方向导数与梯度

上一章的链式法则告诉我们：如果沿着一条路径走进函数 $f(x,y)$ 的定义域，函数值会按路径的速度变化。本章把这个想法压缩到一个更局部的问题：站在点 $P$ ，如果只迈出很小一步，朝哪个方向函数值升得最快？

偏导数只回答两个固定方向：沿 $x$ 轴怎样变，沿 $y$ 轴怎样变。方向导数把方向改成任意单位向量；梯度则把所有方向的一阶变化集中到一个向量里。学会这两个概念后，等高线、温度场、地形坡度和后面要学的优化条件会连成一条线。

三维地形曲面上的点 P 沿不同方向移动，箭头标注较快升高、几乎不变和下降，底部有浅色等高线投影。

从同一点出发，不同方向的高度变化不同。方向导数测量“沿某个方向的瞬时变化率”。

从偏导数到任意方向

设 $z=f(x,y)$ ，点 $P=(a,b)$ 在定义域内。偏导数 $f_x(a,b)$ 可以看成沿着水平向量 $(1,0)$ 走时的瞬时变化率； $f_y(a,b)$ 是沿着 $(0,1)$ 走时的瞬时变化率。

但平面上可走的方向远不止横向和纵向。例如在地形图上，从同一个位置可以向东北、正北、西南或任意角度移动。每个方向都对应一条穿过点 $P$ 的直线：

\mathbf r(t)=(a,b)+t\mathbf u

其中 $\mathbf u$ 是方向向量。把这条直线代入 $f$ ，得到一个单变量函数：

g(t)=f((a,b)+t\mathbf u)

于是沿 $\mathbf u$ 的变化率就是 $g'(0)$ 。这就是方向导数的基本想法：先把多变量函数限制在一条直线上，再使用单变量导数。

方向导数不是新的求导世界，它仍然是在做“差商取极限”。新地方在于，差商里的自变量沿着平面或空间中的指定方向移动。

单位方向向量

方向导数中的方向向量通常必须取单位向量。原因很简单：如果向量长度不同，差商里的 $t$ 就不再表示同样的实际距离，计算出来的变化率会被步长比例放大或缩小。

若给定非零向量 $\mathbf v=(v_1,v_2)$ ，它对应的单位方向向量是

\mathbf u=\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|} =\frac{(v_1,v_2)}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}

在三维或更高维空间中也一样：

\mathbf u=\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|}

平面坐标网格中从点 P 出发的同方向不同长度向量，展示原方向向量归一化为单位方向向量。

方向导数只关心方向。先把非零方向向量归一化，才能比较不同方向的变化率。

题目如果给的是 $\mathbf v=(3,4)$ ，不要直接把 $(3,4)$ 代入方向导数公式。应先化为单位向量 $\mathbf u=(3/5,4/5)$ 。漏掉这一步，答案通常会差一个 $\|\mathbf v\|$ 倍。

方向导数的定义

函数 $f(x,y)$ 在点 $P=(a,b)$ 沿单位方向 $\mathbf u=(u_1,u_2)$ 的方向导数定义为

D_{\mathbf u}f(a,b) =\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h u_1,b+h u_2)-f(a,b)}{h}

只要这个极限存在，它就表示从 $P$ 出发沿 $\mathbf u$ 方向移动时，函数值对距离的瞬时变化率。

如果 $D_{\mathbf u}f(a,b)>0$ ，函数值沿这个方向先增加；如果小于 $0$ ，函数值先减少；如果等于 $0$ ，这个方向上的一阶变化为零。这里说的是“刚离开点 $P$ 时”的局部行为，不是沿整条射线一直增加或一直减少。

例题：先归一化，再求方向导数

设

f(x,y)=x^2y+e^y

求 $f$ 在点 $(1,0)$ 沿方向 $\mathbf v=(3,4)$ 的方向导数。

先把方向向量化为单位向量。因为 $\|\mathbf v\|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ ，所以方向向量对应的单位向量是 $\mathbf u=(3/5,4/5)$ 。

求偏导数。对 $x$ 求偏导得到 $f_x(x,y)=2xy$ ；对 $y$ 求偏导得到 $f_y(x,y)=x^2+e^y$ 。

在点 $(1,0)$ 代入，得到 $f_x(1,0)=0$ ， $f_y(1,0)=2$ 。因此梯度是 $\nabla f(1,0)=(0,2)$ 。

用点积计算方向导数：

D_{\mathbf u}f(1,0)=\nabla f(1,0)\cdot \mathbf u =(0,2)\cdot \left(\frac35,\frac45\right) =\frac85

所以沿 $\mathbf v=(3,4)$ 指向的方向，函数值的瞬时增加率是 $8/5$ 。

梯度把所有偏导数放在一个向量里

如果 $f$ 在点 $(a,b)$ 附近可微，那么方向导数可以由偏导数直接算出：

D_{\mathbf u}f(a,b)=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2

右边正是一个点积。于是我们把偏导数组成的向量叫作梯度：

\nabla f(a,b)=\left(f_x(a,b),f_y(a,b)\right)

方向导数公式可以写成更紧凑的形式：

D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \mathbf u

三变量函数 $f(x,y,z)$ 的梯度是

\nabla f(x,y,z)=\left(f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z)\right)

$n$ 个变量时，梯度就是由 $n$ 个一阶偏导数组成的向量。

方向导数公式示意图：梯度向量 ∇f 投影到单位方向向量 u 上，夹角为 θ。

方向导数是梯度在单位方向上的投影。夹角越小，沿该方向的增加率越大。

在可微点，梯度 $\nabla f(P)$ 不是只多存了一组偏导数。它给出一个规则：任意单位方向 $\mathbf u$ 的方向导数都等于 $\nabla f(P)\cdot \mathbf u$ 。

这个交互固定了一个梯度向量，让你旋转单位方向 $\mathbf u$ 。当 $\mathbf u$ 接近梯度方向时，方向导数变大；当 $\mathbf u$ 与梯度垂直时，方向导数接近 $0$ ；当 $\mathbf u$ 反向时，方向导数变为最负。

最陡上升方向

方向导数公式还有一个直接结论。若 $\theta$ 是梯度 $\nabla f(P)$ 与单位方向 $\mathbf u$ 的夹角，则

D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u =\|\nabla f(P)\|\cos\theta

因为 $\mathbf u$ 是单位向量，所以 $\cos\theta$ 的最大值是 $1$ ，最小值是 $-1$ 。因此：

最陡上升方向是梯度方向 $\nabla f(P)$ 。
最大方向导数是 $\|\nabla f(P)\|$ 。
最陡下降方向是 $-\nabla f(P)$ 。
最小方向导数是 $-\|\nabla f(P)\|$ 。

如果 $\nabla f(P)=\mathbf 0$ ，就没有唯一的“梯度方向”。这时所有方向的一阶方向导数都为 $0$ ，但函数在该点附近仍可能有极大、极小或鞍点；这些要到下一章用二阶信息判断。

例题：找最快增长方向

设

f(x,y)=x^2+xy+y^2

求 $f$ 在点 $(1,2)$ 的最快增长方向、最大方向导数和最陡下降方向。

先求梯度。因为 $f_x=2x+y$ ， $f_y=x+2y$ ，所以

\nabla f(1,2)=(2\cdot 1+2,1+2\cdot 2)=(4,5)

最快增长方向是梯度的单位方向：

\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|} =\frac{(4,5)}{\sqrt{4^2+5^2}} =\left(\frac4{\sqrt{41}},\frac5{\sqrt{41}}\right)

最大方向导数是梯度长度：

\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{41}

最陡下降方向与梯度方向相反：

-\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|} =\left(-\frac4{\sqrt{41}},-\frac5{\sqrt{41}}\right)

梯度与等值线垂直

等值线是满足 $f(x,y)=c$ 的点组成的曲线。沿着同一条等值线移动时，函数值保持不变，所以沿等值线切向方向的方向导数应为 $0$ 。

设等值线上有一条参数曲线

\mathbf r(t)=(x(t),y(t))

并且

f(x(t),y(t))=c

对 $t$ 求导，链式法则给出

\nabla f(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)=0

这说明梯度与等值线的切向量垂直。只要 $\nabla f\ne \mathbf 0$ ，梯度就指向等值线的法向方向，也指向函数值升高最快的一侧。

二维椭圆等值线图，点 P 处的切向方向沿等值线，梯度 ∇f 箭头与等值线垂直。

沿等值线移动时函数值不变，切向方向的方向导数为 0；梯度垂直于等值线。

三维中也有同样的说法。若 $F(x,y,z)=c$ 表示一个等值面，那么 $\nabla F$ 垂直于这个等值面。这个事实会在后面处理曲面法向量、约束优化和通量时反复出现。

“梯度垂直于等值线”有一个前提：所在点的梯度不为零。如果梯度为零，等值线可能交叉、尖锐或局部退化，此时不能用一个明确的梯度箭头代表法向方向。

应用：温度场中的最快升温方向

把 $T(x,y)$ 看成房间地面上每一点的温度。若人在点 $P$ 附近移动，方向导数 $D_{\mathbf u}T(P)$ 表示沿方向 $\mathbf u$ 走时温度的瞬时变化率。温度梯度 $\nabla T(P)$ 指向升温最快的方向，长度表示最大升温率。

二维房间温度场热力图，等温线与点 P 处温度梯度箭头指示升温最快方向。

温度梯度垂直于等温线，并指向温度升高最快的一侧。

例题：判断移动方向是升温还是降温

某房间地面附近的温度可近似写成

T(x,y)=22+0.4x-0.3y+0.02xy

其中 $x,y$ 的单位是米， $T$ 的单位是摄氏度。求在点 $(5,10)$ 沿西北方向移动时温度的瞬时变化率，并找出最快升温方向。

先求温度梯度：

T_x=0.4+0.02y,\qquad T_y=-0.3+0.02x

在点 $(5,10)$ 处，

\nabla T(5,10)=(0.6,-0.2)

西北方向可以表示为 $\mathbf v=(-1,1)$ ，对应单位方向

\mathbf u=\frac{(-1,1)}{\sqrt2}

计算方向导数：

D_{\mathbf u}T(5,10) =(0.6,-0.2)\cdot \frac{(-1,1)}{\sqrt2} =\frac{-0.8}{\sqrt2} \approx -0.57

单位是摄氏度每米。负号说明朝西北方向刚开始移动时温度下降。

最快升温方向是梯度方向：

\frac{\nabla T(5,10)}{\|\nabla T(5,10)\|} =\frac{(0.6,-0.2)}{\sqrt{0.6^2+(-0.2)^2}} =\left(\frac3{\sqrt{10}},-\frac1{\sqrt{10}}\right)

常见误区

方向导数和梯度很容易被算成机械公式。真正做题时，下面几个点更容易出错。

左右对比图：点 A 在高而平缓的平台上，函数值高但梯度小；点 B 在低处陡坡上，函数值低但梯度大。

函数值高不代表梯度大。梯度描述的是局部变化快慢，不是当前位置的高度。

不要把“函数值大”和“梯度大”混为一谈。 $f(P)$ 是点 $P$ 处的高度或数值； $\|\nabla f(P)\|$ 是点 $P$ 附近最大的一阶变化率。一个高平台可以很平，一个低洼边缘也可以很陡。

方向向量没有单位化

这是计算题里最常见的错误。方向导数用单位方向向量 $\mathbf u$ ，不是随便给出的非零向量 $\mathbf v$ 。若题目说“沿 $(2,-1)$ 的方向”，应先写

\mathbf u=\frac{(2,-1)}{\sqrt5}

再计算 $\nabla f\cdot \mathbf u$ 。

只知道偏导数存在还不够

公式

D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u

通常在 $f$ 于 $P$ 可微时使用。偏导数存在，甚至所有方向导数都存在，并不自动保证函数可微。

例如定义

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}

在原点沿单位方向 $\mathbf u=(u_1,u_2)$ 的方向导数是 $u_1^3$ 。所有方向导数都存在，但它们不能由某个固定向量与 $\mathbf u$ 点积得到，因为 $u_1^3$ 不是关于 $\mathbf u$ 的线性函数。因此这个函数在原点不可微。

在常规教材题中，若函数由多项式、指数、三角函数、对数等光滑函数组合而成，并且点在定义域内部，通常可以直接使用梯度公式。遇到分段函数、尖点、绝对值或分母趋零时，要先检查可微性或直接回到方向导数的极限定义。

解题流程

遇到方向导数和梯度题，可以按下面的顺序处理。

先确认题目给的是二维、三维还是更高维函数，并写出研究点 $P$ 。如果题目给出的是方向向量，先判断它是否已经是单位向量。

求梯度 $\nabla f(P)$ 。对每个变量分别求偏导，再把研究点代入。不要先代点再求偏导，除非题目本来只给出了点附近的一阶近似。

若要求某个方向的方向导数，把方向向量归一化为 $\mathbf u$ ，再计算 $\nabla f(P)\cdot\mathbf u$ 。

若要求最快增长方向，直接取梯度方向；若要求最大变化率，取梯度长度。若梯度为零，要说明一阶信息不能给出唯一方向。

若题目涉及等值线或等值面，把“沿等值对象移动时函数值不变”翻译为点积为零，从而得到梯度与切向量垂直。

练习

练习 1

设 $f(x,y)=x^2y+3y^2$ 。求 $f$ 在点 $(2,-1)$ 沿方向 $\mathbf v=(1,2)$ 的方向导数。

先求梯度：

\nabla f(x,y)=(2xy,x^2+6y)

在点 $(2,-1)$ 处，

\nabla f(2,-1)=(-4,-2)

方向 $\mathbf v=(1,2)$ 的单位向量是

\mathbf u=\frac{(1,2)}{\sqrt5}

所以

D_{\mathbf u}f(2,-1)=(-4,-2)\cdot\frac{(1,2)}{\sqrt5} =-\frac8{\sqrt5}

练习 2

设 $f(x,y,z)=xy+yz+zx$ 。求 $f$ 在点 $(1,2,-1)$ 的最快增长方向和最大方向导数。

梯度为

\nabla f=(y+z,x+z,x+y)

代入点 $(1,2,-1)$ 得

\nabla f(1,2,-1)=(1,0,3)

最快增长方向是

\frac{(1,0,3)}{\sqrt{10}} =\left(\frac1{\sqrt{10}},0,\frac3{\sqrt{10}}\right)

最大方向导数是

\sqrt{10}

练习 3

设 $f(x,y)=e^{x-y}$ 。在点 $(0,0)$ ，哪个单位方向能让函数值下降最快？最小方向导数是多少？

先求梯度：

\nabla f(x,y)=(e^{x-y},-e^{x-y})

在 $(0,0)$ 处，

\nabla f(0,0)=(1,-1)

下降最快方向与梯度方向相反：

-\frac{\nabla f(0,0)}{\|\nabla f(0,0)\|} =\left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)

最小方向导数是

-\|\nabla f(0,0)\|=-\sqrt2

练习 4

函数 $f(x,y)=x^2+4y^2$ 的等值线是一族椭圆。说明在点 $(2,1)$ 处，梯度与等值线切向方向垂直。

梯度为

\nabla f(x,y)=(2x,8y)

所以

\nabla f(2,1)=(4,8)

过点 $(2,1)$ 的等值线满足

x^2+4y^2=8

对这条曲线隐式求导：

2x+8y\frac{dy}{dx}=0

在 $(2,1)$ 处，切线斜率是

\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{8y}=-\frac12

一个切向量可以取 $\mathbf t=(2,-1)$ 。点积为

(4,8)\cdot(2,-1)=8-8=0

因此梯度与切向量垂直。

练习 5

设某成本函数在点 $P$ 的梯度为 $\nabla C(P)=(6,-8)$ 。若生产策略沿单位方向 $\mathbf u=(3/5,4/5)$ 调整，成本的瞬时变化率是多少？哪个方向能让成本下降最快？

方向导数是

D_{\mathbf u}C(P)=(6,-8)\cdot\left(\frac35,\frac45\right) =\frac{18}{5}-\frac{32}{5} =-\frac{14}{5}

负号说明沿该方向调整时成本先下降。成本下降最快方向是负梯度方向：

-\frac{(6,-8)}{\sqrt{6^2+(-8)^2}} =-\frac{(6,-8)}{10} =\left(-\frac35,\frac45\right)

练习 6

设 $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$ 。求 $f$ 在点 $(1,1)$ 沿从 $(1,1)$ 指向原点方向的方向导数。

梯度为

\nabla f(x,y)=\left(\frac{2x}{x^2+y^2},\frac{2y}{x^2+y^2}\right)

在 $(1,1)$ 处，

\nabla f(1,1)=(1,1)

从 $(1,1)$ 指向原点的方向向量是 $(-1,-1)$ ，单位方向是

\mathbf u=\left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)

所以

D_{\mathbf u}f(1,1) =(1,1)\cdot\left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right) =-\sqrt2

小结

方向导数把“某一点附近沿指定方向变化多快”写成一个数。梯度把所有一阶偏导数组织成一个向量，并通过点积给出任意单位方向上的方向导数。

本章最重要的几句话可以合在一起看：

D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u =\|\nabla f(P)\|\cos\theta

梯度方向是最陡上升方向，梯度长度是最大方向导数；负梯度方向是最陡下降方向；在等值线或等值面上，梯度与切向方向垂直。下一章讨论极值时，我们会反复用到这些局部方向信息。

方向导数与梯度

三维地形曲面上的点 P 沿不同方向移动，箭头标注较快升高、几乎不变和下降，底部有浅色等高线投影。

从同一点出发，不同方向的高度变化不同。方向导数测量“沿某个方向的瞬时变化率”。

从偏导数到任意方向

设 $z=f(x,y)$ ，点 $P=(a,b)$ 在定义域内。偏导数 $f_x(a,b)$ 可以看成沿着水平向量 $(1,0)$ 走时的瞬时变化率； $f_y(a,b)$ 是沿着 $(0,1)$ 走时的瞬时变化率。

\mathbf r(t)=(a,b)+t\mathbf u

其中 $\mathbf u$ 是方向向量。把这条直线代入 $f$ ，得到一个单变量函数：

g(t)=f((a,b)+t\mathbf u)

于是沿 $\mathbf u$ 的变化率就是 $g'(0)$ 。这就是方向导数的基本想法：先把多变量函数限制在一条直线上，再使用单变量导数。

方向导数不是新的求导世界，它仍然是在做“差商取极限”。新地方在于，差商里的自变量沿着平面或空间中的指定方向移动。

单位方向向量

若给定非零向量 $\mathbf v=(v_1,v_2)$ ，它对应的单位方向向量是

\mathbf u=\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|} =\frac{(v_1,v_2)}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}

在三维或更高维空间中也一样：

\mathbf u=\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|}

平面坐标网格中从点 P 出发的同方向不同长度向量，展示原方向向量归一化为单位方向向量。

方向导数只关心方向。先把非零方向向量归一化，才能比较不同方向的变化率。

方向导数的定义

函数 $f(x,y)$ 在点 $P=(a,b)$ 沿单位方向 $\mathbf u=(u_1,u_2)$ 的方向导数定义为

D_{\mathbf u}f(a,b) =\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h u_1,b+h u_2)-f(a,b)}{h}

只要这个极限存在，它就表示从 $P$ 出发沿 $\mathbf u$ 方向移动时，函数值对距离的瞬时变化率。

例题：先归一化，再求方向导数

设

f(x,y)=x^2y+e^y

求 $f$ 在点 $(1,0)$ 沿方向 $\mathbf v=(3,4)$ 的方向导数。

先把方向向量化为单位向量。因为 $\|\mathbf v\|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ ，所以方向向量对应的单位向量是 $\mathbf u=(3/5,4/5)$ 。

求偏导数。对 $x$ 求偏导得到 $f_x(x,y)=2xy$ ；对 $y$ 求偏导得到 $f_y(x,y)=x^2+e^y$ 。

在点 $(1,0)$ 代入，得到 $f_x(1,0)=0$ ， $f_y(1,0)=2$ 。因此梯度是 $\nabla f(1,0)=(0,2)$ 。

用点积计算方向导数：

D_{\mathbf u}f(1,0)=\nabla f(1,0)\cdot \mathbf u =(0,2)\cdot \left(\frac35,\frac45\right) =\frac85

所以沿 $\mathbf v=(3,4)$ 指向的方向，函数值的瞬时增加率是 $8/5$ 。

梯度把所有偏导数放在一个向量里

如果 $f$ 在点 $(a,b)$ 附近可微，那么方向导数可以由偏导数直接算出：

D_{\mathbf u}f(a,b)=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2

右边正是一个点积。于是我们把偏导数组成的向量叫作梯度：

\nabla f(a,b)=\left(f_x(a,b),f_y(a,b)\right)

方向导数公式可以写成更紧凑的形式：

D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \mathbf u

三变量函数 $f(x,y,z)$ 的梯度是

\nabla f(x,y,z)=\left(f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z)\right)

$n$ 个变量时，梯度就是由 $n$ 个一阶偏导数组成的向量。

方向导数公式示意图：梯度向量 ∇f 投影到单位方向向量 u 上，夹角为 θ。

方向导数是梯度在单位方向上的投影。夹角越小，沿该方向的增加率越大。

在可微点，梯度 $\nabla f(P)$ 不是只多存了一组偏导数。它给出一个规则：任意单位方向 $\mathbf u$ 的方向导数都等于 $\nabla f(P)\cdot \mathbf u$ 。

最陡上升方向

方向导数公式还有一个直接结论。若 $\theta$ 是梯度 $\nabla f(P)$ 与单位方向 $\mathbf u$ 的夹角，则

D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u =\|\nabla f(P)\|\cos\theta

因为 $\mathbf u$ 是单位向量，所以 $\cos\theta$ 的最大值是 $1$ ，最小值是 $-1$ 。因此：

最陡上升方向是梯度方向 $\nabla f(P)$ 。
最大方向导数是 $\|\nabla f(P)\|$ 。
最陡下降方向是 $-\nabla f(P)$ 。
最小方向导数是 $-\|\nabla f(P)\|$ 。

例题：找最快增长方向

设

f(x,y)=x^2+xy+y^2

求 $f$ 在点 $(1,2)$ 的最快增长方向、最大方向导数和最陡下降方向。

先求梯度。因为 $f_x=2x+y$ ， $f_y=x+2y$ ，所以

\nabla f(1,2)=(2\cdot 1+2,1+2\cdot 2)=(4,5)

最快增长方向是梯度的单位方向：

\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|} =\frac{(4,5)}{\sqrt{4^2+5^2}} =\left(\frac4{\sqrt{41}},\frac5{\sqrt{41}}\right)

最大方向导数是梯度长度：

\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{41}

最陡下降方向与梯度方向相反：

-\frac{\nabla f(1,2)}{\|\nabla f(1,2)\|} =\left(-\frac4{\sqrt{41}},-\frac5{\sqrt{41}}\right)

梯度与等值线垂直

等值线是满足 $f(x,y)=c$ 的点组成的曲线。沿着同一条等值线移动时，函数值保持不变，所以沿等值线切向方向的方向导数应为 $0$ 。

设等值线上有一条参数曲线

\mathbf r(t)=(x(t),y(t))

并且

f(x(t),y(t))=c

对 $t$ 求导，链式法则给出

\nabla f(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)=0

这说明梯度与等值线的切向量垂直。只要 $\nabla f\ne \mathbf 0$ ，梯度就指向等值线的法向方向，也指向函数值升高最快的一侧。

二维椭圆等值线图，点 P 处的切向方向沿等值线，梯度 ∇f 箭头与等值线垂直。

沿等值线移动时函数值不变，切向方向的方向导数为 0；梯度垂直于等值线。

应用：温度场中的最快升温方向

二维房间温度场热力图，等温线与点 P 处温度梯度箭头指示升温最快方向。

温度梯度垂直于等温线，并指向温度升高最快的一侧。

例题：判断移动方向是升温还是降温

某房间地面附近的温度可近似写成

T(x,y)=22+0.4x-0.3y+0.02xy

其中 $x,y$ 的单位是米， $T$ 的单位是摄氏度。求在点 $(5,10)$ 沿西北方向移动时温度的瞬时变化率，并找出最快升温方向。

先求温度梯度：

T_x=0.4+0.02y,\qquad T_y=-0.3+0.02x

在点 $(5,10)$ 处，

\nabla T(5,10)=(0.6,-0.2)

西北方向可以表示为 $\mathbf v=(-1,1)$ ，对应单位方向

\mathbf u=\frac{(-1,1)}{\sqrt2}

计算方向导数：

D_{\mathbf u}T(5,10) =(0.6,-0.2)\cdot \frac{(-1,1)}{\sqrt2} =\frac{-0.8}{\sqrt2} \approx -0.57

单位是摄氏度每米。负号说明朝西北方向刚开始移动时温度下降。

最快升温方向是梯度方向：

\frac{\nabla T(5,10)}{\|\nabla T(5,10)\|} =\frac{(0.6,-0.2)}{\sqrt{0.6^2+(-0.2)^2}} =\left(\frac3{\sqrt{10}},-\frac1{\sqrt{10}}\right)

常见误区

方向导数和梯度很容易被算成机械公式。真正做题时，下面几个点更容易出错。

左右对比图：点 A 在高而平缓的平台上，函数值高但梯度小；点 B 在低处陡坡上，函数值低但梯度大。

函数值高不代表梯度大。梯度描述的是局部变化快慢，不是当前位置的高度。

方向向量没有单位化

这是计算题里最常见的错误。方向导数用单位方向向量 $\mathbf u$ ，不是随便给出的非零向量 $\mathbf v$ 。若题目说“沿 $(2,-1)$ 的方向”，应先写

\mathbf u=\frac{(2,-1)}{\sqrt5}

再计算 $\nabla f\cdot \mathbf u$ 。

只知道偏导数存在还不够

公式

D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u

通常在 $f$ 于 $P$ 可微时使用。偏导数存在，甚至所有方向导数都存在，并不自动保证函数可微。

例如定义

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}

解题流程

遇到方向导数和梯度题，可以按下面的顺序处理。

先确认题目给的是二维、三维还是更高维函数，并写出研究点 $P$ 。如果题目给出的是方向向量，先判断它是否已经是单位向量。

求梯度 $\nabla f(P)$ 。对每个变量分别求偏导，再把研究点代入。不要先代点再求偏导，除非题目本来只给出了点附近的一阶近似。

若要求某个方向的方向导数，把方向向量归一化为 $\mathbf u$ ，再计算 $\nabla f(P)\cdot\mathbf u$ 。

若要求最快增长方向，直接取梯度方向；若要求最大变化率，取梯度长度。若梯度为零，要说明一阶信息不能给出唯一方向。

若题目涉及等值线或等值面，把“沿等值对象移动时函数值不变”翻译为点积为零，从而得到梯度与切向量垂直。

练习

练习 1

设 $f(x,y)=x^2y+3y^2$ 。求 $f$ 在点 $(2,-1)$ 沿方向 $\mathbf v=(1,2)$ 的方向导数。

先求梯度：

\nabla f(x,y)=(2xy,x^2+6y)

在点 $(2,-1)$ 处，

\nabla f(2,-1)=(-4,-2)

方向 $\mathbf v=(1,2)$ 的单位向量是

\mathbf u=\frac{(1,2)}{\sqrt5}

所以

D_{\mathbf u}f(2,-1)=(-4,-2)\cdot\frac{(1,2)}{\sqrt5} =-\frac8{\sqrt5}

练习 2

设 $f(x,y,z)=xy+yz+zx$ 。求 $f$ 在点 $(1,2,-1)$ 的最快增长方向和最大方向导数。

梯度为

\nabla f=(y+z,x+z,x+y)

代入点 $(1,2,-1)$ 得

\nabla f(1,2,-1)=(1,0,3)

最快增长方向是

\frac{(1,0,3)}{\sqrt{10}} =\left(\frac1{\sqrt{10}},0,\frac3{\sqrt{10}}\right)

最大方向导数是

\sqrt{10}

练习 3

设 $f(x,y)=e^{x-y}$ 。在点 $(0,0)$ ，哪个单位方向能让函数值下降最快？最小方向导数是多少？

先求梯度：

\nabla f(x,y)=(e^{x-y},-e^{x-y})

在 $(0,0)$ 处，

\nabla f(0,0)=(1,-1)

下降最快方向与梯度方向相反：

-\frac{\nabla f(0,0)}{\|\nabla f(0,0)\|} =\left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)

最小方向导数是

-\|\nabla f(0,0)\|=-\sqrt2

练习 4

函数 $f(x,y)=x^2+4y^2$ 的等值线是一族椭圆。说明在点 $(2,1)$ 处，梯度与等值线切向方向垂直。

梯度为

\nabla f(x,y)=(2x,8y)

所以

\nabla f(2,1)=(4,8)

过点 $(2,1)$ 的等值线满足

x^2+4y^2=8

对这条曲线隐式求导：

2x+8y\frac{dy}{dx}=0

在 $(2,1)$ 处，切线斜率是

\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{8y}=-\frac12

一个切向量可以取 $\mathbf t=(2,-1)$ 。点积为

(4,8)\cdot(2,-1)=8-8=0

因此梯度与切向量垂直。

练习 5

方向导数是

D_{\mathbf u}C(P)=(6,-8)\cdot\left(\frac35,\frac45\right) =\frac{18}{5}-\frac{32}{5} =-\frac{14}{5}

负号说明沿该方向调整时成本先下降。成本下降最快方向是负梯度方向：

-\frac{(6,-8)}{\sqrt{6^2+(-8)^2}} =-\frac{(6,-8)}{10} =\left(-\frac35,\frac45\right)

练习 6

设 $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$ 。求 $f$ 在点 $(1,1)$ 沿从 $(1,1)$ 指向原点方向的方向导数。

梯度为

\nabla f(x,y)=\left(\frac{2x}{x^2+y^2},\frac{2y}{x^2+y^2}\right)

在 $(1,1)$ 处，

\nabla f(1,1)=(1,1)

从 $(1,1)$ 指向原点的方向向量是 $(-1,-1)$ ，单位方向是

\mathbf u=\left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)

所以

D_{\mathbf u}f(1,1) =(1,1)\cdot\left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right) =-\sqrt2

小结

方向导数把“某一点附近沿指定方向变化多快”写成一个数。梯度把所有一阶偏导数组织成一个向量，并通过点积给出任意单位方向上的方向导数。

本章最重要的几句话可以合在一起看：

D_{\mathbf u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u =\|\nabla f(P)\|\cos\theta