多变量微积分研究什么

单变量微积分研究一条数轴上的变化：一个输入 $x$ 进入函数，得到一个输出 $y=f(x)$ 。这种模型已经能处理很多问题，例如一辆车沿直线运动时的位置 $s(t)$ ，或一个杯子冷却时的温度 $T(t)$ 。

但现实对象常常不只由一个数决定。一座山的高度要看平面位置，一片区域的温度要看经纬位置和时间，机器人的姿态要看空间坐标和方向，流体的速度还要在每个位置给出一支箭头。多变量微积分就是研究这些“输入不止一个”的对象：它关心怎样描述它们，怎样看出局部变化，怎样把多维区域上的小量累加起来。

从单变量曲线到二元函数曲面

从曲线到曲面，变化的不只是图像的维度，还有我们提问的方式。

为什么一个变量不够用

先看一个熟悉模型：

y=f(x)

这里输入是一个数 $x$ ，输出也是一个数 $y$ 。图像是一条平面曲线。导数 $f'(x)$ 告诉我们，沿着这条曲线往前走一点，输出变化得有多快。

如果要描述地形高度，只有一个输入通常不够。你需要先给出平面上的位置，再问这个位置的高度。一个简化写法是

z=f(x,y)

这里 $(x,y)$ 是输入， $z$ 是输出。输入已经不是数轴上的点，而是平面上的点；图像也不再是一条曲线，而是一张曲面。

地形高度写成二元函数

地形函数把一个平面位置 $(x,y)$ 对应到一个高度 $f(x,y)$ 。

在 $z=f(x,y)$ 里， $x$ 和 $y$ 是输入变量， $z$ 是输出变量。不要把这个式子理解成“三个输入变量”。如果要研究空间中每个点的温度，才会写成 $T(x,y,z)$ ，那时输入是空间点 $(x,y,z)$ ，输出是温度这个数。

下面的交互把三种对象放在一起：单变量函数、二元函数和向量场。你可以先只感受输入和输出的形状怎样改变。

单变量微积分的许多想法仍然会保留下来。例如“变化率”“局部近似”“累积量”仍是核心问题。差别在于：现在输入点可以从很多方向靠近，变化也可以沿很多方向发生。这会带来新的问题：

函数在一点附近到底往哪个方向上升得最快？
一张曲面在某点附近能不能用一个平面近似？
一个区域上的总质量、总热量或总体积怎样求？
如果每个位置都有一个速度向量，沿一条路径走过时会发生什么？

这些问题就是本课后面各章的入口。

多个输入怎样描述真实对象

多变量函数的第一件事不是求导，而是选对“输入”和“输出”。输入告诉我们从哪里取信息，输出告诉我们在那个位置得到什么。

常见的输出有两类。

标量输出是一个数。例如高度、温度、气压、成本、密度都可以是标量输出：

h(x,y),\quad T(x,y),\quad \rho(x,y,z),\quad C(q_1,q_2)

向量输出是一组有方向的量。例如风速、水流速度、力场、电场都可以用向量场表示：

\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle

区域温度场示意

温度场的输出是一个数：给定位置，得到温度。

平面上的速度向量场

向量场的输出是一支箭头：给定位置，得到方向和大小。

“变量多”不等于“随便把能想到的量都放进去”。建模时要先问：这些输入是否真的决定输出？单位是否清楚？输出是一个数，还是一个向量？如果这些问题没有说清，后面的计算会失去对象。

例题：给四个情境选对象

判断下面每个情境更适合用单变量函数、二元标量函数、三元标量函数，还是向量场表示。

记录某城市一天内每小时的气温。
描述一片山区每个平面位置的海拔。
描述房间内每个空间点的空气湿度。
描述湖面上每个位置的水流速度。

第一个情境只跟时间有关。若用 $t$ 表示时间，气温可以写成 $T(t)$ ，这是单变量函数。

第二个情境要先给出平面位置。若用 $(x,y)$ 表示东西、南北方向，海拔可以写成 $h(x,y)$ ，这是二元标量函数。

第三个情境要在房间空间内定位点。若用 $(x,y,z)$ 表示空间位置，湿度可以写成 $H(x,y,z)$ ，这是三元标量函数。

第四个情境的输出不是一个数，而是水流的方向和快慢。可以写成 $\mathbf v(x,y)=\langle u(x,y),v(x,y)\rangle$ ，这是平面上的向量场。

看见多变量函数

单变量函数可以画成曲线，二元函数可以画成曲面。但曲面不总是最方便的视图。地形图常用等高线，因为纸面是二维的，而等高线能把三维起伏压回平面。

对二元函数 $z=f(x,y)$ ，一条等高线由方程

f(x,y)=c

给出。这里 $c$ 是固定高度。等高线上的点高度相同，线与线之间的疏密能提示高度变化快慢。

曲面图与等高线图对应

曲面图看高度起伏，等高线图看同高点在输入平面上的分布。

这种“同一个对象，多种视图”的习惯会贯穿本课。以后看到函数时，不要急着代公式。先问三个问题：

输入在哪里取值？
输出是什么类型的量？
图像、等值线、截面或向量箭头，哪一种视图最能回答当前问题？

常见错误是把三维图像当成唯一图像。二元函数的曲面图很直观，但等高线、固定 $x$ 的截面、固定 $y$ 的截面也常常更有用。多变量微积分里的“看图”，往往是几种视图之间来回切换。

例题：从等高线读变化

某地形函数 $h(x,y)$ 的等高线在点 $A$ 附近很密，在点 $B$ 附近很疏。如果相邻等高线的高度差相同，哪一点附近的地势更陡？

相邻等高线的高度差相同，说明每跨过一条线，高度改变的数量相同。

在点 $A$ 附近，等高线更密，表示在较短的水平距离内完成同样的高度改变。

水平距离越短而高度变化相同，坡度越大。因此点 $A$ 附近的地势更陡。

本课三条主线

多变量微积分 I 可以先看成三条线交织在一起：空间几何、局部变化、多维累积。

多变量微积分的三条主线

空间几何提供语言，局部变化研究附近，多维累积把小块加起来。

空间几何

空间几何回答“对象放在哪里”。三维坐标、向量、直线、平面、二次曲面会在前几章出现。它们不是独立的预备知识，而是后面所有计算的坐标语言。

例如曲面的切平面需要法向量，通量需要曲面的方向，线积分需要路径方向。如果空间语言不清楚，后面的公式会变成没有图像的符号。

局部变化

局部变化回答“在一点附近怎样变”。单变量里，导数给出曲线在一点的斜率。二元函数里，变化方向很多，所以我们会学习偏导数、方向导数、梯度、切平面和线性近似。

偏导数的第一想法很朴素：先固定其他变量，只让一个变量动。例如

f_x(a,b)

表示在点 $(a,b)$ 附近固定 $y=b$ ，只沿 $x$ 方向看变化率。

偏导数不是“把另一个变量忘掉”。它是有意把另一个变量暂时固定住，观察一个坐标方向上的切片。后面判断可微性时，还要把各个方向的信息重新合在一起。

多维累积

多维累积回答“把许多小块加起来得到什么”。单变量积分把线段切成小段，多重积分把平面区域或空间区域切成小块。

如果 $f(x,y)$ 表示某薄片在位置 $(x,y)$ 的面密度，那么区域 $D$ 上的总质量可以写成

\iint_D f(x,y)\,dA

这里 $dA$ 表示很小的面积块。以后学习极坐标、柱坐标、球坐标和变量替换时，本质上都是为了更自然地切分区域。

向量场

向量场把“每个位置对应一个量”的想法再推进一步：输出不再只是数，而是向量。你可以把它想成风图、流速图或力的分布图。

线积分、Green 定理、Stokes 定理和散度定理都会围绕向量场展开。本章只需要先记住一句话：标量场问“这里的数是多少”，向量场问“这里的箭头是什么”。

和已有课程怎样衔接

这门课不是从零开始。它会反复调用你已经学过的几类工具。

解析几何提供坐标和图形语言。你已经熟悉平面直线、圆锥曲线和坐标变换，本课会把这些经验推到三维空间和曲面上。

线性代数提供向量和线性近似语言。向量的分量、点积、矩阵和线性映射，会帮助我们理解方向导数、梯度、Jacobian 和变量替换。

微积分 I/II 提供极限、导数、积分和级数的基本思想。本课不会丢掉这些思想，而是把它们放到平面区域、空间区域、曲线和曲面上。

学习本课时，可以把每个新公式都放回三个问题里：输入在哪里？输出是什么？我们是在研究局部变化，还是在做多维累积？能回答这三个问题，公式通常就不会悬空。

例题：把已有工具迁移到多变量问题

设一个简化成本函数为

C(x,y)=2000+40x+30y+0.02x^2+0.03xy+0.01y^2

其中 $x$ 、 $y$ 分别表示两种产品的产量， $C$ 表示总成本。求 $C(100,80)$ ，并说明这个计算只回答了什么问题，还没有回答什么问题。

先确认输入和输出。输入是产量组合 $(x,y)$ ，输出是一个成本数值，所以这是二元标量函数。

把 $x=100$ 、 $y=80$ 代入函数：

C(100,80)=2000+40\cdot100+30\cdot80+0.02\cdot100^2+0.03\cdot100\cdot80+0.01\cdot80^2

逐项计算并相加：

C(100,80)=2000+4000+2400+200+240+64=8904

这个结果只回答“在产量组合 $(100,80)$ 时成本是多少”。它还没有回答“增加 $x$ 会让成本怎样变”“增加 $y$ 会让成本怎样变”“怎样选择产量使成本或利润最优”。这些问题会引出偏导数和优化。

练习

下面的练习不要求使用本课后面的技巧，重点是认清输入、输出和图像类型。

练习一

某地区的降雨量同时受东西位置 $x$ 、南北位置 $y$ 和时间 $t$ 影响。若输出是降雨量这个数，应怎样记这个函数？它的输入有几个？

可以记作 $R(x,y,t)$ 。输入是三元组 $(x,y,t)$ ，共有三个输入变量；输出是降雨量这个数，所以它是三元标量函数。这里的 $t$ 不是输出，而是输入的一部分。

练习二

设地形高度近似为

h(x,y)=30-0.2x^2-0.1y^2

求 $h(4,3)$ ，并用一句话解释结果。

代入得到

h(4,3)=30-0.2\cdot16-0.1\cdot9=30-3.2-0.9=25.9

这表示在平面位置 $(4,3)$ 处，模型给出的高度是 $25.9$ 个单位。

练习三

一个平面风场写成

\mathbf v(x,y)=\langle 2-y,\ x+1\rangle

求 $\mathbf v(1,-2)$ ，并求这支风速向量的大小。

代入 $(x,y)=(1,-2)$ ：

\mathbf v(1,-2)=\langle 2-(-2),\ 1+1\rangle=\langle 4,2\rangle

向量大小是

\|\mathbf v(1,-2)\|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5

这个输出不是一个温度或高度，而是一支有方向和大小的箭头。

练习四

判断下面的问题更接近本课哪条主线：空间几何、局部变化、多维累积、向量场。

写出穿过三个空间点的平面方程。
判断山坡在某点朝哪个方向上升最快。
求一块薄片的总质量。
计算风沿一条路径对小船做的功。

第 1 个问题属于空间几何，因为它要用点和法向量描述平面。第 2 个问题属于局部变化，因为它研究一点附近的增长方向。第 3 个问题属于多维累积，因为总质量来自区域上许多小面积块的累加。第 4 个问题属于向量场，因为风在每个位置给出向量，还要沿路径累积作用。

练习五

一个函数写成 $P(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 。它的图像一定是四维图像吗？在三维空间里还能怎样看它？

如果把输入 $(x,y,z)$ 和输出 $P$ 同时画成普通图像，确实会超过三维空间的直接可视化能力。但在三维空间里仍可以看等值面：

P(x,y,z)=c

也就是

x^2+y^2+z^2=c

当 $c>0$ 时，这是以原点为中心、半径为 $\sqrt c$ 的球面。多变量函数不总靠完整图像理解，等值线和等值面常常更有用。

小结

多变量微积分研究的是多个输入下的对象、变化和累积。它会把你熟悉的导数和积分放到平面、空间、曲线、曲面与向量场中。

本章最重要的不是记住很多公式，而是养成一个判断顺序：先找输入，再找输出，再选视图，最后才决定用偏导数、重积分或向量场工具。下一章会先补上三维坐标和向量语言，让这些对象有一个可以计算的空间。