​,a2​,a3​⟩,b=⟨b1​,b2​,b3​⟩

则向量运算按分量进行：

a+b=⟨a1+b1, a2+b2, a3+b3⟩\mathbf a+\mathbf b=\langle a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3\ranglea+b=⟨a1​+b1​, a2​+b2​, a3​+b3​⟩ ca=⟨ca1, ca2, ca3⟩c\mathbf a=\langle ca_1,\ ca_2,\ ca_3\rangleca=⟨ca1​, ca2​, ca3​⟩

向量长度是它对应位移的距离：

∥a∥=a12+a22+a32\|\mathbf a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}∥a∥=a12​+a22​+a32​​

如果 a≠0\mathbf a\neq \mathbf 0a=0，与它同方向的单位向量是

a∥a∥\frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|}∥a∥a​

不要把点 P(2,3,4)P(2,3,4)P(2,3,4) 和向量 ⟨2,3,4⟩\langle 2,3,4\rangle⟨2,3,4⟩ 混成同一件事。它们使用同样的三个数，但语义不同：点是位置，向量是从某个起点出发的位移。把点看成原点到该点的位置向量时，才可以写成 OP→=⟨2,3,4⟩\overrightarrow{OP}=\langle 2,3,4\rangleOP=⟨2,3,4⟩。

例题：单位方向向量

从 A(1,−1,2)A(1,-1,2)A(1,−1,2) 指向 B(4,3,0)B(4,3,0)B(4,3,0) 的单位方向向量是什么？

先求位移向量：

AB→=⟨4−1, 3−(−1), 0−2⟩=⟨3,4,−2⟩\overrightarrow{AB}=\langle 4-1,\ 3-(-1),\ 0-2\rangle=\langle 3,4,-2\rangleAB=⟨4−1, 3−(−1), 0−2⟩=⟨3,4,−2⟩

求它的长度：

∥AB→∥=32+42+(−2)2=29\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{3^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{29}∥AB∥=32+42+(−2)2​=29​

用向量除以自身长度，得到单位方向向量：

u=⟨329,429,−229⟩\mathbf u=\left\langle \frac{3}{\sqrt{29}},\frac{4}{\sqrt{29}},-\frac{2}{\sqrt{29}}\right\rangleu=⟨29​3​,29​4​,−29​2​⟩

点积把方向接近程度变成数

点积有两个等价视角。按分量计算时，

a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3\mathbf a\cdot \mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3a⋅b=a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​

按几何解释时，

a⋅b=∥a∥∥b∥cos⁡θ\mathbf a\cdot \mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\thetaa⋅b=∥a∥∥b∥cosθ

其中 θ\thetaθ 是两个非零向量之间的夹角。这个公式告诉我们：点积不只是一串乘法加法，它在测量两个方向有多接近。

二维平面中向量 a 与向量 b 的夹角、点积公式和向量 a 在 b 方向上的投影示意图。

投影把“一个方向上的有效长度”单独取出来。

当夹角是锐角时，cos⁡θ>0\cos\theta>0cosθ>0，点积为正；当夹角是直角时，点积为零；当夹角是钝角时，点积为负。这给垂直判断带来一个很短的判据：

a⊥b⟺a⋅b=0\mathbf a\perp \mathbf b \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf a\cdot\mathbf b=0a⊥b⟺a⋅b=0

向量 a\mathbf aa 在 b\mathbf bb 方向上的标量投影是

comp⁡ba=a⋅b∥b∥\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|}compb​a=∥b∥a⋅b​

向量投影是

proj⁡ba=a⋅b∥b∥2b\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|^2}\mathbf bprojb​a=∥b∥2a⋅b​b

投影长度带符号。若 a\mathbf aa 在 b\mathbf bb 的反方向上成分更多，标量投影会是负数；这不是长度变成负数，而是方向相反的信号。

例题：夹角和投影

设

a=⟨2,−1,2⟩,b=⟨1,2,2⟩\mathbf a=\langle 2,-1,2\rangle,\quad \mathbf b=\langle 1,2,2\ranglea=⟨2,−1,2⟩,b=⟨1,2,2⟩

求两向量夹角的余弦，并求 a\mathbf aa 在 b\mathbf bb 上的向量投影。

先算点积：

a⋅b=2⋅1+(−1)⋅2+2⋅2=4\mathbf a\cdot\mathbf b=2\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot2=4a⋅b=2⋅1+(−1)⋅2+2⋅2=4

再算两个向量的长度：

∥a∥=22+(−1)2+22=3,∥b∥=12+22+22=3\|\mathbf a\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3,\quad \|\mathbf b\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3∥a∥=22+(−1)2+22​=3,∥b∥=12+22+22​=3

由点积的几何公式得到夹角余弦：

cos⁡θ=a⋅b∥a∥∥b∥=49\cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|}=\frac{4}{9}cosθ=∥a∥∥b∥a⋅b​=94​

用投影公式求向量投影：

proj⁡ba=49⟨1,2,2⟩=⟨49,89,89⟩\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{4}{9}\langle 1,2,2\rangle=\left\langle \frac49,\frac89,\frac89\right\rangleprojb​a=94​⟨1,2,2⟩=⟨94​,98​,98​⟩

叉积产生垂直方向和面积

点积输出一个数，叉积输出一个新向量。对

a=⟨a1,a2,a3⟩,b=⟨b1,b2,b3⟩\mathbf a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle,\quad \mathbf b=\langle b_1,b_2,b_3\ranglea=⟨a1​,a2​,a3​⟩,b=⟨b1​,b2​,b3​⟩

叉积定义为

a×b=⟨a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1⟩\mathbf a\times\mathbf b = \langle a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1\ranglea×b=⟨a2​b3​−a3​b2​, a3​b1​−a1​b3​, a1​b2​−a2​b1​⟩

这个向量同时垂直于 a\mathbf aa 和 b\mathbf bb。它的方向由右手定则决定，它的长度等于由 a\mathbf aa 和 b\mathbf bb 张成的平行四边形面积：

∥a×b∥=∥a∥∥b∥sin⁡θ\|\mathbf a\times\mathbf b\|=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta∥a×b∥=∥a∥∥b∥sinθ

三维坐标网格中，向量 a 与 b 张成半透明平行四边形，法向量 a×b 垂直伸出，并配有右手定则示意。

叉积给出的法向量会成为写平面方程的核心。

叉积最容易出错的地方是顺序。一般来说，

a×b=−(b×a)\mathbf a\times\mathbf b=-(\mathbf b\times\mathbf a)a×b=−(b×a)

交换顺序不会改变面积大小，但会把法向量方向反过来。

当两个非零向量平行时，sin⁡θ=0\sin\theta=0sinθ=0，所以叉积为零向量。这个判据常用来判断空间直线的方向向量是否平行，也常用来检查三个点是否共线。

例题：用叉积求三角形面积

已知三角形的三个顶点为

A(1,0,2),B(3,1,1),C(2,4,3)A(1,0,2),\quad B(3,1,1),\quad C(2,4,3)A(1,0,2),B(3,1,1),C(2,4,3)

求三角形 ABCABCABC 的面积。

先从同一个顶点出发写两个边向量：

AB→=⟨2,1,−1⟩,AC→=⟨1,4,1⟩\overrightarrow{AB}=\langle 2,1,-1\rangle,\quad \overrightarrow{AC}=\langle 1,4,1\rangleAB=⟨2,1,−1⟩,AC=⟨1,4,1⟩

计算叉积：

AB→×AC→=⟨1⋅1−(−1)⋅4, (−1)⋅1−2⋅1, 2⋅4−1⋅1⟩=⟨5,−3,7⟩\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \langle 1\cdot1-(-1)\cdot4,\ (-1)\cdot1-2\cdot1,\ 2\cdot4-1\cdot1\rangle = \langle 5,-3,7\rangleAB×AC=⟨1⋅1−(−1)⋅4, (−1)⋅1−2⋅1, 2⋅4−1⋅1⟩=⟨5,−3,7⟩

叉积长度是平行四边形面积：

∥⟨5,−3,7⟩∥=52+(−3)2+72=83\|\langle 5,-3,7\rangle\|=\sqrt{5^2+(-3)^2+7^2}=\sqrt{83}∥⟨5,−3,7⟩∥=52+(−3)2+72​=83​

三角形面积是对应平行四边形面积的一半：

S△ABC=832S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{83}}{2}S△ABC​=283​​

空间直线是一点加一个方向

平面中的直线可以写成斜截式，但空间中没有一个单独的“斜率”能描述直线。更稳定的写法是：给出直线上的一点，再给出它的方向向量。

若直线经过点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)P0​(x0​,y0​,z0​)，方向向量是

v=⟨a,b,c⟩\mathbf v=\langle a,b,c\ranglev=⟨a,b,c⟩

则向量式为

r(t)=r0+tv\mathbf r(t)=\mathbf r_0+t\mathbf vr(t)=r0​+tv

分量式为

x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ctx=x_0+at,\quad y=y_0+bt,\quad z=z_0+ctx=x0​+at,y=y0​+bt,z=z0​+ct

三维坐标系中，直线穿过点 P0(1,2,1)，方向向量 v=(2,-1,3) 沿直线指向点 Q，并展示参数式与分量式。

参数 ttt 不是新的空间坐标，它表示沿方向向量走了多少倍。

如果 a,b,ca,b,ca,b,c 都不为零，也可以写成对称式：

x−x0a=y−y0b=z−z0c\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}ax−x0​​=by−y0​​=cz−z0​​

若某个方向分量为 000，对称式里不能把它放在分母。例如方向向量 ⟨2,0,−1⟩\langle 2,0,-1\rangle⟨2,0,−1⟩ 表示 yyy 坐标不随参数变化，所以应保留 y=y0y=y_0y=y0​，而不是写出分母为 000 的式子。

两条空间直线的位置关系

两条空间直线可能相交、平行、重合，也可能异面。异面线是三维空间里新出现的情况：两条线不平行，却也没有交点，因为它们不在同一个平面内。

三联图比较两条空间直线的位置关系：相交、平行和异面。

判断两条空间直线时，先看方向，再看是否能用参数找到同一个点。

在平面里，两条不平行的直线一定相交；在三维空间里，这句话不再成立。方向向量不平行只能说明它们不会平行，不能保证它们相交。

例题：判断两条直线是否相交

判断下面两条直线的位置关系：

L1: r=⟨1,0,2⟩+s⟨2,1,−1⟩L_1:\ \mathbf r=\langle 1,0,2\rangle+s\langle 2,1,-1\rangleL1​: r=⟨1,0,2⟩+s⟨2,1,−1⟩ L2: r=⟨3,1,1⟩+t⟨1,−1,2⟩L_2:\ \mathbf r=\langle 3,1,1\rangle+t\langle 1,-1,2\rangleL2​: r=⟨3,1,1⟩+t⟨1,−1,2⟩

先比较方向向量 ⟨2,1,−1⟩\langle 2,1,-1\rangle⟨2,1,−1⟩ 与 ⟨1,−1,2⟩\langle 1,-1,2\rangle⟨1,−1,2⟩。它们不是倍数关系，所以两直线不平行，也不重合。

若两线相交，应存在 s,ts,ts,t 让三个坐标同时相等：

1+2s=3+t,s=1−t,2−s=1+2t1+2s=3+t,\quad s=1-t,\quad 2-s=1+2t1+2s=3+t,s=1−t,2−s=1+2t

由第二式得 s=1−ts=1-ts=1−t。代入第一式：

1+2(1−t)=3+t1+2(1-t)=3+t1+2(1−t)=3+t

解得 t=0t=0t=0，于是 s=1s=1s=1。

把 s=1,t=0s=1,t=0s=1,t=0 代入第三式：

2−1=1+2⋅02-1=1+2\cdot02−1=1+2⋅0

等式成立，所以两直线相交，交点是 L2L_2L2​ 在 t=0t=0t=0 时的点：

(3,1,1)(3,1,1)(3,1,1)

平面由法向量控制倾斜方式

空间中的平面也可以由“点”和“方向”描述，但一个平面有无数个方向。更简洁的方式是给出平面上一点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)P0​(x0​,y0​,z0​)，再给出一个垂直于平面的非零向量

n=⟨A,B,C⟩\mathbf n=\langle A,B,C\ranglen=⟨A,B,C⟩

这个向量叫法向量。平面上任意点 P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z) 都满足：从 P0P_0P0​ 指向 PPP 的向量与法向量垂直。

n⋅P0P→=0\mathbf n\cdot\overrightarrow{P_0P}=0n⋅P0​P​=0

展开后得到点法式：

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0

也可以整理成一般式：

Ax+By+Cz=DAx+By+Cz=DAx+By+Cz=D

三维坐标系中的半透明倾斜平面，点 P0 和 P 位于平面上，法向量 n 垂直于平面，并标出点法式方程。

法向量不在平面内，它指出平面“朝哪边垂直”。

由三个点写平面方程

只要三个点不共线，它们确定一个平面。做法是先从其中一个点出发，构造平面内的两个向量；再用叉积得到法向量；最后代入点法式。

例题：三个点确定平面

求经过

A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,3,1)A(1,0,2),\quad B(2,1,0),\quad C(0,3,1)A(1,0,2),B(2,1,0),C(0,3,1)

的平面方程。

先取两个平面内向量：

AB→=⟨1,1,−2⟩,AC→=⟨−1,3,−1⟩\overrightarrow{AB}=\langle 1,1,-2\rangle,\quad \overrightarrow{AC}=\langle -1,3,-1\rangleAB=⟨1,1,−2⟩,AC=⟨−1,3,−1⟩

用叉积求法向量：

AB→×AC→=⟨1⋅(−1)−(−2)⋅3, (−2)⋅(−1)−1⋅(−1), 1⋅3−1⋅(−1)⟩=⟨5,3,4⟩\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \langle 1\cdot(-1)-(-2)\cdot3,\ (-2)\cdot(-1)-1\cdot(-1),\ 1\cdot3-1\cdot(-1)\rangle = \langle 5,3,4\rangleAB×AC=⟨1⋅(−1)−(−2)⋅3, (−2)⋅(−1)−1⋅(−1), 1⋅3−1⋅(−1)⟩=⟨5,3,4⟩

用点 A(1,0,2)A(1,0,2)A(1,0,2) 和法向量 ⟨5,3,4⟩\langle 5,3,4\rangle⟨5,3,4⟩ 写点法式：

5(x−1)+3(y−0)+4(z−2)=05(x-1)+3(y-0)+4(z-2)=05(x−1)+3(y−0)+4(z−2)=0

整理得到一般式：

5x+3y+4z=135x+3y+4z=135x+3y+4z=13

平面方程 Ax+By+Cz=DAx+By+Cz=DAx+By+Cz=D 中，⟨A,B,C⟩\langle A,B,C\rangle⟨A,B,C⟩ 就是法向量。看到一般式时，不需要重新推导法向量，直接读出三个系数即可。

向量语言会贯穿后面的多变量微积分

这一章的公式看起来像解析几何，但它们并不会停留在几何题里。向量会用来描述运动方向，点积会出现在方向导数和功的计算中，叉积会给曲面法向量，平面会成为切平面的模型。

工业机械臂在三维工作台上定位末端工具，图中标出位置向量、方向向量、工作平面法向量和需要避开的障碍区域。

在工程模型中，“位置、方向、约束平面”通常同时出现。

后面学习 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 的切平面时，我们会把曲面在一点附近近似成平面；学习梯度时，会用点积计算某个方向上的变化率；学习通量时，会用法向量描述穿过曲面的方向。现在建立的语言越稳，后面的计算就越少靠记忆。

一个实用检查流程

遇到空间几何题时，可以先按下面的顺序整理信息。

先分清对象是点、向量、直线还是平面。点有位置，向量有方向和长度，直线需要一点和一个方向，平面需要一点和一个法向量。

如果题目给了两个点，优先把它们相减得到位移向量；如果给了三个点，优先构造两个边向量。

需要夹角、投影或垂直判断时，考虑点积；需要面积、法向量或平行判断时，考虑叉积。

写直线方程时使用参数；写平面方程时使用法向量。不要强行把空间直线写成平面中的斜截式。

练习

坐标与距离

已知 P(2,−1,5)P(2,-1,5)P(2,−1,5)，Q(−2,3,1)Q(-2,3,1)Q(−2,3,1)。求 ∣PQ∣|PQ|∣PQ∣ 和线段 PQPQPQ 的中点。

坐标差为 Δx=−4\Delta x=-4Δx=−4，Δy=4\Delta y=4Δy=4，Δz=−4\Delta z=-4Δz=−4，所以

∣PQ∣=(−4)2+42+(−4)2=43|PQ|=\sqrt{(-4)^2+4^2+(-4)^2}=4\sqrt3∣PQ∣=(−4)2+42+(−4)2​=43​

中点为

M=(2+(−2)2,−1+32,5+12)=(0,1,3)M=\left(\frac{2+(-2)}2,\frac{-1+3}2,\frac{5+1}2\right)=(0,1,3)M=(22+(−2)​,2−1+3​,25+1​)=(0,1,3)

向量长度与单位向量

设 v=⟨−2,1,2⟩\mathbf v=\langle -2,1,2\ranglev=⟨−2,1,2⟩。求 ∥v∥\|\mathbf v\|∥v∥，并写出与 v\mathbf vv 同方向的单位向量。

∥v∥=(−2)2+12+22=3\|\mathbf v\|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=3∥v∥=(−2)2+12+22​=3

同方向单位向量为

v∥v∥=⟨−23,13,23⟩\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|}=\left\langle -\frac23,\frac13,\frac23\right\rangle∥v∥v​=⟨−32​,31​,32​⟩

点积与夹角

设 a=⟨1,2,−2⟩\mathbf a=\langle 1,2,-2\ranglea=⟨1,2,−2⟩，b=⟨2,0,1⟩\mathbf b=\langle 2,0,1\rangleb=⟨2,0,1⟩。判断两向量夹角是锐角、直角还是钝角。

a⋅b=1⋅2+2⋅0+(−2)⋅1=0\mathbf a\cdot\mathbf b=1\cdot2+2\cdot0+(-2)\cdot1=0a⋅b=1⋅2+2⋅0+(−2)⋅1=0

点积为零，所以两向量垂直，夹角是直角。

投影

设 a=⟨3,1,0⟩\mathbf a=\langle 3,1,0\ranglea=⟨3,1,0⟩，b=⟨1,1,1⟩\mathbf b=\langle 1,1,1\rangleb=⟨1,1,1⟩。求 a\mathbf aa 在 b\mathbf bb 上的向量投影。

a⋅b=4,∥b∥2=3\mathbf a\cdot\mathbf b=4,\quad \|\mathbf b\|^2=3a⋅b=4,∥b∥2=3

因此

proj⁡ba=43⟨1,1,1⟩=⟨43,43,43⟩\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{4}{3}\langle 1,1,1\rangle=\left\langle \frac43,\frac43,\frac43\right\rangleprojb​a=34​⟨1,1,1⟩=⟨34​,34​,34​⟩

叉积与面积

设 u=⟨1,0,2⟩\mathbf u=\langle 1,0,2\rangleu=⟨1,0,2⟩，v=⟨0,3,1⟩\mathbf v=\langle 0,3,1\ranglev=⟨0,3,1⟩。求由 u\mathbf uu 和 v\mathbf vv 张成的平行四边形面积。

u×v=⟨0⋅1−2⋅3, 2⋅0−1⋅1, 1⋅3−0⋅0⟩=⟨−6,−1,3⟩\mathbf u\times\mathbf v = \langle 0\cdot1-2\cdot3,\ 2\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot3-0\cdot0\rangle = \langle -6,-1,3\rangleu×v=⟨0⋅1−2⋅3, 2⋅0−1⋅1, 1⋅3−0⋅0⟩=⟨−6,−1,3⟩

面积为

∥u×v∥=(−6)2+(−1)2+32=46\|\mathbf u\times\mathbf v\|=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{46}∥u×v∥=(−6)2+(−1)2+32​=46​

直线方程

写出经过 P0(2,−1,3)P_0(2,-1,3)P0​(2,−1,3)，方向向量为 ⟨1,4,−2⟩\langle 1,4,-2\rangle⟨1,4,−2⟩ 的直线参数方程。

参数方程为

x=2+t,y=−1+4t,z=3−2tx=2+t,\quad y=-1+4t,\quad z=3-2tx=2+t,y=−1+4t,z=3−2t

也可以写成向量式

r(t)=⟨2,−1,3⟩+t⟨1,4,−2⟩\mathbf r(t)=\langle 2,-1,3\rangle+t\langle 1,4,-2\rangler(t)=⟨2,−1,3⟩+t⟨1,4,−2⟩

平面方程

求经过点 P0(1,2,−1)P_0(1,2,-1)P0​(1,2,−1)，法向量为 ⟨2,−3,4⟩\langle 2,-3,4\rangle⟨2,−3,4⟩ 的平面方程。

点法式为

2(x−1)−3(y−2)+4(z+1)=02(x-1)-3(y-2)+4(z+1)=02(x−1)−3(y−2)+4(z+1)=0

整理得

2x−3y+4z+8=02x-3y+4z+8=02x−3y+4z+8=0

或写成

2x−3y+4z=−82x-3y+4z=-82x−3y+4z=−8

三点确定平面

判断 A(0,0,0)A(0,0,0)A(0,0,0)，B(1,2,1)B(1,2,1)B(1,2,1)，C(2,4,2)C(2,4,2)C(2,4,2) 是否能确定唯一平面。

先写两个向量：

AB→=⟨1,2,1⟩,AC→=⟨2,4,2⟩\overrightarrow{AB}=\langle 1,2,1\rangle,\quad \overrightarrow{AC}=\langle 2,4,2\rangleAB=⟨1,2,1⟩,AC=⟨2,4,2⟩

因为

AC→=2AB→\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}AC=2AB

三点共线，不能确定唯一平面。经过同一直线的平面有无数个。

  • 三维坐标系先解决定位问题
    • 例题：距离与中点
  • 向量记录位移而不是固定位置
    • 例题：单位方向向量
  • 点积把方向接近程度变成数
    • 例题：夹角和投影
  • 叉积产生垂直方向和面积
    • 例题：用叉积求三角形面积
  • 空间直线是一点加一个方向
    • 两条空间直线的位置关系
    • 例题：判断两条直线是否相交
  • 平面由法向量控制倾斜方式
    • 由三个点写平面方程
    • 例题：三个点确定平面
  • 向量语言会贯穿后面的多变量微积分
    • 一个实用检查流程
  • 练习
    • 坐标与距离
    • 向量长度与单位向量
    • 点积与夹角
    • 投影
    • 叉积与面积
    • 直线方程
    • 平面方程
    • 三点确定平面

目录

  • 三维坐标系先解决定位问题
    • 例题：距离与中点
  • 向量记录位移而不是固定位置
    • 例题：单位方向向量
  • 点积把方向接近程度变成数
    • 例题：夹角和投影
  • 叉积产生垂直方向和面积
    • 例题：用叉积求三角形面积
  • 空间直线是一点加一个方向
    • 两条空间直线的位置关系
    • 例题：判断两条直线是否相交
  • 平面由法向量控制倾斜方式
    • 由三个点写平面方程
    • 例题：三个点确定平面
  • 向量语言会贯穿后面的多变量微积分
    • 一个实用检查流程
  • 练习
    • 坐标与距离
    • 向量长度与单位向量
    • 点积与夹角
    • 投影
    • 叉积与面积
    • 直线方程
    • 平面方程
    • 三点确定平面