变量替换与 Jacobian

学过极坐标之后，我们已经见过一次变量替换：

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

二重积分里，面积微元不是简单地从 $dx\,dy$ 变成 $dr\,d\theta$ ，而是变成 $r\,dr\,d\theta$ 。这个多出来的 $r$ 不是公式补丁，而是面积在换坐标时被缩放的比例。

这一章把极坐标放进更一般的框架。我们会把

x=x(u,v),\qquad y=y(u,v)

看成从 $uv$ 平面到 $xy$ 平面的变换。问题变成：当 $uv$ 平面里一个很小的矩形被送到 $xy$ 平面时，它的面积变成原来的多少倍？这个倍数就是 Jacobian 行列式的绝对值。

从面积缩放看 Jacobian

先看线性变换。设

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}

在 $uv$ 平面里，一个边长分别为 $du$ 和 $dv$ 的小矩形，会被送到 $xy$ 平面里的一个平行四边形。它的两条边向量分别接近

\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}du, \qquad \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}dv

这个平行四边形的面积是

|ad-bc|\,du\,dv

所以矩阵行列式的绝对值就是面积缩放因子。行列式本身有正负号，负号表示方向翻转；面积没有方向，所以积分中使用绝对值。

线性变换把 uv 平面中的小正方形映到 xy 平面中的平行四边形，面积缩放为 |J| du dv。

Jacobian 不是凭空加进积分的系数。它记录的是换坐标以后，小面积块在目标平面中被拉伸、压缩或翻转的程度。

下面的交互可以直接调矩阵，看单位正方形如何变成平行四边形。行列式为负时，平行四边形的面积因子仍然取正值。

非线性变换的局部线性化

实际使用的变量替换常常不是线性的。比如极坐标是

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

如果把 $r$ 或 $\theta$ 改动一点， $x$ 和 $y$ 的变化量也会随当前位置改变。这时我们不能用一个固定矩阵描述整个平面，但可以在每个点附近用一阶近似描述它。

对一般变换

x=x(u,v),\qquad y=y(u,v)

在点 $(u,v)$ 附近，小变化满足

\begin{pmatrix} dx\\ dy \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} du\\ dv \end{pmatrix}

这就是 Jacobian 矩阵。它的行列式

J(u,v)= \det \begin{pmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{pmatrix} =x_u y_v-x_v y_u

给出点 $(u,v)$ 附近的局部面积缩放因子。

非线性变量变换下，uv 平面的规则小网格被映到 xy 平面的弯曲网格；局部小区域可近似为平行四边形，并显示 Jacobian 随位置变化。

非线性变换的想法是“先切得足够小，再在每个小块上当成线性变换”。因此 Jacobian 可以随位置变化，积分会把这些局部缩放率全部累加起来。

这个交互展示一个弯曲网格。拖动参数或采样点时，右侧局部小块的面积因子会随位置改变。

二重积分的变量替换公式

设变换

T(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)

把 $uv$ 平面中的区域 $S$ 映到 $xy$ 平面中的区域 $R$ 。在常用的课程层面，我们要求 $T$ 在区域内部可微、基本上一一对应，并且 Jacobian 在内部不为 $0$ 。边界上少数点的异常通常不会影响二重积分。

变量替换公式是

\iint_R f(x,y)\,dA = \iint_S f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,|J(u,v)|\,du\,dv

其中

J(u,v)= \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}

这个公式有三个动作：

先用 $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ 把被积函数中的 $x$ 和 $y$ 全部换成 $u$ 和 $v$ 。

再把原区域 $R$ 的边界翻译成 $uv$ 平面中的区域 $S$ 。好的变量替换通常会把斜边、椭圆或曲边区域变成矩形、圆盘或简单扇形。

最后乘上面积因子 $|J(u,v)|$ ，并用 $du\,dv$ 写新的积分。

Jacobian 行列式有符号，J 大于 0 保持方向，J 小于 0 翻转方向，面积因子取绝对值的教学示意图

如果题目给的是 $u=u(x,y)$ 、 $v=v(x,y)$ ，而你要写 $dx\,dy$ 对 $du\,dv$ 的因子，要么先求反函数 $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ ，要么使用倒数关系。不要把 $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ 直接当作面积因子，除非你已经确认方向和倒数关系。

椭圆区域的例题

很多椭圆积分真正难的不是被积函数，而是区域。椭圆

\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}\le 1

可以通过平移和缩放变成单位圆：

x=1+3u,\qquad y=-2+2v

这时新区域是

u^2+v^2\le 1

椭圆区域通过变量替换拉回为单位圆的示意图

例题：计算

\iint_R (x-2y)\,dA

其中 $R$ 是上面的椭圆区域。

选取变量替换 $x=1+3u$ 、 $y=-2+2v$ 。椭圆边界变成 $u^2+v^2=1$ ，所以新区域 $S$ 是单位圆盘。

计算 Jacobian：

J= \det \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} =6

因此 $dA=6\,du\,dv$ 。

改写被积函数：

x-2y=(1+3u)-2(-2+2v)=5+3u-4v

写成新积分：

\iint_R (x-2y)\,dA = \iint_S (5+3u-4v)\cdot 6\,du\,dv

单位圆关于 $u$ 轴和 $v$ 轴都对称，所以 $\iint_S u\,du\,dv=0$ ， $\iint_S v\,du\,dv=0$ 。只剩常数项：

6\cdot 5\cdot \pi=30\pi

斜平行四边形的例题

如果区域由几组斜直线围成，常见策略是把这些直线本身选作新变量。

设 $R$ 由四条直线围成：

x-y=0,\qquad x-y=2,\qquad x+y=1,\qquad x+y=4

令

u=x-y,\qquad v=x+y

那么 $R$ 在 $uv$ 平面中变成矩形：

0\le u\le 2,\qquad 1\le v\le 4

斜平行四边形区域经 u=x-y、v=x+y 变量替换后变为矩形的示意图

例题：计算

\iint_R (x+y)\,dA

先解出反变换。由 $u=x-y$ 、 $v=x+y$ 得

x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2}

计算 $x,y$ 对 $u,v$ 的 Jacobian：

J= \det \begin{pmatrix} \dfrac12 & \dfrac12\\ -\dfrac12 & \dfrac12 \end{pmatrix} =\frac12

所以 $dA=\dfrac12\,du\,dv$ 。

被积函数 $x+y$ 正好等于 $v$ ，于是

\iint_R (x+y)\,dA = \int_0^2\int_1^4 v\cdot \frac12\,dv\,du

完成计算：

\int_0^2\int_1^4 \frac{v}{2}\,dv\,du = \int_0^2 \frac{1}{4}(16-1)\,du = \frac{15}{2}

区域变换不只是为了“换一种写法”。它的目标是让边界变简单，让积分限更接近常数。

极坐标只是一个特例

极坐标对应的变换是

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

Jacobian 为

J= \det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} =r

所以

dA=r\,dr\,d\theta

这说明极坐标中的 $r$ 正是 Jacobian。它来自几何事实：同样的角度宽度 $d\theta$ ，离原点越远，对应的弧长越长，小扇形面积也越大。

极坐标里最常见的漏项是忘记乘 $r$ 。一般变量替换里同样会发生这个错误，只是漏掉的因子从 $r$ 换成了 $|J(u,v)|$ 。

三维版本

三重积分中的变量替换完全同理。若

x=x(u,v,w),\qquad y=y(u,v,w),\qquad z=z(u,v,w)

则

dV= \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right| \,du\,dv\,dw

其中

\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \det \begin{pmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w \end{pmatrix}

几何上， $uvw$ 空间里的小长方体会被送到 $xyz$ 空间里的小平行六面体。Jacobian 的绝对值就是这个小平行六面体的体积相对于原小长方体体积的比例。

三维变量替换中，参数空间小长方体被映射为空间斜平行六面体，体积元乘以 Jacobian 绝对值。

这就是柱坐标和球坐标中体积微元的来源。例如柱坐标的 $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$ ，球坐标的 $dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ ，都只是三维 Jacobian 的具体结果。

常见检查点

做变量替换题时，可以按下面的顺序检查。

先判断新变量是否真的让边界变简单。如果换完以后区域更复杂，通常说明变量选得不合适，或应该换另一组边界表达式。

再确认你手上需要的是 $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 还是 $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ 。积分中的面积因子必须对应 $dx\,dy$ 被写成多少倍的 $du\,dv$ 。

接着检查绝对值。行列式可以为负，但面积和体积因子不能为负。

最后检查一一对应。像 $x=u^2-v^2$ 、 $y=2uv$ 这种角度会翻倍的变换，在大区域上可能不是一一对应，需要拆分区域或额外说明。

练习

练习 1：设 $x=2u+v$ ， $y=u-v$ 。求 $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ ，并说明面积缩放因子。

Jacobian 为

\det \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} =-3

面积缩放因子是 $|-3|=3$ 。负号表示方向翻转，不表示面积为负。

练习 2：用变量替换求椭圆

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}\le 1

的面积。

令 $x=2u$ 、 $y=5v$ ，椭圆变成单位圆 $u^2+v^2\le 1$ 。Jacobian 为

J= \det \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix} =10

所以面积为

\iint_{u^2+v^2\le 1}10\,du\,dv=10\pi

练习 3：设 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 。直接计算 Jacobian，并解释为什么 $r=0$ 处要小心。

Jacobian 为

\det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} =r

当 $r=0$ 时，所有角度 $\theta$ 都对应同一个原点，变换不是一一对应。通常这只是一个面积为 $0$ 的点，不影响常规二重积分，但它提醒我们变量替换公式需要关注一一对应和 Jacobian 不为 $0$ 的条件。

练习 4：区域 $R$ 由 $x+y=0$ 、 $x+y=3$ 、 $x-2y=1$ 、 $x-2y=5$ 围成。若令 $u=x+y$ 、 $v=x-2y$ ，写出新区域，并求 $dA$ 与 $du\,dv$ 的关系。

新区域是矩形

0\le u\le 3,\qquad 1\le v\le 5

由

u=x+y,\qquad v=x-2y

解得

x=\frac{2u+v}{3},\qquad y=\frac{u-v}{3}

因此

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \dfrac23 & \dfrac13\\ \dfrac13 & -\dfrac13 \end{pmatrix} =-\frac13

所以

dA=\frac13\,du\,dv

练习 5：设 $x=u^2-v^2$ 、 $y=2uv$ 。求 Jacobian，并说明为什么在包含原点的一整个圆盘上使用这个变换时需要额外小心。

Jacobian 为

J= \det \begin{pmatrix} 2u & -2v\\ 2v & 2u \end{pmatrix} =4u^2+4v^2

它在原点为 $0$ 。更重要的是，这个变换会把角度变成原来的两倍，许多不同的 $(u,v)$ 会对应同一个 $(x,y)$ 。因此在较大区域上直接套公式可能重复计数，需要拆分成一一对应的部分再积分。

变量替换与 Jacobian

学过极坐标之后，我们已经见过一次变量替换：

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

这一章把极坐标放进更一般的框架。我们会把

x=x(u,v),\qquad y=y(u,v)

从面积缩放看 Jacobian

先看线性变换。设

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}

在 $uv$ 平面里，一个边长分别为 $du$ 和 $dv$ 的小矩形，会被送到 $xy$ 平面里的一个平行四边形。它的两条边向量分别接近

\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}du, \qquad \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}dv

这个平行四边形的面积是

|ad-bc|\,du\,dv

所以矩阵行列式的绝对值就是面积缩放因子。行列式本身有正负号，负号表示方向翻转；面积没有方向，所以积分中使用绝对值。

线性变换把 uv 平面中的小正方形映到 xy 平面中的平行四边形，面积缩放为 |J| du dv。

Jacobian 不是凭空加进积分的系数。它记录的是换坐标以后，小面积块在目标平面中被拉伸、压缩或翻转的程度。

下面的交互可以直接调矩阵，看单位正方形如何变成平行四边形。行列式为负时，平行四边形的面积因子仍然取正值。

非线性变换的局部线性化

实际使用的变量替换常常不是线性的。比如极坐标是

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

对一般变换

x=x(u,v),\qquad y=y(u,v)

在点 $(u,v)$ 附近，小变化满足

\begin{pmatrix} dx\\ dy \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} du\\ dv \end{pmatrix}

这就是 Jacobian 矩阵。它的行列式

J(u,v)= \det \begin{pmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{pmatrix} =x_u y_v-x_v y_u

给出点 $(u,v)$ 附近的局部面积缩放因子。

非线性变量变换下，uv 平面的规则小网格被映到 xy 平面的弯曲网格；局部小区域可近似为平行四边形，并显示 Jacobian 随位置变化。

非线性变换的想法是“先切得足够小，再在每个小块上当成线性变换”。因此 Jacobian 可以随位置变化，积分会把这些局部缩放率全部累加起来。

这个交互展示一个弯曲网格。拖动参数或采样点时，右侧局部小块的面积因子会随位置改变。

二重积分的变量替换公式

设变换

T(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)

变量替换公式是

\iint_R f(x,y)\,dA = \iint_S f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,|J(u,v)|\,du\,dv

其中

J(u,v)= \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}

这个公式有三个动作：

先用 $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ 把被积函数中的 $x$ 和 $y$ 全部换成 $u$ 和 $v$ 。

再把原区域 $R$ 的边界翻译成 $uv$ 平面中的区域 $S$ 。好的变量替换通常会把斜边、椭圆或曲边区域变成矩形、圆盘或简单扇形。

最后乘上面积因子 $|J(u,v)|$ ，并用 $du\,dv$ 写新的积分。

Jacobian 行列式有符号，J 大于 0 保持方向，J 小于 0 翻转方向，面积因子取绝对值的教学示意图

椭圆区域的例题

很多椭圆积分真正难的不是被积函数，而是区域。椭圆

\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}\le 1

可以通过平移和缩放变成单位圆：

x=1+3u,\qquad y=-2+2v

这时新区域是

u^2+v^2\le 1

椭圆区域通过变量替换拉回为单位圆的示意图

例题：计算

\iint_R (x-2y)\,dA

其中 $R$ 是上面的椭圆区域。

选取变量替换 $x=1+3u$ 、 $y=-2+2v$ 。椭圆边界变成 $u^2+v^2=1$ ，所以新区域 $S$ 是单位圆盘。

计算 Jacobian：

J= \det \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} =6

因此 $dA=6\,du\,dv$ 。

改写被积函数：

x-2y=(1+3u)-2(-2+2v)=5+3u-4v

写成新积分：

\iint_R (x-2y)\,dA = \iint_S (5+3u-4v)\cdot 6\,du\,dv

单位圆关于 $u$ 轴和 $v$ 轴都对称，所以 $\iint_S u\,du\,dv=0$ ， $\iint_S v\,du\,dv=0$ 。只剩常数项：

6\cdot 5\cdot \pi=30\pi

斜平行四边形的例题

如果区域由几组斜直线围成，常见策略是把这些直线本身选作新变量。

设 $R$ 由四条直线围成：

x-y=0,\qquad x-y=2,\qquad x+y=1,\qquad x+y=4

令

u=x-y,\qquad v=x+y

那么 $R$ 在 $uv$ 平面中变成矩形：

0\le u\le 2,\qquad 1\le v\le 4

斜平行四边形区域经 u=x-y、v=x+y 变量替换后变为矩形的示意图

例题：计算

\iint_R (x+y)\,dA

先解出反变换。由 $u=x-y$ 、 $v=x+y$ 得

x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2}

计算 $x,y$ 对 $u,v$ 的 Jacobian：

J= \det \begin{pmatrix} \dfrac12 & \dfrac12\\ -\dfrac12 & \dfrac12 \end{pmatrix} =\frac12

所以 $dA=\dfrac12\,du\,dv$ 。

被积函数 $x+y$ 正好等于 $v$ ，于是

\iint_R (x+y)\,dA = \int_0^2\int_1^4 v\cdot \frac12\,dv\,du

完成计算：

\int_0^2\int_1^4 \frac{v}{2}\,dv\,du = \int_0^2 \frac{1}{4}(16-1)\,du = \frac{15}{2}

区域变换不只是为了“换一种写法”。它的目标是让边界变简单，让积分限更接近常数。

极坐标只是一个特例

极坐标对应的变换是

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

Jacobian 为

J= \det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} =r

所以

dA=r\,dr\,d\theta

这说明极坐标中的 $r$ 正是 Jacobian。它来自几何事实：同样的角度宽度 $d\theta$ ，离原点越远，对应的弧长越长，小扇形面积也越大。

极坐标里最常见的漏项是忘记乘 $r$ 。一般变量替换里同样会发生这个错误，只是漏掉的因子从 $r$ 换成了 $|J(u,v)|$ 。

三维版本

三重积分中的变量替换完全同理。若

x=x(u,v,w),\qquad y=y(u,v,w),\qquad z=z(u,v,w)

则

dV= \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right| \,du\,dv\,dw

其中

\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \det \begin{pmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w \end{pmatrix}

几何上， $uvw$ 空间里的小长方体会被送到 $xyz$ 空间里的小平行六面体。Jacobian 的绝对值就是这个小平行六面体的体积相对于原小长方体体积的比例。

三维变量替换中，参数空间小长方体被映射为空间斜平行六面体，体积元乘以 Jacobian 绝对值。

常见检查点

做变量替换题时，可以按下面的顺序检查。

先判断新变量是否真的让边界变简单。如果换完以后区域更复杂，通常说明变量选得不合适，或应该换另一组边界表达式。

再确认你手上需要的是 $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 还是 $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ 。积分中的面积因子必须对应 $dx\,dy$ 被写成多少倍的 $du\,dv$ 。

接着检查绝对值。行列式可以为负，但面积和体积因子不能为负。

最后检查一一对应。像 $x=u^2-v^2$ 、 $y=2uv$ 这种角度会翻倍的变换，在大区域上可能不是一一对应，需要拆分区域或额外说明。

练习

练习 1：设 $x=2u+v$ ， $y=u-v$ 。求 $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ ，并说明面积缩放因子。

Jacobian 为

\det \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} =-3

面积缩放因子是 $|-3|=3$ 。负号表示方向翻转，不表示面积为负。

练习 2：用变量替换求椭圆

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}\le 1

的面积。

令 $x=2u$ 、 $y=5v$ ，椭圆变成单位圆 $u^2+v^2\le 1$ 。Jacobian 为

J= \det \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix} =10

所以面积为

\iint_{u^2+v^2\le 1}10\,du\,dv=10\pi

练习 3：设 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 。直接计算 Jacobian，并解释为什么 $r=0$ 处要小心。

Jacobian 为

\det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} =r

练习 4：区域 $R$ 由 $x+y=0$ 、 $x+y=3$ 、 $x-2y=1$ 、 $x-2y=5$ 围成。若令 $u=x+y$ 、 $v=x-2y$ ，写出新区域，并求 $dA$ 与 $du\,dv$ 的关系。

新区域是矩形

0\le u\le 3,\qquad 1\le v\le 5

由

u=x+y,\qquad v=x-2y

解得

x=\frac{2u+v}{3},\qquad y=\frac{u-v}{3}

因此

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \dfrac23 & \dfrac13\\ \dfrac13 & -\dfrac13 \end{pmatrix} =-\frac13

所以

dA=\frac13\,du\,dv

练习 5：设 $x=u^2-v^2$ 、 $y=2uv$ 。求 Jacobian，并说明为什么在包含原点的一整个圆盘上使用这个变换时需要额外小心。

Jacobian 为

J= \det \begin{pmatrix} 2u & -2v\\ 2v & 2u \end{pmatrix} =4u^2+4v^2