多变量链式法则与隐函数求导

参数变化沿路径传递，并通过偏导数组合成 $z$ 对 $t$ 的变化率。

一条路径上的复合函数

先看最容易抓住的一种复合关系：

这时 $t$ 不是直接进入 $f$，而是先改变 $x$ 和 $y$，再通过 $f$ 改变 $z$。如果 $t$ 增加一点点，$x$ 的小变化约为 $dx=x'(t)dt$，$y$ 的小变化约为 $dy=y'(t)dt$。上一章的全微分告诉我们：

把 $dx$ 和 $dy$ 换成由 $t$ 引起的变化，就得到一条路径上的链式法则：

右边的两个部分含义不同。$f_x$ 和 $f_y$ 描述外层函数对坐标变化的敏感程度；$dx/dt$ 和 $dy/dt$ 描述路径本身怎样移动。链式法则把“外层敏感程度”和“内层移动速度”配对相乘，再把不同通道的贡献相加。

例题：沿圆形路径测高度变化

设

而

求 $t=\pi/3$ 时 $dz/dt$。

用依赖图写出所有路径

当变量依赖关系变多时，最容易犯的错不是算错偏导，而是漏掉路径。依赖图能把链式法则变成一件机械但可靠的事。

依赖图就是链式法则的路线图：沿所有从 $u$ 到 $z$ 的路径贡献相加。

如果

那么 $u$ 可以通过两条路线影响 $z$：

所以

同理，$v$ 对 $z$ 的影响也沿两条路线相加：

路径法的写法

写复杂链式法则时，可以按下面的顺序做：

例题：两个底层变量同时进入

设

求 $\partial z/\partial u$。

矩阵形式：Jacobian 的乘法顺序

依赖图适合看清路径。变量很多时，Jacobian 矩阵更紧凑。设

又设

复合函数是 $F(g(s,t))$。它的导数矩阵满足：

注意顺序：外层函数的导数矩阵在左，内层函数的导数矩阵在右。维度也会提醒我们这一点：

维度对齐决定雅可比矩阵的相乘顺序：外层导数矩阵乘以内层导数矩阵，顺序不能反。

矩阵乘法中的每个元素，其实仍然是“路径贡献相加”。例如第一行第一列是

这和依赖图里从 $s$ 到 $p$ 的所有路径完全一致。

隐函数求导：方程保持不变

有些关系不是 $y=f(x)$，而是写成一个方程：

如果在某个区域内可以把 $y$ 看成 $x$ 的函数，也就是 $y=y(x)$，那么方程沿曲线恒成立：

两边对 $x$ 求导，右边仍是 $0$。左边用链式法则：

当 $F_y\ne 0$ 时，

隐函数曲线 $F(x,y)=0$ 上，梯度 $\nabla F$ 与等值线垂直，由 $F_x+F_y y'=0$ 得到局部斜率关系。

这个公式可以用等值线理解。$F(x,y)=0$ 是一条等值线，梯度 $\nabla F=(F_x,F_y)$ 垂直于等值线。曲线切向量可以写成 $(1,y')$，它必须和梯度垂直，所以

这正是上面的隐函数求导公式。

例题：由圆锥曲线求斜率

设曲线由

确定。求点 $(1,1)$ 处的 $dy/dx$。

三维约束中的偏导数

隐函数求导在三维中同样常见。设

如果在某点附近可以把 $z$ 看成 $x,y$ 的函数，即 $z=z(x,y)$，那么

对 $x$ 求偏导时，$y$ 固定，$z$ 会随 $x$ 变：

所以

同理，对 $y$ 求偏导时，$x$ 固定：

由隐式约束 $F(x,y,z)=0$ 推导 $z=z(x,y)$ 的偏导数示意图。

例题：由约束曲面求偏导

设

在点 $(1,2,1)$ 附近把 $z$ 看成 $x,y$ 的函数，求 $z_x$ 和 $z_y$。

这个例题先检查了点是否在约束上。隐函数题最容易把“给了一个点”直接当成“点在曲面上”，但导数是在曲面或曲线上讨论的；点若不满足约束，后面的切线、切平面和偏导数都没有落脚处。

参数曲面和约束曲线中的导数

链式法则也常出现在参数化对象中。假设空间曲线由

给出，而温度场是

沿曲线运动时，温度变化率为

这可以看成三维版本的一条路径链式法则。以后学习方向导数和梯度时，会把它写得更紧凑：

本章先保留展开形式，因为展开形式更容易看出每个坐标通道的贡献。

如果曲线同时受约束，例如 $F(x,y,z)=0$，那么 $\mathbf r(t)$ 沿曲面运动时还满足

对 $t$ 求导得到

这说明曲线的速度向量 $(x'(t),y'(t),z'(t))$ 与梯度 $(F_x,F_y,F_z)$ 垂直。也就是说，梯度是约束曲面的法向量，沿曲面运动的速度必须落在切平面里。

常见误区和检查方法

常见误区：漏掉依赖路径、混用偏导与全导，以及隐函数求导时忘记除以 $F_z$。

误区一：只看见一条路径

在 $z=f(x(u,v),y(u,v))$ 中，$u$ 同时影响 $x$ 和 $y$。如果只写 $z_xx_u$，就默认 $u$ 不影响 $y$；这通常和题意矛盾。

误区二：把偏导和全导混在一起

$\partial z/\partial x$ 的意思是只让 $x$ 变、暂时固定其他独立变量。$dz/dt$ 的意思是沿着一条路径，让所有依赖于 $t$ 的量一起变。符号不同，问题也不同。

误区三：隐函数求导前不检查条件

用 $dy/dx=-F_x/F_y$ 前，需要曲线点满足 $F(x,y)=0$，还需要 $F_y\ne 0$。用 $z_x=-F_x/F_z$ 前，需要点满足 $F(x,y,z)=0$，还需要 $F_z\ne 0$。

练习

练习一

设 $z=x^2+y^2$，$x=t^2$，$y=\sin t$。求 $dz/dt$。

练习二

设 $w=e^{xy}$，$x=u+v$，$y=u-v$。求 $\partial w/\partial u$。

练习三

设 $z=f(x,y)$，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$。写出 $\partial z/\partial r$ 和 $\partial z/\partial \theta$。

练习四

曲线由 $F(x,y)=x^3+y^3-6xy=0$ 给出。求 $dy/dx$ 的一般表达式。

练习五

设 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3xyz=0$。在满足 $F_z\ne 0$ 的点附近，把 $z$ 看成 $x,y$ 的函数。写出 $z_x$ 和 $z_y$。

练习六

设 $q=f(a,b,c)$，其中 $a=a(s,t)$，$b=b(t)$，$c=c(s)$。写出 $\partial q/\partial s$ 和 $\partial q/\partial t$。

练习七

设 $T(x,y,z)=x^2+y z$，曲线 $\mathbf r(t)=(t,\cos t,\sin t)$。求沿曲线的 $dT/dt$。

练习八

有人在 $F(x,y,z)=0$ 中求 $z_x$，写出 $z_x=-F_x$。请指出少了什么，并写出正确条件和公式。

这就是沿这条路径经过该点时，高度对时间的瞬时变化率。

最后如有需要，再把 $x=u^2+v$、$y=e^u-v^2$ 代回去。

因此曲线在 $(1,1)$ 处的切线斜率是 $-1$。