线性代数研究什么：方程、向量与变换

线性代数研究的不是一堆孤立的矩阵规则，而是多变量问题里最基本的一类结构：几个量怎样同时满足条件，几个方向怎样合成目标，一个规则怎样把所有向量一起移动。

这一章先不追求计算技巧的数量。我们只抓住一件事：同一个线性问题可以有三种看法。它可以是方程组，可以是向量组合，也可以是矩阵给出的线性变换。后面整门课会反复在这三种看法之间切换。

线性代数三种视角汇合到同一个线性问题的课程全景地图

方程组、向量组合与矩阵变换从解、方向、规则三条主线汇合到同一个线性问题。

先认识“线性”

一个表达式是线性的，意思是未知数只以一次的形式出现，并且未知数之间不相乘、不开方、不放进三角函数或指数函数。

下面是线性表达式：

2x + 3y - z

下面不是线性表达式：

x^2 + y,\quad xy + 1,\quad \sin x + y

在线性方程中，我们把线性表达式等于一个常数。例如：

2x + y = 5

如果有几个线性方程要同时满足，就得到线性方程组：

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

线性代数中的“线性”先从形状上看：未知数只出现一次，系数乘未知数，再相加。它的深层含义会在矩阵变换里出现：直线仍然变成直线，原点仍然留在原点，组合关系被保留下来。

表达式、方程和系统

这三个词常被混在一起，但它们说的是不同层次。

线性表达式是一个算式，例如 $2x+y$ 。线性方程是在表达式之间加上等号，例如 $2x+y=5$ 。线性系统是多个线性方程放在一起，要求同一组未知数同时满足它们。

用一句话说：表达式给出一个量，方程给出一个条件，系统给出一组条件。

不要把“线性”理解成“图像一定是一条二维直线”。二元一次方程在平面中是一条直线；三元一次方程在三维空间中是一个平面；更多未知数时，我们仍然用同一套代数语言描述它，只是图像不再容易直接画出来。

从两个未知数开始

考虑这个方程组：

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

它的答案是 $x=2,\ y=1$ 。这件事可以有三种解释。

行图像：两条直线的交点

第一个方程 $2x+y=5$ 在坐标平面中是一条直线。第二个方程 $x-y=1$ 也是一条直线。一个解必须同时在两条直线上，所以解就是两条直线的交点。

坐标平面上两条直线 2x + y = 5 与 x - y = 1 相交于点 (2,1)，表示二元线性方程组的解。

二元线性方程组的行图像：两条直线的交点就是共同满足两个方程的解。

列图像：用列向量拼出右端

把同一个方程组按未知数分组：

x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

这句话的意思是：取第一列向量 $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ 的 $x$ 倍，再加上第二列向量 $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ 的 $y$ 倍，能不能得到右端向量 $\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}$ 。

当 $x=2,\ y=1$ 时：

2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

两根列向量经过缩放后相加，拼出右端目标向量 b 的示意图

列向量组合：x·第一列 + y·第二列 = 目标向量。

矩阵方程：把系统压缩成一行

把系数排成矩阵，把未知数排成向量，把右端常数也排成向量：

A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

原来的方程组就写成：

A\mathbf{x}=\mathbf{b}

这一行不是把细节藏起来，而是把结构显出来：矩阵 $A$ 记录所有系数，未知向量 $\mathbf{x}$ 记录要找的数，右端向量 $\mathbf{b}$ 记录目标。

例题：把同一个系统翻译三遍

题目：对方程组

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

分别写出它的解、列向量组合形式和矩阵方程形式。

先从第二个方程得到 $y=x-1$ ，再代入第一个方程，得到 $2x+x-1=5$ ，所以 $3x=6$ ，从而 $x=2$ 。

把 $x=2$ 代回 $y=x-1$ ，得到 $y=1$ 。所以方程组的解是 $(2,1)$ 。

按未知数分组，得到列向量组合：

x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

把系数放入矩阵，得到矩阵方程：

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

这三个写法描述的是同一个问题。

三个未知数时发生了什么

二元方程组能画成两条直线。三元方程组的每个方程通常对应三维空间中的一个平面。

看这个系统：

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 3z = 13 \end{cases}

它的共同解是：

(x,y,z)=(1,2,3)

几何上，这表示三个平面在同一个点相交。代数上，这表示同一组三个数同时满足三个条件。列向量上，这表示三个列向量按 $1,2,3$ 的比例组合后，正好得到右端向量。

三个半透明平面在三维坐标中交于共同解 (1,2,3)

三元线性方程组的三个平面交于一点，表示三个条件同时满足。

例题：用消去看共同解

题目：求解方程组

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 3z = 13 \end{cases}

用第二个方程减去第一个方程，得到 $y=2$ 。这一步把两个条件的差别单独拿出来看。

把 $y=2$ 代入第一个方程，得到 $x+z=4$ 。这说明 $x$ 和 $z$ 还要一起满足一个条件。

把 $y=2$ 代入第三个方程，得到 $2x+3z=11$ 。

由 $x+z=4$ 得到 $x=4-z$ ，代入 $2x+3z=11$ ，得到 $2(4-z)+3z=11$ ，所以 $z=3$ ，再得到 $x=1$ 。

因此共同解是 $(1,2,3)$ 。它不是只满足其中一个平面，而是同时落在三个平面上。

方程组的解可以理解为“所有条件的共同位置”。二元时常见的是直线交点，三元时常见的是平面交点；更高维时仍然是共同位置，只是我们更多依靠代数和矩阵语言来处理。

矩阵、向量与线性变换

矩阵不只是系数表。它还可以看成一个规则：输入一个向量，输出另一个向量。

例如：

A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

给定输入向量 $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ ，矩阵会输出：

A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x+y \\ x-y \end{bmatrix}

这正好就是前面方程组左边的两个表达式。于是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 可以读成：有没有一个输入向量 $\mathbf{x}$ ，经过矩阵 $A$ 的规则后，变成目标向量 $\mathbf{b}$ ？

线性代数教学图：输入向量经过写有“矩阵”的转换框后，方格纸被拉伸旋转成输出向量，直线和原点保持不变。

矩阵可以看作一台线性变换机器，把输入向量映射为输出向量，并保持直线与原点。

基向量的去向决定矩阵

二维空间里有两根最基本的方向：

\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

矩阵 $A$ 会把它们送到：

A\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad A\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

这两个输出正是矩阵的两列。知道两根基向量被送到哪里，就知道所有向量会被送到哪里，因为任意输入向量都可以写成：

\mathbf{v}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2

线性变换会保留这种组合：

A\mathbf{v} = A(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2) = xA\mathbf{e}_1+yA\mathbf{e}_2

线性与非线性的边界

线性变换有两个基本特征：

T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})

T(c\mathbf{v})=cT(\mathbf{v})

第一条说“先相加再变换”和“先变换再相加”结果相同。第二条说“先缩放再变换”和“先变换再缩放”结果相同。它们合起来说明：线性变换尊重向量组合。

线性与非线性变换对比示意图

线性变换保持直线为直线，非线性变换使网格被弯曲。

并不是所有“看起来有规则”的变换都是线性的。平移会把原点移走，所以不是线性变换；平方会弯曲网格，也不是线性变换。线性代数先研究这类保留组合关系的规则，再用它们近似或分解更复杂的问题。

三种视角怎样互相翻译

现在把前面的内容放在一张语言对照表里。你不需要立刻熟练使用所有词，只要知道它们是在说同一件事。

视角	关心的问题	常见写法	图像直觉
方程组	哪些未知数同时满足条件	$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$	直线、平面或更高维条件的共同位置
向量组合	右端向量能否由列向量拼出	$x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b}$	用几个方向合成目标
线性变换	输入向量经过矩阵后到哪里	$\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$	整个空间按同一规则移动

一个系统的三种读法

还是这个矩阵方程：

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

按方程组读，它是在问两条直线在哪里相交。按向量组合读，它是在问用两根列向量能不能拼出右端向量。按线性变换读，它是在问哪个输入向量会被矩阵送到目标位置。

这三个问题的答案是同一个：

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

线性代数为什么有用

许多真实问题不是一开始就长得像矩阵。它们往往先表现为一组关系：某路口车流守恒，某张图像可以分成像素块，某组数据要拟合一条趋势，某个产业部门的产出依赖其他部门的投入。

当这些关系可以近似写成“系数乘变量再相加”时，线性代数就可以进入问题。

线性模型连接交通流、图像压缩、数据拟合、经济投入产出四个应用面板

真实应用拼图展示线性模型在交通流、图像压缩、数据拟合和经济投入产出中的作用。

几个典型入口

交通流问题常把每条路的车流量看成未知数，路口的“流入等于流出”给出线性方程。图像处理把像素排成向量或矩阵，压缩和降噪常用矩阵分解。数据拟合把误差最小的问题变成投影问题。经济投入产出模型用矩阵描述行业之间的依赖关系。

这些例子不会在本章展开计算。现在要记住的是：线性代数提供的是一种翻译方式。它把多个变量之间的关系翻译成向量、矩阵和变换，然后用统一的方法研究解、方向和结构。

本课程后面会不断回到这一章的三句话：方程组关注“满足哪些条件”，向量组合关注“能拼出哪些目标”，线性变换关注“规则怎样移动空间”。只要这三句话在脑中连着，许多矩阵公式就不会显得孤立。

练习

练习一：判断是否线性

判断下面哪些是线性表达式。

3x-2y+7z,\quad x^2+y,\quad 4x-y,\quad xy+z

线性表达式是 $3x-2y+7z$ 和 $4x-y$ 。 $x^2+y$ 中有平方项， $xy+z$ 中有未知数相乘，所以它们不是线性的。

练习二：从方程组到矩阵方程

把下面的方程组写成 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 。

\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x - y = 0 \end{cases}

系数矩阵、未知向量和右端向量分别是：

A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \end{bmatrix}

所以矩阵方程是：

\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \end{bmatrix}

练习三：解释列向量组合

解释下面等式的含义，并找出它对应的方程组。

x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 0 \end{bmatrix}

这个等式表示：用第一列向量的 $x$ 倍加上第二列向量的 $y$ 倍，得到右端向量。按分量展开，得到方程组：

\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x - y = 0 \end{cases}

练习四：读出基向量的去向

设

A= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}

求 $A\mathbf{e}_1$ 和 $A\mathbf{e}_2$ ，并说明它们和矩阵的列有什么关系。

因为 $\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ ，所以 $A\mathbf{e}_1$ 取出矩阵第一列：

A\mathbf{e}_1= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

因为 $\mathbf{e}_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ ，所以 $A\mathbf{e}_2$ 取出矩阵第二列：

A\mathbf{e}_2= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

矩阵的每一列就是对应基向量经过这个矩阵后的新位置。

练习五：三种视角说同一句话

对矩阵方程

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}

分别用方程组、向量组合和线性变换三种语言解释它。

方程组语言：它表示 $x=3$ 和 $2y=4$ 要同时成立，所以解是 $x=3,\ y=2$ 。

向量组合语言：它表示用 $x$ 个 $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 和 $y$ 个 $\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}$ 拼出 $\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ 。

线性变换语言：矩阵保持第一坐标不变，把第二坐标放大为原来的 2 倍；我们要找哪个输入向量会被送到 $\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ ，答案是 $\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$ 。

小结

本章只建立一张地图。线性方程组给出条件，向量组合给出拼法，矩阵变换给出规则。三者不是三套互不相关的知识，而是同一件事的三种读法。

下一章会从向量开始，把“加法、数乘、线性组合、张成”讲清楚。那时你会更具体地看到：列向量到底能拼出哪些目标，不能拼出哪些目标。