柱坐标、球坐标与空间坐标变换

三重积分里最费力的部分，常常不是积分本身，而是区域边界太难写。一个球在直角坐标里要写成 $x^2+y^2+z^2\le R^2$，切成上下函数时还会出现平方根；同一个球在球坐标里只是 $0\le \rho\le R$。坐标变换的目的，就是让区域的形状和积分限说同一种话。

这一章只处理最常用的两套空间坐标：柱坐标和球坐标。我们会把它们看成从参数空间到真实空间的映射，并把体积微元里的 $r$、$\rho^2\sin\phi$ 解释成小块被拉伸后的体积比例。

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同一个点的三种说法

空间中的一个点可以用直角坐标写成 $(x,y,z)$。如果点的投影在 $xy$ 平面上更重要，我们用柱坐标；如果点到原点的距离和方向更重要，我们用球坐标。

同一个空间点可以用直角坐标 $(x,y,z)$、柱坐标 $(r,\theta,z)$ 或球坐标 $(\rho,\phi,\theta)$ 来定位。

柱坐标保留竖直方向的 $z$，只把 $xy$ 平面中的直角坐标换成极坐标：

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z$$

这里 $r\ge 0$ 是点到 $z$ 轴的距离，$\theta$ 是从正 $x$ 轴转到点的投影所需的角度。反过来，

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x)$$

球坐标从原点出发定位点。本文使用多元微积分中常见的约定：$\rho$ 是点到原点的距离，$\phi$ 是从正 $z$ 轴向下量到射线 $OP$ 的角，$\theta$ 仍是 $xy$ 平面中的方位角。

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\phi$$

其中 $\rho\ge 0$，$0\le \phi\le \pi$。点在 $xy$ 平面上的投影半径是

$$r=\rho\sin\phi$$

把点 $(1,\sqrt 3,2)$ 写成柱坐标时，$r=2$，$\theta=\pi/3$，$z=2$。写成球坐标时，$\rho=\sqrt{1+3+4}=2\sqrt2$，而

$$\cos\phi=\frac{z}{\rho}=\frac{1}{\sqrt2}$$

所以 $\phi=\pi/4$，方位角仍是 $\theta=\pi/3$。同一个点没有变，变的是我们描述它的语言。

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柱坐标中的体积微元

柱坐标适合围绕一条轴旋转的区域。常见信号包括 $x^2+y^2$、圆柱面、圆盘底面、绕 $z$ 轴对称的密度函数。柱坐标的坐标曲面也很好认：

• $r=c$ 是半径为 $c$ 的圆柱面。
• $\theta=c$ 是穿过 $z$ 轴的竖直半平面。
• $z=c$ 是水平平面。

柱坐标不是把 $dx\,dy\,dz$ 直接替换成 $dr\,d\theta\,dz$。当角度增加 $d\theta$ 时，实际弧长不是 $d\theta$，而是 $r\,d\theta$。所以一个很小的柱坐标楔块近似有三条边：

$$dr,\qquad r\,d\theta,\qquad dz$$

于是体积微元是

$$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$$

柱坐标体积微元由径向厚度 $dr$、弧向长度 $r\,d\theta$ 与高度 $dz$ 相乘近似得到，即 $dV\approx r\,dr\,d\theta\,dz$。

例题：带径向密度的圆柱

设实体 $E$ 是圆柱

$$x^2+y^2\le 4,\qquad 0\le z\le 3$$

密度为 $\delta(x,y,z)=z+\sqrt{x^2+y^2}$。求实体质量。

如果遗漏体积因子 $r$，同一道题会变成 $\int(z+r)\,dz\,dr\,d\theta$，这相当于把每个角度小块都当成同样宽。靠近轴和远离轴的扇形块被错误地看成一样大，结果会失真。

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球坐标中的体积微元

球坐标适合边界由球面、圆锥面、穿过 $z$ 轴的半平面组成的区域。它的坐标曲面是：

• $\rho=c$ 是以原点为球心的球面。
• $\phi=c$ 是以 $z$ 轴为轴的圆锥面。
• $\theta=c$ 是穿过 $z$ 轴的竖直半平面。

在半径为 $\rho$ 的球面附近，小块的三条边近似是

$$d\rho,\qquad \rho\,d\phi,\qquad \rho\sin\phi\,d\theta$$

第三条边带有 $\sin\phi$，因为方位角 $\theta$ 对应的圆周半径不是 $\rho$，而是点到 $z$ 轴的距离 $\rho\sin\phi$。因此球坐标体积微元为

$$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$$

球坐标体积微元来自三条近似边长 $d\rho$、$\rho\,d\phi$、$\rho\sin\phi\,d\theta$，因此 $dV\approx \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$。

例题：用球坐标计算球体体积

求半径为 $a$ 的球体

$$x^2+y^2+z^2\le a^2$$

的体积。

例题：球内圆锥区域

设 $E$ 是半径为 $4$ 的球内、圆锥 $\phi=\pi/3$ 上方的区域。这里“上方”表示靠近正 $z$ 轴的一侧。求体积。

这个区域的边界在球坐标中很短：

$$0\le \rho\le 4,\qquad 0\le \phi\le \frac{\pi}{3},\qquad 0\le\theta\le 2\pi$$

于是

$$V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/3}\int_0^4 \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta =\frac{64\pi}{3}$$

这个区域位于圆锥上方、靠近正 $z$ 轴的一侧，因此球坐标里是 $0\le\phi\le\pi/3$，$0\le\rho\le 4$。

如果用直角坐标写这个区域，会同时遇到球面和圆锥面两个平方根边界。球坐标把它们分别压缩成 $\rho$ 的上界和 $\phi$ 的上界。

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Jacobian 的几何意义

柱坐标和球坐标都是坐标变换。更一般地，设

$$(x,y,z)=T(u,v,w)$$

把参数空间中的点送到真实空间。三重积分换元时，体积元要乘上 Jacobian 行列式的绝对值：

$$dV=\left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,du\,dv\,dw$$

柱坐标的变换是

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z$$

它的 Jacobian 是

$$\left|\det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right|=r$$

球坐标的变换是

$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\phi$$

它的 Jacobian 是

$$\rho^2\sin\phi$$

Jacobian 表示局部面积或体积的放大倍数。

Jacobian 可以理解成“小方块、小盒子被变换后放大了多少”。在极坐标里，参数平面中的小矩形 $dr\,d\theta$ 变成真实平面中的小扇形，面积近似为 $r\,dr\,d\theta$。柱坐标把这个扇形再向 $z$ 方向拉出高度；球坐标则让经向、纬向、径向三条边一起决定小体积。

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选择坐标系的判断

选坐标系不靠记忆题型，而是看边界像哪种坐标曲面。下面的判断通常很快：

看边界像哪种坐标曲面：圆柱适合柱坐标，球体适合球坐标，圆锥对应 $\phi$ 为常数。

有时两个坐标系都能用。例如圆锥 $z=r$ 在柱坐标中是 $z=r$，在球坐标中是 $\phi=\pi/4$。如果区域还被球面截住，球坐标通常更短；如果还被平面 $z=3$ 截住，柱坐标可能更直观。

例题：比较积分限

考虑区域 $E$：

$$x^2+y^2\le 4,\qquad x^2+y^2\le z\le 4$$

这是抛物面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=4$ 之间、投影落在半径为 $2$ 的圆盘内的实体。用柱坐标时，

$$0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 2,\qquad r^2\le z\le 4$$

体积为

$$V=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta$$

计算得到

$$V=2\pi\int_0^2(4-r^2)r\,dr=8\pi$$

这个例子并不是球坐标不能做，而是柱坐标让抛物面 $z=x^2+y^2$ 变成了 $z=r^2$，投影圆盘也变成了 $0\le r\le 2$。

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典型计算

下面两个例题把“区域、函数、Jacobian”三件事放在一起检查。

例题：球内径向函数

计算

$$\iiint_B (x^2+y^2+z^2)\,dV$$

其中 $B$ 是半径为 $2$、以原点为球心的球体。

例题：由两个曲面围成的柱坐标区域

求由 $z=9-x^2-y^2$ 与 $z=0$ 围成的实体体积。

这个实体绕 $z$ 轴旋转，对应的柱坐标范围是 $0\le r\le 3$，$0\le z\le 9-r^2$。

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常见误区

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练习

练习 1

把点 $(0,-2,2)$ 写成柱坐标和本章约定下的球坐标。角度取 $0\le\theta<2\pi$，$0\le\phi\le\pi$。

练习 2

用柱坐标写出圆柱

$$x^2+y^2\le 9,\qquad -1\le z\le 2$$

的体积积分，并求体积。

练习 3

用球坐标计算半径为 $5$ 的上半球体积。

练习 4

写出半径为 $2$ 的球内、圆锥 $z=\sqrt3\sqrt{x^2+y^2}$ 上方区域的球坐标积分限，并求体积。

练习 5

计算

$$\iiint_E e^{x^2+y^2}\,dV$$

其中 $E$ 是圆柱 $x^2+y^2\le 1$、$0\le z\le 1$。

练习 6

有同学计算单位球体体积时写成

$$\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 \rho^2\,d\rho\,d\phi\,d\theta$$

这一步错在哪里？错误结果和正确结果分别是多少？