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上一节保守场、势函数与路径无关下一节曲面参数化与曲面积分
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数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场Green 定理：平面区域的边界与内部

Green 定理：平面区域的边界与内部

上一章里，保守场让我们看到一种很强的结论：某些线积分只看端点。Green 定理处理的是另一种情形：路径已经闭合，没有端点可以比较，但边界上累积出来的量仍然可以从区域内部读出来。

这章的核心句子是：沿平面区域边界的环流，等于区域内部所有微小旋转的总和。你可以把它看成二维版的“边界记录内部变化”。

Green 定理把边界环流与内部旋度累积联系起来。

边界为什么知道内部

设平面向量场为

F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangleF(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩

沿有向曲线 CCC 的向量线积分写成

∮CP dx+Q dy\oint_C P\,dx+Q\,dy∮C​Pdx+Qdy

如果 CCC 是区域 DDD 的正向边界，Green 定理说

∮CP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y) dA\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA∮C​Pdx+Qdy=∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dA

右边的

∂Q∂x−∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}∂x∂Q​−∂y∂P​

叫作平面旋度，也叫标量 curl。它度量的是向量场在一个很小的平面邻域里制造逆时针环流的强度。

这条公式乍看有点神奇：左边只沿边界走一圈，右边却把整个区域扫了一遍。它的直观来源是“细分抵消”。把 DDD 切成许多小矩形。每个小矩形的边界都有一圈线积分。相邻小矩形共用的边会被走两次，方向相反，所以它们的贡献抵消。所有内部边消掉后，只剩最外层边界。

把区域切成小矩形后，内部共享边方向相反并相互抵消。

Green 定理不是说“边界决定所有内部信息”。它只说，在满足条件时，边界上的某个线积分等于内部某个局部量的面积积分。边界读出来的是旋度的总量，不是区域里每一点的完整向量场。

公式与使用条件

Green 定理常用的环流形式是

∮CP dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D (Q_x-P_y)\,dA∮C​Pdx+Qdy=∬D​(Qx​−Py​)dA

这里的 QxQ_xQx​ 表示 ∂Q/∂x\partial Q/\partial x∂Q/∂x，PyP_yPy​ 表示 ∂P/∂y\partial P/\partial y∂P/∂y。公式能用时，通常需要检查四件事。

  1. CCC 是闭合的、有方向的、分段光滑曲线。
  2. CCC 是区域 DDD 的正向边界；没有洞时通常就是逆时针方向。
  3. PPP 和 QQQ 在包含 DDD 的开区域上有连续的一阶偏导数。
  4. 如果区域有洞或边界由多段组成，要把所有边界分量按正向一起计入。

在实际计算中，Green 定理经常把麻烦的边界积分改写成更好算的二重积分。反过来，它也能把某些二重积分改写成边界积分，面积公式就是最典型的例子。

方向是 Green 定理里最容易丢掉的一处符号。若边界方向与正向相反，线积分会变成相反数；右边的二重积分不自动替你改符号。

例题：三角形边界上的环流

设 CCC 是三角形边界，顶点为 (0,0)(0,0)(0,0)、(1,0)(1,0)(1,0)、(1,2)(1,2)(1,2)，方向为逆时针。计算

∮Cxy dx+x2y3 dy\oint_C xy\,dx+x^2y^3\,dy∮C​xydx+x2y3dy

先识别 PPP 和 QQQ。这里 P(x,y)=xyP(x,y)=xyP(x,y)=xy，Q(x,y)=x2y3Q(x,y)=x^2y^3Q(x,y)=x2y3，所以 Green 定理右边的被积函数是

Qx−Py=2xy3−xQ_x-P_y=2xy^3-xQx​−Py​=2xy3−x

再写出三角形区域。斜边从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (1,2)(1,2)(1,2)，方程是 y=2xy=2xy=2x，因此可以取

0≤x≤1,0≤y≤2x0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 2x0≤x≤1,0≤y≤2x

把线积分改成二重积分：

∮Cxy dx+x2y3 dy=∫01∫02x(2xy3−x) dy dx\oint_C xy\,dx+x^2y^3\,dy = \int_0^1\int_0^{2x}(2xy^3-x)\,dy\,dx∮C​xydx+x2y3dy=∫01​∫02x​(2xy3−x)dydx

先对 yyy 积分：

∫02x(2xy3−x) dy=[x2y4−xy]02x=8x5−2x2\int_0^{2x}(2xy^3-x)\,dy = \left[\frac{x}{2}y^4-xy\right]_0^{2x} = 8x^5-2x^2∫02x​(2xy3−x)dy=[2x​y4−xy]02x​=8x5−2x2

最后对 xxx 积分：

∫01(8x5−2x2) dx=[43x6−23x3]01=23\int_0^1(8x^5-2x^2)\,dx = \left[\frac{4}{3}x^6-\frac{2}{3}x^3\right]_0^1 = \frac{2}{3}∫01​(8x5−2x2)dx=[34​x6−32​x3]01​=32​

所以原线积分等于 2/32/32/3。

这个例题的重点不是积分多难，而是步骤很固定：先看方向与条件，再找 P,QP,QP,Q，再把 Qx−PyQ_x-P_yQx​−Py​ 放进区域积分。

正向边界和有洞区域

没有洞的区域里，正向边界通常就是逆时针走一圈。更稳的记法是：沿边界行走时，区域始终在你的左侧。

这个规则对有洞区域尤其重要。外边界要逆时针，内边界要顺时针。这样无论你走在哪个边界分量上，真正属于区域 DDD 的那一侧都在左边。

有洞区域的外边界逆时针，内边界顺时针，区域保持在行走方向左侧。

设 DDD 是一个圆环，外边界为 C1C_1C1​，内边界为 C2C_2C2​。若 C1C_1C1​ 逆时针、C2C_2C2​ 顺时针，那么

∮C1P dx+Q dy+∮C2P dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_{C_1}P\,dx+Q\,dy+\oint_{C_2}P\,dx+Q\,dy = \iint_D(Q_x-P_y)\,dA∮C1​​Pdx+Qdy+∮C2​​Pdx+Qdy=∬D​(Qx​−Py​)dA

注意 DDD 只包含圆环本身，不包含中间挖掉的洞。向量场只需要在 DDD 上满足条件，不必在洞里有定义。

不要把“旋度在区域上为零”误读成“任意闭合线积分都为零”。如果向量场在闭合曲线围住的某个点没有定义，就不能直接把 Green 定理套在整个内部区域上。

一个经典提醒是

F(x,y)=⟨−yx2+y2,xx2+y2⟩\mathbf F(x,y)=\left\langle \frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right\rangleF(x,y)=⟨x2+y2−y​,x2+y2x​⟩

它在原点外的平面上满足 Qx−Py=0Q_x-P_y=0Qx​−Py​=0。但沿单位圆逆时针积分时，取参数

r(t)=(cos⁡t,sin⁡t),0≤t≤2π\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pir(t)=(cost,sint),0≤t≤2π

可得

F(r(t))=⟨−sin⁡t,cos⁡t⟩,r′(t)=⟨−sin⁡t,cos⁡t⟩\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle -\sin t,\cos t\rangle,\qquad \mathbf r'(t)=\langle -\sin t,\cos t\rangleF(r(t))=⟨−sint,cost⟩,r′(t)=⟨−sint,cost⟩

所以

∮CF⋅dr=∫02π1 dt=2π\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_0^{2\pi}1\,dt = 2\pi∮C​F⋅dr=∫02π​1dt=2π

矛盾并不存在。问题是原点在单位圆内部，而向量场在那里没有定义。Green 定理的条件被破坏了。

环流形式：把局部旋转加起来

环流形式关注的是向量场沿曲线切向方向的累积：

∮CF⋅dr=∮CP dx+Q dy\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = \oint_C P\,dx+Q\,dy∮C​F⋅dr=∮C​Pdx+Qdy

如果你把一个很小的桨轮放进向量场里，Qx−PyQ_x-P_yQx​−Py​ 可以理解为这个位置附近让桨轮逆时针转动的趋势。Green 定理说，边界上看见的总环流，等于区域内这些局部旋转趋势的总和。

小桨轮展示平面旋度对应的局部环流密度。

例题：常旋度场的矩形环流

设

F(x,y)=⟨−ay,bx⟩\mathbf F(x,y)=\langle -ay,bx\rangleF(x,y)=⟨−ay,bx⟩

其中 a,ba,ba,b 是常数。令 CCC 为矩形 0≤x≤w0\le x\le w0≤x≤w、0≤y≤h0\le y\le h0≤y≤h 的正向边界。求

∮CF⋅dr\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∮C​F⋅dr

这里 P=−ayP=-ayP=−ay，Q=bxQ=bxQ=bx，因此平面旋度为

Qx−Py=b−(−a)=a+bQ_x-P_y=b-(-a)=a+bQx​−Py​=b−(−a)=a+b

矩形区域 DDD 的面积是 whwhwh。因为旋度是常数，二重积分直接变成常数乘面积：

∬D(a+b) dA=(a+b)wh\iint_D(a+b)\,dA=(a+b)wh∬D​(a+b)dA=(a+b)wh

由 Green 定理，

∮CF⋅dr=(a+b)wh\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=(a+b)wh∮C​F⋅dr=(a+b)wh

如果 a+b>0a+b>0a+b>0，正向边界上的净环流为正；如果 a+b<0a+b<0a+b<0，净环流为负。

这个例题也解释了“环流密度”的意思：同样的局部旋转强度，作用在更大的区域上，总环流就更大。

通量形式：边界流出量与内部源汇

Green 定理还有一个通量形式。若

F=⟨P,Q⟩\mathbf F=\langle P,Q\rangleF=⟨P,Q⟩

且 CCC 为正向边界，那么沿 CCC 行走时，外法向量满足

n ds=⟨dy,−dx⟩\mathbf n\,ds=\langle dy,-dx\ranglends=⟨dy,−dx⟩

所以边界通量可以写成

∮CF⋅n ds=∮CP dy−Q dx\oint_C \mathbf F\cdot \mathbf n\,ds = \oint_C P\,dy-Q\,dx∮C​F⋅nds=∮C​Pdy−Qdx

Green 定理给出

∮CF⋅n ds=∬D(Px+Qy) dA\oint_C \mathbf F\cdot \mathbf n\,ds = \iint_D(P_x+Q_y)\,dA∮C​F⋅nds=∬D​(Px​+Qy​)dA

右边的 Px+QyP_x+Q_yPx​+Qy​ 是二维散度。它度量区域内部的“源汇强度”：正值像源，表示向外流出；负值像汇，表示向内吸收。

通量形式把边界流出量与区域内部的散度累积联系起来。

环流形式看的是切向分量，内部量是 Qx−PyQ_x-P_yQx​−Py​。通量形式看的是法向分量，内部量是 Px+QyP_x+Q_yPx​+Qy​。两者都叫 Green 定理，但它们回答的问题不同。

例题：矩形边界的总流出量

设

F(x,y)=⟨x2,3y⟩\mathbf F(x,y)=\langle x^2,3y\rangleF(x,y)=⟨x2,3y⟩

令 CCC 为矩形 0≤x≤20\le x\le 20≤x≤2、0≤y≤10\le y\le 10≤y≤1 的正向边界。求向外通量

∮CF⋅n ds\oint_C \mathbf F\cdot \mathbf n\,ds∮C​F⋅nds

用通量形式时，先计算散度：

Px+Qy=2x+3P_x+Q_y=2x+3Px​+Qy​=2x+3

把边界通量改写成区域积分：

∮CF⋅n ds=∫02∫01(2x+3) dy dx\oint_C \mathbf F\cdot \mathbf n\,ds = \int_0^2\int_0^1(2x+3)\,dy\,dx∮C​F⋅nds=∫02​∫01​(2x+3)dydx

先对 yyy 积分只是乘以高度 111：

∫02(2x+3) dx=[x2+3x]02=10\int_0^2(2x+3)\,dx = \left[x^2+3x\right]_0^2 = 10∫02​(2x+3)dx=[x2+3x]02​=10

结果为 101010。如果直接沿四条边分别算通量，也会得到同一个数，但通量形式通常更短。

面积也可以从边界读出来

面积是 Green 定理最漂亮的应用之一。因为

Area(D)=∬D1 dA\text{Area}(D)=\iint_D1\,dAArea(D)=∬D​1dA

我们只要找一个向量场使得

Qx−Py=1Q_x-P_y=1Qx​−Py​=1

就能把面积写成边界积分。常用选择有三种：

P=0,Q=xP=0,\qquad Q=xP=0,Q=x

得到

A=∮Cx dyA=\oint_C x\,dyA=∮C​xdy

也可以取

P=−y,Q=0P=-y,\qquad Q=0P=−y,Q=0

得到

A=−∮Cy dxA=-\oint_C y\,dxA=−∮C​ydx

最对称的写法是

P=−y2,Q=x2P=-\frac{y}{2},\qquad Q=\frac{x}{2}P=−2y​,Q=2x​

得到

A=12∮C(x dy−y dx)A=\frac12\oint_C (x\,dy-y\,dx)A=21​∮C​(xdy−ydx)

用 Green 定理从边界积分得到平面区域面积。

面积公式很适合处理用参数曲线给出的边界。只要曲线正向绕出一个区域，计算 12∮C(x dy−y dx)\frac12\oint_C (x\,dy-y\,dx)21​∮C​(xdy−ydx) 往往比直接描述区域内部更省事。

例题：椭圆面积

椭圆边界取正向参数化

x=acos⁡t,y=bsin⁡t,0≤t≤2πx=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pix=acost,y=bsint,0≤t≤2π

用 Green 定理求椭圆面积。

面积公式为

A=12∫02π(x(t)y′(t)−y(t)x′(t)) dtA=\frac12\int_0^{2\pi}(x(t)y'(t)-y(t)x'(t))\,dtA=21​∫02π​(x(t)y′(t)−y(t)x′(t))dt

计算导数：

x′(t)=−asin⁡t,y′(t)=bcos⁡tx'(t)=-a\sin t,\qquad y'(t)=b\cos tx′(t)=−asint,y′(t)=bcost

代入被积函数：

x(t)y′(t)−y(t)x′(t)=abcos⁡2t+absin⁡2t=abx(t)y'(t)-y(t)x'(t) = ab\cos^2t+ab\sin^2t = abx(t)y′(t)−y(t)x′(t)=abcos2t+absin2t=ab

因此

A=12∫02πab dt=πabA=\frac12\int_0^{2\pi}ab\,dt=\pi abA=21​∫02π​abdt=πab

这正是椭圆面积公式。

常见误区

把边界方向看成装饰

边界方向不是画图习惯，而是公式的一部分。反向走同一条曲线，线积分改变符号。

忘记检查奇点

只在边界上看起来没问题还不够。Green 定理需要向量场在区域内部满足条件。若区域内有未定义点，必须挖洞、改区域，或直接算线积分。

把环流形式和通量形式混用

环流形式使用 P dx+Q dyP\,dx+Q\,dyPdx+Qdy，对应 Qx−PyQ_x-P_yQx​−Py​。通量形式使用 P dy−Q dxP\,dy-Q\,dxPdy−Qdx 或 F⋅n ds\mathbf F\cdot\mathbf n\,dsF⋅nds，对应 Px+QyP_x+Q_yPx​+Qy​。两个公式只差一个小符号，却代表不同物理量。

曲线没有闭合就直接套用

Green 定理处理的是完整边界。如果题目给的是开曲线，可以人为补上一段曲线形成闭合边界，但最后要把补上的那段积分减掉。

有洞区域只算外边界

如果区域有洞，边界包括外边界和所有内边界。少算内边界，相当于把洞也当成区域的一部分。

练习

练习 1

设 CCC 是单位正方形 0≤x≤10\le x\le 10≤x≤1、0≤y≤10\le y\le 10≤y≤1 的正向边界。计算

∮Cy dx+x dy\oint_C y\,dx+x\,dy∮C​ydx+xdy

这里 P=yP=yP=y，Q=xQ=xQ=x，所以 Qx−Py=1−1=0Q_x-P_y=1-1=0Qx​−Py​=1−1=0。由 Green 定理，线积分等于 ∬D0 dA=0\iint_D0\,dA=0∬D​0dA=0。

练习 2

设 CCC 是半径为 333 的圆，方向为逆时针。计算

∮C−y dx+x dy\oint_C -y\,dx+x\,dy∮C​−ydx+xdy

这里 P=−yP=-yP=−y，Q=xQ=xQ=x，所以 Qx−Py=1−(−1)=2Q_x-P_y=1-(-1)=2Qx​−Py​=1−(−1)=2。圆盘面积为 9π9\pi9π，所以积分为 2⋅9π=18π2\cdot 9\pi=18\pi2⋅9π=18π。

练习 3

若练习 2 中的圆改为顺时针方向，答案是多少？

顺时针方向与正向相反，所以线积分取相反数，答案是 −18π-18\pi−18π。

练习 4

设 F=⟨x,−y⟩\mathbf F=\langle x,-y\rangleF=⟨x,−y⟩，CCC 是单位圆的正向边界。求向外通量

∮CF⋅n ds\oint_C \mathbf F\cdot \mathbf n\,ds∮C​F⋅nds

用通量形式，Px+Qy=1+(−1)=0P_x+Q_y=1+(-1)=0Px​+Qy​=1+(−1)=0。因此向外通量为 ∬D0 dA=0\iint_D0\,dA=0∬D​0dA=0。

练习 5

用面积公式求参数曲线

x=3cos⁡t,y=2sin⁡t,0≤t≤2πx=3\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pix=3cost,y=2sint,0≤t≤2π

围成的面积。

这是半长轴为 333、半短轴为 222 的椭圆。也可以直接用 Green 面积公式：

12∫02π(xy′−yx′) dt=12∫02π6 dt=6π\frac12\int_0^{2\pi}(x y'-y x')\,dt = \frac12\int_0^{2\pi}6\,dt = 6\pi21​∫02π​(xy′−yx′)dt=21​∫02π​6dt=6π

练习 6

设

F(x,y)=⟨−yx2+y2,xx2+y2⟩\mathbf F(x,y)=\left\langle \frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right\rangleF(x,y)=⟨x2+y2−y​,x2+y2x​⟩

能否因为 Qx−Py=0Q_x-P_y=0Qx​−Py​=0 就断言它沿单位圆的逆时针线积分为 000？

不能。这个向量场在原点没有定义，而原点位于单位圆内部，所以不能直接对整个单位圆盘使用 Green 定理。事实上沿单位圆参数化计算可得积分为 2π2\pi2π。

练习 7

设 CCC 是矩形 0≤x≤40\le x\le 40≤x≤4、0≤y≤20\le y\le 20≤y≤2 的正向边界，F=⟨−3y,5x⟩\mathbf F=\langle -3y,5x\rangleF=⟨−3y,5x⟩。求 ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r∮C​F⋅dr。

这里 P=−3yP=-3yP=−3y，Q=5xQ=5xQ=5x，所以 Qx−Py=5−(−3)=8Q_x-P_y=5-(-3)=8Qx​−Py​=5−(−3)=8。矩形面积为 888，因此环流为 8⋅8=648\cdot 8=648⋅8=64。

练习 8

一个区域有一个外边界和一个内洞。若外边界按逆时针走，内边界也按逆时针走，这是不是正向边界？

不是。正向边界要求沿每个边界分量行走时，区域都在左侧。外边界应逆时针，内边界应顺时针。内边界也逆时针会让圆洞外侧，也就是区域一侧，落在右边。

本章小结

Green 定理把闭合边界上的线积分与平面区域内部的二重积分联系起来。环流形式读取内部旋度总量，通量形式读取内部散度总量，面积公式则把 ∬D1 dA\iint_D1\,dA∬D​1dA 改写成沿边界走一圈的计算。

做题时先不要急着积分。先检查曲线是否闭合，方向是否正向，向量场是否在区域内足够光滑，区域有没有洞。条件看清后，再决定是用环流形式、通量形式，还是面积公式。

  • 边界为什么知道内部
  • 公式与使用条件
    • 例题：三角形边界上的环流
  • 正向边界和有洞区域
  • 环流形式：把局部旋转加起来
    • 例题：常旋度场的矩形环流
  • 通量形式：边界流出量与内部源汇
    • 例题：矩形边界的总流出量
  • 面积也可以从边界读出来
    • 例题：椭圆面积
  • 常见误区
    • 把边界方向看成装饰
    • 忘记检查奇点
    • 把环流形式和通量形式混用
    • 曲线没有闭合就直接套用
    • 有洞区域只算外边界
  • 练习
    • 练习 1
    • 练习 2
    • 练习 3
    • 练习 4
    • 练习 5
    • 练习 6
    • 练习 7
    • 练习 8
  • 本章小结

目录

  • 边界为什么知道内部
  • 公式与使用条件
    • 例题：三角形边界上的环流
  • 正向边界和有洞区域
  • 环流形式：把局部旋转加起来
    • 例题：常旋度场的矩形环流
  • 通量形式：边界流出量与内部源汇
    • 例题：矩形边界的总流出量
  • 面积也可以从边界读出来
    • 例题：椭圆面积
  • 常见误区
    • 把边界方向看成装饰
    • 忘记检查奇点
    • 把环流形式和通量形式混用
    • 曲线没有闭合就直接套用
    • 有洞区域只算外边界
  • 练习
    • 练习 1
    • 练习 2
    • 练习 3
    • 练习 4
    • 练习 5
    • 练习 6
    • 练习 7
    • 练习 8
  • 本章小结