矩阵与线性方程组

线性方程组最初看起来是一排排方程。矩阵把这些方程里重复出现的结构拆开：哪些数字是系数，哪些量是未知数，哪些数字是右端结果。写成矩阵形式以后，同一个问题就有了三种读法：按行看是约束，按列看是组合，按整体看是一个矩阵方程。

本章先不急着做完整消元。我们要先学会把方程组翻译成

$$Ax=b$$

并看懂这句话在问什么：有没有一组系数 $x_1,x_2,\dots,x_n$，能把矩阵 $A$ 的列向量拼成目标向量 $b$。

从方程组到 $Ax=b$，关键是把系数、未知数和右端结果分开。

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把方程组写成矩阵方程

先看一个二元方程组：

$$\begin{cases} x+2y=5,\\ 3x-y=4. \end{cases}$$

这里真正重复出现的是未知数 $x,y$。每个方程只是在告诉我们：这两个未知数分别乘上哪些系数，最后等于哪个数。把系数取出来，放成一个矩阵：

$$A= \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&-1 \end{bmatrix}$$

把未知数放成一个列向量：

$$\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$

把右端结果放成一个列向量：

$$b= \begin{bmatrix} 5\\ 4 \end{bmatrix}$$

原来的方程组就变成：

$$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 4 \end{bmatrix}$$

也就是 $Ax=b$。

更一般地，如果有 $m$ 个方程、$n$ 个未知数，系数矩阵 $A$ 的大小是 $m\times n$，未知向量 $\mathbf{x}$ 的大小是 $n\times 1$，右端向量 $b$ 的大小是 $m\times 1$：

$$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{bmatrix}$$

矩阵乘法在这里的结果正好是一列数。第 $i$ 个数来自第 $i$ 行系数和未知向量的点乘：

$$a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n=b_i$$

这就是第 $i$ 个方程。

例题：从方程组到矩阵

把下面的方程组写成 $Ax=b$：

$$\begin{cases} 2x-y+3z=7,\\ -x+4y+z=2,\\ 5x+2z=9. \end{cases}$$

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行视角与列视角

同一个 $Ax=b$ 可以从行和列两个方向读。行视角接近我们熟悉的方程组；列视角更接近线性代数的核心。

行视角：每一行是一条约束

矩阵 $A$ 的每一行对应一个方程。二元一次方程在平面上是一条直线，三元一次方程在空间中是一个平面。方程组的解，就是所有这些约束共同满足的位置。

按行看，解是所有方程共同满足的点。

以前面的方程组为例：

$$\begin{cases} x+2y=5,\\ 3x-y=4. \end{cases}$$

第一行给出一条直线，第二行给出另一条直线。如果两条直线相交，交点就是唯一解；如果平行，可能无解；如果重合，就会有无穷多解。

行视角很适合解释“解在哪里”。但当方程数量和未知数数量变多以后，只靠几何交点很快会变得困难。这时列视角会更有力。

列视角：用列向量拼出目标

把矩阵 $A$ 按列拆开：

$$A= \begin{bmatrix} |&|&&|\\ a_1&a_2&\cdots&a_n\\ |&|&&| \end{bmatrix}$$

其中 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 是 $A$ 的列向量。矩阵乘法可以写成：

$$Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n$$

所以方程 $Ax=b$ 实际在问：

$$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=b$$

也就是说，$b$ 能不能由 $A$ 的列向量线性组合得到。

按列看，未知数不是点的坐标，而是“每一列取多少倍”。

再看开头的例子：

$$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 4 \end{bmatrix}$$

矩阵的第一列是

$$\begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}$$

第二列是

$$\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}$$

列视角把问题改写成：

$$x \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} +y \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 4 \end{bmatrix}$$

如果能找到合适的 $x,y$，目标向量 $b$ 就能被这两列拼出来。

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增广矩阵

解线性方程组时，未知数的名字有时会妨碍我们看清结构。增广矩阵把系数矩阵 $A$ 和右端向量 $b$ 放在一起：

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3 \end{array} \right]$$

竖线左边是系数，右边是方程等号右侧的结果。它不表示新的运算，只是一个记录方式。

增广矩阵保留了解方程组所需的全部数字信息。

例如：

$$\begin{cases} x+2y=5,\\ 3x-y=4 \end{cases}$$

对应的增广矩阵是：

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&5\\ 3&-1&4 \end{array} \right]$$

下一章会系统学习高斯消元。现在先记住一件事：对增广矩阵做合适的行变换，本质上是在用等价方程替换原方程，目标是让解集保持不变，同时把结构变得更容易读。

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三种可能的解

线性方程组的解只有三种基本情况：无解、唯一解、无穷多解。二维里可以用直线看出来；更高维里，要靠矩阵结构判断。

二维直线图能给出直观图像，但矩阵方法会把这种判断推广到更高维。

唯一解：所有未知数都被确定

例如：

$$\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1. \end{cases}$$

两条直线相交于一个点，所以只有一个解。代数上看，两个方程给出的约束足够确定 $x$ 和 $y$。

无解：约束互相冲突

例如：

$$\begin{cases} x+y=2,\\ 2x+2y=5. \end{cases}$$

第二个方程左边是第一个方程左边的 $2$ 倍。如果第一个方程成立，那么 $2x+2y$ 必须等于 $4$，不可能等于 $5$。这说明两条约束冲突。

用增广矩阵写出来是：

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&2\\ 2&2&5 \end{array} \right]$$

做等价变形时，会出现类似下面的矛盾行：

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&2\\ 0&0&1 \end{array} \right]$$

最后一行表示 $0x+0y=1$，也就是 $0=1$。这不可能成立，所以无解。

无穷多解：有自由方向

例如：

$$\begin{cases} x+y=2,\\ 2x+2y=4. \end{cases}$$

第二个方程只是第一个方程的 $2$ 倍，没有提供新的约束。所有满足 $x+y=2$ 的点都是解。令 $y=t$，就得到：

$$x=2-t$$

所以解可以写成：

$$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-t\\ t \end{bmatrix}$$

其中 $t$ 可以是任意实数。

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例题：用列向量判断有解

考虑矩阵方程：

$$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 4 \end{bmatrix}$$

问：$b$ 是否能由 $A$ 的列向量线性组合得到？如果能，组合系数是多少？

这个结果说明两件事：方程组有解，而且在这个例子中只有一个解。列视角告诉我们“目标能不能被拼出来”，解出的 $x,y$ 告诉我们“每列各取多少倍”。

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例题：从增广矩阵读出无解

判断下面的方程组是否有解：

$$\begin{cases} x+2y=3,\\ 2x+4y=7. \end{cases}$$

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一个真实模型：资源配比

矩阵方程常出现在配比问题里。假设有两种生产方案，方案甲和方案乙都会消耗三类资源。每执行一次方案甲，会产生资源需求向量：

$$a_1= \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$$

每执行一次方案乙，会产生资源需求向量：

$$a_2= \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 1 \end{bmatrix}$$

现在希望总需求是：

$$b= \begin{bmatrix} 8\\ 9\\ 5 \end{bmatrix}$$

问题是：方案甲做多少次、方案乙做多少次，能刚好达到目标？

在配比模型里，每一列可以代表一种方案，每一行可以代表一种资源约束。

把方案甲和方案乙作为矩阵的两列：

$$\begin{bmatrix} 2&1\\ 1&3\\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8\\ 9\\ 5 \end{bmatrix}$$

列视角直接给出含义：

$$u \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} +v \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8\\ 9\\ 5 \end{bmatrix}$$

如果取 $u=3,v=2$，就有：

$$3 \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8\\ 9\\ 5 \end{bmatrix}$$

所以这个目标可以由两种方案组合出来。若目标向量换成别的数，未必还能精确做到。这就是列空间视角在真实模型中的作用：它先回答“目标是否可达”，再回答“怎么组合”。

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练习

练习一：写成矩阵形式

把下面的方程组写成 $Ax=b$：

$$\begin{cases} 4x-y=6,\\ 2x+3y=1. \end{cases}$$

练习二：写出列组合

把下面的矩阵方程改写成列向量线性组合：

$$\begin{bmatrix} 1&-2&0\\ 3&1&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 7 \end{bmatrix}$$

练习三：判断解的类型

判断下面方程组的解类型：

$$\begin{cases} 2x-y=1,\\ 4x-2y=2. \end{cases}$$

练习四：识别无解

判断下面方程组是否有解：

$$\begin{cases} x-3y=4,\\ 2x-6y=9. \end{cases}$$

练习五：配比问题

设

$$a_1= \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}, \quad a_2= \begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix}, \quad b= \begin{bmatrix} 7\\ 5 \end{bmatrix}$$

求 $u,v$，使得 $ua_1+va_2=b$。

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你应能做出的判断

学完本章后，遇到线性方程组时，先做三件事。

第一，把它写成 $Ax=b$，并确认矩阵大小是否匹配。$A$ 有多少列，未知向量就有多少个分量；$A$ 有多少行，右端向量就有多少个分量。

第二，在行视角和列视角之间切换。按行看，每一行是一条约束；按列看，$Ax=b$ 在问 $b$ 能不能由 $A$ 的列向量线性组合得到。

第三，识别三种解类型。出现矛盾时无解；所有未知数都被确定时唯一解；没有矛盾但留下自由变量时无穷多解。下一章的高斯消元会把这些判断变成稳定可执行的步骤。