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上一节线积分：沿路径累加标量和向量下一节Green 定理：平面区域的边界与内部
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数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场保守场、势函数与路径无关

保守场、势函数与路径无关

两条不同路径在同一势函数中连接起点和终点

图：在保守场里，从同一起点到同一终点的功只由势函数的变化决定。

上一章中，向量线积分写成

∫CF⋅dr\int_C \mathbf F \cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr

它表示沿路径 CCC 累加向量场在切向方向上的分量。如果 F\mathbf FF 是力场，这个积分就是沿路径做的功。

这一章回答一个更细的问题：什么时候这件事不用真的沿路径算，只看起点和终点就够了？

这个问题很像一维微积分中的基本定理。若 F(x)=f′(x)F(x)=f'(x)F(x)=f′(x)，则

∫abF(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b F(x)\,dx=f(b)-f(a)∫ab​F(x)dx=f(b)−f(a)

多变量中也有同样的结构。若向量场是某个标量函数的梯度，线积分就会被端点值“接管”。这类向量场叫保守场，那个标量函数叫势函数。

只看端点是什么意思

设平面向量场为

F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangleF(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩

沿参数曲线 r(t)=⟨x(t),y(t)⟩\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t)\rangler(t)=⟨x(t),y(t)⟩，a≤t≤ba\le t\le ba≤t≤b 的向量线积分是

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)\,dt∫C​F⋅dr=∫ab​F(r(t))⋅r′(t)dt

也可以写成

∫CP dx+Q dy\int_C P\,dx+Q\,dy∫C​Pdx+Qdy

一般来说，这个积分会受路径形状影响。即使起点和终点一样，绕一条弯路与走直线可能得到不同结果。

本章说的“路径无关”不是说路径没有方向。线积分仍然有方向：从 AAA 到 BBB 的积分若等于某个数，从 BBB 到 AAA 的积分就是它的相反数。路径无关只是在方向和端点固定时，不再关心中间怎么走。

保守场和非保守场中路径是否影响积分的对比

图：保守场中积分由端点决定；非保守场中，不同路径可能累加出不同结果。

下面这个交互用两个熟悉的场做对比。一个是 ⟨2x,2y⟩\langle 2x,2y\rangle⟨2x,2y⟩，另一个是 ⟨−y,x⟩\langle -y,x\rangle⟨−y,x⟩。前者来自势函数 x2+y2x^2+y^2x2+y2，后者带有旋转趋势。

保守场与势函数

若在区域 DDD 上存在一个可微标量函数 fff，使得

∇f=F\nabla f=\mathbf F∇f=F

也就是

fx=P,fy=Qf_x=P,\qquad f_y=Qfx​=P,fy​=Q

那么 F\mathbf FF 就叫 DDD 上的保守向量场，fff 叫 F\mathbf FF 的势函数。

在平面上，势函数像一张高度图。向量场 ∇f\nabla f∇f 在每一点指向 fff 增长最快的方向，长度表示增长快慢。等势线上 fff 的值不变，所以梯度方向与等势线垂直。

势函数曲面、等势线和梯度方向的关系

图：势函数给出高度，梯度场给出每一点最陡上升方向。

如果 F=∇f\mathbf F=\nabla fF=∇f，沿路径 r(t)\mathbf r(t)r(t) 的线积分有链式法则：

F(r(t))⋅r′(t)=∇f(r(t))⋅r′(t)=ddtf(r(t))\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t) =\nabla f(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t) =\frac{d}{dt}f(\mathbf r(t))F(r(t))⋅r′(t)=∇f(r(t))⋅r′(t)=dtd​f(r(t))

于是

∫CF⋅dr=∫abddtf(r(t)) dt=f(r(b))−f(r(a))\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_a^b \frac{d}{dt}f(\mathbf r(t))\,dt =f(\mathbf r(b))-f(\mathbf r(a))∫C​F⋅dr=∫ab​dtd​f(r(t))dt=f(r(b))−f(r(a))

这就是向量场线积分的基本定理。

一旦找到了势函数，线积分就变成端点代入。计算不再需要参数化路径，也不需要沿曲线逐段积分。

物理课里常把势能 UUU 与力场写成 F=−∇U\mathbf F=-\nabla UF=−∇U。这里的数学约定是 F=∇f\mathbf F=\nabla fF=∇f。两种写法只差一个负号：若 f=−Uf=-Uf=−U，它们说的是同一件事。

路径无关、闭合积分和势函数

在一个合适的连通区域中，下面三句话表达的是同一类结构：

  1. F\mathbf FF 是保守场，也就是存在势函数 fff，使 F=∇f\mathbf F=\nabla fF=∇f。
  2. ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr 与路径无关，只取决于起点和终点。
  3. 对区域内任意闭合路径 CCC，都有
∮CF⋅dr=0\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=0∮C​F⋅dr=0

从势函数推出路径无关最直接：积分等于 f(B)−f(A)f(B)-f(A)f(B)−f(A)。从路径无关推出闭合积分为零也很自然：一条闭合路径的起点和终点相同，所以端点差为 000。

反过来，若任意闭合路径积分都为 000，就可以固定一个基准点 AAA，定义

f(B)=∫ABF⋅drf(B)=\int_A^B \mathbf F\cdot d\mathbf rf(B)=∫AB​F⋅dr

由于路径无关，这个定义不会因选路不同而改变。这样构造出的 fff 就是势函数。

闭合路径积分为零和非零的对比

图：闭合路径积分为零表示绕一圈没有净累加；旋转场可能产生非零环流。

“闭合积分为零”必须针对区域内所有允许的闭合路径。只检查一个圆、一条三角形边界或几条特殊路径，并不能证明向量场保守。

怎样构造势函数

构造势函数的核心是把

fx=P,fy=Qf_x=P,\qquad f_y=Qfx​=P,fy​=Q

当作两个偏导条件来解。

对平面场 F=⟨P,Q⟩\mathbf F=\langle P,Q\rangleF=⟨P,Q⟩，常用步骤是：

先对 PPP 关于 xxx 积分。因为这是偏积分，yyy 在这一步被看作常数，积分后要加上只依赖 yyy 的未知函数 h(y)h(y)h(y)。

再把得到的候选函数对 yyy 求偏导，并让它等于 QQQ。这一步会给出 h′(y)h'(y)h′(y)。

若 h′(y)h'(y)h′(y) 只依赖 yyy，就能继续积分得到 h(y)h(y)h(y)，从而得到势函数。若等式要求 h′(y)h'(y)h′(y) 还依赖 xxx，说明不存在这样的势函数。

下面的交互把这三步拆开。每次只显示一步，适合练习“先对谁积分、常数函数该怎么补”。

例题：由向量场找势函数

判断

F(x,y)=⟨2xy+3, x2+4y⟩\mathbf F(x,y)=\langle 2xy+3,\ x^2+4y\rangleF(x,y)=⟨2xy+3, x2+4y⟩

是否保守。若保守，求从 A=(0,1)A=(0,1)A=(0,1) 到 B=(2,3)B=(2,3)B=(2,3) 的线积分。

设势函数为 fff。由 fx=2xy+3f_x=2xy+3fx​=2xy+3，先对 xxx 积分：

f(x,y)=x2y+3x+h(y)f(x,y)=x^2y+3x+h(y)f(x,y)=x2y+3x+h(y)

对候选函数求 yyy 偏导：

fy=x2+h′(y)f_y=x^2+h'(y)fy​=x2+h′(y)

它应等于 Q=x2+4yQ=x^2+4yQ=x2+4y，所以 h′(y)=4yh'(y)=4yh′(y)=4y。

对 h′(y)h'(y)h′(y) 积分得到 h(y)=2y2+Ch(y)=2y^2+Ch(y)=2y2+C。因此一个势函数是

f(x,y)=x2y+3x+2y2f(x,y)=x^2y+3x+2y^2f(x,y)=x2y+3x+2y2

用端点代入计算线积分：

∫CF⋅dr=f(2,3)−f(0,1)\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=f(2,3)-f(0,1)∫C​F⋅dr=f(2,3)−f(0,1)f(2,3)=4⋅3+6+18=36,f(0,1)=2f(2,3)=4\cdot 3+6+18=36,\qquad f(0,1)=2f(2,3)=4⋅3+6+18=36,f(0,1)=2

所以积分为 343434。路径 CCC 只要在同一区域内从 AAA 到 BBB，答案都一样。

势函数不唯一。如果 fff 是势函数，那么 f+Cf+Cf+C 也是势函数，因为常数的梯度为零。线积分只用端点差，常数会自动抵消。

平面上的判别条件

很多时候不必先完整找出势函数。若

F=⟨P,Q⟩\mathbf F=\langle P,Q\rangleF=⟨P,Q⟩

且 P,QP,QP,Q 的一阶偏导连续，那么保守场一定满足

∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}∂y∂P​=∂x∂Q​

原因是若 P=fxP=f_xP=fx​、Q=fyQ=f_yQ=fy​，则

Py=fxy,Qx=fyxP_y=f_{xy},\qquad Q_x=f_{yx}Py​=fxy​,Qx​=fyx​

在偏导连续时，混合偏导相等。

平面判别条件和区域形状的关系

图：偏导相等是重要线索，但还要看区域是否有洞。

在没有洞的区域中，这个条件也可以反过来使用。更准确地说：若 DDD 是开、连通、单连通的区域，P,QP,QP,Q 有连续一阶偏导，并且在 DDD 上处处满足

Py=QxP_y=Q_xPy​=Qx​

那么 F\mathbf FF 在 DDD 上是保守场。

常见错误是只算出 Py=QxP_y=Q_xPy​=Qx​，就马上断言保守。这个结论需要区域没有洞。若区域挖掉了一点或一块，绕洞的闭合路径可能保留非零积分。

这个检查器把“偏导相等”和“区域形状”分开判断。先看局部条件，再看能不能得到全局保守性。

反例：局部无旋不等于全局保守

考虑去掉原点的平面

D=R2∖{(0,0)}D=\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}D=R2∖{(0,0)}

以及向量场

F(x,y)=⟨−yx2+y2,xx2+y2⟩\mathbf F(x,y)= \left\langle \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right\rangleF(x,y)=⟨x2+y2−y​,x2+y2x​⟩

在 DDD 上可以计算出

Py=QxP_y=Q_xPy​=Qx​

但它不是 DDD 上的保守场。

去掉原点的平面中绕洞一圈的旋转场反例

图：局部条件看起来正常，但绕着被挖掉的原点走一圈会累加出非零结果。

取单位圆

r(t)=⟨cos⁡t,sin⁡t⟩,0≤t≤2π\mathbf r(t)=\langle \cos t,\sin t\rangle,\qquad 0\le t\le 2\pir(t)=⟨cost,sint⟩,0≤t≤2π

则

F(r(t))=⟨−sin⁡t,cos⁡t⟩\mathbf F(\mathbf r(t))= \langle -\sin t,\cos t\rangleF(r(t))=⟨−sint,cost⟩

并且

r′(t)=⟨−sin⁡t,cos⁡t⟩\mathbf r'(t)=\langle -\sin t,\cos t\rangler′(t)=⟨−sint,cost⟩

所以

∮CF⋅dr=∫02π1 dt=2π\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_0^{2\pi}1\,dt =2\pi∮C​F⋅dr=∫02π​1dt=2π

闭合路径积分不为零，因此这个场不是保守场。

这个反例的关键不在公式复杂，而在区域有洞。单位圆围住了原点，但原点不在区域里。路径不能连续缩成一点，绕洞的累计量就可能留下来。

两条路径的直接比较

为了看清“非保守”到底怎么表现，考虑旋转场

F(x,y)=⟨−y,x⟩\mathbf F(x,y)=\langle -y,x\rangleF(x,y)=⟨−y,x⟩

从 A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0) 到 B=(1,1)B=(1,1)B=(1,1)。

沿直线 C1:r(t)=⟨t,t⟩C_1:\mathbf r(t)=\langle t,t\rangleC1​:r(t)=⟨t,t⟩，0≤t≤10\le t\le 10≤t≤1，有

F(r(t))=⟨−t,t⟩,r′(t)=⟨1,1⟩\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle -t,t\rangle,\qquad \mathbf r'(t)=\langle 1,1\rangleF(r(t))=⟨−t,t⟩,r′(t)=⟨1,1⟩

所以

∫C1F⋅dr=∫01(−t+t) dt=0\int_{C_1}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_0^1(-t+t)\,dt =0∫C1​​F⋅dr=∫01​(−t+t)dt=0

沿折线路径 C2C_2C2​：先从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (1,0)(1,0)(1,0)，再从 (1,0)(1,0)(1,0) 到 (1,1)(1,1)(1,1)。

第一段中 y=0y=0y=0，dr=⟨dx,0⟩d\mathbf r=\langle dx,0\rangledr=⟨dx,0⟩，因此积分为 000。第二段中 x=1x=1x=1，dr=⟨0,dy⟩d\mathbf r=\langle 0,dy\rangledr=⟨0,dy⟩，于是

F=⟨−y,1⟩,F⋅dr=dy\mathbf F=\langle -y,1\rangle,\qquad \mathbf F\cdot d\mathbf r=dyF=⟨−y,1⟩,F⋅dr=dy

所以第二段积分为

∫01dy=1\int_0^1dy=1∫01​dy=1

两条路径的起点终点相同，积分却分别为 000 和 111。这说明 ⟨−y,x⟩\langle -y,x\rangle⟨−y,x⟩ 不是保守场。

路径不同但结果偶然相同，并不能证明保守。要证明路径无关，需要所有同端点路径都给出相同积分，或者使用势函数、闭合积分、判别条件等更强的方法。

解题时的判断路线

遇到 ∫CP dx+Q dy\int_C P\,dx+Q\,dy∫C​Pdx+Qdy，可以按下面的顺序判断：

先看题目是否已经给出势函数，或者向量场是否明显是某个熟悉函数的梯度。例如 ⟨2x,2y⟩=∇(x2+y2)\langle 2x,2y\rangle=\nabla(x^2+y^2)⟨2x,2y⟩=∇(x2+y2)。

若没有明显势函数，就计算 PyP_yPy​ 和 QxQ_xQx​。若二者不相等，向量场一定不是保守场，通常需要沿给定路径直接积分。

若 Py=QxP_y=Q_xPy​=Qx​，继续检查区域。若区域是整个平面、矩形、圆盘或没有洞的简单区域，可以断定保守，并尝试构造势函数。

若区域有洞或题目排除了某些点，不能只靠 Py=QxP_y=Q_xPy​=Qx​ 下结论。此时要寻找势函数，或检查绕洞闭合路径的积分。

一旦确认保守，就用 f(B)−f(A)f(B)-f(A)f(B)−f(A)。只有在无法确认保守或题目要求比较路径时，才回到参数化路径的直接计算。

可以把这章的核心记成一句话：保守场把沿途累加的问题，变成势函数端点值的差。

练习

练习 1

判断

F(x,y)=⟨3x2y, x3+2y⟩\mathbf F(x,y)=\langle 3x^2y,\ x^3+2y\rangleF(x,y)=⟨3x2y, x3+2y⟩

在 R2\mathbb R^2R2 上是否保守。若保守，求一个势函数。

先算

Py=3x2,Qx=3x2P_y=3x^2,\qquad Q_x=3x^2Py​=3x2,Qx​=3x2

整个平面没有洞，所以该场保守。由 fx=3x2yf_x=3x^2yfx​=3x2y 得

f=x3y+h(y)f=x^3y+h(y)f=x3y+h(y)

再由

fy=x3+h′(y)=x3+2yf_y=x^3+h'(y)=x^3+2yfy​=x3+h′(y)=x3+2y

得 h′(y)=2yh'(y)=2yh′(y)=2y，所以 h(y)=y2+Ch(y)=y^2+Ch(y)=y2+C。一个势函数是

f(x,y)=x3y+y2f(x,y)=x^3y+y^2f(x,y)=x3y+y2

练习 2

计算保守场

F(x,y)=⟨excos⁡y, −exsin⁡y⟩\mathbf F(x,y)=\langle e^x\cos y,\ -e^x\sin y\rangleF(x,y)=⟨excosy, −exsiny⟩

从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (ln⁡2,π/3)(\ln 2,\pi/3)(ln2,π/3) 的线积分。

这个场来自势函数

f(x,y)=excos⁡yf(x,y)=e^x\cos yf(x,y)=excosy

因为

fx=excos⁡y,fy=−exsin⁡yf_x=e^x\cos y,\qquad f_y=-e^x\sin yfx​=excosy,fy​=−exsiny

所以线积分为

f(ln⁡2,π/3)−f(0,0)=2⋅12−1=0f(\ln 2,\pi/3)-f(0,0) =2\cdot \frac12-1 =0f(ln2,π/3)−f(0,0)=2⋅21​−1=0

练习 3

设

F(x,y)=⟨y2, 2xy+1⟩\mathbf F(x,y)=\langle y^2,\ 2xy+1\rangleF(x,y)=⟨y2, 2xy+1⟩

求从 (1,0)(1,0)(1,0) 到 (2,3)(2,3)(2,3) 的线积分。

先检查

Py=2y,Qx=2yP_y=2y,\qquad Q_x=2yPy​=2y,Qx​=2y

在整个平面上保守。由 fx=y2f_x=y^2fx​=y2 得

f=xy2+h(y)f=xy^2+h(y)f=xy2+h(y)

再由

fy=2xy+h′(y)=2xy+1f_y=2xy+h'(y)=2xy+1fy​=2xy+h′(y)=2xy+1

得 h′(y)=1h'(y)=1h′(y)=1，所以 h(y)=yh(y)=yh(y)=y。取

f(x,y)=xy2+yf(x,y)=xy^2+yf(x,y)=xy2+y

于是

∫CF⋅dr=f(2,3)−f(1,0)=(18+3)−0=21\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =f(2,3)-f(1,0) =(18+3)-0 =21∫C​F⋅dr=f(2,3)−f(1,0)=(18+3)−0=21

练习 4

若 F=∇f\mathbf F=\nabla fF=∇f，其中

f(x,y)=x2y+sin⁡yf(x,y)=x^2y+\sin yf(x,y)=x2y+siny

求 ∮CF⋅dr\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∮C​F⋅dr，其中 CCC 是平面上任意一条闭合曲线，方向任意。

因为 F\mathbf FF 明确是某个势函数的梯度，所以它是保守场。闭合曲线起点和终点相同，端点值差为

f(A)−f(A)=0f(A)-f(A)=0f(A)−f(A)=0

因此

∮CF⋅dr=0\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=0∮C​F⋅dr=0

练习 5

在区域 R2∖{(0,0)}\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}R2∖{(0,0)} 上，向量场

F(x,y)=⟨−yx2+y2,xx2+y2⟩\mathbf F(x,y)= \left\langle \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right\rangleF(x,y)=⟨x2+y2−y​,x2+y2x​⟩

满足 Py=QxP_y=Q_xPy​=Qx​。这是否足以说明它保守？为什么？

不够。区域去掉了原点，有洞，不是单连通区域。这个场沿单位圆逆时针走一圈时，

∮CF⋅dr=2π\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=2\pi∮C​F⋅dr=2π

闭合路径积分不为零，所以它不是该区域上的保守场。这个例子说明 Py=QxP_y=Q_xPy​=Qx​ 必须配合区域条件使用。

  • 只看端点是什么意思
  • 保守场与势函数
  • 路径无关、闭合积分和势函数
  • 怎样构造势函数
    • 例题：由向量场找势函数
  • 平面上的判别条件
  • 反例：局部无旋不等于全局保守
  • 两条路径的直接比较
  • 解题时的判断路线
  • 练习
    • 练习 1
    • 练习 2
    • 练习 3
    • 练习 4
    • 练习 5

目录

  • 只看端点是什么意思
  • 保守场与势函数
  • 路径无关、闭合积分和势函数
  • 怎样构造势函数
    • 例题：由向量场找势函数
  • 平面上的判别条件
  • 反例：局部无旋不等于全局保守
  • 两条路径的直接比较
  • 解题时的判断路线
  • 练习
    • 练习 1
    • 练习 2
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    • 练习 5