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上一节一般区域上的二重积分与积分次序下一节三重积分：空间区域中的累积
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数学多变量微积分 I：偏导数、重积分与向量场极坐标中的二重积分

极坐标中的二重积分

前两章我们把二重积分看成“在平面区域上累加”。如果区域是矩形，直角坐标最自然；如果区域由圆、圆环、扇形或极坐标曲线围成，直角坐标往往会把边界写成根号函数，还可能迫使我们拆成几段。

极坐标的作用不是把所有题目都变简单，而是在区域和被积函数都围绕“离原点的距离”和“角度”组织时，让积分限和被积表达式一起变得顺手。本章的核心问题是：圆形或扇形区域为什么更适合用极坐标？

直角网格与极坐标网格在圆形区域上的适配对比图

为什么圆形区域会变简单

极坐标用一对数 (r,θ)(r,\theta)(r,θ) 描述平面上的点，其中 rrr 是点到原点的距离，θ\thetaθ 是从正 xxx 轴转到该点方向的角。和直角坐标的转换关系是

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\thetax=rcosθ,y=rsinθ

以及

r2=x2+y2.r^2=x^2+y^2.r2=x2+y2.

当区域的边界包含 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2x2+y2=a2、x2+y2=b2x^2+y^2=b^2x2+y2=b2 这样的圆时，极坐标会把它们改写成 r=ar=ar=a、r=br=br=b。一个圆盘不再需要写成 −a2−x2≤y≤a2−x2-\sqrt{a^2-x^2}\le y\le \sqrt{a^2-x^2}−a2−x2​≤y≤a2−x2​，而是直接写成

0≤r≤a,0≤θ≤2π.0\le r\le a,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.0≤r≤a,0≤θ≤2π.

这种简化有两个来源。第一，圆形边界在极坐标中常常是“rrr 等于常数”或“rrr 是 θ\thetaθ 的简单函数”。第二，很多函数也会变简单，例如 x2+y2x^2+y^2x2+y2 直接变成 r2r^2r2。

判断是否应该换成极坐标时，先看区域，再看函数。区域里有圆盘、圆环、扇形、心形线、玫瑰线，或者被积函数里反复出现 x2+y2x^2+y^2x2+y2，通常值得尝试极坐标。

面积微元来自小扇形

直角坐标中的小块面积是 ΔxΔy\Delta x\Delta yΔxΔy，因为小块近似为一个小矩形。极坐标的小块由两条射线和两条圆弧围成，更像一个很薄的扇形环片。

极坐标网格中一块小扇形面积微元，标出 r、Δr、rΔθ 和 Δθ

设这个小块位于半径 rrr 附近，径向厚度是 Δr\Delta rΔr，角宽是 Δθ\Delta\thetaΔθ。靠近半径 rrr 的弧长约为 rΔθr\Delta\thetarΔθ，于是小块面积约为

ΔA≈rΔθ⋅Δr.\Delta A\approx r\Delta\theta\cdot \Delta r.ΔA≈rΔθ⋅Δr.

如果用扇形面积精确计算，半径从 rrr 到 r+Δrr+\Delta rr+Δr 的环形扇形面积是

ΔA=12((r+Δr)2−r2)Δθ=rΔrΔθ+12(Δr)2Δθ.\Delta A =\frac{1}{2}\left((r+\Delta r)^2-r^2\right)\Delta\theta =r\Delta r\Delta\theta+\frac{1}{2}(\Delta r)^2\Delta\theta.ΔA=21​((r+Δr)2−r2)Δθ=rΔrΔθ+21​(Δr)2Δθ.

当 Δr\Delta rΔr 和 Δθ\Delta\thetaΔθ 同时趋近于 000 时，二阶小量消失，留下的面积微元是

dA=r dr dθ.dA=r\,dr\,d\theta.dA=rdrdθ.

这就是极坐标二重积分中多出来的那个 rrr。它不是被积函数的一部分，而是面积单位本身变了。

最常见的错误是只把 xxx 和 yyy 换成 rcos⁡θr\cos\thetarcosθ、rsin⁡θr\sin\thetarsinθ，却仍然写 dr dθdr\,d\thetadrdθ。极坐标网格越远离原点，同样的角宽对应的弧长越长，所以面积必须带上因子 rrr。

如果 DDD 在极坐标中写成

α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),\alpha\le \theta\le \beta,\qquad g(\theta)\le r\le h(\theta),α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),

那么

∬Df(x,y) dA=∫αβ∫g(θ)h(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ.\iint_D f(x,y)\,dA = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{g(\theta)}^{h(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.∬D​f(x,y)dA=∫αβ​∫g(θ)h(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.

这条公式里有三件事同时发生：点的坐标变了，区域的边界变了，面积微元也变了。

从区域读出积分限

极坐标积分限的基本读法是“先定角度，再沿射线看半径”。固定一个角度 θ\thetaθ，从原点发出一条射线，观察它进入区域和离开区域的位置。进入位置给出内半径，离开位置给出外半径。

圆盘、圆环、扇形三类常见极坐标区域及其二重积分限示意图

先画区域，并标出原点、极轴和关键边界。圆、圆环、扇形、过原点的射线都应该先在图上看出来。

再确定角度范围。问自己：哪些方向的射线会扫到整个区域？如果射线从正 xxx 轴逆时针扫，起始角和终止角分别是多少？

固定一个普通角度 θ\thetaθ，沿这条射线从原点往外走。第一次进入区域的位置是 rrr 的下限，最后离开区域的位置是 rrr 的上限。

最后把被积函数和面积微元一起改写。不要在写完积分限后忘记把 dAdAdA 改成 r dr dθr\,dr\,d\thetardrdθ。

例题：上半圆环上的径向函数

求

∬D(x2+y2) dA,\iint_D (x^2+y^2)\,dA,∬D​(x2+y2)dA,

其中 DDD 是上半圆环

1≤x2+y2≤9,y≥0.1\le x^2+y^2\le 9,\qquad y\ge 0.1≤x2+y2≤9,y≥0.

区域在半径 111 和半径 333 的圆之间，并且只取上半平面。因此极坐标下的半径范围是 1≤r≤31\le r\le 31≤r≤3，角度范围是 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi0≤θ≤π。

被积函数满足 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2，面积微元是 dA=r dr dθdA=r\,dr\,d\thetadA=rdrdθ，所以原积分变成

∫0π∫13r2⋅r dr dθ.\int_0^\pi\int_1^3 r^2\cdot r\,dr\,d\theta.∫0π​∫13​r2⋅rdrdθ.

先对 rrr 积分：

∫13r3 dr=34−144=20.\int_1^3 r^3\,dr=\frac{3^4-1^4}{4}=20.∫13​r3dr=434−14​=20.

再对角度积分：

∫0π20 dθ=20π.\int_0^\pi 20\,d\theta=20\pi.∫0π​20dθ=20π.

因此原积分等于 20π20\pi20π。

这个例题里，极坐标同时简化了区域和函数。如果坚持用直角坐标，需要把上下圆弧和内外边界都写成根号，还要拆区域。

由直角方程改写极坐标区域

有些区域起初用直角坐标给出，但它们的形状仍然适合极坐标。做法是把 xxx、yyy、x2+y2x^2+y^2x2+y2 分别换成 rcos⁡θr\cos\thetarcosθ、rsin⁡θr\sin\thetarsinθ、r2r^2r2，然后整理边界。

常见边界包括：

x2+y2=a2⟺r=a,x^2+y^2=a^2\quad \Longleftrightarrow\quad r=a,x2+y2=a2⟺r=a, x2+y2=2ax⟺r=2acos⁡θ,x^2+y^2=2ax\quad \Longleftrightarrow\quad r=2a\cos\theta,x2+y2=2ax⟺r=2acosθ, x2+y2=2ay⟺r=2asin⁡θ.x^2+y^2=2ay\quad \Longleftrightarrow\quad r=2a\sin\theta.x2+y2=2ay⟺r=2asinθ.

坐标平面中的偏心圆，圆心在 (a,0)，射线从原点到边界 r=2a cosθ

第二个方程表示圆心在 (a,0)(a,0)(a,0)、半径为 aaa 的圆。它经过原点，所以从原点出发的射线进入区域时通常从 r=0r=0r=0 开始，离开区域时到达 r=2acos⁡θr=2a\cos\thetar=2acosθ。为了让半径非负，需要 cos⁡θ≥0\cos\theta\ge 0cosθ≥0，因此自然角度范围是

−π2≤θ≤π2.-\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2}.−2π​≤θ≤2π​.

例题：用极坐标求偏心圆面积

求圆盘

x2+y2≤2axx^2+y^2\le 2axx2+y2≤2ax

的面积，其中 a>0a>0a>0。

先把边界改写成极坐标。由 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2 和 x=rcos⁡θx=r\cos\thetax=rcosθ，得到 r2=2arcos⁡θr^2=2ar\cos\thetar2=2arcosθ。除了原点外，边界是 r=2acos⁡θr=2a\cos\thetar=2acosθ。

这个圆位于右半平面，合适的角度范围是 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}−2π​≤θ≤2π​。对每个这样的角度，半径从 000 到 2acos⁡θ2a\cos\theta2acosθ。

面积就是对 111 的二重积分：

A=∫−π/2π/2∫02acos⁡θr dr dθ.A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\theta} r\,dr\,d\theta.A=∫−π/2π/2​∫02acosθ​rdrdθ.

先对 rrr 积分：

A=12∫−π/2π/24a2cos⁡2θ dθ=2a2∫−π/2π/2cos⁡2θ dθ.A=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4a^2\cos^2\theta\,d\theta =2a^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta.A=21​∫−π/2π/2​4a2cos2θdθ=2a2∫−π/2π/2​cos2θdθ.

因为

∫−π/2π/2cos⁡2θ dθ=π2,\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2},∫−π/2π/2​cos2θdθ=2π​,

所以 A=πa2A=\pi a^2A=πa2。这也和几何结果一致：圆的半径是 aaa。

从方程 r2=2arcos⁡θr^2=2ar\cos\thetar2=2arcosθ 得到 r=2acos⁡θr=2a\cos\thetar=2acosθ 时，不能忘记单独考虑原点。不过这里原点本来就在边界上，面积不受单个点影响，所以积分限可以直接用 0≤r≤2acos⁡θ0\le r\le 2a\cos\theta0≤r≤2acosθ。

与极坐标曲线的衔接

在微积分 II 中，极坐标曲线常写成 r=g(θ)r=g(\theta)r=g(θ)。到了二重积分里，如果区域是这条曲线围成的内部，并且从原点出发的每条射线只穿过一次边界，就可以写成

α≤θ≤β,0≤r≤g(θ).\alpha\le\theta\le\beta,\qquad 0\le r\le g(\theta).α≤θ≤β,0≤r≤g(θ).

极坐标中由心形线 r=1+cosθ 围成的内部区域，标出原点、极轴、边界和从原点到边界的射线

于是区域面积是

A=∫αβ∫0g(θ)r dr dθ=12∫αβg(θ)2 dθ.A=\int_{\alpha}^{\beta}\int_0^{g(\theta)}r\,dr\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}g(\theta)^2\,d\theta.A=∫αβ​∫0g(θ)​rdrdθ=21​∫αβ​g(θ)2dθ.

这正好解释了微积分 II 中极坐标面积公式的来源：它不是另一个孤立公式，而是二重积分在 f(x,y)=1f(x,y)=1f(x,y)=1 时的特例。

例题：心形线内部的面积

求心形线

r=1+cos⁡θr=1+\cos\thetar=1+cosθ

围成区域的面积。

这条曲线在 0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi0≤θ≤2π 内完整描出一次，并且 1+cos⁡θ≥01+\cos\theta\ge 01+cosθ≥0。区域可以写成 0≤r≤1+cos⁡θ0\le r\le 1+\cos\theta0≤r≤1+cosθ。

面积积分是

A=∫02π∫01+cos⁡θr dr dθ=12∫02π(1+cos⁡θ)2 dθ.A=\int_0^{2\pi}\int_0^{1+\cos\theta}r\,dr\,d\theta =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta.A=∫02π​∫01+cosθ​rdrdθ=21​∫02π​(1+cosθ)2dθ.

展开后得到

A=12∫02π(1+2cos⁡θ+cos⁡2θ) dθ.A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta.A=21​∫02π​(1+2cosθ+cos2θ)dθ.

在一个完整周期上，∫02πcos⁡θ dθ=0\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0∫02π​cosθdθ=0，而 ∫02πcos⁡2θ dθ=π\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi∫02π​cos2θdθ=π。

因此

A=12(2π+π)=3π2.A=\frac{1}{2}(2\pi+\pi)=\frac{3\pi}{2}.A=21​(2π+π)=23π​.

对称性简化

极坐标特别适合处理关于原点或坐标轴对称的区域。原因很直接：圆盘、圆环和整圆扇形在 θ\thetaθ 上的范围非常整齐，许多含 sin⁡θ\sin\thetasinθ 或 cos⁡θ\cos\thetacosθ 的项会在角度积分中抵消。

单位圆盘左右半盘用不同颜色标出，说明右半盘贡献为正、左半盘贡献为负，并通过成对抵消得到积分为零

例如在以原点为圆心的整圆盘上，

∬Dx dA=0,∬Dy dA=0.\iint_D x\,dA=0,\qquad \iint_D y\,dA=0.∬D​xdA=0,∬D​ydA=0.

用极坐标看，这是因为 x=rcos⁡θx=r\cos\thetax=rcosθ、y=rsin⁡θy=r\sin\thetay=rsinθ，而

∫02πcos⁡θ dθ=0,∫02πsin⁡θ dθ=0.\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.∫02π​cosθdθ=0,∫02π​sinθdθ=0.

例题：先消掉对称项

设 DDD 是单位圆盘，求

∬D(3+x2+y2+5x−2y) dA.\iint_D (3+x^2+y^2+5x-2y)\,dA.∬D​(3+x2+y2+5x−2y)dA.

区域 DDD 是 0≤r≤10\le r\le 10≤r≤1、0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi0≤θ≤2π。其中 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2，x=rcos⁡θx=r\cos\thetax=rcosθ，y=rsin⁡θy=r\sin\thetay=rsinθ。

由于单位圆盘关于 yyy 轴对称，5x5x5x 的积分为 000；由于它也关于 xxx 轴对称，−2y-2y−2y 的积分也为 000。只需要计算 3+x2+y23+x^2+y^23+x2+y2。

积分变成

∫02π∫01(3+r2)r dr dθ.\int_0^{2\pi}\int_0^1(3+r^2)r\,dr\,d\theta.∫02π​∫01​(3+r2)rdrdθ.

先对半径积分：

∫01(3r+r3) dr=32+14=74.\int_0^1(3r+r^3)\,dr=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}.∫01​(3r+r3)dr=23​+41​=47​.

再乘上角度长度 2π2\pi2π，得到

∬D(3+x2+y2+5x−2y) dA=7π2.\iint_D (3+x^2+y^2+5x-2y)\,dA=\frac{7\pi}{2}.∬D​(3+x2+y2+5x−2y)dA=27π​.

对称性不是跳步，而是先判断哪些项成对抵消。判断依据必须来自区域和函数的共同对称性：区域对称，但函数没有相反号，不能消；函数有相反号，但区域只取了一半，也未必消。

应用：圆盘上的质量

二重积分常用来累加密度。若薄片占据圆盘 x2+y2≤4x^2+y^2\le 4x2+y2≤4，面密度只取决于到圆心的距离：

ρ(x,y)=4−x2+y2,\rho(x,y)=4-\sqrt{x^2+y^2},ρ(x,y)=4−x2+y2​,

求薄片质量。

该区域是半径为 222 的圆盘，所以极坐标限是 0≤r≤20\le r\le 20≤r≤2、0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi0≤θ≤2π。

密度函数变为 ρ=4−r\rho=4-rρ=4−r。质量是密度在区域上的积分：

M=∫02π∫02(4−r)r dr dθ.M=\int_0^{2\pi}\int_0^2(4-r)r\,dr\,d\theta.M=∫02π​∫02​(4−r)rdrdθ.

先算半径方向：

∫02(4r−r2) dr=[2r2−r33]02=8−83=163.\int_0^2(4r-r^2)\,dr = \left[2r^2-\frac{r^3}{3}\right]_0^2 = 8-\frac{8}{3} = \frac{16}{3}.∫02​(4r−r2)dr=[2r2−3r3​]02​=8−38​=316​.

再乘上完整角度长度：

M=2π⋅163=32π3.M=2\pi\cdot\frac{16}{3}=\frac{32\pi}{3}.M=2π⋅316​=332π​.

这个例子显示了极坐标的另一个好处：当密度只依赖 rrr 时，角度积分常常只是乘上一个角度长度。

常见误区和检查

不要把 θ\thetaθ 的上下限当成 xxx 或 yyy 的上下限。θ\thetaθ 描述方向，rrr 描述沿该方向走多远。一个圆盘的 xxx 和 yyy 都在 [−a,a][-a,a][−a,a] 内，并不意味着极坐标限是 −a≤r≤a-a\le r\le a−a≤r≤a、−a≤θ≤a-a\le\theta\le a−a≤θ≤a。

检查极坐标积分时，可以按下面四句话逐项核对：

  1. 区域是否被扫了一次，而不是漏扫或重复扫？
  2. 半径下限和上限是否来自固定角度的一条射线？
  3. 被积函数里的 xxx 和 yyy 是否已经全部改写？
  4. 面积微元是否写成了 r dr dθr\,dr\,d\thetardrdθ？

有些极坐标曲线允许负半径，但在本章的二重积分中，除非题目明确需要，一般优先使用 r≥0r\ge 0r≥0 的描述。这样每个平面点对应的扫掠关系更清楚，也更不容易重复计算。

练习

练习 1

写出半径为 555、角度范围为 π6≤θ≤2π3\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{2\pi}{3}6π​≤θ≤32π​ 的扇形区域面积积分，并求面积。

面积积分为

A=∫π/62π/3∫05r dr dθ.A=\int_{\pi/6}^{2\pi/3}\int_0^5 r\,dr\,d\theta.A=∫π/62π/3​∫05​rdrdθ.

先对 rrr 积分得到 252\frac{25}{2}225​，角度长度是 2π3−π6=π2\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}32π​−6π​=2π​，所以

A=252⋅π2=25π4.A=\frac{25}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{25\pi}{4}.A=225​⋅2π​=425π​.

练习 2

计算

∬Dex2+y2 dA,\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA,∬D​ex2+y2dA,

其中 DDD 是圆盘 x2+y2≤4x^2+y^2\le 4x2+y2≤4。

极坐标下 DDD 是 0≤r≤20\le r\le 20≤r≤2、0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi0≤θ≤2π，所以

∬Dex2+y2 dA=∫02π∫02er2r dr dθ.\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^2 e^{r^2}r\,dr\,d\theta.∬D​ex2+y2dA=∫02π​∫02​er2rdrdθ.

令 u=r2u=r^2u=r2，则

∫02er2r dr=12(e4−1).\int_0^2 e^{r^2}r\,dr=\frac{1}{2}(e^4-1).∫02​er2rdr=21​(e4−1).

因此结果是

π(e4−1).\pi(e^4-1).π(e4−1).

练习 3

把积分

∫−33∫−9−x29−x2(x2+y2) dy dx\int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}}(x^2+y^2)\,dy\,dx∫−33​∫−9−x2​9−x2​​(x2+y2)dydx

改写为极坐标积分并计算。

直角坐标限描述的是半径为 333 的圆盘。极坐标下为

∫02π∫03r2⋅r dr dθ.\int_0^{2\pi}\int_0^3 r^2\cdot r\,dr\,d\theta.∫02π​∫03​r2⋅rdrdθ.

计算得

∫02π[r44]03 dθ=∫02π814 dθ=81π2.\int_0^{2\pi}\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^3\,d\theta = \int_0^{2\pi}\frac{81}{4}\,d\theta = \frac{81\pi}{2}.∫02π​[4r4​]03​dθ=∫02π​481​dθ=281π​.

练习 4

求圆盘 x2+y2≤4yx^2+y^2\le 4yx2+y2≤4y 的面积。

边界满足 r2=4rsin⁡θr^2=4r\sin\thetar2=4rsinθ，即 r=4sin⁡θr=4\sin\thetar=4sinθ。为了让 r≥0r\ge 0r≥0，可取 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi0≤θ≤π。面积为

A=∫0π∫04sin⁡θr dr dθ=12∫0π16sin⁡2θ dθ=8⋅π2=4π.A=\int_0^\pi\int_0^{4\sin\theta}r\,dr\,d\theta = \frac{1}{2}\int_0^\pi16\sin^2\theta\,d\theta = 8\cdot\frac{\pi}{2} = 4\pi.A=∫0π​∫04sinθ​rdrdθ=21​∫0π​16sin2θdθ=8⋅2π​=4π.

这也符合几何结果：圆心在 (0,2)(0,2)(0,2)、半径为 222。

练习 5

设 DDD 是单位圆盘。判断下列积分是否为 000，并说明理由：

∬Dxy dA,∬D(x2+y2) dA.\iint_D xy\,dA,\qquad \iint_D (x^2+y^2)\,dA.∬D​xydA,∬D​(x2+y2)dA.

第一个积分为 000。因为 xyxyxy 关于 xxx 轴或 yyy 轴都会变号，而单位圆盘关于这两条轴都对称，所以贡献成对抵消。

第二个积分不为 000。因为 x2+y2=r2≥0x^2+y^2=r^2\ge 0x2+y2=r2≥0，没有正负抵消。它等于

∫02π∫01r2⋅r dr dθ=2π⋅14=π2.\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}.∫02π​∫01​r2⋅rdrdθ=2π⋅41​=2π​.

练习 6

设 DDD 是心形线 r=2+2cos⁡θr=2+2\cos\thetar=2+2cosθ 的内部。写出 ∬Dy dA\iint_D y\,dA∬D​ydA 的极坐标形式，并用对称性判断结果。

区域可写成 0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi0≤θ≤2π、0≤r≤2+2cos⁡θ0\le r\le 2+2\cos\theta0≤r≤2+2cosθ。因为 y=rsin⁡θy=r\sin\thetay=rsinθ，所以积分形式是

∫02π∫02+2cos⁡θrsin⁡θ⋅r dr dθ.\int_0^{2\pi}\int_0^{2+2\cos\theta} r\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta.∫02π​∫02+2cosθ​rsinθ⋅rdrdθ.

心形线关于 xxx 轴对称，函数 yyy 关于 xxx 轴变号，因此上下两部分贡献抵消，积分结果为 000。

  • 为什么圆形区域会变简单
  • 面积微元来自小扇形
  • 从区域读出积分限
    • 例题：上半圆环上的径向函数
  • 由直角方程改写极坐标区域
    • 例题：用极坐标求偏心圆面积
  • 与极坐标曲线的衔接
    • 例题：心形线内部的面积
  • 对称性简化
    • 例题：先消掉对称项
  • 应用：圆盘上的质量
  • 常见误区和检查
  • 练习
    • 练习 1
    • 练习 2
    • 练习 3
    • 练习 4
    • 练习 5
    • 练习 6

目录

  • 为什么圆形区域会变简单
  • 面积微元来自小扇形
  • 从区域读出积分限
    • 例题：上半圆环上的径向函数
  • 由直角方程改写极坐标区域
    • 例题：用极坐标求偏心圆面积
  • 与极坐标曲线的衔接
    • 例题：心形线内部的面积
  • 对称性简化
    • 例题：先消掉对称项
  • 应用：圆盘上的质量
  • 常见误区和检查
  • 练习
    • 练习 1
    • 练习 2
    • 练习 3
    • 练习 4
    • 练习 5
    • 练习 6