一般区域上的二重积分与积分次序

上一章把二重积分放在矩形区域上理解：先把矩形切成小块，再把每个小块上的量加起来。真实问题里的区域很少刚好是矩形。它可能被两条曲线夹住，可能是一块三角形薄片，也可能要切成几块才容易写清楚。

本章的核心问题是：给定一个平面区域 $D$ ，怎样把它翻译成积分上下限？一旦区域写对，二重积分的计算才真正开始。

一般区域 D 上的二重积分示意图，曲面 z=f(x,y) 下方只有区域 D 内竖起细柱体并累加体积。

一般区域上的二重积分只在区域 $D$ 上累加，小面积 $dA$ 不能跑到外接矩形的空白部分。

写一般区域上的二重积分时，最先决定的不是先算哪个积分，而是切片从哪里进入、在哪里离开区域。积分上下限只是这件事的符号版本。

从矩形到一般区域

在矩形区域 $R=[a,b]\times[c,d]$ 上，积分限天然来自四条水平或竖直边：

\iint_R f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx

一般区域 $D$ 没有这么固定的上下边界。我们常用一个外接矩形包住它，再让被积函数在 $D$ 外面取 $0$ 。这个想法能说明二重积分存在的直观来源，但真正计算时，更常见的做法是直接描述区域本身。

如果每一条竖线穿过区域时，只得到一段连续的线段，就适合用竖切片。如果每一条横线穿过区域时，只得到一段连续的线段，就适合用横切片。

这两个判断对应两类区域：Type I 和 Type II。名字不重要，切片方式才重要。

竖切片：Type I 区域

Type I 区域可以写成

D=\{(x,y):a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}

意思是：先让 $x$ 从左端 $a$ 走到右端 $b$ ；对每一个固定的 $x$ ，竖直方向从下边界 $y=g_1(x)$ 走到上边界 $y=g_2(x)$ 。

Type I 区域 D 在 x=a 到 x=b 上由下边界 y=g1(x) 与上边界 y=g2(x) 围成，橙色竖切片表示先 dy 后 dx。

竖切片的内层变量是 $y$ ，所以积分次序写成先 $dy$ 后 $dx$ 。

于是二重积分写成

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx

这里的内层积分把 $x$ 当成常数。外层积分再让这些竖切片从左到右扫过整个区域。

内层上下限可以含有外层变量，但不能含有内层变量。比如先 $dy$ 后 $dx$ 时， $y$ 的上下限可以含有 $x$ ，但不能含有 $y$ 自己。

横切片：Type II 区域

Type II 区域可以写成

D=\{(x,y):c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}

意思是：先让 $y$ 从下端 $c$ 走到上端 $d$ ；对每一个固定的 $y$ ，水平方向从左边界 $x=h_1(y)$ 走到右边界 $x=h_2(y)$ 。

Type II 区域示意图：区域 D 由左边界 x=h1(y) 和右边界 x=h2(y) 围成，横切片表示先 dx 后 dy。

横切片的内层变量是 $x$ ，所以积分次序写成先 $dx$ 后 $dy$ 。

对应的二重积分是

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy

同一个区域有时既是 Type I，也是 Type II。这时两个积分表示同一个总量，只是切片方向不同。

同一区域的两种写法

看区域时，可以按下面的顺序整理：

先画出所有边界曲线，并标出交点。交点通常给出外层变量的端点，也决定是否需要拆分。

试着画一条竖切片。若它进入区域一次、离开区域一次，就把下边界写成 $y=g_1(x)$ ，上边界写成 $y=g_2(x)$ 。

再画一条横切片。若它进入区域一次、离开区域一次，就把左边界写成 $x=h_1(y)$ ，右边界写成 $x=h_2(y)$ 。

比较两种写法。若被积函数在某个次序下更容易积分，就优先使用那个次序。

同一区域 D 在竖切片与横切片下的积分次序对比图，展示由 y=x^2 和 y=2x 围成的区域。

改变积分次序时，区域没有变，变的是切片方向和边界函数的表达方式。

例题：由两条曲线围成的区域

设 $D$ 是由 $y=x^2$ 和 $y=2x$ 围成的区域。写出 $\iint_D f(x,y)\,dA$ 的两种迭代积分形式。

先找交点。由 $x^2=2x$ 得到 $x=0$ 或 $x=2$ ，对应的 $y$ 分别是 $0$ 和 $4$ 。

用竖切片看区域。对 $0\le x\le2$ ，下边界是 $y=x^2$ ，上边界是 $y=2x$ ，所以

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^2\int_{x^2}^{2x} f(x,y)\,dy\,dx

用横切片看区域。对 $0\le y\le4$ ，左边界来自 $y=2x$ ，所以 $x=y/2$ ；右边界来自 $y=x^2$ ，因为区域在第一象限，所以 $x=\sqrt y$ 。

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^4\int_{y/2}^{\sqrt y} f(x,y)\,dx\,dy

两个积分的值相同。若取 $f(x,y)=1$ ，它们都计算区域面积：

A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\frac{4}{3}

判断左右边界时，不要只看曲线在图上的上下位置。横切片需要比较的是同一高度下谁在左、谁在右；竖切片才比较谁在下、谁在上。

改变积分次序

改变积分次序不是把两个积分号机械交换。它包含三件事：读懂原积分表示的区域，重新用另一种切片描述区域，再把被积函数放进新的积分限中。

对连续函数，Fubini 定理保证只要两个迭代积分描述的是同一个区域，它们给出同一个二重积分。计算上，换序常用来避开不容易求原函数的内层积分。

例题：换序后才能算

计算

\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx

原积分表示的区域是

0\le x\le1,\qquad x\le y\le1

这是一块在单位正方形内、直线 $y=x$ 上方的三角形区域。

改用横切片。对 $0\le y\le1$ ， $x$ 从左边界 $0$ 走到右边界 $y$ ，所以区域也可以写成

0\le y\le1,\qquad 0\le x\le y

换序后得到

\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy

这时内层对 $x$ 积分， $e^{y^2}$ 被看成常数。

先完成内层积分，再对 $y$ 积分：

\int_0^1 y e^{y^2}\,dy =\frac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du =\frac{e-1}{2}

最常见的错误是看到 $\int_0^1\int_x^1$ 就直接写成 $\int_x^1\int_0^1$ 。这样做通常会把区域改掉。换序前必须画出或写出原来的 $D$ 。

什么时候必须拆分区域

有些区域用一种切片方向看时，切片的入口或出口会换边界。此时单个 Type I 或 Type II 表达式写不完整，必须把区域拆成几块。

坐标平面中的帐篷形区域 D，由红色虚线 x=1 分成左半 D1 和右半 D2，左右上边界分别为 y=x 和 y=2-x。

当同一种切片扫过区域时边界函数发生变化，就把区域拆成几块分别积分。

以区域

D=\{(x,y):0\le x\le2,\ 0\le y\le \min(x,2-x)\}

为例。竖切片的上边界在 $x=1$ 处从 $y=x$ 换成 $y=2-x$ ，所以写成一个竖切片积分时要拆成两块：

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^1\int_0^x f(x,y)\,dy\,dx +\int_1^2\int_0^{2-x} f(x,y)\,dy\,dx

但如果换成横切片，区域可以一次写完：

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^1\int_y^{2-y} f(x,y)\,dx\,dy

例题：用拆分计算面积

计算上面区域 $D$ 的面积。

面积对应 $f(x,y)=1$ 。按竖切片拆分：

A=\int_0^1\int_0^x 1\,dy\,dx+\int_1^2\int_0^{2-x}1\,dy\,dx

分别算两块面积：

\int_0^1 x\,dx=\frac12,\qquad \int_1^2(2-x)\,dx=\frac12

因此

A=1

若用横切片，直接算 $\int_0^1(2-2y)\,dy$ ，也得到 $1$ 。

拆分不是失败，而是区域描述的一部分。好的做法是先试两种切片方向：有时一种方向要拆，另一种方向不用拆。

面积、平均值与质量

二重积分的应用本质上都是“在区域上累加”。只是被积函数不同，累加出来的量不同。

同一区域 D 上的密度热力分布，并用面积、平均值和质量三个框连接二重积分应用。

同一个区域 $D$ 上，取 $f=1$ 得面积，取一般函数得总量，取密度函数得质量。

区域面积是

A(D)=\iint_D 1\,dA

函数 $f$ 在区域 $D$ 上的平均值是

f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{A(D)}\iint_D f(x,y)\,dA

如果薄片在点 $(x,y)$ 处的面密度是 $\rho(x,y)$ ，薄片质量是

m=\iint_D \rho(x,y)\,dA

例题：三角形区域上的平均值

求 $f(x,y)=x+2y$ 在三角形区域

D=\{(x,y):0\le x\le2,\ 0\le y\le x\}

上的平均值。

先算区域面积：

A=\int_0^2\int_0^x1\,dy\,dx=\int_0^2x\,dx=2

再算函数在区域上的总量：

\iint_D(x+2y)\,dA =\int_0^2\int_0^x(x+2y)\,dy\,dx

内层积分为

\int_0^x(x+2y)\,dy =x^2+x^2=2x^2

因此总量是

\int_0^2 2x^2\,dx=\frac{16}{3}

平均值等于总量除以面积：

f_{\mathrm{avg}}=\frac{16/3}{2}=\frac{8}{3}

质量与质心

如果 $D$ 是一块薄片的平面形状， $\rho(x,y)$ 是面密度，那么质心坐标由“坐标加权后的平均位置”给出。

不规则薄片带蓝绿色密度分布，橙色质心点标出，并用箭头说明对 x 轴和 y 轴的矩。

质心不是几何中心的另一个名字；密度不均匀时，它会向更重的区域偏移。

质量为

m=\iint_D \rho(x,y)\,dA

对 $y$ 轴的矩为

M_y=\iint_D x\rho(x,y)\,dA

对 $x$ 轴的矩为

M_x=\iint_D y\rho(x,y)\,dA

质心坐标是

\bar{x}=\frac{M_y}{m},\qquad \bar{y}=\frac{M_x}{m}

例题：密度随 $x$ 增大的三角形薄片

设

D=\{(x,y):0\le x\le1,\ 0\le y\le1-x\}

薄片密度为 $\rho(x,y)=1+x$ 。求质量和质心。

质量为

m=\int_0^1\int_0^{1-x}(1+x)\,dy\,dx =\int_0^1(1+x)(1-x)\,dx =\frac{2}{3}

对 $y$ 轴的矩为

M_y=\int_0^1\int_0^{1-x}x(1+x)\,dy\,dx =\int_0^1x(1+x)(1-x)\,dx =\frac14

对 $x$ 轴的矩为

M_x=\int_0^1\int_0^{1-x}y(1+x)\,dy\,dx =\frac{5}{24}

于是

\bar{x}=\frac{1/4}{2/3}=\frac38,\qquad \bar{y}=\frac{5/24}{2/3}=\frac{5}{16}

因为密度随 $x$ 增大而增大， $\bar{x}=3/8$ 比均匀三角形的 $1/3$ 略靠右。

常见误区

不要把边界曲线的方程直接塞进上下限。比如曲线 $y=x^2$ 在横切片里常常要改写成 $x=\sqrt y$ 。切片方向变了，边界函数的形式也要跟着变。

不要忽略交点。很多区域是否需要拆分，取决于交点把投影区间切成了几段。先求交点，后写积分限，顺序不能反过来。

画图不要求精美，但必须表达三件事：区域在哪里、切片朝哪个方向、切片进入和离开区域的边界分别是什么。

练习

练习：写出两种积分次序

区域 $D$ 是三角形，顶点为 $(0,0)$ 、 $(2,0)$ 、 $(2,3)$ 。写出 $\iint_D f(x,y)\,dA$ 的 Type I 和 Type II 形式。

Type I 写法可取

\int_0^2\int_0^{3x/2} f(x,y)\,dy\,dx

Type II 写法可取

\int_0^3\int_{2y/3}^{2} f(x,y)\,dx\,dy

竖切片从 $y=0$ 到斜边 $y=3x/2$ ；横切片从斜边 $x=2y/3$ 到竖线 $x=2$ 。

练习：改变积分次序

把下面的积分改写成先 $dx$ 后 $dy$ 的形式，并计算它：

\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx

区域是 $0\le x\le1,\ x\le y\le1$ 。改用横切片后是 $0\le y\le1,\ 0\le x\le y$ ，所以

\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx =\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy =\int_0^1y e^{y^2}\,dy =\frac{e-1}{2}

练习：判断是否需要拆分

区域 $D$ 由 $0\le y\le1$ 和 $y\le x\le2-y$ 给出。把它写成先 $dy$ 后 $dx$ 的形式。

先画横切片可知区域是一块顶点为 $(0,0)$ 、 $(2,0)$ 、 $(1,1)$ 的三角形。若改用竖切片，上边界在 $x=1$ 处改变，所以需要拆分：

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_0^1\int_0^x f(x,y)\,dy\,dx +\int_1^2\int_0^{2-x} f(x,y)\,dy\,dx

练习：平均值

求 $f(x,y)=xy$ 在区域

D=\{(x,y):0\le x\le1,\ 0\le y\le2x\}

上的平均值。

区域面积为

A=\int_0^1\int_0^{2x}1\,dy\,dx=1

总量为

\int_0^1\int_0^{2x}xy\,dy\,dx =\int_0^1 2x^3\,dx =\frac12

所以平均值是

f_{\mathrm{avg}}=\frac12

练习：均匀薄片的质心

设 $D=\{(x,y):0\le x\le2,\ 0\le y\le2-x\}$ ，密度为常数 $1$ 。求质心。

质量就是面积：

m=\int_0^2(2-x)\,dx=2

对 $y$ 轴的矩为

M_y=\int_0^2 x(2-x)\,dx=\frac{4}{3}

对 $x$ 轴的矩为

M_x=\int_0^2\int_0^{2-x}y\,dy\,dx=\frac{4}{3}

因此

\bar{x}=\frac{2}{3},\qquad \bar{y}=\frac{2}{3}

一般区域上的二重积分与积分次序

本章的核心问题是：给定一个平面区域 $D$ ，怎样把它翻译成积分上下限？一旦区域写对，二重积分的计算才真正开始。

一般区域 D 上的二重积分示意图，曲面 z=f(x,y) 下方只有区域 D 内竖起细柱体并累加体积。

一般区域上的二重积分只在区域 $D$ 上累加，小面积 $dA$ 不能跑到外接矩形的空白部分。

写一般区域上的二重积分时，最先决定的不是先算哪个积分，而是切片从哪里进入、在哪里离开区域。积分上下限只是这件事的符号版本。

从矩形到一般区域

在矩形区域 $R=[a,b]\times[c,d]$ 上，积分限天然来自四条水平或竖直边：

\iint_R f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx

如果每一条竖线穿过区域时，只得到一段连续的线段，就适合用竖切片。如果每一条横线穿过区域时，只得到一段连续的线段，就适合用横切片。

这两个判断对应两类区域：Type I 和 Type II。名字不重要，切片方式才重要。

竖切片：Type I 区域

Type I 区域可以写成

D=\{(x,y):a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}

意思是：先让 $x$ 从左端 $a$ 走到右端 $b$ ；对每一个固定的 $x$ ，竖直方向从下边界 $y=g_1(x)$ 走到上边界 $y=g_2(x)$ 。

Type I 区域 D 在 x=a 到 x=b 上由下边界 y=g1(x) 与上边界 y=g2(x) 围成，橙色竖切片表示先 dy 后 dx。

竖切片的内层变量是 $y$ ，所以积分次序写成先 $dy$ 后 $dx$ 。

于是二重积分写成

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx

这里的内层积分把 $x$ 当成常数。外层积分再让这些竖切片从左到右扫过整个区域。

内层上下限可以含有外层变量，但不能含有内层变量。比如先 $dy$ 后 $dx$ 时， $y$ 的上下限可以含有 $x$ ，但不能含有 $y$ 自己。

横切片：Type II 区域

Type II 区域可以写成

D=\{(x,y):c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}

意思是：先让 $y$ 从下端 $c$ 走到上端 $d$ ；对每一个固定的 $y$ ，水平方向从左边界 $x=h_1(y)$ 走到右边界 $x=h_2(y)$ 。

Type II 区域示意图：区域 D 由左边界 x=h1(y) 和右边界 x=h2(y) 围成，横切片表示先 dx 后 dy。

横切片的内层变量是 $x$ ，所以积分次序写成先 $dx$ 后 $dy$ 。

对应的二重积分是

\iint_D f(x,y)\,dA =\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy

同一个区域有时既是 Type I，也是 Type II。这时两个积分表示同一个总量，只是切片方向不同。