有界线性算子与对偶：把空间之间的作用量化

在有限维线性代数里，矩阵乘法很直接：给定一个向量，矩阵告诉你输出是什么。可是当向量变成函数或无限序列时，光写出公式还不够。我们还要回答一个更实际的问题：输入改变得很小，输出是否也一定改变得很小？这种“稳定”能不能用一个数衡量？

设 $T:X\to Y$ 是线性作用。若 $x_n\to x$，我们希望 $Tx_n\to Tx$；若一列近似解 $x_n$ 的误差趋于零，也希望经过 $T$ 后误差不会被无限放大。本章把这个要求写成有界性和算子范数，再观察它如何控制核、像、复合、对偶以及两种不同的收敛方式。

读完本章，你应当能够：

• 在范数空间之间辨认有界线性算子，并证明有界性与连续性等价；
• 用算子范数表达最小的统一估计常数，计算常见算子的范数；
• 使用次乘性估计复合算子，理解 $\mathcal B(X,Y)$ 在合适条件下为什么仍是 Banach 空间；
• 判断连续算子的核何时闭，以及为什么像空间未必闭；
• 用连续线性泛函“读取”向量，理解 $X^*$、对偶算子与对偶范数；
• 具体看见 $(\ell^1)^*=\ell^\infty$、 的配对方式，并区分强收敛和弱收敛。

小扰动为什么需要一个统一上界

把“连续”直接搬到线性算子上，会得到一个很有力的简化。一般函数要在每个点检查局部行为；线性算子只要检查原点附近，因为

输入的差异被完全变成了一个向量 $x-y$。如果原点附近的输出能够被输入大小统一控制，那么所有点之间的输出差异都被同一个常数控制。

有界线性算子

设 $X,Y$ 是同一个标量域 $\mathbb F$（通常取 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$）上的赋范空间。线性映射 $T:X\to Y$ 称为有界的，如果存在常数 $C\ge 0$，使得对所有 ，

这里的“有界”不是说 $\{Tx:x\in X\}$ 整体落在某个固定球内；只要 $X$ 本身无界，非零线性算子的像通常也无界。它说的是：输出至多按输入大小的固定倍数增长。

记所有从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子为 $\mathcal B(X,Y)$。若 $Y=\mathbb F$，这些算子就是连续线性泛函，记作 $X^*$。

连续性与有界性的等价

命题　线性映射 $T:X\to Y$ 连续，当且仅当它有界。

我们把两个方向都写出来。以后遇到一个线性公式时，可以根据手头最方便的条件选择证明路线。

连续性给出的常数不一定是最小的。我们接下来把所有可行的 $C$ 压缩成一个最有用的量。

一个域决定的例子

在 $C^1[0,1]$ 上只使用函数的上确界范数

定义 $S(f)=f'(0)$。这个泛函是线性的，但不是有界的。取

则 $\|f_n\|_\infty\le1/n\to0$，而 $S(f_n)=f_n'(0)=1$。因此不存在固定的 使 。如果把 上的范数改成

同一个 $S$ 就满足 $|S(f)|\le\|f\|_{C^1}$。算子是否有界，和“公式长什么样”同样取决于定义域、陪域以及两边使用的范数。

算子范数：最坏放大倍数

对 $T\in\mathcal B(X,Y)$，定义算子范数

若 $X=\{0\}$，可约定 $\|T\|=0$。对非零空间，还可以写成

第一种写法说“只看单位球面”；第二种写法说“看单位球”；第三种写法说明它是所有合法估计常数中最小的一个。上确界不一定被某个单位向量取到，所以不要默认存在 $x$ 使 $\|Tx\|=\|T\|$。

完整例题：Volterra 算子的范数

设 $X=Y=C[0,1]$ 都配备上确界范数，定义

求 $\|T\|$。这里有两件事要分开：积分不等式先给出上界，某个具体函数只能帮助我们证明这个上界不能再降。

如果把核 $t$ 换成非负连续函数 $w(t)$，同样的思路会给出从 $C[0,1]$ 到自身的算子

的上界 $\|T_w\|\le\int_0^1w(t)\,dt$。当 $f\equiv1$ 时若 ，这个上界正好取到。这就是“寻找估计中每一步的等号条件”的实际用处。

复合、次乘性与算子空间

如果 $T:X\to Y$、$S:Y\to Z$ 都有界，那么复合 $S\circ T$ 也有界。对任意 $x\in X$，

所以

这称为次乘性。它通常不是等式，但在估计多次作用时非常稳定：每经过一个算子，误差放大因子至多乘上该算子的范数。

若 $X=Y$，写 $\mathcal B(X)=\mathcal B(X,X)$。当 $X\ne\{0\}$ 时恒等算子 满足 ；若 ，则按约定它的范数为 。

为什么 $\mathcal B(X,Y)$ 可能是 Banach 空间

若 $Y$ 是 Banach 空间，那么 $\mathcal B(X,Y)$ 在算子范数下也是 Banach 空间。注意这里不要求 $X$ 完备；算子列的极限是在每个 $x$ 上落到 $Y$ 中，再用统一的算子范数控制收敛。

核与像：连续性保护什么

对线性算子 $T:X\to Y$，

核记录“被算子完全看不见”的方向，像记录“算子真正能够产生”的输出。连续性对两者的影响并不对称。

核一定闭

若 $T$ 连续，则 $\ker T$ 是 $X$ 的闭子空间。设 $x_n\in\ker T$ 且 $x_n\to x$。连续性给出

所以 $x\in\ker T$。这正是闭集的序列判别法。

像不一定闭

仅仅知道 $T$ 连续，不能推出 $T(X)$ 闭。一个有用的充分条件是：存在 $c>0$，使得

此时称 $T$ 在下方有界。它排除了非零输入被压缩到任意小的情况。

命题　若 $T:X\to Y$ 连续且在下方有界，则 $\operatorname{ran}T$ 在 $Y$ 中闭；若 $T$ 还单射，则逆映射 $T^{-1}:\operatorname{ran}T\to X$ 有界，且 。

这里的完备性确实用到了：没有它，$x_n$ 可能只在 $X$ 的完备化中收敛。下方有界是一个很强的条件，但它比“连续”多出的正是我们需要的反向控制。

完整例题：一个连续但像不闭的对角算子

在 $\ell^2$ 上定义

判断 $D$ 是否有界、核是否闭、像是否闭。

这个例子还说明了为什么 $D$ 没有下方有界估计：$\|De_n\|_2=1/n$，而 $\|e_n\|_2=1$。算子把越来越靠后的方向压得越来越小。

对偶空间：用标量读出向量

在有限维空间中，坐标函数、内积和矩阵转置让我们可以从向量得到数字。一般范数空间未必有内积，但连续线性泛函仍然可以承担“读出信息”的角色。

对赋范空间 $X$，其对偶空间定义为

对 $f\in X^*$，赋予算子范数

因此每个 $f\in X^*$ 都满足

这条不等式既是定义的直接结果，也是以后反复使用的误差传递估计。

范数可以由对偶测试恢复

Hahn–Banach 定理的一个重要结果是：对每个 $x\ne0$，存在 $f\in X^*$，满足 $\|f\|=1$ 且在实数情形下 $$；复数情形可以先让 的相位归一，再得到 。因此

右侧告诉我们，向量的范数可以看成所有单位范数泛函读数的最坏值。它不是说要真的枚举全部泛函，而是说明对偶没有漏掉范数层面的方向。

对偶算子

给定 $T\in\mathcal B(X,Y)$，定义

也就是

它把“在输出空间上读数”的方式拉回到输入空间。由

可得 $\|T^*g\|\le\|T\|\|g\|$，所以 $T^*$ 有界且 $\|T^*\|\le\|T\|$。利用对偶中能达到（或任意逼近）向量范数的泛函，可以进一步得到

复合的次序会反过来：若 $S:Y\to Z$，则

这和矩阵转置 $(AB)^\mathsf T=B^\mathsf T A^\mathsf T$ 是同一个结构。

$\ell^1$ 与 $\ell^2$ 的对偶预览

写

（$1\le p<\infty$）。此外 $\ell^\infty$ 是所有有界序列组成的空间，范数为 $\|a\|_\infty=\sup_n|a_n|$。

完整例题：从 $\ell^\infty$ 构造 $\ell^1$ 上的泛函

给定 $a=(a_n)\in\ell^\infty$，定义

证明 $f_a\in(\ell^1)^*$，并计算其范数；再说明每个 $\ell^1$ 上的连续线性泛函都来自某个 $$。

结论是等距识别

这里的“识别”不是说两个集合字面相同，而是说 $a\mapsto f_a$ 是线性双射，并且保持范数。

对 $\ell^2$，Cauchy–Schwarz 不等式给出：每个 $y\in\ell^2$ 都定义

取 $x=y/\|y\|_2$（$y\ne0$）可见 $\|g_y\|=\|y\|_2$。Hilbert 空间的 Riesz 表示定理进一步说明，每个 上的连续线性泛函都这样产生，所以

这两个例子放在一起很有启发性：$\ell^1$ 的对偶变成更大的 $\ell^\infty$，而 $\ell^2$ 在对偶下保持自身。后一个现象和内积结构有关，后续 Hilbert 空间内容会把它解释得更完整。

强收敛与弱收敛

在范数空间 $X$ 中，$x_n$ 强收敛（也叫范数收敛）到 $x$，是指

$X$ 中的序列 $x_n$ 弱收敛到 $x$，记作 $x_n\rightharpoonup x$，是指对每个 $$ 都有

强收敛要求向量本身越来越近；弱收敛只要求每一种连续线性读法的标量读数都越来越近。测试方式少得多，所以弱收敛通常更容易发生。

强收敛一定推出弱收敛

若 $\|x_n-x\|\to0$，对任意 $f\in X^*$，

因此 $x_n\to x$ 强收敛就必有 $x_n\rightharpoonup x$ 弱收敛。

反向一般不成立。要看清这个差别，最简单的对象就是 $\ell^2$ 的标准基。

完整例题：标准基弱收敛但不强收敛

令 $e_n=(0,\ldots,0,1,0,\ldots)$，其中第 $n$ 个位置为 $1$。证明 $$，但 不强收敛到 。

有限维和无限维的分界

在有限维空间中，弱收敛与强收敛等价。以 $\mathbb F^d$ 为例，取坐标泛函 $f_j(x)=x_j$。弱收敛意味着每个坐标 $x_{n,}$；有限个坐标同时收敛时，

无限维时，坐标逐个收敛不再足够，因为误差可以不断移到新的坐标位置。标准基 $(e_n)$ 就是这个现象的最小例子。

有界算子保持弱收敛

若 $T\in\mathcal B(X,Y)$ 且 $x_n\rightharpoonup x$，那么

证明只需把对偶算子写出来。任取 $g\in Y^*$，则 $T^*g=g\circ T\in X^*$，所以

这条关系值得和强收敛的证明并排记住：强收敛使用 $\|T(x_n-x)\|\le\|T\|\|x_n-x\|$；弱收敛使用“先拉回测试泛函”的 $$。

递进练习

下面的题目按“巩固计算—应用判断—迁移证明”递进。建议每题先把题干单独做完，再打开自己的解答核对；答案中的估计常数、定义域和使用的收敛方式都要写清楚。

巩固：把定义变成估计

题 1　设 $P:\ell^2\to\ell^2$ 为第一坐标投影

求 $\|P\|$，并说明 $\ker P$ 与 $\operatorname{ran}P$。

题 2　在 $C^1[0,1]$ 上分别考虑上确界范数 $\|f\|_\infty$ 和 $C^1$ 范数 。对泛函 ，判断它在两种范数下是否有界，并给出证明所需的序列或估计。

题 3　设 $R:\ell^2\to\ell^2$ 是右移算子 $R(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)$。证明 ，并判断 是否满射。

应用：核、像与对偶的具体形状

题 4　设 $J:\ell^1\to\ell^2$ 是自然包含 $Jx=x$。证明 $J$ 有界且 $\mathrm{\parallel }J$，说明它的像空间为什么不闭。

题 5　令 $a=(2,-1,0,1/3,0,\ldots)\in\ell^\infty$，定义 $f_a(x)=\sum x_na_n$。求 ，并计算 ，其中 。

题 6　设 $D:\ell^2\to\ell^2$ 为 $(Dx)_n=x_n/n$。判断下列说法并说明理由： 单射； 在下方有界； 闭。

迁移：换一种读法再做一次

题 7　设 $u_n=e_n+\dfrac1n e_1$，其中 是 的标准基。证明 ，但 不强收敛到 。

题 8　设 $T:X\to Y$ 有界线性，$x_n\rightharpoonup x$。证明 $Tx_n\rightharpoonup Tx$。然后对 和 ，判断 是强收敛还是仅能直接看出弱收敛，并给出范数计算。

取 $x$ 的上确界，得到 $\|Tf\|_\infty\le\frac12\|f\|_\infty$，所以 $\|T\|\le1/2$。

右侧随 $n,m\to\infty$ 趋于 $0$，因此 $(T_nx)$ 是 $Y$ 中的 Cauchy 列。因为 $Y$ 完备，它收敛到某个元素，定义

右侧是 Cauchy 的，所以 $(x_n)$ 也是 Cauchy 的。

所以 $D$ 有界且 $\|D\|\le1$。取 $e_1=(1,0,0,\ldots)$，有 $\|e_1\|_2=\|De_1\|_2=1$，故 $\|D\|=1$。

所以级数绝对收敛，$f_a$ 定义良好；逐项检查可得它线性。