多变量链式法则：当变化不止一条路

上一章讲线性化时，我们得到了一张很有用的“变化账单”：如果 $x$ 和 $y$ 都只动一点点，那么 $z=f(x,y)$ 的一阶变化约为

\Delta z\approx f_x\Delta x+f_y\Delta y.

现在把问题再往前推一步： $x$ 和 $y$ 自己也不是自由变化的，它们都由时间 $t$ 控制。于是 $t$ 一动， $x$ 和 $y$ 同时动；它们又共同推动 $z$ 变化。我们真正想求的是 $dz/dt$ ，但 $t$ 到 $z$ 已经不再只有一条路。

一元复合函数 $f(g(t))$ 的依赖关系像一条链： $t\to g\to f$ 。多变量复合函数 $f(x(t),y(t))$ 却会先分叉成 $t\to x$ 、 $t\to y$ ，最后再汇合到 $f$ 。多变量链式法则最容易卡住的地方就在这里：同一个起点可以沿几条路线影响结果，所有路线的贡献都要算进去。

多变量链式法则依赖图，展示 u 到 z 的两条路径贡献相加得到偏导公式。

先找依赖关系，再沿每条路径相乘，最后把各条路径相加。

链式法则不是一串需要死记的下标。它只有一个稳定的读法：选定起点变量和目标变量；列出从起点到目标的全部路径；一条路径上的导数相乘，不同路径的贡献相加。

一元的那条链，到了多元会分叉

先写出最常见的结构：

z=f(x,y),\qquad x=x(t),\qquad y=y(t).

严格一点说，把 $x(t)$ 、 $y(t)$ 代入后得到的是一个新的单变量函数

Z(t)=f(x(t),y(t)).

我们经常仍把它写成 $z$ ，但脑中要分清两层： $f$ 负责把位置 $(x,y)$ 变成函数值，路径 $(x(t),y(t))$ 负责告诉我们位置怎样随时间移动。

一元的老办法为什么不够？因为 $t$ 增加时，不能只问“ $x$ 变了多少”。 $y$ 也可能在变。只写

f_x\frac{dx}{dt}

等于悄悄假设了 $dy/dt=0$ 。除非路径真的只沿水平方向走，否则这会漏掉一条变化通道。

多变量链式法则把两个通道都记上：

\frac{dz}{dt} = f_x(x(t),y(t))\frac{dx}{dt} + f_y(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}.

每一项都由两部分组成：

\text{这一方向上函数有多敏感} \times \text{路径沿这一方向走得多快}.

$f_x$ 、 $f_y$ 是外层函数的局部敏感度， $x'(t)$ 、 $y'(t)$ 是内层路径的速度。乘起来后，单位也会自动对齐。比如 $f_x$ 的单位是“摄氏度/千米”， $x'(t)$ 的单位是“千米/小时”，乘积就是“摄氏度/小时”。

从上一章的线性化推出来

链式法则和上一章不是两件分开的事。它正是把线性化放到一条运动路径上。

在时刻 $t_0$ ，令

x_0=x(t_0),\qquad y_0=y(t_0).

当时间增加 $\Delta t$ 时，路径产生位移 $\Delta x$ 、 $\Delta y$ 。如果 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，那么

\Delta z = f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y + \text{比位移更小的误差}.

两边除以 $\Delta t$ ：

\frac{\Delta z}{\Delta t} = f_x(x_0,y_0)\frac{\Delta x}{\Delta t} + f_y(x_0,y_0)\frac{\Delta y}{\Delta t} + \frac{\text{误差}}{\Delta t}.

当 $\Delta t\to0$ 时，前两个差商分别趋向 $x'(t_0)$ 、 $y'(t_0)$ ，线性化余下的误差项趋向 $0$ 。于是

Z'(t_0) = f_x(x_0,y_0)x'(t_0) + f_y(x_0,y_0)y'(t_0).

用全微分写会更短。上一章给出

dz=f_x\,dx+f_y\,dy.

沿路径又有

dx=x'(t)\,dt,\qquad dy=y'(t)\,dt.

把后两式代入第一式，再除以 $dt$ ，就是同一个链式法则。

沿圆形路径计算高度变化

设曲面高度为

z=f(x,y)=x^2+3xy-y^2,

平面上的运动路径是

x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t.

求 $t=\pi/3$ 时的 $dz/dt$ 。

先找外层函数对两个中间变量的敏感度：

f_x=2x+3y,\qquad f_y=3x-2y.

再找路径沿两个坐标方向的速度：

x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.

在 $t=\pi/3$ 时，

x=\frac12,\qquad y=\frac{\sqrt3}{2},\qquad x'=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad y'=\frac12.

同一点处的外层偏导数是

f_x=1+\frac{3\sqrt3}{2},\qquad f_y=\frac32-\sqrt3.

把两条路径的贡献相加：

\frac{dz}{dt} = \left(1+\frac{3\sqrt3}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) + \left(\frac32-\sqrt3\right)\frac12 = -\frac32-\sqrt3.

结果为负，表示运动点经过这个位置时，曲面高度正在下降。

还可以把 $x(t)$ 、 $y(t)$ 先代回 $z$ ：

z(t)=\cos(2t)+\frac32\sin(2t).

直接求导得

z'(t)=-2\sin(2t)+3\cos(2t),

在 $t=\pi/3$ 代入，同样得到 $-\sqrt3-3/2$ 。直接代入适合拿来验算；链式法则的优势是外层函数复杂、变量很多时仍然能清楚追踪每一条影响路线。

依赖树：先数路径，再写公式

变量一多，最常见的错误通常不是偏导算错，而是还没算就漏了一条路。依赖树能把这个问题变得很具体。

设

z=f(x,y),\qquad x=x(u,v),\qquad y=y(u,v).

如果要求 $\partial z/\partial u$ ，从 $u$ 到 $z$ 有两条路径：

u\to x\to z, \qquad u\to y\to z.

第一条路径给出 $f_xx_u$ ，第二条路径给出 $f_yy_u$ ，所以

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}.

同理，从 $v$ 到 $z$ 也有两条路径：

\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.

这里用偏导符号，是因为 $z$ 现在是 $u,v$ 的函数。求 $\partial z/\partial u$ 时， $v$ 被固定；求 $\partial z/\partial v$ 时， $u$ 被固定。

依赖树是一种记账方法，不是另一条定理。每条边写一个“上层变量对下层变量的导数”，从起点到终点沿边相乘；能走通的路线有几条，就把几项相加。

两个底层变量共同进入外层函数

设

z=x^2y+\sin y, \qquad x=u^2+v, \qquad y=e^u-v^2.

求 $\partial z/\partial u$ 和 $\partial z/\partial v$ 。

外层偏导数是

z_x=2xy,\qquad z_y=x^2+\cos y.

内层偏导数是

x_u=2u,\qquad x_v=1,

y_u=e^u,\qquad y_v=-2v.

沿从 $u$ 出发的两条路径相加：

z_u =z_xx_u+z_yy_u =4uxy+(x^2+\cos y)e^u.

沿从 $v$ 出发的两条路径相加：

z_v =z_xx_v+z_yy_v =2xy-2v(x^2+\cos y).

这里的 $x$ 、 $y$ 都要在 $(u,v)$ 对应的中间点，也就是 $x=u^2+v$ 、 $y=e^u-v^2$ 处取值。

目标函数还直接依赖时间

再看一种容易漏项的结构：

T=T(x,y,t),\qquad x=x(t),\qquad y=y(t).

$t$ 到 $T$ 有三条路：经过 $x$ 、经过 $y$ ，以及直接进入 $T$ 。所以

\frac{dT}{dt} = T_x\frac{dx}{dt} + T_y\frac{dy}{dt} + T_t.

最后一项不是装饰。假设 $T$ 表示某地的气温，位置改变会让温度改变，昼夜本身也会让温度随时间改变。只计算前两项，就把“人在移动”算进去了，却把“天气本身正在变”漏掉了。

看到 $T(x(t),y(t),t)$ 时，先别急着套两项公式。裸露在外层函数里的 $t$ 也是一条直接路径，它贡献 $T_t\cdot dt/dt=T_t$ 。

全微分把许多链式法则一次装进去

依赖树适合看路线，全微分适合把同一层的路线一次展开。还是设

z=f(x,y),\qquad x=x(u,v),\qquad y=y(u,v).

外层函数的全微分是

dz=f_x\,dx+f_y\,dy.

两个中间变量的全微分分别是

dx=x_u\,du+x_v\,dv,

dy=y_u\,du+y_v\,dv.

代入并按 $du$ 、 $dv$ 收集：

\begin{aligned} dz &=f_x(x_u\,du+x_v\,dv)+f_y(y_u\,du+y_v\,dv)\\ &=(f_xx_u+f_yy_u)\,du+(f_xx_v+f_yy_v)\,dv. \end{aligned}

而 $z=z(u,v)$ 的全微分也应写成

dz=z_u\,du+z_v\,dv.

比较 $du$ 和 $dv$ 的系数，就同时得到

z_u=f_xx_u+f_yy_u, \qquad z_v=f_xx_v+f_yy_v.

这个推导揭开了“沿路径相乘、不同路径相加”的来源：代入时发生相乘，收集同一个底层变量的系数时发生相加。

Jacobian 矩阵初识

当输入和输出都不止一个时，一条条写偏导会越来越长。Jacobian 矩阵只是把所有一阶偏导按固定位置排好。

设内层映射

\mathbf h(u,v)=(x(u,v),y(u,v)),

外层映射

\mathbf F(x,y)=(p(x,y),q(x,y)).

我们约定“每一行对应一个输出，每一列对应一个输入”，于是

J_{\mathbf h} = \begin{bmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{bmatrix}, \qquad J_{\mathbf F} = \begin{bmatrix} p_x & p_y\\ q_x & q_y \end{bmatrix}.

复合映射的链式法则是

J_{\mathbf F\circ\mathbf h}(u,v) = J_{\mathbf F}(\mathbf h(u,v))\,J_{\mathbf h}(u,v).

Jacobian 链式法则手绘图：输入 u、v 先经过内层映射 h 得到 x、y，再经过外层映射 F 得到 p、q；外层导数矩阵乘以内层导数矩阵，行对应输出、列对应输入。

映射实际按“内层再外层”作用，导数矩阵写成“外层在左、内层在右”。

为什么外层矩阵在左？因为一个微小输入先经过 $J_{\mathbf h}$ 变成中间变化，再经过 $J_{\mathbf F}$ 变成输出变化。先写内层的微分：

d\mathbf h=J_{\mathbf h}\,d\mathbf u.

再让外层作用在这个中间变化上：

d(\mathbf F\circ\mathbf h) = J_{\mathbf F}\,d\mathbf h = J_{\mathbf F}(J_{\mathbf h}\,d\mathbf u) = (J_{\mathbf F}J_{\mathbf h})\,d\mathbf u.

顺序正好和作用顺序反着写：先作用的矩阵靠近右边的输入向量。

来看一个可以直接验算的例子。设

p=x^2+y, \qquad q=xy, \qquad x=u+v, \qquad y=u-v.

两个 Jacobian 分别是

J_{\mathbf F} = \begin{bmatrix} 2x & 1\\ y & x \end{bmatrix}, \qquad J_{\mathbf h} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}.

相乘得到

J_{\mathbf F\circ\mathbf h} = \begin{bmatrix} 2x+1 & 2x-1\\ x+y & y-x \end{bmatrix}.

代回 $x=u+v$ 、 $y=u-v$ ：

J_{\mathbf F\circ\mathbf h} = \begin{bmatrix} 2u+2v+1 & 2u+2v-1\\ 2u & -2v \end{bmatrix}.

直接把复合函数写成

p=(u+v)^2+u-v, \qquad q=u^2-v^2,

再分别求偏导，得到的矩阵完全相同。

Jacobian 矩阵和 Jacobian 行列式不是同一个对象。这里的链式法则使用导数矩阵；以后变量代换中计算面积或体积伸缩时，才会对方阵取行列式。

换坐标时，谁被固定必须说清楚

多参数链式法则最常见的用途之一，是把直角坐标换成极坐标：

x=r\cos\theta, \qquad y=r\sin\theta.

令

F(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta).

求 $F_r$ 时， $\theta$ 固定，所以

x_r=\cos\theta, \qquad y_r=\sin\theta.

链式法则给出

F_r=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta.

求 $F_\theta$ 时， $r$ 固定，所以

x_\theta=-r\sin\theta, \qquad y_\theta=r\cos\theta,

从而

F_\theta = -rf_x\sin\theta+rf_y\cos\theta.

例如 $f(x,y)=x^2-y^2$ 。直接代入极坐标可得

F(r,\theta)=r^2\cos(2\theta).

因此

F_r=2r\cos(2\theta), \qquad F_\theta=-2r^2\sin(2\theta).

用链式法则也会得到同样结果。因为 $f_x=2x$ 、 $f_y=-2y$ ，所以

F_r = 2x\cos\theta-2y\sin\theta = 2r(\cos^2\theta-\sin^2\theta),

F_\theta = 2x(-r\sin\theta)-2y(r\cos\theta) = -4r^2\sin\theta\cos\theta.

这两式分别化简成上面的 $2r\cos(2\theta)$ 和 $-2r^2\sin(2\theta)$ 。

这里真正需要留心的不是三角恒等式，而是“固定谁”。同样写“ $r$ 对 $x$ 的变化率”，固定 $y$ 与固定 $\theta$ 表示两种不同的移动方式，答案当然可能不同。偏导数不是可以随意约分的普通分数；下标背后藏着一整套固定变量的约定。

不要轻率地写 $(\partial r/\partial x)(\partial x/\partial r)=1$ 。只有两边描述同一组固定条件、局部逆映射也确实存在时，倒数关系才成立。多变量情形更可靠的做法是写清固定变量，或者使用 Jacobian 矩阵检查整个变换。

隐函数求导：方程不许你随便动

显式函数把关系写成 $y=g(x)$ 。但很多曲线更自然地写成

F(x,y)=0.

这时 $y$ 没有被单独解出来，却仍然会随着 $x$ 变化。因为点必须一直留在曲线上， $x$ 一动， $y$ 就得配合着动，好让 $F$ 的值继续保持为 $0$ 。

假设曲线上一点 $(a,b)$ 满足

F(a,b)=0,

并且在该点附近确实能把曲线写成 $y=y(x)$ 。于是恒等式

F(x,y(x))=0

两边对 $x$ 求导。左边有一条直接经过 $x$ 的路径，还有一条经过 $y(x)$ 的路径：

F_x+F_y\frac{dy}{dx}=0.

如果 $F_y(a,b)\ne0$ ，就能解出

\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}.

二维隐函数等值线 F(x,y)=0 在点 P 附近的切线、曲线斜率 dy/dx 与垂直于等值线的梯度 ∇F 示意图。

曲线沿切线方向移动时 $F$ 保持不变，因此切向量 $(1,y')$ 与 $(F_x,F_y)$ 垂直。

这个公式也能从上一章的全微分读出来。沿 $F=0$ 的曲线移动时， $dF=0$ ，所以

dF=F_x\,dx+F_y\,dy=0.

两边除以 $dx$ ，便得到

F_x+F_y\frac{dy}{dx}=0.

不先解出函数，也能求切线斜率

曲线由

x^2+xy+y^2=3

给出。求它在 $(1,1)$ 处的切线斜率。

先检查点是否在曲线上：

1^2+1\cdot1+1^2=3.

令 $F(x,y)=x^2+xy+y^2-3$ 。它的偏导数是

F_x=2x+y, \qquad F_y=x+2y.

在 $(1,1)$ 处， $F_x=3$ 、 $F_y=3$ 。由于 $F_y\ne0$ ，附近可以把 $y$ 看成 $x$ 的函数，并且

y'=-\frac{F_x}{F_y}=-1.

切线经过 $(1,1)$ ，斜率为 $-1$ ，所以

y-1=-(x-1),

也就是 $x+y=2$ 。

分母为零时，公式在提醒你换视角

在圆

x^2+y^2=25

的点 $(5,0)$ 处， $F_y=2y=0$ ，所以 $-F_x/F_y$ 没有意义。这并不表示圆在那里消失了，也不表示曲线不可研究。它表示圆在该点有一条竖直切线，附近不能把 $y$ 写成单值的 $y(x)$ 。

这时 $F_x=10\ne0$ ，可以改把 $x$ 看成 $y$ 的函数：

F_x\frac{dx}{dy}+F_y=0,

所以

\frac{dx}{dy} = -\frac{F_y}{F_x} =0.

从 $x(y)$ 的视角看，切线不再是“斜率无穷大”，而是普通的水平变化率 $dx/dy=0$ 。

再求一次：隐函数的二阶导数

还是圆 $x^2+y^2=25$ 。第一次求导得到

2x+2yy'=0,

也就是

y'=-\frac{x}{y}.

再对等式 $2x+2yy'=0$ 求导。这里 $yy'$ 是两个都依赖 $x$ 的量，要用乘积法则：

2+2(y')^2+2yy''=0.

因此

y'' = -\frac{1+(y')^2}{y}.

代入 $y'=-x/y$ 并利用 $x^2+y^2=25$ ：

y'' = -\frac{x^2+y^2}{y^3} = -\frac{25}{y^3}.

在上半圆 $y>0$ 上， $y''<0$ ，这和图像向下弯的形状一致。

三维隐式约束与受约束的偏导

把隐函数关系扩展到三个变量：

F(x,y,z)=0.

如果在某点附近可以把 $z$ 看成 $x,y$ 的函数，即 $z=z(x,y)$ ，那么

F(x,y,z(x,y))=0.

对 $x$ 求偏导时固定 $y$ ：

F_x+F_z z_x=0.

对 $y$ 求偏导时固定 $x$ ：

F_y+F_z z_y=0.

只要 $F_z\ne0$ ，就有

z_x=-\frac{F_x}{F_z}, \qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}.

三维隐函数偏导手绘图：约束曲面 F(x,y,z)=0 在点 P 的切平面内，固定 y 沿 x 方向的切向量为 (1,0,z_x)，固定 x 沿 y 方向的切向量为 (0,1,z_y)，梯度向量垂直于切平面。

两个偏导对应切平面内的两条坐标切向量；当 $F_z\ne0$ 时，它们分别给出 $z_x=-F_x/F_z$ 与 $z_y=-F_y/F_z$ 。

在约束曲面上求两个偏导

设

F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xyz-8=0.

在 $(1,2,1)$ 附近把 $z$ 看成 $x,y$ 的函数，求 $z_x$ 、 $z_y$ 。

先检查约束：

1^2+2^2+1^2+1\cdot2\cdot1-8=0.

给定点确实在曲面上。

求三个偏导数：

F_x=2x+yz, \qquad F_y=2y+xz, \qquad F_z=2z+xy.

在 $(1,2,1)$ 处，

F_x=4, \qquad F_y=5, \qquad F_z=4.

因为 $F_z\ne0$ ，局部把 $z$ 看成 $x,y$ 的函数是可行的。

代入公式：

z_x=-1, \qquad z_y=-\frac54.

第一式表示固定 $y$ 时， $x$ 每增加一个很小单位， $z$ 的一阶变化约为减少一个单位；第二式的固定条件则是 $x$ 不变。

同一个偏导符号，固定条件不同会得到不同答案

设

h=3x+2y+z,

同时变量被平面约束

z=4x+y.

如果固定 $y$ 改变 $x$ ，约束迫使 $z_x=4$ 。因此

\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_y = h_x+h_z\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = 3+1\cdot4 =7.

如果固定 $z$ 改变 $x$ ，约束式改写成 $y=z-4x$ ，所以

\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z=-4.

这时

\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_z = h_x+h_y\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_z = 3+2(-4) =-5.

如果完全忽略约束，把 $y,z$ 都固定，普通偏导只是 $h_x=3$ 。三个答案 $7$ 、 $-5$ 、 $3$ 并不矛盾，它们回答的是三种不同的移动方式。

链式法则已经把梯度露出来了

设平面路径写成向量

\mathbf r(t)=(x(t),y(t)),

它的速度是

\mathbf r'(t)=(x'(t),y'(t)).

链式法则可以重新排成

\frac{d}{dt}f(\mathbf r(t)) = (f_x,f_y)\cdot(x'(t),y'(t)).

把偏导数组成的向量记作

\nabla f=(f_x,f_y),

就得到

\frac{d}{dt}f(\mathbf r(t)) = \nabla f(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t).

这句话很有画面感：函数在路径上的变化率，等于“函数最想怎样变化”和“路径实际怎样移动”的配合程度。

如果路径以单位速度沿固定单位向量 $\mathbf u$ 经过点 $P$ ，可以写成

\mathbf r(t)=P+t\mathbf u.

在 $t=0$ 时，链式法则变成

\left.\frac{d}{dt}f(P+t\mathbf u)\right|_{t=0} = \nabla f(P)\cdot\mathbf u.

左边就是下一章要研究的方向导数。于是方向导数并不是突然出现的新公式，它是链式法则在“沿指定方向、以单位速度走直线”这个特殊情形下的结果；梯度则是把所有坐标方向的偏导数装进一个向量，让它可以和任意方向做点积。

常见误区与自检方法

三栏教学警示图，总结多变量链式法则与隐函数求导中漏掉路径、偏导和全导混用、隐函数求导少除以 F_z 的常见错误。

三类高频错误背后是同一个问题：没有把依赖关系和固定条件写清楚。

漏掉一条路径

在 $z=f(x(u,v),y(u,v))$ 中， $u$ 同时通过 $x$ 、 $y$ 影响 $z$ 。只写 $z_xx_u$ ，等于断言 $y_u=0$ 。除非题目真的给出这个条件，否则必须把 $z_yy_u$ 加上。

外层偏导没有在中间点取值

$f_x$ 、 $f_y$ 是关于 $x,y$ 的函数。写完链式法则后，它们应在

(x,y)=(x(u,v),y(u,v))

处取值。把 $u,v$ 直接塞进只接受 $x,y$ 的偏导函数，变量层次就混了。

把偏导和全导混用

$f_x$ 研究的是固定其他独立变量、只改变 $x$ 的变化率； $df/dt$ 研究的是沿一条路径，所有依赖 $t$ 的量一起改变时的总变化率。符号不是排版差异，它在说明哪些量能动。

把微分符号当普通分数随意约掉

一元链式法则偶尔看起来像“约掉了 $dy$ ”，但多变量里同一个起点可能分叉。只沿一条路约分，会把其他路径完全抹掉。依赖树或全微分比形式上的约分可靠得多。

Jacobian 乘法顺序写反

若 $\mathbf u$ 先经过 $\mathbf h$ ，再经过 $\mathbf F$ ，导数矩阵是

J_{\mathbf F\circ\mathbf h}=J_{\mathbf F}J_{\mathbf h}.

先检查尺寸：外层输出数乘外层输入数，接上内层输出数乘内层输入数。中间维度必须相同。

隐函数求导不检查分母

$dy/dx=-F_x/F_y$ 需要 $F_y\ne0$ ，还要先确认所讨论的点满足 $F(x,y)=0$ 。若 $F_y=0$ ，先看能否换成 $x=x(y)$ ，不要把除以零硬算下去。

练习

沿一条参数路径求变化率

设 $z=x^2+y^2$ ， $x=t^2$ ， $y=\sin t$ 。求 $dz/dt$ 。

对两个底层变量分别求偏导

设 $w=e^{xy}$ ， $x=u+v$ ， $y=u-v$ 。求 $w_u$ 和 $w_v$ 。

别漏掉直接进入外层的时间

设

T(x,y,t)=x^2+xy+t^2, \qquad x=t, \qquad y=t^2.

求 $dT/dt$ 。

这里 $t$ 经过 $x$ 、经过 $y$ ，还直接进入 $T$ ：

\frac{dT}{dt} = T_xx'+T_yy'+T_t.

因为

T_x=2x+y, \qquad T_y=x, \qquad T_t=2t,

所以

\frac{dT}{dt} = (2t+t^2)\cdot1+t\cdot2t+2t = 4t+3t^2.

直接代入也可验算： $T(t)=2t^2+t^3$ ，导数同样是 $4t+3t^2$ 。

极坐标中的两种偏导

设 $f(x,y)=xy$ ， $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ 。求 $F_r$ 和 $F_\theta$ ，其中 $F(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 。

$f_x=y$ 、 $f_y=x$ 。固定 $\theta$ 求 $r$ 偏导：

F_r=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta = 2r\sin\theta\cos\theta = r\sin(2\theta).

固定 $r$ 求 $\theta$ 偏导：

F_\theta = f_x(-r\sin\theta)+f_y(r\cos\theta) = r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta) = r^2\cos(2\theta).

用 Jacobian 乘法一次计算四个偏导

设

\mathbf h(u,v)=(u^2,u+v), \qquad \mathbf F(x,y)=(x+y,xy).

求 $J_{\mathbf F\circ\mathbf h}$ 。

先写两个 Jacobian：

J_{\mathbf h} = \begin{bmatrix} 2u & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad J_{\mathbf F} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ y & x \end{bmatrix}.

按“外层在左、内层在右”相乘：

J_{\mathbf F\circ\mathbf h} = \begin{bmatrix} 2u+1 & 1\\ 2uy+x & x \end{bmatrix}.

代回 $x=u^2$ 、 $y=u+v$ ：

J_{\mathbf F\circ\mathbf h} = \begin{bmatrix} 2u+1 & 1\\ 3u^2+2uv & u^2 \end{bmatrix}.

隐式曲线上的切线斜率

曲线由

x^2+xy+y^2=7

给出。求它在 $(1,2)$ 处的 $dy/dx$ 。

隐函数的二阶导数

在圆 $x^2+y^2=25$ 上，求点 $(3,4)$ 处的 $y'$ 和 $y''$ 。

三维约束中的两个偏导

设 $x^2+y^2+z^2=9$ ，在点 $(1,2,2)$ 附近把 $z$ 看成 $x,y$ 的函数。求 $z_x$ 、 $z_y$ 。

比较不同固定条件

设 $h=3x+2y+z$ ，并有约束 $z=4x+y$ 。求 $(\partial h/\partial x)_y$ 与 $(\partial h/\partial x)_z$ 。

固定 $y$ 时， $z_x=4$ ，所以

\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_y = h_x+h_zz_x = 3+4 =7.

固定 $z$ 时，由 $y=z-4x$ 得 $y_x=-4$ ，所以

\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_z = h_x+h_yy_x = 3+2(-4) =-5.

圆锥的相关变化率

圆锥体积 $V=\pi r^2h/3$ 。某时刻 $r=4\text{ cm}$ 、 $h=9\text{ cm}$ ，且 $dr/dt=-0.2\text{ cm/s}$ 、 $dh/dt=0.6\text{ cm/s}$ 。求 $dV/dt$ 。

先求导：

\frac{dV}{dt} = \frac13\pi \left( 2rh\frac{dr}{dt} + r^2\frac{dh}{dt} \right).

再代入数据：

\frac{dV}{dt} = \frac13\pi \left( 2\cdot4\cdot9\cdot(-0.2) + 4^2\cdot0.6 \right).

括号内为 $-14.4+9.6=-4.8$ ，所以

\frac{dV}{dt} = -1.6\pi\text{ cm}^3/\text{s}.

虽然高度在增加，半径缩小造成的负贡献更大，所以总体积正在减小。

竖直切线处该怎样换视角

设 $F(x,y)=0$ ，某点满足 $F_y=0$ 、 $F_x\ne0$ 。为什么不能使用 $dy/dx=-F_x/F_y$ ？如果附近可以把 $x$ 看成 $y$ 的函数，应改用什么公式？

因为 $F_y=0$ ，公式 $-F_x/F_y$ 会除以零。这通常对应于从 $y=y(x)$ 的视角看出现竖直切线，附近无法把曲线写成单值的 $y(x)$ 。

若 $F_x\ne0$ ，可以改把 $x$ 看成 $y$ 的函数。对 $F(x(y),y)=0$ 关于 $y$ 求导：

F_x\frac{dx}{dy}+F_y=0.

因此

\frac{dx}{dy} = -\frac{F_y}{F_x}.