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上一节向量场：空间中每一点都有方向下一节保守场、势函数与路径无关
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数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场线积分：沿路径累加标量和向量

线积分：沿路径累加标量和向量

以前的一元积分沿着数轴上的区间累加，二重积分在平面区域里累加，三重积分在空间区域里累加。本章把“累加的地方”换成一条曲线。曲线可以是一根弯曲的细线、一段轨迹，也可以是力场中粒子实际走过的路线。

线积分的核心问题是：当累加只发生在路径上时，路径本身会进入计算。沿直线走、绕一个弯走、反方向走，可能得到相同结果，也可能完全不同。判断差别前，要先把两类线积分分清：标量线积分累加“每单位长度的量”，向量线积分累加“向量场沿行走方向的贡献”。

从区间到路径

设曲线 CCC 由向量值函数

r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩,a≤t≤b\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle,\quad a\le t\le br(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩,a≤t≤b

给出。随着 ttt 增加，点 r(t)\mathbf r(t)r(t) 沿曲线运动。这个写法不只是画图工具，它告诉我们三件事：曲线上的点在哪里，运动方向是什么，每一小段弧长和参数变化 dtdtdt 怎样对应。

如果 r′(t)\mathbf r'(t)r′(t) 连续且不为零，曲线在这一段上是光滑的。实际题目里常见的折线路径、直线加圆弧、矩形边界等不一定处处光滑，但只要能拆成有限段光滑曲线，就叫分段光滑路径。线积分会逐段计算再相加。

曲线 C 上竖起半透明幕帘，高度表示 f(x,y)，沿曲线用弧长小段 Δs 展示标量线积分的累加过程。

标量线积分可以看成沿曲线立起一张薄幕，薄幕的“宽”来自弧长小段，薄幕的“高”来自标量函数值。

线积分不是把曲线围成的区域拿来积分。积分对象只沿着曲线本身取值；曲线外部的点，即使离得很近，也不会直接进入这一章的计算。

标量线积分

标量线积分处理的是一个标量函数沿曲线的累加。若 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 表示空间中每一点的线密度、温度权重或某种每单位长度的强度，那么 ∫Cf ds\int_C f\,ds∫C​fds 就是在曲线 CCC 上把这些量按弧长累加。

把曲线切成很多小段，在第 iii 段上取一点 Pi∗P_i^*Pi∗​。这一小段的贡献近似为

f(Pi∗)Δsif(P_i^*)\Delta s_if(Pi∗​)Δsi​

把所有小段相加，并让小段长度趋近于 000，就得到标量线积分：

∫Cf ds\int_C f\,ds∫C​fds

若 CCC 用 r(t)\mathbf r(t)r(t) 参数化，则计算公式是

∫Cf ds=∫abf(r(t))∥r′(t)∥ dt\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|\,dt∫C​fds=∫ab​f(r(t))∥r′(t)∥dt

这里的 ∥r′(t)∥dt\|\mathbf r'(t)\|dt∥r′(t)∥dt 就是弧长微元 dsdsds。在平面中，它写成

ds=(x′(t))2+(y′(t))2 dtds=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dtds=(x′(t))2+(y′(t))2​dt

在空间中，多一个 z′(t)z'(t)z′(t) 项：

ds=(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2 dtds=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\,dtds=(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2​dt

如果 f=1f=1f=1，标量线积分 ∫C1 ds\int_C 1\,ds∫C​1ds 就是曲线长度。如果 f=ρf=\rhof=ρ 是一根细线的线密度，∫Cρ ds\int_C \rho\,ds∫C​ρds 就是这根线的质量。

例题：半圆形细线的质量

一根细线沿半径为 222 的上半圆放置，曲线为

r(t)=⟨2cos⁡t,2sin⁡t⟩,0≤t≤π\mathbf r(t)=\langle 2\cos t,2\sin t\rangle,\quad 0\le t\le \pir(t)=⟨2cost,2sint⟩,0≤t≤π

线密度为 ρ(x,y)=1+y\rho(x,y)=1+yρ(x,y)=1+y。求细线总质量。

先把密度函数沿曲线写成 ttt 的函数。因为 y=2sin⁡ty=2\sin ty=2sint，所以

ρ(r(t))=1+2sin⁡t\rho(\mathbf r(t))=1+2\sin tρ(r(t))=1+2sint

再计算速度向量和速率。由

r′(t)=⟨−2sin⁡t,2cos⁡t⟩\mathbf r'(t)=\langle -2\sin t,2\cos t\rangler′(t)=⟨−2sint,2cost⟩

得

∥r′(t)∥=2\|\mathbf r'(t)\|=2∥r′(t)∥=2

把密度和弧长微元一起代入标量线积分：

∫Cρ ds=∫0π(1+2sin⁡t)⋅2 dt\int_C \rho\,ds=\int_0^\pi (1+2\sin t)\cdot 2\,dt∫C​ρds=∫0π​(1+2sint)⋅2dt

计算普通的一元积分：

∫0π(2+4sin⁡t) dt=2π+8\int_0^\pi (2+4\sin t)\,dt=2\pi+8∫0π​(2+4sint)dt=2π+8

因此细线总质量为 2π+82\pi+82π+8。

这个例题里，半圆的每一小段长度都要参与计算。曲线越长、某段密度越大，它对总质量的贡献就越大。

参数化与计算套路

线积分的计算通常不难在积分本身，而难在把路径准确地写成参数形式。常用的参数化包括直线段、圆弧、图像曲线和已经给出的向量值函数。

线积分计算流程图，展示曲线参数化、求导、代入场或密度，并在参数区间积分。

每次计算都要先问：曲线怎么走？速度是多少？场或密度在曲线上变成什么？

对从点 AAA 到点 BBB 的直线段，最稳的参数化是

r(t)=(1−t)A+tB,0≤t≤1\mathbf r(t)=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le 1r(t)=(1−t)A+tB,0≤t≤1

它的优点是起点、终点和方向都一眼可见。若反过来从 BBB 到 AAA，只要交换 AAA 与 BBB 的位置即可。

例题：沿直线段累加标量函数

计算

∫C(x+y) ds\int_C (x+y)\,ds∫C​(x+y)ds

其中 CCC 是从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (2,1)(2,1)(2,1) 的直线段。

直线段可参数化为

r(t)=⟨2t,t⟩,0≤t≤1\mathbf r(t)=\langle 2t,t\rangle,\quad 0\le t\le 1r(t)=⟨2t,t⟩,0≤t≤1

沿曲线代入 x=2tx=2tx=2t、y=ty=ty=t，得到

x+y=3tx+y=3tx+y=3t

计算速率：

r′(t)=⟨2,1⟩,∥r′(t)∥=5\mathbf r'(t)=\langle 2,1\rangle,\quad \|\mathbf r'(t)\|=\sqrt 5r′(t)=⟨2,1⟩,∥r′(t)∥=5​

代入公式：

∫C(x+y) ds=∫013t5 dt=352\int_C (x+y)\,ds=\int_0^1 3t\sqrt 5\,dt=\frac{3\sqrt 5}{2}∫C​(x+y)ds=∫01​3t5​dt=235​​

标量线积分中的 dsdsds 是长度微元，它没有方向。把同一条曲线反向走一遍，只要函数和曲线不变，∫Cf ds\int_C f\,ds∫C​fds 的值不变。

向量线积分

向量线积分处理的是向量场沿路径方向的贡献。若 F\mathbf FF 是力场，一个物体沿曲线 CCC 运动，那么 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr 表示力场对物体做的功。

设

F(x,y,z)=⟨P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)⟩\mathbf F(x,y,z)=\langle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\rangleF(x,y,z)=⟨P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)⟩

曲线仍由 r(t)\mathbf r(t)r(t) 给出。向量线积分的计算公式是

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)\,dt∫C​F⋅dr=∫ab​F(r(t))⋅r′(t)dt

这里 dr=r′(t) dtd\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dtdr=r′(t)dt 是带方向的位移微元。点积决定了贡献的正负：力和运动方向大致同向时贡献为正，大致反向时贡献为负，接近垂直时贡献接近零。

向量场中曲线 C 上三处力向量 F 与切向位移 d r 的点积贡献示意

向量线积分只累加力场在行走方向上的分量。

另一种常见写法是

∫CP dx+Q dy+R dz\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz∫C​Pdx+Qdy+Rdz

它与 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr 是同一件事，因为

dr=⟨dx,dy,dz⟩d\mathbf r=\langle dx,dy,dz\rangledr=⟨dx,dy,dz⟩

沿参数 ttt 展开后，

P dx+Q dy+R dz=(Px′(t)+Qy′(t)+Rz′(t)) dtP\,dx+Q\,dy+R\,dz=(P x'(t)+Q y'(t)+R z'(t))\,dtPdx+Qdy+Rdz=(Px′(t)+Qy′(t)+Rz′(t))dt

例题：旋转场沿半圆做功

设平面向量场

F(x,y)=⟨−y,x⟩\mathbf F(x,y)=\langle -y,x\rangleF(x,y)=⟨−y,x⟩

曲线 CCC 是单位上半圆，从 (1,0)(1,0)(1,0) 到 (−1,0)(-1,0)(−1,0)：

r(t)=⟨cos⁡t,sin⁡t⟩,0≤t≤π\mathbf r(t)=\langle \cos t,\sin t\rangle,\quad 0\le t\le \pir(t)=⟨cost,sint⟩,0≤t≤π

计算 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr。

先把向量场限制到曲线上：

F(r(t))=⟨−sin⁡t,cos⁡t⟩\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle -\sin t,\cos t\rangleF(r(t))=⟨−sint,cost⟩

再求路径的速度向量：

r′(t)=⟨−sin⁡t,cos⁡t⟩\mathbf r'(t)=\langle -\sin t,\cos t\rangler′(t)=⟨−sint,cost⟩

计算点积：

F(r(t))⋅r′(t)=sin⁡2t+cos⁡2t=1\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)=\sin^2 t+\cos^2 t=1F(r(t))⋅r′(t)=sin2t+cos2t=1

对 ttt 积分：

∫CF⋅dr=∫0π1 dt=π\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^\pi 1\,dt=\pi∫C​F⋅dr=∫0π​1dt=π

这个正值说明路径方向与旋转场方向一致。

如果沿同一半圆反向，从 (−1,0)(-1,0)(−1,0) 走到 (1,0)(1,0)(1,0)，积分值会变成 −π-\pi−π。这不是重新计算出的偶然现象，而是向量线积分的方向性：

∫−CF⋅dr=−∫CF⋅dr\int_{-C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=-\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r∫−C​F⋅dr=−∫C​F⋅dr

左右对比图：标量线积分中 ds 不带方向，反向后结果不变；向量线积分中 d r 带方向，反向后功积分变号。

不要把 dsdsds 和 drd\mathbf rdr 当成同一种微元。一个只表示长度，一个表示带方向的位移。

常见错误是把向量线积分也写成 ∫abF(r(t))∥r′(t)∥ dt\int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|\,dt∫ab​F(r(t))∥r′(t)∥dt。这样会丢掉方向和点积。向量线积分要用 F(r(t))⋅r′(t)\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)F(r(t))⋅r′(t)。

路径为什么重要

一元积分的积分区间写清楚后，路径没有选择余地；从 aaa 到 bbb 就是在数轴上走那一段。线积分不同，同样的起点和终点之间可以有无数条路径。一般情况下，线积分会随路径改变。

同一向量场中，从同起点 A 到同终点 B 的直线路径和弯曲路径，表示沿不同路径累加可能不同。

本章先观察“路径会影响结果”这个现象；什么时候路径不影响结果，是下一章保守场的主题。

来看一个很短的比较。设

F(x,y)=⟨y,0⟩\mathbf F(x,y)=\langle y,0\rangleF(x,y)=⟨y,0⟩

从 A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0) 到 B=(1,1)B=(1,1)B=(1,1)。

若走直线 C1:r(t)=⟨t,t⟩C_1:\mathbf r(t)=\langle t,t\rangleC1​:r(t)=⟨t,t⟩，0≤t≤10\le t\le 10≤t≤1，则

F(r(t))=⟨t,0⟩,r′(t)=⟨1,1⟩\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle t,0\rangle,\quad \mathbf r'(t)=\langle 1,1\rangleF(r(t))=⟨t,0⟩,r′(t)=⟨1,1⟩

所以

∫C1F⋅dr=∫01t dt=12\int_{C_1}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^1 t\,dt=\frac12∫C1​​F⋅dr=∫01​tdt=21​

若走折线路径 C2C_2C2​：先从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (1,0)(1,0)(1,0)，再从 (1,0)(1,0)(1,0) 到 (1,1)(1,1)(1,1)。第一段上 y=0y=0y=0，力场为 ⟨0,0⟩\langle 0,0\rangle⟨0,0⟩；第二段上 xxx 不变，drd\mathbf rdr 竖直，而力场水平。两段点积都为 000，因此

∫C2F⋅dr=0\int_{C_2}\mathbf F\cdot d\mathbf r=0∫C2​​F⋅dr=0

同样的起点和终点，结果分别是 12\frac1221​ 和 000。这说明“端点相同”本身不足以决定向量线积分。

不要急着把“路径不同结果不同”当成永远成立的规则。有些特殊向量场的线积分只看起点和终点；下一章会把这种情况用保守场和势函数说清楚。

分段光滑路径

很多路径不是一条公式从头写到尾，而是由几段拼起来。例如先沿直线走，再沿圆弧走；或者沿矩形边界逆时针走一圈。线积分对这种路径的处理方式很直接：每段单独算，再相加。

若

C=C1+C2+⋯+CnC=C_1+C_2+\cdots+C_nC=C1​+C2​+⋯+Cn​

则标量线积分满足

∫Cf ds=∫C1f ds+∫C2f ds+⋯+∫Cnf ds\int_C f\,ds=\int_{C_1}f\,ds+\int_{C_2}f\,ds+\cdots+\int_{C_n}f\,ds∫C​fds=∫C1​​fds+∫C2​​fds+⋯+∫Cn​​fds

向量线积分也满足

∫CF⋅dr=∫C1F⋅dr+∫C2F⋅dr+⋯+∫CnF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_{C_1}\mathbf F\cdot d\mathbf r+\int_{C_2}\mathbf F\cdot d\mathbf r+\cdots+\int_{C_n}\mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr=∫C1​​F⋅dr+∫C2​​F⋅dr+⋯+∫Cn​​F⋅dr

分段光滑路径由直线段 C1 和圆弧段 C2 连接 P、Q、R，并标示逐段累加。

分段路径的方向要逐段检查，尤其是闭合边界和折线路径。

例题：沿折线路径做功

设

F(x,y)=⟨y,x⟩\mathbf F(x,y)=\langle y,x\rangleF(x,y)=⟨y,x⟩

路径 CCC 从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (1,0)(1,0)(1,0)，再到 (1,2)(1,2)(1,2)。求 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr。

把路径拆成两段。第一段 C1C_1C1​ 可写成

r1(t)=⟨t,0⟩,0≤t≤1\mathbf r_1(t)=\langle t,0\rangle,\quad 0\le t\le 1r1​(t)=⟨t,0⟩,0≤t≤1

此时 F(r1(t))=⟨0,t⟩\mathbf F(\mathbf r_1(t))=\langle 0,t\rangleF(r1​(t))=⟨0,t⟩，r1′(t)=⟨1,0⟩\mathbf r_1'(t)=\langle 1,0\rangler1′​(t)=⟨1,0⟩。

第一段的点积为

⟨0,t⟩⋅⟨1,0⟩=0\langle 0,t\rangle\cdot \langle 1,0\rangle=0⟨0,t⟩⋅⟨1,0⟩=0

所以

∫C1F⋅dr=0\int_{C_1}\mathbf F\cdot d\mathbf r=0∫C1​​F⋅dr=0

第二段 C2C_2C2​ 可写成

r2(u)=⟨1,u⟩,0≤u≤2\mathbf r_2(u)=\langle 1,u\rangle,\quad 0\le u\le 2r2​(u)=⟨1,u⟩,0≤u≤2

此时 F(r2(u))=⟨u,1⟩\mathbf F(\mathbf r_2(u))=\langle u,1\rangleF(r2​(u))=⟨u,1⟩，r2′(u)=⟨0,1⟩\mathbf r_2'(u)=\langle 0,1\rangler2′​(u)=⟨0,1⟩。

第二段的点积为 111，因此

∫C2F⋅dr=∫021 du=2\int_{C_2}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^2 1\,du=2∫C2​​F⋅dr=∫02​1du=2

总功为

∫CF⋅dr=0+2=2\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=0+2=2∫C​F⋅dr=0+2=2

常见误区

把曲线当区域

线积分沿曲线累加，不沿曲线围成的面积累加。若题目说 CCC 是圆周，就只在圆周上积分，不在圆盘内部积分。

忘记代入曲线

计算时必须把 x,y,zx,y,zx,y,z 全部换成 x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t)。例如 f(x,y)=x+yf(x,y)=x+yf(x,y)=x+y 沿 r(t)=⟨2t,t2⟩\mathbf r(t)=\langle 2t,t^2\rangler(t)=⟨2t,t2⟩ 时，应变成 2t+t22t+t^22t+t2，不能只处理 dsdsds。

混淆 dsdsds、dxdxdx、dydydy 与 drd\mathbf rdr

dsdsds 是非负长度；dx=x′(t)dtdx=x'(t)dtdx=x′(t)dt、dy=y′(t)dtdy=y'(t)dtdy=y′(t)dt 可以带符号；dr=r′(t)dtd\mathbf r=\mathbf r'(t)dtdr=r′(t)dt 是向量微元。看到积分符号后面的微元，先判断是哪一类线积分。

忽略路径方向

标量线积分 ∫Cf ds\int_C f\,ds∫C​fds 反向后不变。向量线积分 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr 反向后变号。这个差别来自 dsdsds 与 drd\mathbf rdr 的方向性。

假设端点决定一切

同一组起点和终点之间，路径不同，线积分通常不同。只有在特殊条件下才会路径无关；那不是本章默认规则。

练习

练习 1

计算 ∫Cx ds\int_C x\,ds∫C​xds，其中 CCC 是从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (1,2)(1,2)(1,2) 的直线段。

取 r(t)=⟨t,2t⟩\mathbf r(t)=\langle t,2t\rangler(t)=⟨t,2t⟩，0≤t≤10\le t\le 10≤t≤1。此时 x=tx=tx=t，∥r′(t)∥=5\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt5∥r′(t)∥=5​，所以

∫Cx ds=∫01t5 dt=52\int_C x\,ds=\int_0^1 t\sqrt5\,dt=\frac{\sqrt5}{2}∫C​xds=∫01​t5​dt=25​​

练习 2

若把练习 1 的直线段反向，从 (1,2)(1,2)(1,2) 走到 (0,0)(0,0)(0,0)，∫Cx ds\int_C x\,ds∫C​xds 的值是否改变？

不改变。标量线积分用的是 dsdsds，它表示弧长微元，不带方向。只要曲线上的点集相同且只走一遍，反向参数化不会改变 ∫Cx ds\int_C x\,ds∫C​xds 的值，仍为 52\frac{\sqrt5}{2}25​​。

练习 3

设 F(x,y)=⟨x,y⟩\mathbf F(x,y)=\langle x,y\rangleF(x,y)=⟨x,y⟩，CCC 是单位上半圆，从 (1,0)(1,0)(1,0) 到 (−1,0)(-1,0)(−1,0)。计算 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr。

取 r(t)=⟨cos⁡t,sin⁡t⟩\mathbf r(t)=\langle \cos t,\sin t\rangler(t)=⟨cost,sint⟩，0≤t≤π0\le t\le \pi0≤t≤π。则 F(r(t))=⟨cos⁡t,sin⁡t⟩\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle \cos t,\sin t\rangleF(r(t))=⟨cost,sint⟩，r′(t)=⟨−sin⁡t,cos⁡t⟩\mathbf r'(t)=\langle -\sin t,\cos t\rangler′(t)=⟨−sint,cost⟩。点积为

−sin⁡tcos⁡t+sin⁡tcos⁡t=0-\sin t\cos t+\sin t\cos t=0−sintcost+sintcost=0

所以线积分为 000。这个向量场在圆周上沿径向，运动方向沿切向，二者处处垂直。

练习 4

计算

∫C(x+y) dx+x dy\int_C (x+y)\,dx+x\,dy∫C​(x+y)dx+xdy

其中 CCC 由 r(t)=⟨t,t2⟩\mathbf r(t)=\langle t,t^2\rangler(t)=⟨t,t2⟩，0≤t≤10\le t\le 10≤t≤1 给出。

沿曲线有 x=tx=tx=t、y=t2y=t^2y=t2、dx=dtdx=dtdx=dt、dy=2t dtdy=2t\,dtdy=2tdt。因此

(x+y) dx+x dy=(t+t2) dt+t(2t dt)=(t+3t2) dt(x+y)\,dx+x\,dy=(t+t^2)\,dt+t(2t\,dt)=(t+3t^2)\,dt(x+y)dx+xdy=(t+t2)dt+t(2tdt)=(t+3t2)dt

所以

∫C(x+y) dx+x dy=∫01(t+3t2) dt=12+1=32\int_C (x+y)\,dx+x\,dy=\int_0^1(t+3t^2)\,dt=\frac12+1=\frac32∫C​(x+y)dx+xdy=∫01​(t+3t2)dt=21​+1=23​

练习 5

设 F(x,y)=⟨y,0⟩\mathbf F(x,y)=\langle y,0\rangleF(x,y)=⟨y,0⟩。从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (1,1)(1,1)(1,1)，比较两条路径：C1C_1C1​ 是直线 y=xy=xy=x，C2C_2C2​ 是先水平到 (1,0)(1,0)(1,0) 再竖直到 (1,1)(1,1)(1,1)。计算两条路径上的 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr。

直线路径可取 r(t)=⟨t,t⟩\mathbf r(t)=\langle t,t\rangler(t)=⟨t,t⟩，0≤t≤10\le t\le 10≤t≤1。此时 F(r(t))=⟨t,0⟩\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle t,0\rangleF(r(t))=⟨t,0⟩，r′(t)=⟨1,1⟩\mathbf r'(t)=\langle 1,1\rangler′(t)=⟨1,1⟩，所以积分为

∫01t dt=12\int_0^1 t\,dt=\frac12∫01​tdt=21​

折线路径第一段 y=0y=0y=0，向量场为零；第二段 xxx 不变，drd\mathbf rdr 竖直，而 F\mathbf FF 水平，点积仍为零。因此 C2C_2C2​ 上的积分为 000。

练习 6

设 F(x,y,z)=⟨z,x,y⟩\mathbf F(x,y,z)=\langle z,x,y\rangleF(x,y,z)=⟨z,x,y⟩，曲线 r(t)=⟨t,t2,1−t⟩\mathbf r(t)=\langle t,t^2,1-t\rangler(t)=⟨t,t2,1−t⟩，0≤t≤10\le t\le 10≤t≤1。计算 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr。

沿曲线有

F(r(t))=⟨1−t,t,t2⟩\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle 1-t,t,t^2\rangleF(r(t))=⟨1−t,t,t2⟩

并且

r′(t)=⟨1,2t,−1⟩\mathbf r'(t)=\langle 1,2t,-1\rangler′(t)=⟨1,2t,−1⟩

点积为

(1−t)+2t2−t2=1−t+t2(1-t)+2t^2-t^2=1-t+t^2(1−t)+2t2−t2=1−t+t2

所以

∫CF⋅dr=∫01(1−t+t2) dt=1−12+13=56\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^1(1-t+t^2)\,dt=1-\frac12+\frac13=\frac56∫C​F⋅dr=∫01​(1−t+t2)dt=1−21​+31​=65​

小结

本章的两类线积分可以用一句话区分：标量线积分沿路径累加“标量 × 长度”，向量线积分沿路径累加“向量场在位移方向上的分量”。

看到 ∫Cf ds\int_C f\,ds∫C​fds，先参数化曲线，再乘 ∥r′(t)∥\|\mathbf r'(t)\|∥r′(t)∥。看到 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r∫C​F⋅dr 或 ∫CP dx+Q dy+R dz\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz∫C​Pdx+Qdy+Rdz，先参数化曲线，再做点积 F(r(t))⋅r′(t)\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)F(r(t))⋅r′(t)。路径、方向、分段结构都不是附加信息，它们就是线积分的一部分。

  • 从区间到路径
  • 标量线积分
    • 例题：半圆形细线的质量
  • 参数化与计算套路
    • 例题：沿直线段累加标量函数
  • 向量线积分
    • 例题：旋转场沿半圆做功
  • 路径为什么重要
  • 分段光滑路径
    • 例题：沿折线路径做功
  • 常见误区
    • 把曲线当区域
    • 忘记代入曲线
    • 混淆 $ds$、$dx$、$dy$ 与 $d\mathbf r$
    • 忽略路径方向
    • 假设端点决定一切
  • 练习
    • 练习 1
    • 练习 2
    • 练习 3
    • 练习 4
    • 练习 5
    • 练习 6
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目录

  • 从区间到路径
  • 标量线积分
    • 例题：半圆形细线的质量
  • 参数化与计算套路
    • 例题：沿直线段累加标量函数
  • 向量线积分
    • 例题：旋转场沿半圆做功
  • 路径为什么重要
  • 分段光滑路径
    • 例题：沿折线路径做功
  • 常见误区
    • 把曲线当区域
    • 忘记代入曲线
    • 混淆 $ds$、$dx$、$dy$ 与 $d\mathbf r$
    • 忽略路径方向
    • 假设端点决定一切
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