高斯消元与阶梯形

上一章把线性方程组写成了矩阵方程 $Ax=b$ ，也把增广矩阵作为记录工具。本章要做一件更实际的事：用有限次、可检查的行变换，把一个方程组化成容易读的形状。

高斯消元的目标不是“把数字变漂亮”，而是保留原方程组的全部解，同时把信息整理出来。阶梯形告诉我们哪里有主元，哪里有自由变量；回代把主元变量算出来；行最简形则把答案直接摆在矩阵里。

原方程组与行变换后的方程组都在同一交点相交，说明初等行变换不改变解集。

行变换会改变方程组的外观，但不改变代表解集的交点。

为什么行变换不改变解集

一个线性方程组的每一行都是一个方程。对行做操作，其实是在用已有方程制造新的等价方程。只要这个操作能反向做回来，就不会丢掉任何解，也不会凭空增加解。

例如有两行方程 $R_1$ 和 $R_2$ 。如果把第二行替换成 $R_2-2R_1$ ，得到的新方程组中仍然保留 $R_1$ 。从新方程组出发，也可以把第二行加回 $2R_1$ ，恢复原来的 $R_2$ 。所以两边的解完全一样。

高斯消元中真正被保护的是解集。矩阵里的行、数字和方程外观可以变化，但所有能同时满足方程组的向量 $x$ 必须保持不变。

把方程组写成增广矩阵时，竖线左边是系数矩阵，右边是常数列：

\left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right]

行变换必须作用在整行上，包括竖线右边的常数。只改左边不改右边，相当于换了一个问题。

三种允许的行变换

高斯消元只使用三种初等行变换。它们看起来简单，但共同点很关键：每一种都可以反向执行。

三栏中文信息图，展示换行、倍乘（非零）和倍加三种初等行变换及其可逆操作。

三种初等行变换都能反向做，所以解集不变。

行变换	记号	为什么不改变解集
交换两行	$R_i \leftrightarrow R_j$	方程顺序变了，条件本身没有变
某行乘非零数	$R_i \leftarrow cR_i,\ c\neq 0$	等式两边同乘非零数，可以再除回去
某行加上另一行的倍数	$R_i \leftarrow R_i+cR_j$	保留 $R_j$ 时，可以用 $R_i-cR_j$ 反向恢复

第二种行变换里，倍数不能是 $0$ 。把一整行乘以 $0$ 会把一个方程抹掉，通常会扩大解集；这不是等价变换。

消元的核心动作

消元的基本想法是：先选一个主元，用它把下方同列的数消成 $0$ 。然后到下一行、下一列继续做，直到非零行形成楼梯状。

设第一列第一行的数 $a_{11}$ 不是 $0$ 。为了消去第二行第一列的数 $a_{21}$ ，可以做：

R_2 \leftarrow R_2-\frac{a_{21}}{a_{11}}R_1

这个倍数叫消元倍数。它的作用很单纯：让新第二行的第一项变成

a_{21}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{11}=0

如果当前位置是 $0$ ，不要硬除。先在下面找一个非零数换上来；如果这一列从当前行往下全是 $0$ ，就跳到下一列找主元。

先从最左边还没有处理的列开始找主元。如果当前行的候选主元是 $0$ ，就尝试和下面某一行交换；找不到非零数时，说明这一列没有新的主元。

找到主元后，用主元所在行消去它下面同列的数。每次倍加都要整行一起改，增广矩阵右端也要跟着变。

当前列处理完后，向右下方移动。新的主元必须在上一主元的右边，这样矩阵会逐步形成阶梯。

得到阶梯形后，如果每个主元都已经确定，就从最后一个方程开始回代；如果有非主元列，就把对应变量设成参数。

阶梯形和行最简形

阶梯形的重点是“楼梯”。每个非零行的第一个非零数叫这一行的主元；越往下，主元越靠右；主元下面全是 $0$ 。零行如果出现，要放在最下面。

行最简形比阶梯形更进一步。每个主元都化成 $1$ ，并且主元所在列除了这个 $1$ 以外全是 $0$ 。从阶梯形继续向上消元并把主元归一化，就能得到行最简形。

阶梯形与行最简形对比示意图，展示主元位置、向上消元归一化以及主元列上下清零。

阶梯形通过继续向上消元并归一化得到行最简形，行最简形的主元为 $1$ ，且主元列上下清零。

例如下面的矩阵是阶梯形：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 0 & 3 & 4\\ 0 & 5 & 1 & -2 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 6 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

它的主元分别在第 $1$ 、第 $2$ 、第 $4$ 列。第 $3$ 列没有主元，所以对应变量会成为自由变量。

阶梯形适合手算，因为它已经足够回代。行最简形适合读结构，因为每个主元列都像一个坐标轴，主元变量和自由变量的关系更直接。

例题：用阶梯形回代

解下面的方程组：

\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x+3y+z=11\\ x-y+2z=5 \end{cases}

对应的增广矩阵是：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 1 & 11\\ 1 & -1 & 2 & 5 \end{array} \right]

用第一行作为第一列的主元行，先消去第一列下面的两个数：

R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_1

得到：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -2 & 1 & -1 \end{array} \right]

用第二行作为第二列的主元行，消去第三行第二列的 $-2$ ：

R_3\leftarrow R_3+2R_2

得到阶梯形：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{array} \right]

从最后一行开始回代。第三行给出 $-z=-3$ ，所以 $z=3$ 。第二行给出 $y-z=-1$ ，代入 $z=3$ 得到 $y=2$ 。第一行给出 $x+y+z=6$ ，所以 $x=1$ 。

上三角方程组从底行先求 z，再向上回代求 y 和 x 的中文教学图

回代从最后一个方程开始，先解最靠后的主元，再代回前面的方程。

因此方程组有唯一解：

(x,y,z)=(1,2,3)

从阶梯形读出变量

在一个阶梯形矩阵中，含有主元的列叫主元列。主元列对应的未知数叫主元变量；没有主元的未知数叫自由变量。

高斯消元阶梯形中主元列、自由变量与参数解关系的中文教学图

主元列决定主元变量，非主元列给自由变量；一个自由变量对应一个参数。

看下面这个增广矩阵：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

主元在第 $1$ 列和第 $3$ 列，所以 $x_1$ 、 $x_3$ 是主元变量。第 $2$ 列和第 $4$ 列没有主元，所以 $x_2$ 、 $x_4$ 是自由变量。

设：

x_2=s,\qquad x_4=t

第二行给出：

x_3+x_4=2

所以：

x_3=2-t

第一行给出：

x_1+2x_2-x_3+x_4=3

代入 $x_2=s$ 、 $x_3=2-t$ 、 $x_4=t$ ：

x_1+2s-(2-t)+t=3

因此：

x_1=5-2s-2t

完整参数解是：

\begin{aligned} x_1&=5-2s-2t\\ x_2&=s\\ x_3&=2-t\\ x_4&=t \end{aligned}

其中 $s,t$ 可以取任意实数。自由变量越多，解集的自由方向越多。

读出解的类型

把增广矩阵化到阶梯形后，解的类型通常可以直接读出来。

三栏教学图：从行最简形判断唯一解、无解与无穷多解

从增广矩阵的矛盾行、主元数量和自由变量判断解的类型。

如果出现矛盾行：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

它代表：

0=1

这不可能成立，所以方程组无解。

如果没有矛盾行，并且每个未知数所在列都有主元，那么每个变量都会被确定，方程组有唯一解。

如果没有矛盾行，但至少有一个未知数列没有主元，那么这些变量是自由变量，方程组有无穷多解。

判断顺序很重要：先看有没有矛盾行，再看有没有自由变量。只要出现矛盾行，方程组就是无解，即使别的列看起来还有自由变量也没有意义。

真实问题中的消元

很多应用题最后都会落到线性方程组上。电路中用节点电流和回路电压列方程，桥架或桁架中用受力平衡列方程，化学配平中用每种元素的原子数守恒列方程。建模部分可能来自物理或化学，但求解阶段经常就是消元。

例如一个电路里有三个未知电流 $i_1,i_2,i_3$ 。节点守恒和回路电压可能给出：

\begin{cases} i_1-i_2-i_3=0\\ 4i_1+2i_2=12\\ 6i_3-2i_2=3 \end{cases}

这个系统是否有唯一电流分配，取决于消元后是否每个未知数都有主元。这里的主元不是抽象符号，它对应模型里真正被约束住的未知量。

常见错误

消元中的错误常常不是因为概念太难，而是因为某一步没有同时维护“等价”和“顺序”。

最危险的错误是只改增广矩阵左边，不改右端常数。行变换作用在整行上，竖线只是视觉分隔，不是计算边界。

把行变换写得不够明确

写 $R_2-2R_1$ 只是一个表达式，不等于告诉读者哪一行被替换。推荐写：

R_2\leftarrow R_2-2R_1

这样可以清楚地知道只有第二行改变，第一行保留。

在同一步里混用已经改变的行

如果先做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ ，再做 $R_3\leftarrow R_3+R_2$ ，第二个操作里的 $R_2$ 已经是新第二行。手算时最好一行一行写清，避免把旧行和新行混在一起。

过早宣布自由变量

自由变量来自最终阶梯形或行最简形的非主元列。还没完成消元时，某一列暂时没有主元，不代表它最终一定是自由变量。

忽略零主元

遇到候选主元为 $0$ 时，不能除以它。先尝试换行；如果下面全是 $0$ ，这一列没有主元，向右找下一列。

练习

练习一：判断行变换是否合法

下面哪些操作一定保持解集不变？

$R_1\leftrightarrow R_3$
$R_2\leftarrow 0R_2$
$R_3\leftarrow R_3-5R_1$
只把增广矩阵左边的第二行乘以 $2$ ，右边常数不变

合法的是 1 和 3。交换两行只是改变方程顺序；用一行加上另一行的倍数可以反向恢复。第 2 个操作把一行乘以 $0$ ，会丢掉一个方程。第 4 个操作没有对整行做同一个变换，已经改变了原方程组。

练习二：消元并回代

解方程组：

\begin{cases} x+2y-z=2\\ 2x+5y+z=9\\ -x-y+2z=1 \end{cases}

增广矩阵为：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\ 2 & 5 & 1 & 9\\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{array} \right]

先做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ ， $R_3\leftarrow R_3+R_1$ ：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\ 0 & 1 & 3 & 5\\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right]

再做 $R_3\leftarrow R_3-R_2$ ：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\ 0 & 1 & 3 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{array} \right]

回代得 $z=1$ ， $y+3z=5$ ，所以 $y=2$ ；再由 $x+2y-z=2$ 得 $x=-1$ 。答案是：

(x,y,z)=(-1,2,1)

练习三：写出参数解

把下面的阶梯形矩阵翻译成参数解：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 0 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

主元在第 $1$ 列和第 $3$ 列，所以 $x_1,x_3$ 是主元变量， $x_2,x_4$ 是自由变量。设 $x_2=s$ ， $x_4=t$ 。第二行给出 $x_3-t=5$ ，所以 $x_3=5+t$ 。第一行给出 $x_1-2s+3t=4$ ，所以 $x_1=4+2s-3t$ 。参数解为：

\begin{aligned} x_1&=4+2s-3t\\ x_2&=s\\ x_3&=5+t\\ x_4&=t \end{aligned}

其中 $s,t$ 为任意实数。

练习四：判断解的类型

不用继续化简，判断下面阶梯形对应的方程组解的类型：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

没有矛盾行，第三列没有主元，所以 $x_3$ 是自由变量。这个方程组有无穷多解。若设 $x_3=t$ ，则 $x_1=3-2t$ ， $x_2=4+t$ 。

本章小结

高斯消元把线性方程组变成阶梯形。它只允许使用可逆的初等行变换，所以解集保持不变。阶梯形用于回代，行最简形用于直接读结构。

主元列告诉我们哪些变量被方程约束住；非主元列给出自由变量。没有矛盾行时，自由变量会带来参数解；出现矛盾行时，方程组无解。后面学习秩、零空间和四个基本子空间时，本章的主元和自由变量会继续出现。