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数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场向量场：空间中每一点都有方向

向量场：空间中每一点都有方向

前面几章研究的对象多半是“数值”：一个点有温度，一个区域有密度，一个空间位置有电势。向量场换了一个角度：一个点不只带着数值，还带着方向。

风向图是最容易进入向量场的例子。地图上每个位置都有一支小箭头，箭头朝向表示风往哪里吹，箭头长短表示风速大小。把这件事抽象出来，就是本章要学的向量场。

淡色二维坐标网格上的风速向量场，箭头在不同位置表示方向和大小，左下较短、右上较长。

向量场把每个位置点对应到一个有方向和长度的风速向量。

一个点对应一个向量

在平面区域 DDD 上，一个平面向量场通常写成

F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangleF(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩

它的意思是：对区域中的每个点 (x,y)(x,y)(x,y)，都给出一个二维向量 ⟨P(x,y),Q(x,y)⟩\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle⟨P(x,y),Q(x,y)⟩。在空间区域 EEE 上，空间向量场通常写成

F(x,y,z)=⟨P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)⟩\mathbf F(x,y,z)=\langle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\rangleF(x,y,z)=⟨P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)⟩

这里的输入是位置，输出是向量。输入点告诉我们“在哪里”，输出向量告诉我们“在这里朝哪里、强到什么程度”。

本章默认讨论输出维度与空间维度相同的向量场。平面中的点对应二维向量，空间中的点对应三维向量。后面讲线积分、通量、散度和旋度时，都会沿用这个约定。

例如

F(x,y)=⟨2,−1⟩\mathbf F(x,y)=\langle 2,-1\rangleF(x,y)=⟨2,−1⟩

是一个常向量场。每个点上的箭头都一样，像一阵方向和速度都不变的风。

而

G(x,y)=⟨x,y⟩\mathbf G(x,y)=\langle x,y\rangleG(x,y)=⟨x,y⟩

会随着位置改变。点 (1,0)(1,0)(1,0) 上的箭头指向右，点 (0,1)(0,1)(0,1) 上的箭头指向上，点 (−2,0)(-2,0)(−2,0) 上的箭头指向左且更长。它像一个从原点向外推开的场。

平面向量场与空间向量场

平面向量场画在二维坐标系里，常用来描述平面风场、平面流速、二维力场，或者从三维问题截出的一个切片。空间向量场则把箭头放在三维空间中，常见于流体速度、电场、磁场、重力场等模型。

平面向量场与空间向量场对比示意图，左侧展示二维网格上的箭头，右侧展示三维空间网格与空间箭头。

平面向量场以二维点 (x,y)(x,y)(x,y) 为输入并输出二维向量；空间向量场以三维点 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 为输入并输出三维向量。

空间向量场不一定比平面向量场“更难”，只是更难画。很多判断仍然来自同一件事：把几个代表点代入公式，看看箭头方向和大小怎样随位置变化。

例题：从公式读出局部箭头

给定平面向量场

F(x,y)=⟨y,−x⟩\mathbf F(x,y)=\langle y,-x\rangleF(x,y)=⟨y,−x⟩

求它在 (1,0)(1,0)(1,0)、(0,1)(0,1)(0,1)、(−1,0)(-1,0)(−1,0)、(0,−1)(0,-1)(0,−1) 处的向量，并判断箭头大致怎样绕原点转动。

先把 (1,0)(1,0)(1,0) 代入公式，得到 F(1,0)=⟨0,−1⟩\mathbf F(1,0)=\langle 0,-1\rangleF(1,0)=⟨0,−1⟩。这个箭头在点 (1,0)(1,0)(1,0) 处向下。

再把 (0,1)(0,1)(0,1) 代入公式，得到 F(0,1)=⟨1,0⟩\mathbf F(0,1)=\langle 1,0\rangleF(0,1)=⟨1,0⟩。这个箭头在点 (0,1)(0,1)(0,1) 处向右。

继续计算另外两个点：F(−1,0)=⟨0,1⟩\mathbf F(-1,0)=\langle 0,1\rangleF(−1,0)=⟨0,1⟩，F(0,−1)=⟨−1,0⟩\mathbf F(0,-1)=\langle -1,0\rangleF(0,−1)=⟨−1,0⟩。左侧点的箭头向上，下方点的箭头向左。

把四个箭头连起来看，右侧向下、上方向右、左侧向上、下方向左，整体是在围绕原点顺时针旋转。

这个判断不需要一开始就画满整个平面。先看轴上几个点，常常已经能看出场的主要性格。

向量场图像怎么读

读向量场图像时，可以按三个问题走。

第一，看方向。箭头朝哪里，说明如果把场理解为速度、力或风，这个位置上的物体会被推向哪里。

第二，看大小。箭头越长，向量模长越大。对 F(x,y)=⟨P,Q⟩\mathbf F(x,y)=\langle P,Q\rangleF(x,y)=⟨P,Q⟩，大小是

∥F(x,y)∥=P(x,y)2+Q(x,y)2\|\mathbf F(x,y)\|=\sqrt{P(x,y)^2+Q(x,y)^2}∥F(x,y)∥=P(x,y)2+Q(x,y)2​

第三，看整体变化。箭头是否从某点向外散开，是否往某点聚拢，是否绕着某个中心旋转，是否上半部分和下半部分表现不同。

四宫格展示源场、汇场、旋转场和剪切场的典型向量场图像，每格含坐标网格、箭头和中文标注。

几类典型向量场：源场向外发散，汇场向内汇聚，旋转场绕中心转动，剪切场上下速度不同。

很多教材和软件会为了让图更容易看，把箭头统一缩放，甚至把所有箭头画成差不多长。读图时要确认图像是否保留了真实长度。若图中只显示方向，不能仅凭箭头长短判断场的大小。

下面的交互可以把公式、箭头方向和箭头长度放在同一张图里观察。

例题：判断箭头变长还是变短

设

G(x,y)=⟨x,y⟩\mathbf G(x,y)=\langle x,y\rangleG(x,y)=⟨x,y⟩

比较 (1,0)(1,0)(1,0)、(1,1)(1,1)(1,1)、(2,0)(2,0)(2,0) 三点处向量的大小。

在 (1,0)(1,0)(1,0) 处，G(1,0)=⟨1,0⟩\mathbf G(1,0)=\langle 1,0\rangleG(1,0)=⟨1,0⟩，大小是 12+02=1\sqrt{1^2+0^2}=112+02​=1。

在 (1,1)(1,1)(1,1) 处，G(1,1)=⟨1,1⟩\mathbf G(1,1)=\langle 1,1\rangleG(1,1)=⟨1,1⟩，大小是 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 212+12​=2​。

在 (2,0)(2,0)(2,0) 处，G(2,0)=⟨2,0⟩\mathbf G(2,0)=\langle 2,0\rangleG(2,0)=⟨2,0⟩，大小是 222。

这说明 G(x,y)=⟨x,y⟩\mathbf G(x,y)=\langle x,y\rangleG(x,y)=⟨x,y⟩ 离原点越远，箭头通常越长。它的大小就是点到原点的距离。

梯度场是从标量函数长出来的向量场

上一单元已经见过梯度：

∇f(x,y)=⟨fx(x,y),fy(x,y)⟩\nabla f(x,y)=\left\langle f_x(x,y),f_y(x,y)\right\rangle∇f(x,y)=⟨fx​(x,y),fy​(x,y)⟩

如果把每个点的梯度向量都画出来，就得到一个向量场，叫做 fff 的梯度场。梯度场有两个重要读法：它指向函数增长最快的方向，它与等高线垂直。

浅色背景上的闭合等高线图，梯度箭头垂直穿过等高线并指向函数值增大的高值区域。

梯度方向总是垂直于等高线，并指向函数值增大的方向。

梯度场把“标量图像”和“方向图像”接起来了。标量函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 可以画成曲面或等高线；梯度场 ∇f\nabla f∇f 则告诉我们，从某点出发往哪里走，函数值上升最快。

如果一张图里同时有等高线和梯度箭头，先找等高线密集的位置，再看箭头是否垂直穿过等高线。等高线越密，通常变化越快；梯度箭头越长，也表示局部变化率越大。

下面的交互把观察点放在等高线上移动，适合反复比较“切向方向”和“梯度方向”。

例题：写出梯度场并解释方向

设

f(x,y)=x2+3y2f(x,y)=x^2+3y^2f(x,y)=x2+3y2

写出它的梯度场，并说明在点 (1,1)(1,1)(1,1) 处的含义。

先分别求偏导数：fx(x,y)=2xf_x(x,y)=2xfx​(x,y)=2x，fy(x,y)=6yf_y(x,y)=6yfy​(x,y)=6y。

把两个偏导数组成向量，得到梯度场 ∇f(x,y)=⟨2x,6y⟩\nabla f(x,y)=\langle 2x,6y\rangle∇f(x,y)=⟨2x,6y⟩。

在点 (1,1)(1,1)(1,1) 处，∇f(1,1)=⟨2,6⟩\nabla f(1,1)=\langle 2,6\rangle∇f(1,1)=⟨2,6⟩。这说明从 (1,1)(1,1)(1,1) 出发，函数 fff 增长最快的方向朝右上方，并且更偏向 yyy 增大的方向。

由于 yyy 方向系数是 3y23y^23y2 对应的 6y6y6y，同样的 yyy 变化会带来更明显的函数值变化，所以箭头偏向竖直方向是合理的。

流线：把局部方向接成路径

向量场图上每一支箭头只告诉我们一个点附近的方向。若把这些局部方向连续接起来，就得到流线。把向量场理解为速度场时，流线可以看成一个小粒子顺着流动方向走出的路径。

二维旋转向量场中，灰蓝箭头围绕中心旋转，三条彩色流线沿箭头方向绕行，并标注起点、流线、此处速度方向和沿场前进。

流线把向量场中每一点的局部速度方向连续接成一条路径。

如果一条曲线写成 r(t)\mathbf r(t)r(t)，它是向量场 F\mathbf FF 的流线，直观条件是曲线在每个时刻的切向量都与场向量同向。用公式写就是

r′(t)=F(r(t))\mathbf r'(t)=\mathbf F(\mathbf r(t))r′(t)=F(r(t))

本章只需要理解这个条件的意思。它不是要求曲线穿过所有箭头，而是要求曲线经过某点时，曲线的切线方向与该点的箭头方向一致。

下面的交互可以从一个起点出发，一步一步沿向量场追踪流线。

例题：验证圆是旋转场的流线形状

仍看向量场

F(x,y)=⟨y,−x⟩\mathbf F(x,y)=\langle y,-x\rangleF(x,y)=⟨y,−x⟩

说明它的流线为什么应当绕原点成圆形。

先观察场向量和位置向量的点积。位置向量是 ⟨x,y⟩\langle x,y\rangle⟨x,y⟩，场向量是 ⟨y,−x⟩\langle y,-x\rangle⟨y,−x⟩。

计算点积：⟨x,y⟩⋅⟨y,−x⟩=xy−xy=0\langle x,y\rangle\cdot\langle y,-x\rangle=xy-xy=0⟨x,y⟩⋅⟨y,−x⟩=xy−xy=0。这说明场向量总是垂直于从原点指向该点的位置向量。

圆 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2 的切线也垂直于半径方向。既然场向量总是垂直于半径，它就沿着以原点为中心的圆的切向方向。

再看点 (1,0)(1,0)(1,0) 处箭头向下，所以沿单位圆的运动方向是顺时针。流线的形状是同心圆，方向为顺时针。

向量场在真实模型中的几种身份

向量场不是只为画箭头而存在。它常常是模型中的核心对象。

在天气中，向量场可以表示风速。每个位置的箭头给出风吹的方向和快慢。

在流体中，向量场可以表示速度场。河道中心的流速可能比岸边大，转弯处方向会连续改变。

在电磁学中，向量场可以表示电场或磁场。电场箭头表示单位正电荷在该点受到的力的方向。

在力学中，向量场可以表示力场。重力场、弹簧力场和中心力场都可以写成随位置变化的向量。

四个向量场应用场景：天气地图风场、河道流速场、点电荷电场和斜面力场。

风、河流速度、电场和力场都可以用向量场来描述。

这些例子在后面会分成不同的积分问题。沿路径累加力场，得到功；穿过曲面累加流速的法向分量，得到通量；观察局部是否向外散开或绕着转动，会引出散度和旋度。

常见误区

不要把向量场误认为“很多条曲线”。向量场的基本对象是点上的向量，流线只是顺着这些向量走出来的曲线。箭头图、流线图和等高线图表达的是不同信息。

把点和向量混在一起

点 (2,1)(2,1)(2,1) 是位置，向量 F(2,1)\mathbf F(2,1)F(2,1) 是这个位置上的输出。它们都可以写成一对数，但意义不同。点回答“在哪里”，向量回答“朝哪里、多少大”。

只看方向，不看大小

两个箭头方向相同，不代表向量相同。例如 ⟨1,1⟩\langle 1,1\rangle⟨1,1⟩ 和 ⟨3,3⟩\langle 3,3\rangle⟨3,3⟩ 方向相同，但后者长度是前者的三倍。

以为所有向量场都是梯度场

梯度场是一类特殊向量场，不是全部向量场。旋转场 ⟨y,−x⟩\langle y,-x\rangle⟨y,−x⟩ 就不像某个普通高度函数的梯度场，因为它一直绕着原点转，而梯度通常指向函数上升最快的方向，不会沿同一条等高线绕圈。

这个判断会在“保守场、势函数与路径无关”一章中变得更精确。本章先记住：看到向量场，不要马上假设它一定来自某个 fff 的梯度。

本章小结

向量场把空间中的每个点对应到一个向量。读它时，要同时看位置、方向、大小和整体结构。

平面向量场写作 F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangleF(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩，空间向量场写作 F(x,y,z)=⟨P,Q,R⟩\mathbf F(x,y,z)=\langle P,Q,R\rangleF(x,y,z)=⟨P,Q,R⟩。常向量场、径向场、旋转场、剪切场各有典型图像。

梯度场来自标量函数，方向指向函数增长最快处，并且与等高线垂直。流线则把向量场中的局部方向连续接成路径，为后面的线积分做准备。

练习

练习一

设

F(x,y)=⟨x−y,x+2y⟩\mathbf F(x,y)=\langle x-y,x+2y\rangleF(x,y)=⟨x−y,x+2y⟩

求 F(2,−1)\mathbf F(2,-1)F(2,−1) 及其大小。

把 (2,−1)(2,-1)(2,−1) 代入，得到 F(2,−1)=⟨2−(−1),2+2(−1)⟩=⟨3,0⟩\mathbf F(2,-1)=\langle 2-(-1),2+2(-1)\rangle=\langle 3,0\rangleF(2,−1)=⟨2−(−1),2+2(−1)⟩=⟨3,0⟩。它的大小是 32+02=3\sqrt{3^2+0^2}=332+02​=3。

练习二

判断下列向量场更像源场、汇场、旋转场还是常向量场：

F1(x,y)=⟨x,y⟩,F2(x,y)=⟨−x,−y⟩,F3(x,y)=⟨−y,x⟩,F4(x,y)=⟨2,0⟩\mathbf F_1(x,y)=\langle x,y\rangle,\qquad \mathbf F_2(x,y)=\langle -x,-y\rangle,\qquad \mathbf F_3(x,y)=\langle -y,x\rangle,\qquad \mathbf F_4(x,y)=\langle 2,0\rangleF1​(x,y)=⟨x,y⟩,F2​(x,y)=⟨−x,−y⟩,F3​(x,y)=⟨−y,x⟩,F4​(x,y)=⟨2,0⟩

F1\mathbf F_1F1​ 从原点向外，像源场。F2\mathbf F_2F2​ 指向原点，像汇场。F3\mathbf F_3F3​ 与位置向量垂直，绕原点逆时针旋转，像旋转场。F4\mathbf F_4F4​ 每处都是向右的同一个向量，是常向量场。

练习三

设

f(x,y)=ln⁡(1+x2+y2)f(x,y)=\ln(1+x^2+y^2)f(x,y)=ln(1+x2+y2)

求梯度场 ∇f(x,y)\nabla f(x,y)∇f(x,y)，并说明原点附近的箭头有什么特点。

由链式法则，

∇f(x,y)=⟨2x1+x2+y2,2y1+x2+y2⟩\nabla f(x,y)=\left\langle \frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2}\right\rangle∇f(x,y)=⟨1+x2+y22x​,1+x2+y22y​⟩

在原点处梯度是 ⟨0,0⟩\langle 0,0\rangle⟨0,0⟩。原点附近，箭头大致从原点向外；但由于分母 1+x2+y21+x^2+y^21+x2+y2 会随着距离增大而变大，箭头长度不会像 ⟨x,y⟩\langle x,y\rangle⟨x,y⟩ 那样一直线性增大。

练习四

向量场

F(x,y)=⟨x,y⟩\mathbf F(x,y)=\langle x,y\rangleF(x,y)=⟨x,y⟩

的流线大致是什么形状？从点 (1,1)(1,1)(1,1) 出发会朝哪里走？

这个场在每一点都沿着从原点指向该点的方向，所以流线是从原点射出的直线。从 (1,1)(1,1)(1,1) 出发，方向沿直线 y=xy=xy=x 继续向右上方远离原点。

练习五

某软件把向量场所有箭头都画成相同长度，只保留方向。能不能根据这张图判断 ∥F(2,0)∥\|\mathbf F(2,0)\|∥F(2,0)∥ 是否大于 ∥F(1,0)∥\|\mathbf F(1,0)\|∥F(1,0)∥？为什么？

不能。统一长度的图只保留方向信息，隐藏了大小信息。若要比较 ∥F(2,0)∥\|\mathbf F(2,0)\|∥F(2,0)∥ 和 ∥F(1,0)∥\|\mathbf F(1,0)\|∥F(1,0)∥，需要看原公式、数值数据，或者确认图中箭头长度没有被归一化。

  • 一个点对应一个向量
  • 平面向量场与空间向量场
    • 例题：从公式读出局部箭头
  • 向量场图像怎么读
    • 例题：判断箭头变长还是变短
  • 梯度场是从标量函数长出来的向量场
    • 例题：写出梯度场并解释方向
  • 流线：把局部方向接成路径
    • 例题：验证圆是旋转场的流线形状
  • 向量场在真实模型中的几种身份
  • 常见误区
    • 把点和向量混在一起
    • 只看方向，不看大小
    • 以为所有向量场都是梯度场
  • 本章小结
  • 练习
    • 练习一
    • 练习二
    • 练习三
    • 练习四
    • 练习五

目录

  • 一个点对应一个向量
  • 平面向量场与空间向量场
    • 例题：从公式读出局部箭头
  • 向量场图像怎么读
    • 例题：判断箭头变长还是变短
  • 梯度场是从标量函数长出来的向量场
    • 例题：写出梯度场并解释方向
  • 流线：把局部方向接成路径
    • 例题：验证圆是旋转场的流线形状
  • 向量场在真实模型中的几种身份
  • 常见误区
    • 把点和向量混在一起
    • 只看方向，不看大小
    • 以为所有向量场都是梯度场
  • 本章小结
  • 练习
    • 练习一
    • 练习二
    • 练习三
    • 练习四
    • 练习五