二重积分：从小矩形累加到曲面下体积

单变量积分把一条线段切成许多小段，再把每一小段上的量相加。二重积分做的是同一件事，只是底座从线段变成了平面区域。

如果区域 $R$ 在 $xy$ 平面上，函数 $f(x,y)$ 给出区域上每一点的高度，那么 $\iint_R f(x,y)\,dA$ 可以表示曲面 $z=f(x,y)$ 下方的体积。这个说法很直观，但它不是二重积分唯一的含义。只要一个量分布在平面区域上，并且每个小块都能贡献“密度乘面积”这样的微小总量，二重积分就可以把它累加起来。

本章先只讨论矩形区域。一般区域、积分次序的改变和区域拆分会放到后续章节。

矩形区域上的小矩形柱体累加为曲面下体积 — 二重积分先把底面区域切成小矩形，再把每个小矩形上的柱体体积相加。

面积上的累加

设 $R$ 是平面上的一个区域， $f(x,y)$ 是定义在 $R$ 上的函数。把 $R$ 切成许多小块，每一小块的面积记作 $\Delta A$ 。如果在某一小块里选一点 $(x_i^*,y_j^*)$ ，那么这个小块对总量的贡献可以近似看成：

f(x_i^*,y_j^*)\Delta A

把所有小块的贡献加起来，得到一个近似总量：

\sum f(x_i^*,y_j^*)\Delta A

当小块越来越细，这个和式如果趋向同一个极限，这个极限就是二重积分。

这里的 $dA$ 不是一个新的变量。它提醒我们：二重积分是在面积微元上累加。矩形坐标中常写成 $dA=dx\,dy$ 或 $dA=dy\,dx$ ，后面换坐标时它会变成新的面积微元。

直观上，单变量积分中的“高度乘宽度”变成了二重积分中的“高度乘底面积”。小段变成小矩形，小矩形上方的近似图形变成小柱体。

Riemann 和

先看矩形区域

R=[a,b]\times[c,d]

把 $[a,b]$ 等分成 $m$ 份，把 $[c,d]$ 等分成 $n$ 份，则

\Delta x=\frac{b-a}{m},\qquad \Delta y=\frac{d-c}{n}

每个小矩形的面积是

\Delta A=\Delta x\Delta y

第 $i$ 列、第 $j$ 行的小矩形记作 $R_{ij}$ 。在其中取一点 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ ，对应的小柱体体积近似为

f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta x\Delta y

于是整个区域上的近似累加是

\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta x\Delta y

矩形区域的 Riemann 分割、采样点、Δx 和 Δy — Riemann 和把“每个小块的代表高度”乘以“小块面积”，再对全部小块求和。

如果 $f$ 在 $R$ 上连续，那么当 $m,n$ 同时趋向无穷、网格越来越细时，上面的和式会趋向二重积分：

\iint_R f(x,y)\,dA = \lim_{m,n\to\infty} \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta x\Delta y

采样点可以取左下角、右上角、中点，或者小矩形里的其他点。粗网格下，不同采样点会给出不同近似值；网格足够细时，对于连续函数，这些差异会被压小。

左下角、中心和右上角采样得到不同 Riemann 和近似 — 同一分割下，采样点会影响近似；真正的积分来自网格不断变细后的极限。

不要把 Riemann 和理解成“先随便画几个柱体，然后猜一个体积”。柱体近似只是图像语言，真正的定义是一个极限：分割越来越细，所有小块贡献的总和趋向稳定值。

矩形区域上的二重积分

在矩形区域上，二重积分可以通过迭代积分计算。先把一个变量暂时固定，对另一个变量积分；再把得到的结果对剩下的变量积分。

例如在矩形

R=[0,2]\times[1,3]

上计算

\iint_R (x+2y)\,dA

可以写成

\int_0^2\int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx

先读清积分次序。最里面的 $dy$ 表示先把 $x$ 当作常数，只沿 $y$ 方向从 $1$ 积到 $3$ 。

计算内层积分：

\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy+y^2\right]_1^3 = 2x+8

这个结果只剩下 $x$ ，可以看成固定 $x$ 时那一片截面的面积。

再对 $x$ 从 $0$ 到 $2$ 积分：

\int_0^2(2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 20

因此

\iint_R (x+2y)\,dA=20

如果 $x,y$ 没有单位，这个结果就是纯数；如果 $f$ 有单位，结果的单位还要乘上面积单位。

这个例子里，内层积分不是一个孤立的代数步骤。它有几何意义：固定一个 $x$ ，沿 $y$ 方向扫过一条线段，把曲面下的一片竖直截面面积算出来。外层积分再把这些截面面积沿 $x$ 方向累加。

固定 x 后先对 y 积分，再沿 x 累加截面面积 — 迭代积分可以理解成：先算每一片截面面积，再把这些面积沿另一个方向相加。

Fubini 定理

对于矩形区域 $R=[a,b]\times[c,d]$ ，如果 $f$ 在 $R$ 上连续，那么二重积分可以按两种次序计算：

\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy

这就是本章使用的 Fubini 定理形式。它说的是：在合适条件下，同一个二维累加可以先沿 $y$ 方向扫，再沿 $x$ 方向扫；也可以先沿 $x$ 方向扫，再沿 $y$ 方向扫。次序不同，计算路线不同，但总量相同。

矩形区域上先 y 后 x 与先 x 后 y 的两种积分次序 — Fubini 定理把同一个二重积分转化成两个可能的迭代积分。

在矩形区域上，连续函数的二重积分通常优先用迭代积分计算。先选哪个变量，不是看哪个“更正确”，而是看哪个让内层积分更容易。

例题：两种次序给出同一结果

计算

\int_0^2\int_0^1 (1+x+2y)\,dy\,dx

并用另一种次序验证结果。

先按题目给出的次序计算：

\int_0^1 (1+x+2y)\,dy = \left[y+xy+y^2\right]_0^1 = 2+x

再对 $x$ 积分：

\int_0^2(2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 6

改成先对 $x$ 积分：

\int_0^1\int_0^2 (1+x+2y)\,dx\,dy

内层积分为

\int_0^2 (1+x+2y)\,dx = \left[x+\frac{x^2}{2}+2xy\right]_0^2 = 4+4y

最后对 $y$ 积分：

\int_0^1(4+4y)\,dy = \left[4y+2y^2\right]_0^1 = 6

两种次序得到同一个总量。

几何意义和总量意义

当 $f(x,y)\ge 0$ 时，二重积分可以直接解释为曲面 $z=f(x,y)$ 下方、区域 $R$ 上方的体积：

\iint_R f(x,y)\,dA

如果 $f$ 在一部分区域为负，那么二重积分给的是有符号体积：在 $xy$ 平面上方的部分贡献正值，在下方的部分贡献负值。正负可能抵消。

“二重积分等于体积”这句话需要条件。只有当函数非负并且解释成高度时，它才直接是普通体积。若函数可以为负，积分是有符号累加；若函数表示密度、热量或电荷，它就不再是几何体积。

二重积分更一般的意义是“二维分布量的总量”。例如一块薄板占据区域 $R$ ，面密度为 $\rho(x,y)$ ，那么薄板质量是

M=\iint_R \rho(x,y)\,dA

如果 $q(x,y)$ 表示单位面积上的热量， $\sigma(x,y)$ 表示单位面积上的电荷密度，那么

Q_{\text{heat}}=\iint_R q(x,y)\,dA,\qquad Q_{\text{charge}}=\iint_R \sigma(x,y)\,dA

二重积分用于薄板质量、总热量和总电荷的二维累加 — 只要一个量按面积分布，二重积分就可以把小块贡献累加成总量。

例题：由密度求薄板质量

一块矩形薄板占据区域

R=[0,2]\times[0,4]

面密度为

\rho(x,y)=1+x+\frac{y}{2}

单位是 $\text{kg}/\text{m}^2$ 。求薄板质量。

质量等于面密度在区域上的二重积分：

M=\int_0^2\int_0^4\left(1+x+\frac{y}{2}\right)\,dy\,dx

先对 $y$ 积分，把 $x$ 当作常数：

\int_0^4\left(1+x+\frac{y}{2}\right)\,dy = \left[y+xy+\frac{y^2}{4}\right]_0^4 = 8+4x

再对 $x$ 积分：

M=\int_0^2(8+4x)\,dx = \left[8x+2x^2\right]_0^2 = 24

因为面密度单位是 $\text{kg}/\text{m}^2$ ，面积微元单位是 $\text{m}^2$ ，所以结果单位是 $\text{kg}$ 。薄板质量为 $24\text{ kg}$ 。

常见误区

把 $dA$ 当作可以随意省略的装饰

$dA$ 指明正在对面积微元累加。写迭代积分时，它会具体化为 $dy\,dx$ 或 $dx\,dy$ 。次序写错，内外层变量就会错。

内层积分后没有消掉内层变量

如果先对 $y$ 积分，内层结果就不应该还含有 $y$ 。例如

\int_c^d f(x,y)\,dy

计算后应只依赖 $x$ 。如果结果里还留着 $y$ ，通常说明没有真正代入上下限。

忽略单位

若 $f$ 是高度，单位是米， $dA$ 是平方米，那么积分单位是立方米。若 $f$ 是面密度，单位是 $\text{kg}/\text{m}^2$ ，积分单位是千克。单位能帮助你判断答案是否像一个体积、质量、热量或电荷。

把矩形区域的方法直接套到一般区域

本章的上下限是常数，因为区域是矩形。遇到三角形、圆盘、抛物线围成的区域时，上下限通常会变成函数，甚至需要拆分区域。这是下一章的重点。

练习

练习一

把矩形 $R=[0,1]\times[0,2]$ 分成 $m$ 份和 $n$ 份。写出 $\Delta x$ 、 $\Delta y$ 和一个 Riemann 和形式，用来近似

\iint_R (x+y^2)\,dA

因为 $x$ 的长度是 $1$ ， $y$ 的长度是 $2$ ，所以

\Delta x=\frac{1}{m},\qquad \Delta y=\frac{2}{n}

若在每个小矩形中取采样点 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ ，则一个 Riemann 和可以写为

\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} \left(x_{ij}^*+(y_{ij}^*)^2\right) \frac{1}{m}\frac{2}{n}

练习二

计算

\int_0^1\int_0^2 (3x+y)\,dy\,dx

先对 $y$ 积分：

\int_0^2(3x+y)\,dy = \left[3xy+\frac{y^2}{2}\right]_0^2 = 6x+2

再对 $x$ 积分：

\int_0^1(6x+2)\,dx = \left[3x^2+2x\right]_0^1 = 5

练习三

用另一种积分次序计算练习二，并确认结果相同。

同一矩形区域也可以写成

\int_0^2\int_0^1(3x+y)\,dx\,dy

先对 $x$ 积分：

\int_0^1(3x+y)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2}+xy\right]_0^1 = \frac{3}{2}+y

再对 $y$ 积分：

\int_0^2\left(\frac{3}{2}+y\right)\,dy = \left[\frac{3y}{2}+\frac{y^2}{2}\right]_0^2 = 5

练习四

设 $f(x,y)=4-x-y$ ，区域 $R=[0,1]\times[0,1]$ 。判断 $\iint_R f(x,y)\,dA$ 能否直接解释为曲面下普通体积，并计算它。

在 $R$ 上， $x+y\le 2$ ，所以 $4-x-y\ge 2>0$ 。函数非负，因此可以解释为曲面下普通体积。

\int_0^1\int_0^1(4-x-y)\,dy\,dx = \int_0^1\left(4-x-\frac{1}{2}\right)\,dx = \int_0^1\left(\frac{7}{2}-x\right)\,dx = 3

练习五

薄片占据 $[0,3]\times[0,2]$ ，面电荷密度为 $\sigma(x,y)=2+x$ ，单位是 $\text{C}/\text{m}^2$ 。求总电荷。

总电荷是

Q=\int_0^3\int_0^2(2+x)\,dy\,dx

先对 $y$ 积分：

\int_0^2(2+x)\,dy=4+2x

再对 $x$ 积分：

\int_0^3(4+2x)\,dx = \left[4x+x^2\right]_0^3 = 21

总电荷为 $21\text{ C}$ 。

二重积分：从小矩形累加到曲面下体积

单变量积分把一条线段切成许多小段，再把每一小段上的量相加。二重积分做的是同一件事，只是底座从线段变成了平面区域。

本章先只讨论矩形区域。一般区域、积分次序的改变和区域拆分会放到后续章节。

面积上的累加

f(x_i^*,y_j^*)\Delta A

把所有小块的贡献加起来，得到一个近似总量：

\sum f(x_i^*,y_j^*)\Delta A

当小块越来越细，这个和式如果趋向同一个极限，这个极限就是二重积分。

直观上，单变量积分中的“高度乘宽度”变成了二重积分中的“高度乘底面积”。小段变成小矩形，小矩形上方的近似图形变成小柱体。

Riemann 和

先看矩形区域

R=[a,b]\times[c,d]

把 $[a,b]$ 等分成 $m$ 份，把 $[c,d]$ 等分成 $n$ 份，则

\Delta x=\frac{b-a}{m},\qquad \Delta y=\frac{d-c}{n}

每个小矩形的面积是

\Delta A=\Delta x\Delta y

第 $i$ 列、第 $j$ 行的小矩形记作 $R_{ij}$ 。在其中取一点 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ ，对应的小柱体体积近似为

f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta x\Delta y

于是整个区域上的近似累加是

\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta x\Delta y

如果 $f$ 在 $R$ 上连续，那么当 $m,n$ 同时趋向无穷、网格越来越细时，上面的和式会趋向二重积分：

\iint_R f(x,y)\,dA = \lim_{m,n\to\infty} \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta x\Delta y

矩形区域上的二重积分

在矩形区域上，二重积分可以通过迭代积分计算。先把一个变量暂时固定，对另一个变量积分；再把得到的结果对剩下的变量积分。

例如在矩形

R=[0,2]\times[1,3]

上计算

\iint_R (x+2y)\,dA

可以写成

\int_0^2\int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx

先读清积分次序。最里面的 $dy$ 表示先把 $x$ 当作常数，只沿 $y$ 方向从 $1$ 积到 $3$ 。

计算内层积分：

\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy+y^2\right]_1^3 = 2x+8

这个结果只剩下 $x$ ，可以看成固定 $x$ 时那一片截面的面积。

再对 $x$ 从 $0$ 到 $2$ 积分：

\int_0^2(2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 20

因此

\iint_R (x+2y)\,dA=20

如果 $x,y$ 没有单位，这个结果就是纯数；如果 $f$ 有单位，结果的单位还要乘上面积单位。

Fubini 定理

对于矩形区域 $R=[a,b]\times[c,d]$ ，如果 $f$ 在 $R$ 上连续，那么二重积分可以按两种次序计算：

\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy

在矩形区域上，连续函数的二重积分通常优先用迭代积分计算。先选哪个变量，不是看哪个“更正确”，而是看哪个让内层积分更容易。

例题：两种次序给出同一结果

计算

\int_0^2\int_0^1 (1+x+2y)\,dy\,dx

并用另一种次序验证结果。

先按题目给出的次序计算：

\int_0^1 (1+x+2y)\,dy = \left[y+xy+y^2\right]_0^1 = 2+x

再对 $x$ 积分：

\int_0^2(2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 6

改成先对 $x$ 积分：

\int_0^1\int_0^2 (1+x+2y)\,dx\,dy

内层积分为

\int_0^2 (1+x+2y)\,dx = \left[x+\frac{x^2}{2}+2xy\right]_0^2 = 4+4y

最后对 $y$ 积分：

\int_0^1(4+4y)\,dy = \left[4y+2y^2\right]_0^1 = 6

两种次序得到同一个总量。

几何意义和总量意义

当 $f(x,y)\ge 0$ 时，二重积分可以直接解释为曲面 $z=f(x,y)$ 下方、区域 $R$ 上方的体积：

\iint_R f(x,y)\,dA

如果 $f$ 在一部分区域为负，那么二重积分给的是有符号体积：在 $xy$ 平面上方的部分贡献正值，在下方的部分贡献负值。正负可能抵消。

二重积分更一般的意义是“二维分布量的总量”。例如一块薄板占据区域 $R$ ，面密度为 $\rho(x,y)$ ，那么薄板质量是

M=\iint_R \rho(x,y)\,dA

如果 $q(x,y)$ 表示单位面积上的热量， $\sigma(x,y)$ 表示单位面积上的电荷密度，那么

Q_{\text{heat}}=\iint_R q(x,y)\,dA,\qquad Q_{\text{charge}}=\iint_R \sigma(x,y)\,dA

例题：由密度求薄板质量

一块矩形薄板占据区域

R=[0,2]\times[0,4]

面密度为

\rho(x,y)=1+x+\frac{y}{2}

单位是 $\text{kg}/\text{m}^2$ 。求薄板质量。

质量等于面密度在区域上的二重积分：

M=\int_0^2\int_0^4\left(1+x+\frac{y}{2}\right)\,dy\,dx

先对 $y$ 积分，把 $x$ 当作常数：

\int_0^4\left(1+x+\frac{y}{2}\right)\,dy = \left[y+xy+\frac{y^2}{4}\right]_0^4 = 8+4x

再对 $x$ 积分：

M=\int_0^2(8+4x)\,dx = \left[8x+2x^2\right]_0^2 = 24

因为面密度单位是 $\text{kg}/\text{m}^2$ ，面积微元单位是 $\text{m}^2$ ，所以结果单位是 $\text{kg}$ 。薄板质量为 $24\text{ kg}$ 。

常见误区

把 $dA$ 当作可以随意省略的装饰

$dA$ 指明正在对面积微元累加。写迭代积分时，它会具体化为 $dy\,dx$ 或 $dx\,dy$ 。次序写错，内外层变量就会错。

内层积分后没有消掉内层变量

如果先对 $y$ 积分，内层结果就不应该还含有 $y$ 。例如

\int_c^d f(x,y)\,dy

计算后应只依赖 $x$ 。如果结果里还留着 $y$ ，通常说明没有真正代入上下限。

忽略单位

把矩形区域的方法直接套到一般区域

本章的上下限是常数，因为区域是矩形。遇到三角形、圆盘、抛物线围成的区域时，上下限通常会变成函数，甚至需要拆分区域。这是下一章的重点。

练习

练习一

把矩形 $R=[0,1]\times[0,2]$ 分成 $m$ 份和 $n$ 份。写出 $\Delta x$ 、 $\Delta y$ 和一个 Riemann 和形式，用来近似

\iint_R (x+y^2)\,dA

因为 $x$ 的长度是 $1$ ， $y$ 的长度是 $2$ ，所以

\Delta x=\frac{1}{m},\qquad \Delta y=\frac{2}{n}

若在每个小矩形中取采样点 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ ，则一个 Riemann 和可以写为

\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} \left(x_{ij}^*+(y_{ij}^*)^2\right) \frac{1}{m}\frac{2}{n}

练习二

计算

\int_0^1\int_0^2 (3x+y)\,dy\,dx

先对 $y$ 积分：

\int_0^2(3x+y)\,dy = \left[3xy+\frac{y^2}{2}\right]_0^2 = 6x+2

再对 $x$ 积分：

\int_0^1(6x+2)\,dx = \left[3x^2+2x\right]_0^1 = 5

练习三

用另一种积分次序计算练习二，并确认结果相同。

同一矩形区域也可以写成

\int_0^2\int_0^1(3x+y)\,dx\,dy

先对 $x$ 积分：

\int_0^1(3x+y)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2}+xy\right]_0^1 = \frac{3}{2}+y

再对 $y$ 积分：

\int_0^2\left(\frac{3}{2}+y\right)\,dy = \left[\frac{3y}{2}+\frac{y^2}{2}\right]_0^2 = 5

练习四

设 $f(x,y)=4-x-y$ ，区域 $R=[0,1]\times[0,1]$ 。判断 $\iint_R f(x,y)\,dA$ 能否直接解释为曲面下普通体积，并计算它。

在 $R$ 上， $x+y\le 2$ ，所以 $4-x-y\ge 2>0$ 。函数非负，因此可以解释为曲面下普通体积。

\int_0^1\int_0^1(4-x-y)\,dy\,dx = \int_0^1\left(4-x-\frac{1}{2}\right)\,dx = \int_0^1\left(\frac{7}{2}-x\right)\,dx = 3

练习五

薄片占据 $[0,3]\times[0,2]$ ，面电荷密度为 $\sigma(x,y)=2+x$ ，单位是 $\text{C}/\text{m}^2$ 。求总电荷。

总电荷是

Q=\int_0^3\int_0^2(2+x)\,dy\,dx

先对 $y$ 积分：

\int_0^2(2+x)\,dy=4+2x

再对 $x$ 积分：

\int_0^3(4+2x)\,dx = \left[4x+x^2\right]_0^3 = 21

总电荷为 $21\text{ C}$ 。

二重积分：从小矩形累加到曲面下体积

面积上的累加

Riemann 和

矩形区域上的二重积分

Fubini 定理

例题：两种次序给出同一结果

几何意义和总量意义

例题：由密度求薄板质量

常见误区

把 dAdAdA 当作可以随意省略的装饰

内层积分后没有消掉内层变量

忽略单位

把矩形区域的方法直接套到一般区域

练习

练习一

练习二

练习三

练习四

练习五

二重积分：从小矩形累加到曲面下体积

面积上的累加

Riemann 和

矩形区域上的二重积分

Fubini 定理

例题：两种次序给出同一结果

几何意义和总量意义

例题：由密度求薄板质量

常见误区

把 dAdAdA 当作可以随意省略的装饰

内层积分后没有消掉内层变量

忽略单位

把矩形区域的方法直接套到一般区域

练习

练习一

练习二

练习三

练习四

练习五

把 $dA$ 当作可以随意省略的装饰

把 $dA$ 当作可以随意省略的装饰