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上一节线性代数研究什么：方程、向量与变换下一节矩阵与线性方程组
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数学线性代数 I：向量、矩阵与线性变换向量与线性组合

向量与线性组合

线性代数从很多入口都能讲起：方程组、矩阵、几何变换、数据表。最适合入门的入口，是向量。向量既可以是一根箭头，也可以是一列数字；它既能表示位移、力、速度，也能表示一组同时变化的量。

本章先把向量看成“方向加长度”的对象，再学习向量加法、数乘、线性组合和张成。你要抓住的主线很简单：几根已知方向箭头，能不能合成我们想要的新方向？

本章的目的不是提前讨论抽象向量空间，而是把二维和三维图像看稳。后面学习列空间、基、秩和线性变换时，这些图像会反复出现。

向量是一根箭头，也是一列数

在平面里，向量可以画成从一个点指向另一个点的箭头。如果只关心“往哪里走、走多远”，而不关心箭头从哪里出发，那么同样方向、同样长度的箭头表示同一个向量。

例如向量

v=[32]\mathbf v = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}v=[32​]

表示横向走 3 个单位、纵向走 2 个单位。把它从原点画出来，箭头的终点就是点 (3,2)(3,2)(3,2)。

二维坐标平面中从原点指向点 (3,2) 的向量，标注横向 3、纵向 2 和列向量表示。

二维向量的坐标含义：向量 v\mathbf vv 从原点到点 (3,2)(3,2)(3,2)，表示横向分量为 3、纵向分量为 2。

分量的含义

二维向量有两个分量，三维向量有三个分量。它们不是随便排成一列的数字，而是沿不同坐标方向的“份额”。

[32]:横向 3, 纵向 2\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} : \text{横向 }3,\ \text{纵向 }2[32​]:横向 3, 纵向 2 [213]:第一方向 2, 第二方向 1, 第三方向 3\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} : \text{第一方向 }2,\ \text{第二方向 }1,\ \text{第三方向 }3​213​​:第一方向 2, 第二方向 1, 第三方向 3

三维坐标轴中从原点指向 (2,1,3) 的向量，带有前后、左右和高度方向的虚线投影及列向量表示。

三维向量可以看作三个方向分量组成的列向量。

位置向量与自由向量

从原点指向点 (3,2)(3,2)(3,2) 的箭头常叫位置向量，因为它把一个点的位置编码成向量。但在做向量加法和线性组合时，我们更常把向量看成自由向量：只要方向和长度不变，它可以平移到别处。

这一区别很重要。点 (3,2)(3,2)(3,2) 是一个位置；向量 [32]\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}[32​] 是一次移动。我们常用同一组数字表示它们，是因为从原点出发时，两者刚好对应。

列向量竖着写，不是为了好看，而是为了以后和矩阵相乘。矩阵的每一列本身就是一个向量，方程组也会被改写成“列向量的线性组合”。

向量加法：把位移接起来

如果 u\mathbf uu 表示一次移动，v\mathbf vv 表示另一次移动，那么 u+v\mathbf u+\mathbf vu+v 表示连续完成这两次移动后的总效果。

设

u=[21],v=[13]\mathbf u = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf v = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}u=[21​],v=[13​]

那么

u+v=[21]+[13]=[34]\mathbf u+\mathbf v = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}u+v=[21​]+[13​]=[34​]

计算时是对应分量相加；图像上是把第二根箭头接到第一根箭头的终点。

向量加法首尾相接法示意图：先走向量 u，再走向量 v，合成位移为 u+v。

向量加法的首尾相接法：先沿 u\mathbf uu 前进，再从 u\mathbf uu 的终点沿 v\mathbf vv 前进，起点到最终终点的箭头表示合成位移 u+v\mathbf u+\mathbf vu+v。

两种画法说的是同一件事

首尾相接法适合表达“先做什么、再做什么”。平行四边形法适合表达“两个方向共同作用”。把 u\mathbf uu 和 v\mathbf vv 都从同一点画出，以它们为邻边补成平行四边形，对角线就是 u+v\mathbf u+\mathbf vu+v。

这两种画法得到同一个向量，因为横向分量和纵向分量都一样：

[u1u2]+[v1v2]=[u1+v1u2+v2]\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \end{bmatrix}[u1​u2​​]+[v1​v2​​]=[u1​+v1​u2​+v2​​]

例题：合成两次移动

一辆小车先向东移动 4 米、向北移动 1 米，又向东移动 -1 米、向北移动 3 米。用向量表示总位移。

先把两次移动写成列向量。向东看作第一分量，向北看作第二分量，所以两次移动分别是

[41]和[−13]\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{和} \quad \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}[41​]和[−13​]

再把对应分量相加。第一分量是 4+(−1)4+(-1)4+(−1)，第二分量是 1+31+31+3。

[41]+[−13]=[34]\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}[41​]+[−13​]=[34​]

最后把结果翻译回情境。总位移是向东 3 米、向北 4 米；它不是走过的路程，而是起点到终点的一根合成箭头。

数乘：改变长度和方向

向量数乘是用一个数去乘向量。这个数叫标量。几何上，它会改变向量的长度；如果标量为负，还会把方向反过来。

c[v1v2]=[cv1cv2]c \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cv_1 \\ cv_2 \end{bmatrix}c[v1​v2​​]=[cv1​cv2​​]

向量数乘示意图：同一直线上展示 v、2v 和 -1.5v 三个箭头，用长度变化和反向说明拉长、缩短与方向改变。

向量数乘会按系数的绝对值改变向量长度；系数为负时，向量方向反向。

系数的三种情况

当 c>1c>1c>1 时，cvc\mathbf vcv 和 v\mathbf vv 同向，但更长。当 0<c<10<c<10<c<1 时，cvc\mathbf vcv 同向但更短。当 c<0c<0c<0 时，cvc\mathbf vcv 与 v\mathbf vv 反向，长度是原来的 ∣c∣|c|∣c∣ 倍。

还有一个特殊情况：

0v=[00]0\mathbf v = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}0v=[00​]

零向量没有明确方向。它表示“没有净移动”，也是很多线性代数判断里的分界点。

不要把 −2v-2\mathbf v−2v 读成“减去两个向量”。它是一个新的向量：方向与 v\mathbf vv 相反，长度是 v\mathbf vv 的 2 倍。

例题：判断是否同方向

设

a=[2−1],b=[−63]\mathbf a = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{bmatrix} -6 \\ 3 \end{bmatrix}a=[2−1​],b=[−63​]

判断 a\mathbf aa 与 b\mathbf bb 是否在同一条直线上。

先比较第一分量。若 b=ca\mathbf b=c\mathbf ab=ca，则 −6=2c-6=2c−6=2c，所以 c=−3c=-3c=−3。

再检查第二分量。由 c=−3c=-3c=−3 得到 c(−1)=3c(-1)=3c(−1)=3，刚好等于 b\mathbf bb 的第二分量。

因此 b=−3a\mathbf b=-3\mathbf ab=−3a。两个向量共线，方向相反，b\mathbf bb 的长度是 a\mathbf aa 的 3 倍。

线性组合：几根方向箭头合成新方向

向量加法和数乘合起来，就得到线性组合。给定两个向量 a\mathbf aa 和 b\mathbf bb，形如

sa+tbs\mathbf a+t\mathbf bsa+tb

的向量，叫 a\mathbf aa 和 b\mathbf bb 的一个线性组合。这里的 sss 和 ttt 是可以调节的系数。

二维坐标系中展示线性组合 2u 加 1.5v，由基准方向 u 和 v 合成新方向。

调节系数后，向量 2u2\mathbf u2u 与 1.5v1.5\mathbf v1.5v 首尾相接，得到线性组合 2u+1.5v2\mathbf u+1.5\mathbf v2u+1.5v。

系数是控制旋钮

线性组合里，向量提供方向，系数控制每个方向用多少。比如

2[10]+3[01]=[23]2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}2[10​]+3[01​]=[23​]

这表示用 2 份水平向右的方向，加上 3 份竖直向上的方向，得到点 (2,3)(2,3)(2,3) 对应的向量。

如果方向向量不是水平和竖直，也一样：

2[11]+3[1−1]=[5−1]2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}2[11​]+3[1−1​]=[5−1​]

线性组合不是随便组合

“线性”在这里有两条限制。第一，只能对向量做数乘。第二，只能把这些数乘后的向量相加。不能把分量平方，不能取正弦，不能把两个向量逐项相乘。

线性组合的朴素读法是：每个方向拿若干份，然后把这些份数加起来。这个读法会一直用到矩阵方程 Ax=bA\mathbf x=\mathbf bAx=b。

例题：把目标向量写成线性组合

设

a=[12],b=[31],c=[98]\mathbf a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf c = \begin{bmatrix} 9 \\ 8 \end{bmatrix}a=[12​],b=[31​],c=[98​]

求数 s,ts,ts,t，使得

sa+tb=cs\mathbf a+t\mathbf b=\mathbf csa+tb=c

先把线性组合按分量写开。

s[12]+t[31]=[s+3t2s+t]s \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s+3t \\ 2s+t \end{bmatrix}s[12​]+t[31​]=[s+3t2s+t​]

再让它等于目标向量 c\mathbf cc，得到两个普通方程。

s+3t=9s+3t=9s+3t=92s+t=82s+t=82s+t=8

由第二个方程得到 t=8−2st=8-2st=8−2s，代入第一个方程。

s+3(8−2s)=9s+3(8-2s)=9s+3(8−2s)=9−5s=−15-5s=-15−5s=−15s=3s=3s=3

把 s=3s=3s=3 代回 2s+t=82s+t=82s+t=8，得到 t=2t=2t=2。所以

3a+2b=c3\mathbf a+2\mathbf b=\mathbf c3a+2b=c

张成：所有能到达的位置

固定若干向量，让系数任意变化。所有可能得到的线性组合，叫这些向量的张成。

如果只给一个非零向量 a\mathbf aa，那么所有线性组合只有一种形式：

kak\mathbf aka

当 kkk 变化时，终点沿着同一条过原点的直线移动。

二维坐标系中非零向量 a 的数乘终点都落在同一条斜线上，说明一个方向只能张成一条线。

一个非零向量 a\mathbf aa 的所有数乘 kak\mathbf aka 的终点共线，因此它张成一条过原点的直线。

一个方向、两个方向、三个方向

在二维平面中，一个非零方向只能张成一条线。两个方向如果共线，本质上仍然只有一个方向，也只能张成一条线。两个方向如果不共线，就能通过不同系数组合到达整个平面。

两条不共线向量方向张成整个二维平面的线性代数组合示意图。

两条不共线方向覆盖平面：任意目标点都可以由 ma+nbm\mathbf a+n\mathbf bma+nb 的线性组合到达。

在三维空间中，情况多了一层。一个非零方向张成一条线；两个不共线方向张成一个过原点的平面；三个方向如果不在同一个平面内，就可能张成整个三维空间。

张成回答的是“能到哪里”。以后我们说矩阵的列空间，就是问矩阵的列向量通过线性组合能到达哪些向量。

例题：判断张成范围

判断下面两组向量在平面中分别张成什么。

a=[12],b=[24]\mathbf a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}a=[12​],b=[24​] p=[12],q=[21]\mathbf p = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf q = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}p=[12​],q=[21​]

先看第一组。因为

b=2a\mathbf b=2\mathbf ab=2a

所以 a\mathbf aa 与 b\mathbf bb 共线。它们虽然有两根箭头，但只有一个方向。

第一组能得到的所有向量都是 sa+tbs\mathbf a+t\mathbf bsa+tb。由于 b=2a\mathbf b=2\mathbf ab=2a，它可以改写成

sa+t(2a)=(s+2t)as\mathbf a+t(2\mathbf a)=(s+2t)\mathbf asa+t(2a)=(s+2t)a

因此第一组只张成一条过原点的直线。

再看第二组。若 q=cp\mathbf q=c\mathbf pq=cp，由第一分量得 2=c2=c2=c，但第二分量会要求 1=2c=41=2c=41=2c=4，矛盾。

所以 p\mathbf pp 与 q\mathbf qq 不共线。在二维平面中，两个不共线方向可以张成整个平面。

用向量语言重写方程组

线性组合还有一个更深的用途：它把线性方程组改写成向量问题。

看这个方程组：

{2x+y=7x+3y=8\begin{cases} 2x+y=7 \\ x+3y=8 \end{cases}{2x+y=7x+3y=8​

通常我们会把它看成两条直线的交点。现在换成列向量视角：

x[21]+y[13]=[78]x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}x[21​]+y[13​]=[78​]

这句话的意思是：能不能用 xxx 份第一列向量，加上 yyy 份第二列向量，合成右端的目标向量？

方程组列向量视角示意图，展示 x 倍第一列加 y 倍第二列合成目标向量。

列向量组合：从 xa+yb=cx\mathbf a+y\mathbf b=\mathbf cxa+yb=c 理解方程组的右端项，并引出下一章的列空间。

从两个方程到一个向量方程

把方程组写成列向量组合时，每个未知数不再只是一个要解的数，它还是对应列向量的系数。

x[21]+y[13]=[78]x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}x[21​]+y[13​]=[78​]

求解这个方程，就是问目标向量 [78]\begin{bmatrix}7\\8\end{bmatrix}[78​] 是否在两根列向量的张成范围内。如果在，还要找出具体的系数 x,yx,yx,y。

下一章会把很多列向量排成一个矩阵。那时 Ax=bA\mathbf x=\mathbf bAx=b 的意思就是：用矩阵 AAA 的列向量，按 x\mathbf xx 里的系数做线性组合，看看能不能合成 b\mathbf bb。

例题：用列向量视角解方程组

求

x[21]+y[13]=[78]x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}x[21​]+y[13​]=[78​]

中的 x,yx,yx,y。

先把向量方程按分量展开。

[2x+yx+3y]=[78]\begin{bmatrix} 2x+y \\ x+3y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}[2x+yx+3y​]=[78​]

得到两个方程。

2x+y=72x+y=72x+y=7x+3y=8x+3y=8x+3y=8

由第一个方程得到 y=7−2xy=7-2xy=7−2x，代入第二个方程。

x+3(7−2x)=8x+3(7-2x)=8x+3(7−2x)=8−5x=−13-5x=-13−5x=−13x=135x=\frac{13}{5}x=513​

代回 y=7−2xy=7-2xy=7−2x，得到

y=7−265=95y=7-\frac{26}{5}=\frac{9}{5}y=7−526​=59​

所以目标向量可以由 135\frac{13}{5}513​ 份第一列向量和 95\frac{9}{5}59​ 份第二列向量合成。

练习

练习：向量加法

计算

[−25]+[7−3]\begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 \\ -3 \end{bmatrix}[−25​]+[7−3​]

对应分量相加：

[−2+75+(−3)]=[52]\begin{bmatrix} -2+7 \\ 5+(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}[−2+75+(−3)​]=[52​]

结果表示向右 5、向上 2 的合成位移。

练习：数乘与共线

设

u=[4−6],v=[−23]\mathbf u = \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \end{bmatrix}, \quad \mathbf v = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}u=[4−6​],v=[−23​]

判断 u\mathbf uu 与 v\mathbf vv 是否共线。

它们共线，因为

u=−2v\mathbf u=-2\mathbf vu=−2v

也就是

−2[−23]=[4−6]-2 \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \end{bmatrix}−2[−23​]=[4−6​]

两个向量方向相反，长度相差 2 倍。

练习：线性组合

设

a=[10],b=[12]\mathbf a = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}a=[10​],b=[12​]

求 s,ts,ts,t，使

sa+tb=[56]s\mathbf a+t\mathbf b= \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}sa+tb=[56​]

先按分量展开：

s[10]+t[12]=[s+t2t]s \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s+t \\ 2t \end{bmatrix}s[10​]+t[12​]=[s+t2t​]

所以

2t=62t=62t=6

得到 t=3t=3t=3。再由

s+t=5s+t=5s+t=5

得到 s=2s=2s=2。因此

2a+3b=[56]2\mathbf a+3\mathbf b= \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}2a+3b=[56​]

练习：张成范围

在二维平面中，下面两个向量能否张成整个平面？

[24],[12]\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}[24​],[12​]

不能。因为

[24]=2[12]\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}[24​]=2[12​]

两根向量共线，只提供一个方向。它们的所有线性组合都落在同一条过原点的直线上，不能覆盖整个平面。

练习：方程组的列向量视角

把下面方程组写成列向量线性组合的形式。

{3x−2y=4x+5y=9\begin{cases} 3x-2y=4 \\ x+5y=9 \end{cases}{3x−2y=4x+5y=9​

按未知数收集列向量：

x[31]+y[−25]=[49]x \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}x[31​]+y[−25​]=[49​]

这表示用 xxx 份第一列向量和 yyy 份第二列向量合成右端目标向量。

小结

向量加法把位移接起来，数乘改变长度和方向。线性组合把这两件事合在一起：先取若干份方向向量，再把它们相加。

张成描述所有可能的线性组合，也就是给定方向能到达的全部位置。一个非零方向在平面中张成一条线；两个不共线方向张成整个平面。这个观点会直接进入下一章：矩阵的列向量能张成哪些目标向量，决定方程组是否有解。

  • 向量是一根箭头，也是一列数
    • 分量的含义
    • 位置向量与自由向量
  • 向量加法：把位移接起来
    • 两种画法说的是同一件事
    • 例题：合成两次移动
  • 数乘：改变长度和方向
    • 系数的三种情况
    • 例题：判断是否同方向
  • 线性组合：几根方向箭头合成新方向
    • 系数是控制旋钮
    • 线性组合不是随便组合
    • 例题：把目标向量写成线性组合
  • 张成：所有能到达的位置
    • 一个方向、两个方向、三个方向
    • 例题：判断张成范围
  • 用向量语言重写方程组
    • 从两个方程到一个向量方程
    • 例题：用列向量视角解方程组
  • 练习
    • 练习：向量加法
    • 练习：数乘与共线
    • 练习：线性组合
    • 练习：张成范围
    • 练习：方程组的列向量视角
  • 小结

目录

  • 向量是一根箭头，也是一列数
    • 分量的含义
    • 位置向量与自由向量
  • 向量加法：把位移接起来
    • 两种画法说的是同一件事
    • 例题：合成两次移动
  • 数乘：改变长度和方向
    • 系数的三种情况
    • 例题：判断是否同方向
  • 线性组合：几根方向箭头合成新方向
    • 系数是控制旋钮
    • 线性组合不是随便组合
    • 例题：把目标向量写成线性组合
  • 张成：所有能到达的位置
    • 一个方向、两个方向、三个方向
    • 例题：判断张成范围
  • 用向量语言重写方程组
    • 从两个方程到一个向量方程
    • 例题：用列向量视角解方程组
  • 练习
    • 练习：向量加法
    • 练习：数乘与共线
    • 练习：线性组合
    • 练习：张成范围
    • 练习：方程组的列向量视角
  • 小结