曲面参数化与曲面积分

曲面积分回答的问题很朴素：如果对象不再铺在平面区域上，而是贴在一个弯曲曲面上，我们怎样累加它？

前面做二重积分时，面积小块是平面里的 $dA$ 。现在小块在空间中弯起来，面积会被拉伸，方向也可能重要。本章先把曲面写成两个参数的函数，再把曲面上的小片翻译回参数平面里的小矩形。这样，曲面积分最后仍会变成我们熟悉的二重积分。

曲面是二维参数域在空间中的像

一条参数曲线用一个参数描出，一张参数曲面要用两个参数描出。设 $D$ 是 $uv$ 平面中的区域，参数化曲面写成

\mathbf r(u,v)=\langle x(u,v),y(u,v),z(u,v)\rangle,\quad (u,v)\in D

每一对参数 $(u,v)$ 给出空间中的一个点。所有这些点组成曲面 $S$ 。可以把 $D$ 想成一张橡皮膜上的坐标网格， $\mathbf r$ 把它拉伸、弯折、贴到三维空间中。

参数域 D 中的小矩形经过参数化 r 映到三维曲面 S 上，形成对应的小曲面片。

参数域中的微小矩形在参数化映射下贴到曲面上，形成曲面积分中的小曲面片。

在计算中，参数化至少要交代三件事：曲面上的点由什么公式给出，参数在什么范围内变化，曲面是否被重复覆盖。大多数基础题会让曲面只被覆盖一次。如果某个参数化把同一片曲面扫了两遍，曲面积分也会被算两遍。

参数化不是唯一的。平面片、球面、圆柱面都可以有不同的参数选择。只要覆盖的是同一片曲面，且没有重复覆盖，标量曲面积分的值不会因为换了参数而改变；通量积分还要同时保持法向量方向一致。

下面的交互把参数域中的点和小矩形同步映到曲面上。观察时重点看两件事：参数网格怎样变形，以及同样大小的参数小矩形在不同位置怎样变成不同面积的小曲面片。

面积微元来自切向量的叉积

参数域中的一个小矩形边长约为 $\Delta u$ 和 $\Delta v$ 。经过 $\mathbf r$ 映到曲面上以后，它不再是平面里的普通矩形，而是近似为由两条切向量张成的小平行四边形：

\mathbf r_u(u,v)\Delta u,\quad \mathbf r_v(u,v)\Delta v

这个小平行四边形的面积约为

\|\mathbf r_u(u,v)\times \mathbf r_v(u,v)\|\,\Delta u\,\Delta v

令小矩形越来越小，就得到曲面面积微元

dS=\|\mathbf r_u\times \mathbf r_v\|\,du\,dv

三维曲面上一点 P 的两条切向量 r_u Δu 和 r_v Δv 张成小平行四边形，并用法向量 r_u × r_v 说明面积微元 dS = |r_u × r_v| du dv 的几何来源。

曲面参数化下的面积微元来自切向量张成的小平行四边形面积。

这里的 $\|\mathbf r_u\times \mathbf r_v\|$ 是面积放大因子。它告诉我们参数平面中的 $du\,dv$ 被曲面拉成了多大的真实面积。若曲面局部很倾斜、网格被拉开，这个因子就大；若参数方向几乎重合，叉积会接近零，此时参数化在那一带退化，不适合直接做普通曲面积分。

不要把 $du\,dv$ 直接当成 $dS$ 。 $du\,dv$ 是参数域里的面积， $dS$ 是空间曲面上的真实面积。两者之间差的正是 $\|\mathbf r_u\times \mathbf r_v\|$ 。

这个交互把面积放大因子单独拿出来看。换曲面或移动参数点时，留意 $du\,dv$ 不变时， $dS$ 为什么会变。

例题：求抛物面片的面积

求抛物面 $z=x^2+y^2$ 在 $x^2+y^2\le 1$ 上方对应曲面片的面积。

这片曲面的投影是单位圆盘，用极坐标参数化最自然。令

\mathbf r(s,\theta)=\langle s\cos\theta,s\sin\theta,s^2\rangle,\quad 0\le s\le 1,\quad 0\le\theta\le 2\pi

这里用 $s$ 表示半径参数，避免和向量函数 $\mathbf r$ 混在一起。

计算两条切向量：

\mathbf r_s=\langle \cos\theta,\sin\theta,2s\rangle,\quad \mathbf r_\theta=\langle -s\sin\theta,s\cos\theta,0\rangle

它们分别表示半径方向和角度方向在曲面上的变化。

计算叉积的长度：

\|\mathbf r_s\times \mathbf r_\theta\|=s\sqrt{1+4s^2}

因此曲面面积微元是 $dS=s\sqrt{1+4s^2}\,ds\,d\theta$ 。

把面积写成参数域上的二重积分：

A=\int_0^{2\pi}\int_0^1 s\sqrt{1+4s^2}\,ds\,d\theta

内层令 $w=1+4s^2$ ，得到

A=\frac{\pi}{6}\left(5^{3/2}-1\right)

常见曲面的参数化模板

参数化的第一步通常不是算导数，而是选参数。好的参数能让边界简单，能让叉积简单，也能让方向容易判断。

并列展示平面片、圆柱面和球面的参数化示意图，包含各自的参数方程。

常见曲面的参数化模板：平面片、圆柱面与球面。

图像曲面 $z=g(x,y)$ 可以直接用 $x,y$ 做参数：

\mathbf r(x,y)=\langle x,y,g(x,y)\rangle,\quad (x,y)\in R

这时

\mathbf r_x\times \mathbf r_y=\langle -g_x,-g_y,1\rangle

所以

dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy

平面片常写成一个点加两个方向向量：

\mathbf r(u,v)=\mathbf p+u\mathbf a+v\mathbf b

如果 $u,v$ 的范围是矩形或三角形，计算会很直接。圆柱面侧面常用角度和高度：

\mathbf r(\theta,z)=\langle R\cos\theta,R\sin\theta,z\rangle

球面半径为 $\rho$ 时，常用球坐标角：

\mathbf r(\phi,\theta)=\langle \rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi\rangle

其中 $\phi$ 是从正 $z$ 轴量下来的角， $\theta$ 是绕 $z$ 轴转的角。上半球通常取 $0\le\phi\le\pi/2$ ，整球取 $0\le\phi\le\pi$ 。

选参数时先看边界。若边界是圆或圆柱，角度参数通常能省掉很多代数；若曲面本来就是图像 $z=g(x,y)$ ，直接用投影区域常常最稳。

例题：给平面片写参数化

平面 $x+2y+z=4$ 在第一卦限内围成一个三角形。写出适合曲面积分的参数化和参数域。

先把平面写成图像形式：

z=4-x-2y

因为题目限定第一卦限，所以 $x\ge 0$ 、 $y\ge 0$ 、 $z\ge 0$ 。

用 $x,y$ 作为参数：

\mathbf r(x,y)=\langle x,y,4-x-2y\rangle

这会把 $xy$ 平面中的投影三角形贴到空间平面片上。

由 $z\ge 0$ 得到 $x+2y\le 4$ 。因此参数域是

D=\{(x,y):x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+2y\le 4\}

若要写成累次积分，可以取 $0\le x\le 4$ ， $0\le y\le (4-x)/2$ 。

标量曲面积分是在曲面上累加密度

若 $f(x,y,z)$ 是定义在曲面 $S$ 上的标量函数，标量曲面积分写成

\iint_S f\,dS

它的意思是：把曲面切成很多小片，在每个小片上取 $f$ 的值，再乘以这片的面积，最后求和。若 $f$ 是薄膜面密度，积分就是薄膜总质量；若 $f=1$ ，积分就是曲面面积。

用参数化 $\mathbf r(u,v)$ 计算时：

\iint_S f\,dS =\iint_D f(\mathbf r(u,v))\|\mathbf r_u\times \mathbf r_v\|\,du\,dv

曲面薄膜上用颜色深浅表示密度 f，标出面积微元 dS，并用积分公式表示薄膜总质量。

标量曲面积分可理解为在曲面薄膜上累加密度得到总质量。

标量曲面积分不需要曲面方向。换一个覆盖同一曲面的参数化，只要没有重复覆盖，最后的值应该一样。因为公式里用的是叉积长度，方向信息已经被取绝对值。

例题：上半球薄膜的质量

半径为 $2$ 的上半球 $x^2+y^2+z^2=4,\ z\ge 0$ 上有面密度 $f(x,y,z)=z$ 。求薄膜质量。

用球面参数化：

\mathbf r(\phi,\theta)=\langle 2\sin\phi\cos\theta,2\sin\phi\sin\theta,2\cos\phi\rangle

上半球对应 $0\le\phi\le\pi/2$ ， $0\le\theta\le 2\pi$ 。

半径为 $2$ 的球面面积微元是

dS=4\sin\phi\,d\phi\,d\theta

密度在参数中变成 $f=z=2\cos\phi$ 。

写出并计算积分：

M=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}2\cos\phi\cdot 4\sin\phi\,d\phi\,d\theta

因此

M=8\pi

通量曲面积分累计穿过曲面的分量

若 $\mathbf F(x,y,z)$ 是向量场，通量曲面积分关心的是 $\mathbf F$ 有多少“穿过”曲面。它不累计沿曲面滑动的分量，只累计法向分量。

给曲面选定单位法向量 $\mathbf n$ 后，通量写成

\iint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS

如果 $\mathbf F$ 与 $\mathbf n$ 大致同向，贡献为正；如果反向，贡献为负；如果相切，点积为零。

通量曲面积分示意图，向量场 F 穿过带有选定法向量 n 的定向曲面，同向贡献为正，反向贡献为负，并标出公式 ∫∫_S F·n dS。

向量场穿过定向曲面的有符号通量累加示意。

参数化计算时，常把 $\mathbf n\,dS$ 合在一起处理：

\mathbf n\,dS=(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv

于是

\iint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iint_D \mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv

这个公式默认 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ 指向题目要求的正方向。若方向相反，就把叉积换成 $\mathbf r_v\times\mathbf r_u$ ，或者在最后乘以 $-1$ 。

通量积分最常见的错误是忘记方向。标量曲面积分用 $\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|$ ，通量积分用有方向的 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ 。把长度和向量混用，通常会把符号或物理含义算错。

这个交互专门展示通量符号。翻转法向量时，同一个向量场的通量会变号；让向量场逐渐转到切向时，局部通量密度会靠近零。

例题：圆柱侧面的外向通量

设 $S$ 是圆柱侧面 $x^2+y^2=a^2,\ 0\le z\le h$ ，取外向方向。求向量场 $\mathbf F=\langle x,y,0\rangle$ 穿过 $S$ 的通量。

用角度和高度参数化圆柱侧面：

\mathbf r(\theta,z)=\langle a\cos\theta,a\sin\theta,z\rangle,\quad 0\le\theta\le 2\pi,\quad 0\le z\le h

计算切向量和叉积：

\mathbf r_\theta=\langle -a\sin\theta,a\cos\theta,0\rangle,\quad \mathbf r_z=\langle 0,0,1\rangle

\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z=\langle a\cos\theta,a\sin\theta,0\rangle

这个向量指向圆柱外侧，方向符合题意。

把向量场代入曲面：

\mathbf F(\mathbf r(\theta,z))=\langle a\cos\theta,a\sin\theta,0\rangle

点积为

\mathbf F(\mathbf r)\cdot(\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z)=a^2

通量为

\int_0^h\int_0^{2\pi}a^2\,d\theta\,dz=2\pi a^2h

结果为正，符合向量场从 $z$ 轴向外流出的直观。

面向计算的完整流程

曲面积分题目看起来差异很大，但计算流程相当稳定。每次都可以按下面顺序检查。

先读清楚曲面是哪一片。重点看边界、是否只要侧面、是否包含顶部或底部、是否在某个卦限内。

选择参数化并写出参数域。参数域必须和曲面片一一对应，除非题目有意让你计算重复覆盖的积分。

判断积分类型。标量曲面积分使用 $\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|$ ；通量积分使用有方向的 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ 。

把函数或向量场全部代入参数化。积分式中不应残留未处理的 $x,y,z$ ，除非它们本身就是参数。

最后检查范围、单位和符号。面积和质量通常非负；通量可以为正、负或零，符号要和法向量方向对应。

如果题目只问“面积”，可以把它看成 $f=1$ 的标量曲面积分。如果题目出现“穿过”“流出”“向外”“通量”，通常需要先确定方向，再做向量场的曲面积分。

容易混淆的地方

左右对照的曲面积分复习图，比较把 du dv 误当作 dS、随意翻转法向量、漏写参数范围等错误直觉，以及使用 dS=|r_u×r_v|du dv、先定方向、写清参数域的正确做法。

曲面积分中容易混淆的错误直觉与正确做法对照。

第一， $dS$ 不是某个固定形式。不同参数化下， $dS$ 的表达式会变，但积分值不应变。计算时要跟着当前参数化重新算 $\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|$ 。

第二，标量曲面积分没有方向，通量积分必须有方向。题目说“上侧”“外侧”“向上”“向外”时，都是在告诉你该用哪一个法向量。

第三，图像曲面 $z=g(x,y)$ 的向上法向面积向量是

\langle -g_x,-g_y,1\rangle\,dx\,dy

向下方向则取相反数。这个公式很方便，但它只适合已经写成 $z=g(x,y)$ 且用 $x,y$ 做参数的情况。

第四，球坐标参数化在极点处会有退化，因为所有经线在那里汇到一个点。基础曲面积分中这通常不影响积分值，但它提醒我们：参数化公式可以有少数特殊点，只要整体积分仍能用极限方式解释。

练习

练习一

设平面片由

\mathbf r(u,v)=\langle u,v,2u-v\rangle,\quad 0\le u\le 1,\quad 0\le v\le 2

给出。求这片平面的面积。

先算

\mathbf r_u=\langle 1,0,2\rangle,\quad \mathbf r_v=\langle 0,1,-1\rangle

所以

\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|=\|\langle -2,1,1\rangle\|=\sqrt{6}

参数域面积是 $2$ ，所以曲面面积为

A=2\sqrt{6}

练习二

圆柱侧面 $x^2+y^2=9,\ 0\le z\le 4$ 上的面密度为 $f(x,y,z)=z$ 。求薄膜质量。

取

\mathbf r(\theta,z)=\langle 3\cos\theta,3\sin\theta,z\rangle,\quad 0\le\theta\le 2\pi,\quad 0\le z\le 4

圆柱侧面的面积微元是 $dS=3\,d\theta\,dz$ 。因此

M=\int_0^{2\pi}\int_0^4 z\cdot 3\,dz\,d\theta=48\pi

练习三

设 $S$ 是抛物面 $z=4-x^2-y^2$ 在 $z\ge 0$ 的部分，取向上方向。求 $\mathbf F=\langle 0,0,1\rangle$ 穿过 $S$ 的通量。

把曲面写成图像 $z=g(x,y)=4-x^2-y^2$ 。向上面积向量为

\langle -g_x,-g_y,1\rangle\,dx\,dy

向量场 $\mathbf F=\langle 0,0,1\rangle$ 与它点积为 $1$ 。投影区域是半径为 $2$ 的圆盘，所以通量为

\iint_{x^2+y^2\le 4}1\,dx\,dy=4\pi

练习四

求向量场 $\mathbf F=\langle x,y,z\rangle$ 穿过半径为 $a$ 、中心在原点的球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外向通量。

球面外向单位法向量为

\mathbf n=\frac{1}{a}\langle x,y,z\rangle

所以在球面上

\mathbf F\cdot\mathbf n=\langle x,y,z\rangle\cdot\frac{1}{a}\langle x,y,z\rangle=a

球面面积为 $4\pi a^2$ ，因此外向通量为

4\pi a^3