多变量极值与优化

上一章我们用方向导数和梯度回答了一个局部问题：函数在某一点附近，沿哪个方向增长最快。本章换一个问题：如果把整块曲面看成一张地形图，哪里可能是山顶、谷底，哪里只是看起来平却并不稳定？

多变量极值问题的基本动作有两个。先用一阶导数找出“可能发生转折”的点，再用二阶导数或边界比较判断这些点到底是什么。这个过程比单变量多一个难点：在平面上离开一点有无穷多个方向，所以“斜率为零”只说明一阶变化消失，并不能直接说明那里一定有最大值或最小值。

局部极大、局部极小和鞍点的三种曲面形态

局部极大、局部极小和鞍点都可能出现在曲面看起来“平”的位置。区别藏在附近所有方向的二阶弯曲里。

临界点

设 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 附近有定义。如果 $f_x(a,b)=0$ 且 $f_y(a,b)=0$ ，或者某个一阶偏导数在该点不存在，我们把 $(a,b)$ 称为 $f$ 的临界点。对可微函数来说，条件可以写成

\nabla f(a,b)=\langle f_x(a,b), f_y(a,b)\rangle=\mathbf 0

这句话的几何意思是：在这个点，所有方向导数的一阶线性部分都消失了。因为任意单位方向 $\mathbf u$ 上的方向导数是

D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \mathbf u

所以当梯度为零时，沿任意方向的一阶变化率都是零。

梯度为零时一阶变化消失，需要继续看二阶曲率

临界点只是候选点，不是结论。单变量里 $f'(a)=0$ 也可能只是拐点；多变量里类似的现象更常见，因为曲面可以在一个方向上向上弯，在另一个方向上向下弯。

局部极值的必要条件

如果 $f$ 在 $(a,b)$ 处可微，并且 $(a,b)$ 是局部极大点或局部极小点，那么

\nabla f(a,b)=\mathbf 0

证明思路和单变量一致。固定 $y=b$ ，得到单变量函数 $g(x)=f(x,b)$ 。如果 $(a,b)$ 是局部极值点，那么 $x=a$ 也是 $g$ 的局部极值点，所以 $g'(a)=f_x(a,b)=0$ 。同理，固定 $x=a$ ，得到 $f_y(a,b)=0$ 。

这个结论只给出必要条件。找极值时，它告诉我们该检查哪里；它不保证这些地方真的有极值。

例题：先找候选点

求函数

f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y+10

的临界点，并判断它的类型。

先求一阶偏导数：

f_x=2x-4,\qquad f_y=2y+6

令两个偏导数同时为零：

2x-4=0,\qquad 2y+6=0

得到唯一临界点 $(2,-3)$ 。

把原函数配方：

f(x,y)=(x-2)^2+(y+3)^2-3

两个平方项都不小于零，所以 $(2,-3)$ 处取得局部最小值，也是整个平面上的绝对最小值。

这个例子很温和，因为函数本身是一个向上开的椭圆抛物面。实际题目中，配方不总是方便；这时需要 Hessian。

Hessian 与二阶判别法

在一点附近，可微函数的一阶近似给出切平面。若临界点处梯度为零，切平面只剩常数项，下一层信息来自二阶近似。对二元函数来说，二阶偏导数组成的矩阵叫 Hessian：

H_f(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}

当二阶偏导连续时， $f_{xy}=f_{yx}$ 。在临界点 $(a,b)$ 附近，函数的主要形状由下面这个二次型控制：

\frac12 \begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix} H_f(a,b) \begin{pmatrix} h\\ k \end{pmatrix}

如果这个二次型在每个非零方向上都为正，曲面向各个方向上弯，是局部极小；如果每个非零方向上都为负，曲面向各个方向下弯，是局部极大；如果有的方向为正、有的方向为负，就是鞍点。

Hessian 把二阶偏导数组织成曲率矩阵，用来区分极小、极大和鞍点

二阶判别法

对二元函数，常用一个判别式来压缩 Hessian 信息：

D(a,b)=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left[f_{xy}(a,b)\right]^2

在临界点 $(a,b)$ 处：

条件	结论
$D>0$ 且 $f_{xx}>0$	局部极小
$D>0$ 且 $f_{xx}<0$	局部极大
$D<0$	鞍点
$D=0$	判别法不确定

这里的 $D$ 是 Hessian 行列式。 $D>0$ 表示两个主方向的弯曲同号，再用 $f_{xx}$ 的符号判断它们是同为正还是同为负。 $D<0$ 表示弯曲异号，所以必然是鞍点。

二阶判别法只在临界点上使用。若某点的梯度不为零，即使 $D$ 的符号看起来很漂亮，也不能拿它来判断局部极值。

例题：用 Hessian 分类

求函数

f(x,y)=x^3-3x+y^2

的临界点，并分类。

先求一阶偏导数：

f_x=3x^2-3,\qquad f_y=2y

令一阶偏导数同时为零：

3x^2-3=0,\qquad 2y=0

得到两个临界点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 。

求二阶偏导数：

f_{xx}=6x,\qquad f_{yy}=2,\qquad f_{xy}=0

因此

D= f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=12x

在 $(1,0)$ 处， $D=12>0$ 且 $f_{xx}=6>0$ ，所以 $(1,0)$ 是局部极小点。在 $(-1,0)$ 处， $D=-12<0$ ，所以 $(-1,0)$ 是鞍点。

注意这里没有局部极大点。一个函数可以有多个临界点，也可以某一类极值完全没有。

鞍点与不确定情形

鞍点的特点是：从某些方向看，点附近像谷底；从另一些方向看，又像山顶。最经典的例子是

f(x,y)=x^2-y^2

原点处 $f_x=2x$ ， $f_y=-2y$ ，所以 $(0,0)$ 是临界点。沿 $x$ 轴看， $f(x,0)=x^2\ge 0$ ；沿 $y$ 轴看， $f(0,y)=-y^2\le 0$ 。同一个点附近既有比 $f(0,0)$ 大的函数值，也有比它小的函数值，因此原点是鞍点。

$D=0$ 时不要硬判

二阶判别法给出 $D=0$ 时，结论是不确定，而不是“没有极值”。例如

f(x,y)=x^4+y^4

在原点处有局部极小，但二阶偏导给不出有效弯曲信息，因为最低阶的非零变化来自四次项。

另一个例子是

g(x,y)=x^4-y^4

原点是鞍点，二阶判别式同样为零。这两个例子说明，当二阶项全部退化时，要回到定义、路径比较或更高阶项。

常见错误是把 $D=0$ 当成“鞍点”或“没有极值”。它只说明二阶判别法在这个点失效。此时要看原函数在附近的符号、沿不同路径的表现，或者尝试配方与因式分解。

例题：用路径识别鞍点

判断

f(x,y)=x^2-y^4

在原点附近的行为。

一阶偏导数为

f_x=2x,\qquad f_y=-4y^3

所以原点是临界点。

二阶偏导数为

f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=-12y^2,\qquad f_{xy}=0

在原点处 $D=2\cdot 0-0=0$ ，二阶判别法不确定。

沿 $x$ 轴， $f(x,0)=x^2>0$ ；沿 $y$ 轴， $f(0,y)=-y^4<0$ 。原点附近同时出现大于和小于 $f(0,0)$ 的值，所以原点是鞍点。

闭有界区域上的绝对极值

局部极值只看一个点附近。绝对极值要看整个区域。若 $f$ 在闭有界区域 $R$ 上连续，那么 $f$ 一定在 $R$ 上取得绝对最大值和绝对最小值。

这个结论给出存在性，但不告诉我们极值在哪里。实际计算时，要检查三类候选对象：

区域内部的临界点。
边界曲线上的候选点。
边界的端点、角点或分段连接点。

闭有界区域上的绝对极值需要比较内部临界点、边界候选点和角点

闭有界区域上的绝对极值问题，最后一步总是比较函数值。Hessian 可以帮助判断内部临界点的局部类型，但绝对最大值和绝对最小值来自候选值的整体比较。

处理边界

边界通常把二元问题降成单变量问题。例如在矩形区域

R=[a,b]\times[c,d]

上，边界有四条线段。在线段 $y=c$ 上，函数变成 $f(x,c)$ ，只需要在 $a\le x\le b$ 上找单变量极值；其他边界同理。

如果区域边界由曲线给出，例如 $y=\phi(x)$ ，就把边界上的函数写成

F(x)=f(x,\phi(x))

再按单变量方法找候选点。下一章的拉格朗日乘子会给出更统一的约束优化方法；本章先用“参数化边界并比较候选值”的方式。

例题：矩形区域上的绝对极值

求

f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y

在矩形

R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\ 0\le y\le 4\}

上的绝对最大值和绝对最小值。

先找内部临界点。因为

f_x=2x-2,\qquad f_y=2y-4

所以临界点是 $(1,2)$ 。它位于矩形内部，函数值为

f(1,2)=1+4-2-8=-5

检查边界 $x=0$ 。此时

f(0,y)=y^2-4y=(y-2)^2-4

在 $0\le y\le 4$ 上，候选点包括 $y=2,0,4$ ，函数值分别为 $-4,0,0$ 。

检查边界 $x=3$ 。此时

f(3,y)=y^2-4y+3=(y-2)^2-1

候选点包括 $y=2,0,4$ ，函数值分别为 $-1,3,3$ 。

检查边界 $y=0$ 。此时

f(x,0)=x^2-2x=(x-1)^2-1

候选点包括 $x=1,0,3$ ，函数值分别为 $-1,0,3$ 。

检查边界 $y=4$ 。此时

f(x,4)=x^2-2x=(x-1)^2-1

候选点包括 $x=1,0,3$ ，函数值分别为 $-1,0,3$ 。

汇总候选值，最小值是 $-5$ ，在 $(1,2)$ 处取得；最大值是 $3$ ，在 $(3,0)$ 和 $(3,4)$ 处取得。

边界检查看起来有重复，这是正常的。矩形四条边会共享角点，所以同一个点可能被算到两次；最终只要比较完整候选集合即可。

实际优化模型

优化题的数学难点常常不是求导，而是把问题翻译成函数。一个实际问题通常包含三个部分：变量、目标函数、可行区域。

生产设计优化中，两个输入变量决定一个成本曲面，最低点给出最优组合

建模步骤

先选变量。变量应当能独立描述方案，例如材料用量 $x$ 和工时 $y$ ，或平面上一点的坐标 $(x,y)$ 。

写目标函数。题目要“最大产量”，目标函数可能是 $P(x,y)$ ；要“最小成本”，目标函数可能是 $C(x,y)$ ；要“最短距离”，目标函数常常可以写成距离平方，避免根号。

写可行区域。若变量没有限制，先做无约束优化；若有范围、边界或实际条件，就把区域写清楚。闭有界区域上可以按候选点比较法求绝对极值。

求候选点并解释结果。最后的答案不能只写一个坐标，还要说明这个坐标在原问题中代表什么，并检查它是否满足题目条件。

例题：最接近一点的平面点

在平面

z=2x-y+1

上找一点，使它到点 $P=(1,2,3)$ 的距离最短。

因为平面上的点可以写成 $(x,y,2x-y+1)$ ，它到 $P$ 的距离平方为

F(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+(2x-y+1-3)^2

也就是

F(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+(2x-y-2)^2

最小化距离等价于最小化 $F$ 。

求一阶偏导数：

F_x=2(x-1)+4(2x-y-2)=10x-4y-10

F_y=2(y-2)-2(2x-y-2)=-4x+4y

解方程组

10x-4y-10=0,\qquad -4x+4y=0

由第二个方程得 $y=x$ ，代入第一个方程得 $6x=10$ ，所以 $x=y=\frac53$ 。

对应平面上的点为

\left(\frac53,\frac53,2\cdot\frac53-\frac53+1\right) = \left(\frac53,\frac53,\frac83\right)

这个候选点是最短距离点。理由是 $F$ 是三个平方项之和展开后的二次函数，Hessian 为正定矩阵；也可以从几何上理解为点到平面的垂足。

这个例题展示了优化建模中的一个常用技巧：若目标是最短距离，可以先最小化距离平方。平方函数在非负区间上单调增加，所以不会改变最优点。

常见误区

只求临界点，不分类

求出 $\nabla f=0$ 只是第一步。题目问局部极值时，还要用 Hessian、配方、路径比较或定义判断类型。

忘记检查边界

绝对极值题最容易漏的是边界。即使内部有局部最小点，绝对最大值也可能出现在边界角点；即使内部没有临界点，连续函数在闭有界区域上仍然会取得绝对极值。

在非闭有界区域上直接套存在性

若区域不是闭有界，绝对最大值或最小值可能不存在。例如 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在整个平面上有绝对最小值 $0$ ，但没有绝对最大值。

把应用题的变量范围漏掉

现实变量常常有范围限制，例如长度不能为负，材料不能超过库存，概率或比例必须在 $[0,1]$ 内。范围决定了候选点集合，也会改变最优解。

练习

练习：临界点分类

求

f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x+2y

的临界点，并判断它的类型。

先求偏导数：

f_x=2x+y-3,\qquad f_y=x+2y+2

解方程组

2x+y-3=0,\qquad x+2y+2=0

得到 $x=\frac83,\ y=-\frac73$ 。二阶偏导数为

f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=2,\qquad f_{xy}=1

所以

D=2\cdot 2-1^2=3>0

且 $f_{xx}>0$ ，因此该临界点是局部极小点。

练习：识别鞍点

判断

f(x,y)=xy

在原点附近的行为。

偏导数为 $f_x=y,\ f_y=x$ ，所以原点是临界点。二阶偏导数为 $f_{xx}=0,\ f_{yy}=0,\ f_{xy}=1$ ，因此

D=0\cdot0-1^2=-1<0

原点是鞍点。也可以沿直线 $y=x$ 得到 $f(x,x)=x^2>0$ ，沿 $y=-x$ 得到 $f(x,-x)=-x^2<0$ ，说明原点附近同时有更大值和更小值。

练习：闭区域绝对极值

求

f(x,y)=x+y-xy

在正方形

0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le 2

上的绝对最大值和绝对最小值。

内部临界点满足

f_x=1-y=0,\qquad f_y=1-x=0

所以候选点是 $(1,1)$ ，函数值为 $1$ 。

检查边界。若 $x=0$ ， $f=y$ ，在 $[0,2]$ 上取值从 $0$ 到 $2$ 。若 $x=2$ ， $f=2-y$ ，在 $[0,2]$ 上取值从 $2$ 到 $0$ 。若 $y=0$ ， $f=x$ ，在 $[0,2]$ 上取值从 $0$ 到 $2$ 。若 $y=2$ ， $f=2-x$ ，在 $[0,2]$ 上取值从 $2$ 到 $0$ 。

汇总可知，绝对最小值为 $0$ ，在 $(0,0)$ 和 $(2,2)$ 处取得；绝对最大值为 $2$ ，在 $(2,0)$ 和 $(0,2)$ 处取得。

练习：应用建模

某产品的总成本近似为

C(x,y)=2x^2+y^2-2xy-8x-2y+30

其中 $x$ 表示材料批量， $y$ 表示工时批量。若暂不考虑边界限制，求使成本最小的 $(x,y)$ 。

求偏导数：

C_x=4x-2y-8,\qquad C_y=2y-2x-2

令它们同时为零：

4x-2y-8=0,\qquad 2y-2x-2=0

第二个方程给出 $y=x+1$ 。代入第一个方程：

4x-2(x+1)-8=0

得到 $2x=10$ ，所以 $x=5,\ y=6$ 。

Hessian 为

\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}

其判别式为 $D=4\cdot2-(-2)^2=4>0$ ，且 $C_{xx}=4>0$ ，所以这是局部极小点。由于该二次成本函数的 Hessian 正定，这个点也是无约束情况下的全局最小点。

多变量极值与优化

局部极大、局部极小和鞍点的三种曲面形态

局部极大、局部极小和鞍点都可能出现在曲面看起来“平”的位置。区别藏在附近所有方向的二阶弯曲里。

临界点

\nabla f(a,b)=\langle f_x(a,b), f_y(a,b)\rangle=\mathbf 0

这句话的几何意思是：在这个点，所有方向导数的一阶线性部分都消失了。因为任意单位方向 $\mathbf u$ 上的方向导数是

D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \mathbf u

所以当梯度为零时，沿任意方向的一阶变化率都是零。

梯度为零时一阶变化消失，需要继续看二阶曲率

局部极值的必要条件

如果 $f$ 在 $(a,b)$ 处可微，并且 $(a,b)$ 是局部极大点或局部极小点，那么

\nabla f(a,b)=\mathbf 0

这个结论只给出必要条件。找极值时，它告诉我们该检查哪里；它不保证这些地方真的有极值。

例题：先找候选点

求函数

f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y+10

的临界点，并判断它的类型。

先求一阶偏导数：

f_x=2x-4,\qquad f_y=2y+6

令两个偏导数同时为零：

2x-4=0,\qquad 2y+6=0

得到唯一临界点 $(2,-3)$ 。

把原函数配方：

f(x,y)=(x-2)^2+(y+3)^2-3

两个平方项都不小于零，所以 $(2,-3)$ 处取得局部最小值，也是整个平面上的绝对最小值。

这个例子很温和，因为函数本身是一个向上开的椭圆抛物面。实际题目中，配方不总是方便；这时需要 Hessian。

Hessian 与二阶判别法

H_f(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}

当二阶偏导连续时， $f_{xy}=f_{yx}$ 。在临界点 $(a,b)$ 附近，函数的主要形状由下面这个二次型控制：

\frac12 \begin{pmatrix} h & k \end{pmatrix} H_f(a,b) \begin{pmatrix} h\\ k \end{pmatrix}

Hessian 把二阶偏导数组织成曲率矩阵，用来区分极小、极大和鞍点

二阶判别法

对二元函数，常用一个判别式来压缩 Hessian 信息：

D(a,b)=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left[f_{xy}(a,b)\right]^2

在临界点 $(a,b)$ 处：

条件	结论
$D>0$ 且 $f_{xx}>0$	局部极小
$D>0$ 且 $f_{xx}<0$	局部极大
$D<0$	鞍点
$D=0$	判别法不确定

二阶判别法只在临界点上使用。若某点的梯度不为零，即使 $D$ 的符号看起来很漂亮，也不能拿它来判断局部极值。

例题：用 Hessian 分类

求函数

f(x,y)=x^3-3x+y^2

的临界点，并分类。

先求一阶偏导数：

f_x=3x^2-3,\qquad f_y=2y

令一阶偏导数同时为零：

3x^2-3=0,\qquad 2y=0

得到两个临界点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 。

求二阶偏导数：

f_{xx}=6x,\qquad f_{yy}=2,\qquad f_{xy}=0

因此

D= f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=12x

在 $(1,0)$ 处， $D=12>0$ 且 $f_{xx}=6>0$ ，所以 $(1,0)$ 是局部极小点。在 $(-1,0)$ 处， $D=-12<0$ ，所以 $(-1,0)$ 是鞍点。

注意这里没有局部极大点。一个函数可以有多个临界点，也可以某一类极值完全没有。

鞍点与不确定情形

鞍点的特点是：从某些方向看，点附近像谷底；从另一些方向看，又像山顶。最经典的例子是

f(x,y)=x^2-y^2

$D=0$ 时不要硬判

二阶判别法给出 $D=0$ 时，结论是不确定，而不是“没有极值”。例如

f(x,y)=x^4+y^4

在原点处有局部极小，但二阶偏导给不出有效弯曲信息，因为最低阶的非零变化来自四次项。

另一个例子是

g(x,y)=x^4-y^4

原点是鞍点，二阶判别式同样为零。这两个例子说明，当二阶项全部退化时，要回到定义、路径比较或更高阶项。

例题：用路径识别鞍点

判断

f(x,y)=x^2-y^4

在原点附近的行为。

一阶偏导数为

f_x=2x,\qquad f_y=-4y^3

所以原点是临界点。

二阶偏导数为

f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=-12y^2,\qquad f_{xy}=0

在原点处 $D=2\cdot 0-0=0$ ，二阶判别法不确定。

沿 $x$ 轴， $f(x,0)=x^2>0$ ；沿 $y$ 轴， $f(0,y)=-y^4<0$ 。原点附近同时出现大于和小于 $f(0,0)$ 的值，所以原点是鞍点。

闭有界区域上的绝对极值

局部极值只看一个点附近。绝对极值要看整个区域。若 $f$ 在闭有界区域 $R$ 上连续，那么 $f$ 一定在 $R$ 上取得绝对最大值和绝对最小值。

这个结论给出存在性，但不告诉我们极值在哪里。实际计算时，要检查三类候选对象：

区域内部的临界点。
边界曲线上的候选点。
边界的端点、角点或分段连接点。

闭有界区域上的绝对极值需要比较内部临界点、边界候选点和角点

处理边界

边界通常把二元问题降成单变量问题。例如在矩形区域

R=[a,b]\times[c,d]

上，边界有四条线段。在线段 $y=c$ 上，函数变成 $f(x,c)$ ，只需要在 $a\le x\le b$ 上找单变量极值；其他边界同理。

如果区域边界由曲线给出，例如 $y=\phi(x)$ ，就把边界上的函数写成

F(x)=f(x,\phi(x))

再按单变量方法找候选点。下一章的拉格朗日乘子会给出更统一的约束优化方法；本章先用“参数化边界并比较候选值”的方式。

例题：矩形区域上的绝对极值

求

f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y

在矩形

R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\ 0\le y\le 4\}

上的绝对最大值和绝对最小值。

先找内部临界点。因为

f_x=2x-2,\qquad f_y=2y-4

所以临界点是 $(1,2)$ 。它位于矩形内部，函数值为

f(1,2)=1+4-2-8=-5

检查边界 $x=0$ 。此时

f(0,y)=y^2-4y=(y-2)^2-4

在 $0\le y\le 4$ 上，候选点包括 $y=2,0,4$ ，函数值分别为 $-4,0,0$ 。

检查边界 $x=3$ 。此时

f(3,y)=y^2-4y+3=(y-2)^2-1

候选点包括 $y=2,0,4$ ，函数值分别为 $-1,3,3$ 。

检查边界 $y=0$ 。此时

f(x,0)=x^2-2x=(x-1)^2-1

候选点包括 $x=1,0,3$ ，函数值分别为 $-1,0,3$ 。

检查边界 $y=4$ 。此时

f(x,4)=x^2-2x=(x-1)^2-1

候选点包括 $x=1,0,3$ ，函数值分别为 $-1,0,3$ 。

汇总候选值，最小值是 $-5$ ，在 $(1,2)$ 处取得；最大值是 $3$ ，在 $(3,0)$ 和 $(3,4)$ 处取得。

边界检查看起来有重复，这是正常的。矩形四条边会共享角点，所以同一个点可能被算到两次；最终只要比较完整候选集合即可。

实际优化模型

优化题的数学难点常常不是求导，而是把问题翻译成函数。一个实际问题通常包含三个部分：变量、目标函数、可行区域。

生产设计优化中，两个输入变量决定一个成本曲面，最低点给出最优组合

建模步骤

先选变量。变量应当能独立描述方案，例如材料用量 $x$ 和工时 $y$ ，或平面上一点的坐标 $(x,y)$ 。

写可行区域。若变量没有限制，先做无约束优化；若有范围、边界或实际条件，就把区域写清楚。闭有界区域上可以按候选点比较法求绝对极值。

求候选点并解释结果。最后的答案不能只写一个坐标，还要说明这个坐标在原问题中代表什么，并检查它是否满足题目条件。

例题：最接近一点的平面点

在平面

z=2x-y+1

上找一点，使它到点 $P=(1,2,3)$ 的距离最短。

因为平面上的点可以写成 $(x,y,2x-y+1)$ ，它到 $P$ 的距离平方为

F(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+(2x-y+1-3)^2

也就是

F(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+(2x-y-2)^2

最小化距离等价于最小化 $F$ 。

求一阶偏导数：

F_x=2(x-1)+4(2x-y-2)=10x-4y-10

F_y=2(y-2)-2(2x-y-2)=-4x+4y

解方程组

10x-4y-10=0,\qquad -4x+4y=0

由第二个方程得 $y=x$ ，代入第一个方程得 $6x=10$ ，所以 $x=y=\frac53$ 。

对应平面上的点为

\left(\frac53,\frac53,2\cdot\frac53-\frac53+1\right) = \left(\frac53,\frac53,\frac83\right)

这个候选点是最短距离点。理由是 $F$ 是三个平方项之和展开后的二次函数，Hessian 为正定矩阵；也可以从几何上理解为点到平面的垂足。

这个例题展示了优化建模中的一个常用技巧：若目标是最短距离，可以先最小化距离平方。平方函数在非负区间上单调增加，所以不会改变最优点。

常见误区

只求临界点，不分类

求出 $\nabla f=0$ 只是第一步。题目问局部极值时，还要用 Hessian、配方、路径比较或定义判断类型。

忘记检查边界

在非闭有界区域上直接套存在性

若区域不是闭有界，绝对最大值或最小值可能不存在。例如 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在整个平面上有绝对最小值 $0$ ，但没有绝对最大值。

把应用题的变量范围漏掉

现实变量常常有范围限制，例如长度不能为负，材料不能超过库存，概率或比例必须在 $[0,1]$ 内。范围决定了候选点集合，也会改变最优解。

练习

练习：临界点分类

求

f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x+2y

的临界点，并判断它的类型。

先求偏导数：

f_x=2x+y-3,\qquad f_y=x+2y+2

解方程组

2x+y-3=0,\qquad x+2y+2=0

得到 $x=\frac83,\ y=-\frac73$ 。二阶偏导数为

f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=2,\qquad f_{xy}=1

所以

D=2\cdot 2-1^2=3>0

且 $f_{xx}>0$ ，因此该临界点是局部极小点。

练习：识别鞍点

判断

f(x,y)=xy

在原点附近的行为。

偏导数为 $f_x=y,\ f_y=x$ ，所以原点是临界点。二阶偏导数为 $f_{xx}=0,\ f_{yy}=0,\ f_{xy}=1$ ，因此

D=0\cdot0-1^2=-1<0

原点是鞍点。也可以沿直线 $y=x$ 得到 $f(x,x)=x^2>0$ ，沿 $y=-x$ 得到 $f(x,-x)=-x^2<0$ ，说明原点附近同时有更大值和更小值。

练习：闭区域绝对极值

求

f(x,y)=x+y-xy

在正方形

0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le 2

上的绝对最大值和绝对最小值。

内部临界点满足

f_x=1-y=0,\qquad f_y=1-x=0

所以候选点是 $(1,1)$ ，函数值为 $1$ 。

汇总可知，绝对最小值为 $0$ ，在 $(0,0)$ 和 $(2,2)$ 处取得；绝对最大值为 $2$ ，在 $(2,0)$ 和 $(0,2)$ 处取得。

练习：应用建模

某产品的总成本近似为

C(x,y)=2x^2+y^2-2xy-8x-2y+30

其中 $x$ 表示材料批量， $y$ 表示工时批量。若暂不考虑边界限制，求使成本最小的 $(x,y)$ 。

求偏导数：

C_x=4x-2y-8,\qquad C_y=2y-2x-2

令它们同时为零：

4x-2y-8=0,\qquad 2y-2x-2=0

第二个方程给出 $y=x+1$ 。代入第一个方程：

4x-2(x+1)-8=0

得到 $2x=10$ ，所以 $x=5,\ y=6$ 。

Hessian 为

\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}

其判别式为 $D=4\cdot2-(-2)^2=4>0$ ，且 $C_{xx}=4>0$ ，所以这是局部极小点。由于该二次成本函数的 Hessian 正定，这个点也是无约束情况下的全局最小点。

多变量极值与优化

临界点

局部极值的必要条件

例题：先找候选点

Hessian 与二阶判别法

二阶判别法

例题：用 Hessian 分类

鞍点与不确定情形

D=0D=0D=0 时不要硬判

例题：用路径识别鞍点

闭有界区域上的绝对极值

处理边界

例题：矩形区域上的绝对极值

实际优化模型

建模步骤

例题：最接近一点的平面点

常见误区

只求临界点，不分类

忘记检查边界

在非闭有界区域上直接套存在性

把应用题的变量范围漏掉

练习

练习：临界点分类

练习：识别鞍点

练习：闭区域绝对极值

练习：应用建模

多变量极值与优化

临界点

局部极值的必要条件

例题：先找候选点

Hessian 与二阶判别法

二阶判别法

例题：用 Hessian 分类

鞍点与不确定情形

D=0D=0D=0 时不要硬判

例题：用路径识别鞍点

闭有界区域上的绝对极值

处理边界

例题：矩形区域上的绝对极值

实际优化模型

建模步骤

例题：最接近一点的平面点

常见误区

只求临界点，不分类

忘记检查边界

在非闭有界区域上直接套存在性

把应用题的变量范围漏掉

练习

练习：临界点分类

练习：识别鞍点

练习：闭区域绝对极值

练习：应用建模

$D=0$ 时不要硬判

$D=0$ 时不要硬判