三重积分：空间区域中的累积

二重积分把平面区域切成小矩形，再把每个小矩形上的量加起来。三重积分做的是同一件事，只是区域从一张平面变成一个空间实体，小块从小矩形变成小长方体。

如果 $E$ 是空间中的实体，$f(x,y,z)$ 是定义在实体内的量，那么

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV$$

表示把 $E$ 内每一点附近的小体积所携带的量累加起来。这里的 $dV$ 是体积微元。在直角坐标中，它对应一个很小的长方体体积。

三重积分的基本画面：空间区域、取样点、密度和小体积一起决定每一小块的贡献。

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从小长方体开始

先看一个盒状区域

$$B=[a,b]\times[c,d]\times[e,h].$$

把 $[a,b]$ 分成 $m$ 段，把 $[c,d]$ 分成 $n$ 段，把 $[e,h]$ 分成 $p$ 段。这样 $B$ 被切成 $mnp$ 个小长方体。每个小长方体的体积是

$$\Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z.$$

在第 $(i,j,k)$ 个小长方体中取一个点 $(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)$，用函数值近似这一小块上的量。所有小块加起来，得到三重黎曼和

$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{p} f(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,\Delta V.$$

当三个方向的网格都不断变细，这个和的极限就是三重积分。

$$\iiint_B f(x,y,z)\,dV =\lim_{\max \Delta V\to 0} \sum f(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,\Delta V.$$

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盒状区域与迭代积分

盒状区域最像一维定积分的直接推广。若 $f$ 在盒状区域 $B=[a,b]\times[c,d]\times[e,h]$ 上连续，就可以把三重积分写成迭代积分。

$$\iiint_B f(x,y,z)\,dV = \int_a^b\int_c^d\int_e^h f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

最内层的 $dz$ 表示先固定 $x$ 和 $y$，沿着竖直方向累加；得到一个关于 $x,y$ 的函数后，再沿 $y$ 累加；最后沿 $x$ 累加。

盒状区域中，六种积分次序都可以使用。选择顺序时看计算是否更顺手。

例题：计算盒状区域上的三重积分

计算

$$\iiint_B (x+2y+3z)\,dV, \quad B=[0,2]\times[1,3]\times[0,1].$$

这里的数值 $26$ 不一定是体积。只有当被积函数恒为 $1$ 时，三重积分才直接给出区域体积。

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一般空间区域：先找影子，再找高度

真实题目中的空间区域很少刚好是盒子。更常见的情况是：实体在 $xy$ 平面上有一个投影区域 $D$，而每个 $(x,y)$ 上方有一段竖直线段。

如果区域可以写成

$$E=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\},$$

那么三重积分可以写成

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iint_D\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right)dA.$$

这句话的读法很具体：先在平面上确定一点 $(x,y)$，再沿着通过这一点的竖直线段从下表面积到上表面，最后把所有竖直线段在投影区域 $D$ 上累加。

先找投影区域，再找穿过实体的线段上下端点，是写三重积分限的常用方法。

例题：第一卦限中平面下方的累积

设 $E$ 是第一卦限内、平面

$$2x+3y+z=6$$

下方的实体。计算

$$\iiint_E 2x\,dV.$$

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积分次序：先画切片，再写符号

三重积分有六种常见次序：

$$dx\,dy\,dz,\quad dx\,dz\,dy,\quad dy\,dx\,dz,\quad dy\,dz\,dx,\quad dz\,dx\,dy,\quad dz\,dy\,dx.$$

这些写法不是把字母随意排列。每一种次序都对应一种切片方式。若最内层是 $dz$，通常先看 $xy$ 平面的投影；若最内层是 $dx$，通常先看 $yz$ 平面的投影；若最内层是 $dy$，通常先看 $xz$ 平面的投影。

改变积分次序时，本质上是在换投影平面和切片方向。

以第一卦限内平面 $x+y+z=4$ 下方的四面体为例。如果先沿 $z$ 方向累加，可以写成

$$\int_0^4\int_0^{4-x}\int_0^{4-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$

如果改成最内层先对 $x$ 积分，就要看 $yz$ 平面的投影。投影满足 $y\ge 0$、$z\ge 0$、$y+z\le 4$，固定 $(y,z)$ 后，

$$0\le x\le 4-y-z.$$

于是同一个积分也可以写成

$$\int_0^4\int_0^{4-y}\int_0^{4-y-z} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.$$

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体积、质量、平均值和质心

三重积分最直接的应用是体积。若 $E$ 是空间实体，那么

$$V(E)=\iiint_E 1\,dV.$$

若实体密度为 $\rho(x,y,z)$，质量是

$$M=\iiint_E \rho(x,y,z)\,dV.$$

如果 $f(x,y,z)$ 表示温度、浓度、电荷密度以外的某种场量，它在 $E$ 上的平均值是

$$f_{\mathrm{avg}} = \frac{1}{V(E)}\iiint_E f(x,y,z)\,dV.$$

若 $\rho(x,y,z)$ 是质量密度，质心坐标为

$$\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_E x\rho(x,y,z)\,dV,\quad \bar{y}=\frac{1}{M}\iiint_E y\rho(x,y,z)\,dV,\quad \bar{z}=\frac{1}{M}\iiint_E z\rho(x,y,z)\,dV.$$

质心由质量分布决定。密度不均匀时，它不一定在几何中心。

例题：密度变化时质心会移动

长方体

$$E=[0,1]\times[0,2]\times[0,1]$$

的密度为

$$\rho(x,y,z)=1+x.$$

求它的质量和质心。

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用截面理解空间区域

有些实体不好直接想象成“竖直线段堆起来”，但可以看成一张张截面叠起来。固定 $z$，得到截面面积 $A(z)$，再把这些截面沿 $z$ 方向累加，就得到体积：

$$V=\int_m^n A(z)\,dz.$$

这其实也是三重积分的切片思想。只是内层两重积分已经被概括成了截面面积。

固定一个变量得到横截面，是理解空间区域和估算体积的有效方式。

例如实体位于 $xy$ 平面上方、曲面

$$z=4-x^2-y^2$$

下方。固定 $z$ 后，截面满足

$$x^2+y^2\le 4-z.$$

所以截面是半径 $\sqrt{4-z}$ 的圆，面积为

$$A(z)=\pi(4-z),\quad 0\le z\le 4.$$

于是体积为

$$V=\int_0^4\pi(4-z)\,dz=8\pi.$$

这里没有把三重积分完全展开成 $dx\,dy\,dz$ 的形式，但思想相同：先把每一层的累积看清楚，再沿高度方向累加。

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常见误区

把投影区域当成实体本身

投影区域 $D$ 只是实体在某个坐标平面上的影子。它负责外两层变量的范围，不包含最内层变量的上下界。若区域写成

$$E=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\},$$

那么 $D$ 只回答“哪些 $(x,y)$ 会被用到”，不回答“$z$ 到哪里为止”。

忘记被积函数的单位

若 $\rho$ 是质量密度，$\rho\,dV$ 是质量；若 $f$ 是温度，$f\,dV$ 不是温度，而是“温度乘体积”的累积。要得到平均温度，必须除以体积。

机械改变积分次序

改变次序时不能只移动 $dx,dy,dz$。上下限也必须跟着新的投影和切片方向重写。对一般区域来说，积分次序改变后，上下限通常会变。

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练习

练习 1

计算

$$\iiint_B xyz\,dV, \quad B=[0,2]\times[0,1]\times[1,3].$$

练习 2

设 $E$ 位于曲面 $z=3+x-y$ 下方、$xy$ 平面上方，且投影区域为矩形 $0\le x\le 2$、$0\le y\le 1$。写出计算体积的三重积分，并求体积。

练习 3

设 $E$ 是第一卦限内平面 $x+y+z=1$ 下方的四面体。用 $dz\,dy\,dx$ 的次序写出 $\iiint_E f(x,y,z)\,dV$，并求 $E$ 的体积。

练习 4

把积分

$$\int_0^4\int_0^{4-x}\int_0^{4-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx$$

改写成最内层先对 $x$ 积分的形式。

练习 5

单位立方体 $0\le x,y,z\le 1$ 的密度为 $\rho(x,y,z)=2+z$。求质量和质心。