Green 定理：平面区域的边界与内部 | 多变量微积分 I | 自在学Green 定理：平面区域的边界与内部
上一章里，保守场让我们看到一种很强的结论：某些线积分只看端点。Green 定理处理的是另一种情形：路径已经闭合，没有端点可以比较，但边界上累积出来的量仍然可以从区域内部读出来。
这章的核心句子是：沿平面区域边界的环流，等于区域内部所有微小旋转的总和。你可以把它看成二维版的“边界记录内部变化”。
边界为什么知道内部
设平面向量场为
F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩
沿有向曲线 C 的向量线积分写成
∮CPdx+Qdy
如果 C 是区域 D 的正向边界，Green 定理说
∮CPdx+Qdy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dA ∂x∂Q−∂y∂P 叫作平面旋度，也叫标量 curl。它度量的是向量场在一个很小的平面邻域里制造逆时针环流的强度。
这条公式乍看有点神奇：左边只沿边界走一圈，右边却把整个区域扫了一遍。它的直观来源是“细分抵消”。把 D 切成许多小矩形。每个小矩形的边界都有一圈线积分。相邻小矩形共用的边会被走两次，方向相反，所以它们的贡献抵消。所有内部边消掉后，只剩最外层边界。
Green 定理不是说“边界决定所有内部信息”。它只说，在满足条件时，边界上的某个线积分等于内部某个局部量的面积积分。边界读出来的是旋度的总量，不是区域里每一点的完整向量场。
公式与使用条件
∮CPdx+Qdy=∬D(Qx−Py)dA 这里的 Qx 表示 ∂Q/∂x，Py 表示 ∂P/∂y。公式能用时，通常需要检查四件事。
- C 是闭合的、有方向的、分段光滑曲线。
- C 是区域 D 的正向边界；没有洞时通常就是逆时针方向。
- P 和 Q 在包含 D 的开区域上有连续的一阶偏导数。
- 如果区域有洞或边界由多段组成，要把所有边界分量按正向一起计入。
在实际计算中，Green 定理经常把麻烦的边界积分改写成更好算的二重积分。反过来，它也能把某些二重积分改写成边界积分，面积公式就是最典型的例子。
方向是 Green 定理里最容易丢掉的一处符号。若边界方向与正向相反，线积分会变成相反数；右边的二重积分不自动替你改符号。
例题：三角形边界上的环流
设 C 是三角形边界，顶点为 (0,0)、(1,0)、(1,2)，方向为逆时针。计算
∮Cxydx+x2y3dy 先识别 P 和 Q。这里 P(x,y)=xy，Q(x,y)=x2y3，所以 Green 定理右边的被积函数是
Qx−Py=2xy3−x再写出三角形区域。斜边从 (0,0) 到 (1,2)，方程是 y=2x，因此可以取
把线积分改成二重积分：
∮Cxydx+x先对 y 积分：
∫02x最后对 x 积分：
∫01(8这个例题的重点不是积分多难，而是步骤很固定：先看方向与条件，再找 P,Q，再把 Qx−Py 放进区域积分。
正向边界和有洞区域
没有洞的区域里，正向边界通常就是逆时针走一圈。更稳的记法是：沿边界行走时，区域始终在你的左侧。
这个规则对有洞区域尤其重要。外边界要逆时针，内边界要顺时针。这样无论你走在哪个边界分量上，真正属于区域 D 的那一侧都在左边。
设 D 是一个圆环，外边界为 C1，内边界为 C2。若 C1 逆时针、C2 顺时针，那么
∮C1Pdx+Qdy+∮C2Pdx+Qdy=∬D(Qx−Py)dA 注意 D 只包含圆环本身，不包含中间挖掉的洞。向量场只需要在 D 上满足条件，不必在洞里有定义。
不要把“旋度在区域上为零”误读成“任意闭合线积分都为零”。如果向量场在闭合曲线围住的某个点没有定义，就不能直接把 Green 定理套在整个内部区域上。
F(x,y)=⟨x2+y2−y,x2+y2x⟩ 它在原点外的平面上满足 Qx−Py=0。但沿单位圆逆时针积分时，取参数
r(t)=(cost,sint),0≤t≤2π F(r(t))=⟨−sint,cost⟩,r′(t)=⟨−sint,cost⟩ ∮CF⋅dr=∫02π1dt=2π 矛盾并不存在。问题是原点在单位圆内部，而向量场在那里没有定义。Green 定理的条件被破坏了。
环流形式：把局部旋转加起来
∮CF⋅dr=∮CPdx+Qdy 如果你把一个很小的桨轮放进向量场里，Qx−Py 可以理解为这个位置附近让桨轮逆时针转动的趋势。Green 定理说，边界上看见的总环流，等于区域内这些局部旋转趋势的总和。
例题：常旋度场的矩形环流
F(x,y)=⟨−ay,bx⟩ 其中 a,b 是常数。令 C 为矩形 0≤x≤w、0≤y≤h 的正向边界。求
∮CF⋅dr 这里 P=−ay，Q=bx，因此平面旋度为
Qx−Py=b−(−a)=a+b矩形区域 D 的面积是 wh。因为旋度是常数，二重积分直接变成常数乘面积：
∬D(a由 Green 定理，
∮CF⋅dr=(a+b)wh如果 ，正向边界上的净环流为正；如果 ，净环流为负。
这个例题也解释了“环流密度”的意思：同样的局部旋转强度，作用在更大的区域上，总环流就更大。
通量形式：边界流出量与内部源汇
F=⟨P,Q⟩ 且 C 为正向边界，那么沿 C 行走时，外法向量满足
nds=⟨dy,−dx⟩ ∮CF⋅nds=∮CPdy−Qdx ∮CF⋅nds=∬D(Px+Qy)dA 右边的 Px+Qy 是二维散度。它度量区域内部的“源汇强度”：正值像源，表示向外流出；负值像汇，表示向内吸收。
环流形式看的是切向分量，内部量是 Qx−Py。通量形式看的是法向分量，内部量是 Px+Qy。两者都叫 Green 定理，但它们回答的问题不同。
例题：矩形边界的总流出量
F(x,y)=⟨x2,3y⟩ 令 C 为矩形 0≤x≤2、0≤y≤1 的正向边界。求向外通量
∮CF⋅nds 用通量形式时，先计算散度：
Px+Qy=2x+3把边界通量改写成区域积分：
∮CF⋅nds=∫先对 y 积分只是乘以高度 1：
∫02结果为 10。如果直接沿四条边分别算通量，也会得到同一个数，但通量形式通常更短。
面积也可以从边界读出来
Area(D)=∬D1dA Qx−Py=1 P=0,Q=x A=∮Cxdy P=−y,Q=0 A=−∮Cydx P=−2y,Q=2x A=21∮C(xdy−ydx) 面积公式很适合处理用参数曲线给出的边界。只要曲线正向绕出一个区域，计算 21∮C(xdy−ydx) 往往比直接描述区域内部更省事。
例题：椭圆面积
x=acost,y=bsint,0≤t≤2π 面积公式为
A=21∫02π(x(t)y′(t)−y(t)x′(t))dt计算导数：
x′(t)=−asint,y代入被积函数：
x(t)y′(t)−y(t)x因此
A=21∫0
常见误区
把边界方向看成装饰
边界方向不是画图习惯，而是公式的一部分。反向走同一条曲线，线积分改变符号。
忘记检查奇点
只在边界上看起来没问题还不够。Green 定理需要向量场在区域内部满足条件。若区域内有未定义点，必须挖洞、改区域，或直接算线积分。
把环流形式和通量形式混用
环流形式使用 Pdx+Qdy，对应 Qx−Py。通量形式使用 Pdy−Qdx 或 F⋅nds，对应 Px+Qy。两个公式只差一个小符号，却代表不同物理量。
曲线没有闭合就直接套用
Green 定理处理的是完整边界。如果题目给的是开曲线，可以人为补上一段曲线形成闭合边界，但最后要把补上的那段积分减掉。
有洞区域只算外边界
如果区域有洞，边界包括外边界和所有内边界。少算内边界，相当于把洞也当成区域的一部分。
练习
练习 1
设 C 是单位正方形 0≤x≤1、0≤y≤1 的正向边界。计算
∮Cydx+xdy 这里 P=y，Q=x，所以 Qx−Py=1−1=0。由 Green 定理，线积分等于 ∬D0dA=0。
练习 2
设 C 是半径为 3 的圆，方向为逆时针。计算
∮C−ydx+xdy 这里 P=−y，Q=x，所以 Qx−Py=1−(−1)=2。圆盘面积为 9π，所以积分为 2⋅9π=18π。
练习 3
顺时针方向与正向相反，所以线积分取相反数，答案是 −18π。
练习 4
设 F=⟨x,−y⟩，C 是单位圆的正向边界。求向外通量
∮CF⋅nds 用通量形式，Px+Qy=1+(−1)=0。因此向外通量为 ∬D0dA=0。
练习 5
x=3cost,y=2sint,0≤t≤2π 这是半长轴为 3、半短轴为 2 的椭圆。也可以直接用 Green 面积公式：
21∫02π(xy′−yx′)dt=21∫02π6dt=6π练习 6
F(x,y)=⟨x2+y2−y,x2+y2x⟩ 能否因为 Qx−Py=0 就断言它沿单位圆的逆时针线积分为 0？
不能。这个向量场在原点没有定义，而原点位于单位圆内部，所以不能直接对整个单位圆盘使用 Green 定理。事实上沿单位圆参数化计算可得积分为 2π。
练习 7
设 C 是矩形 0≤x≤4、0≤y≤2 的正向边界，F=⟨−3y,5x⟩。求 ∮CF⋅dr。
这里 P=−3y，Q=5x，所以 Qx−Py=5−(−3)=8。矩形面积为 8，因此环流为 8⋅8=64。
练习 8
一个区域有一个外边界和一个内洞。若外边界按逆时针走，内边界也按逆时针走，这是不是正向边界？
不是。正向边界要求沿每个边界分量行走时，区域都在左侧。外边界应逆时针，内边界应顺时针。内边界也逆时针会让圆洞外侧，也就是区域一侧，落在右边。
本章小结
Green 定理把闭合边界上的线积分与平面区域内部的二重积分联系起来。环流形式读取内部旋度总量，通量形式读取内部散度总量，面积公式则把 ∬D1dA 改写成沿边界走一圈的计算。
做题时先不要急着积分。先检查曲线是否闭合，方向是否正向，向量场是否在区域内足够光滑，区域有没有洞。条件看清后，再决定是用环流形式、通量形式，还是面积公式。
0≤x≤1,0≤y≤2x
2
y3
d
y
=
∫01∫02x(2xy3−
x)dydx
(
2
x
y3
−
x)dy=
[2xy4−xy]02x=
8x5−
2x2
x5
−
2x2)dx=
[34x6−32x3]01=
32
+
b)dA=
(a+
b)wh
a+b>0
02
∫01
(
2
x
+
3)dydx
(
2
x
+
3)dx=
[x2+3x]02=
10
′
(
t
)
=
bcost
′
(
t
)
=
abcos2t+
absin2t=
ab
2
π
ab
d
t
=
πab
