从距离到范数：无限维空间的第一眼

你已经知道怎样在 $\mathbb R^n$ 里计算两点的距离。现在把对象换成一条函数，或者一串无穷序列，问题会立刻变得具体起来：两条函数“差不多”到底是什么意思？只要每个点的函数值都接近，就算接近吗？还是要控制整个区间上的最大误差？

同样说“误差很小”，你可能关心每个位置都不能偏离太多，也可能只在意误差的总量。这两种要求会带来不同的收敛结论。我们从熟悉的平面向量出发，把“量长度”的规则说清楚，再看它到了函数和序列空间里会发生什么变化。

一个先摆在桌面上的问题

在 $[0,1]$ 上考虑一列连续函数。它们可能在大多数位置都很接近，却在一个越来越窄的区间里保留一个高度为一的尖峰。若只看积分意义下的平均误差，尖峰似乎正在消失；若看最大误差，尖峰始终可见。

所以我们需要的不是一句模糊的“函数接近”，而是一种能量化对象大小的规则。这个规则要兼容向量加法和数乘，还要让“差向量很小”真正定义出距离。它就是范数。

范数把“大小”写成公理

设 $V$ 是实数域 $\mathbb R$ 或复数域 $\mathbb C$ 上的向量空间。一个函数

称为 范数，如果任意 $x,y\in V$ 和标量 $\lambda$ 都满足：

1. 正定性：$\|x\|\ge 0$，且 $\|x\|=0$ 当且仅当 $x=0$；
2. 绝对齐次性：$\|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|$；

写成二元组 $(V,\|\cdot\|)$，就是一个赋范空间。这里的对象可以是 $\mathbb R^n$ 中的坐标，也可以是函数、序列、矩阵或算子。范数公理不关心对象长什么样，只规定“大小”应当怎样和线性运算相处。

为什么三条公理缺一不可

正定性排除了“非零向量却没有大小”的退化情况。绝对齐次性规定放大 $x$ 时大小按放大倍数变化；在复数域上，倍数的方向无关紧要，所以出现的是 $|\lambda|$。三角不等式把加法和大小接起来，使误差可以逐段估计。

例如在 $\mathbb R^2$ 中，下面三种常用规则都是范数：

左边是 $\ell^2$ 单位球，中间是 $\ell^1$ 单位球，右边是 $\ell^\infty$ 单位球。三幅图分别呈现形状；把它们叠到同一坐标系中比较，要用下面的实验。

它们给同一个向量不同的“长度”。例如 $(1,1)$ 的三种长度分别是 $2$、$\sqrt2$ 和 $1$。这不是矛盾，因为范数本来就是额外选择的数据；接下来要问的是：不同选择会不会改变分析中的结论。

从范数得到度量

给定范数，定义

这确实是一个度量。非负性来自范数的值域；对称性来自

这里用到了绝对齐次性和 $|-1|=1$。若 $d(x,y)=0$，正定性给出 $x-y=0$，所以 $$。最后，

三角不等式正是在这里把范数升级成了距离。

反过来，范数本身也能由距离读出来：$\|x\|=d(x,0)$。因此范数空间不是“向量空间加一个装饰长度”，它同时带有一套由线性结构控制的度量结构。

一个常用的估计：反三角不等式

由三角不等式，

所以 $\|x\|-\|y\|\le\|x-y\|$。交换 $x,y$ 后得到 $\|y\|-\|x\|\le\|x-y\|$。两式合在一起就是

这说明范数函数本身是一个 1-Lipschitz 函数。以后只要知道 $x_n\to x$，就能立刻得到 $\|x_n\|\to\|x\|$，不需要重新展开范数的具体公式。

收敛和 Cauchy 性都由范数决定

在赋范空间中，序列 $(x_n)$ 按范数收敛到 $x$，记作 $x_n\to x$，是指

这句话的核心对象是误差向量 $x_n-x$。例如在 $C[0,1]$ 的上确界范数中，$f_n\to f$ 意味着

也就是一致收敛；在别的范数下，同一列函数可能有不同的收敛结论。

序列 $(x_n)$ 称为 Cauchy 序列，如果对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得当 $m,n\ge N$ 时，

收敛序列一定是 Cauchy 序列。证明只用三角不等式：若 $x_n\to x$，给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $\|x_n-x\|<\varepsilon/2$（），则

反过来，Cauchy 序列是否一定收敛，要等到下一章讨论完备性时回答。此处先把逻辑分开：Cauchy 条件只比较序列后部的项彼此是否靠近，它没有直接告诉你极限在哪里。

Cauchy 序列确实有界。取 $\varepsilon=1$，选定 $N$，则 $n\ge N$ 时

前面只有有限项，把它们的范数与这个上界取最大值，就控制了整列。反过来，实数列 $(-1)^n$ 有界，却不能让尾部所有两项都靠近。

点列逐渐聚拢的示意帮助我们看尾部。定义中要控制的是任意两个足够靠后的项，不能只检查相邻两项。

例题：在一个非标准范数下同时检查距离和收敛

在 $\mathbb R^2$ 上定义

证明 $N$ 是范数，并判断 $u_n=(1/n,(-1)^n/n)$ 是否按 $N$ 收敛；若收敛，求极限。

这里直接逐条检查公理最稳妥：公式是坐标绝对值的加权和，三角不等式可以分别在两个坐标上使用。

这个例子还给出一个可复用的做法：判断范数收敛时，不要只看坐标是否“看起来趋近”，而要把误差代入当前范数，真正算出 $\|u_n-u\|$ 的极限。

有限维里，范数选择不会改变拓扑

两个定义在同一向量空间上的范数 $\|\cdot\|_a$ 和 $\|\cdot\|_b$ 称为等价范数，如果存在常数 $c,C>0$，使任意 都有

这两个不等式分别控制一个方向，合起来说明一个范数小，当且仅当另一个范数也小。因而它们定义相同的收敛序列、Cauchy 序列、开集和闭集。

先看坐标范数之间的直接比较

对 $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$ 或 ${\mathbb{C}}^{}$，有

第一条是因为最大坐标的绝对值不超过所有绝对值之和；第二条是因为每个 $|x_i|\le\|x\|_\infty$，逐项相加即可。

更一般地，若 $1\le p<\infty$，则

右侧仍来自 $|x_i|^p\le\|x\|_\infty^p$ 的逐项相加。左侧取达到最大值的坐标 $j$，有 。

有限维范数等价定理

定理。 在有限维向量空间上，任意两个范数都等价。

这条结论的证明值得完整保留，因为它明确指出了有限维假设在哪里使用。零维空间只有零向量，结论直接成立。下面设 $V$ 的维数为 $n\ge1$，选定基 $e_1,\dots,e_n$，并用坐标定义

对任意给定范数 $\|\cdot\|$，先证明它与这个坐标范数等价。

第一步给出上界。由三角不等式和绝对齐次性，

令 $M=\sum_i\|e_i\|$，得到

这一步只用到了有限个基向量，因此是有限维的第一处入口。

第二步控制反方向。考虑坐标单位球面

它在坐标空间中是闭且有界的，所以由有限维 Heine–Borel 定理是紧集。上面已经证明 $\|x\|\le M\|x\|_\infty^{\text{coord}}$，再用反三角不等式可得

所以 $x\mapsto\|x\|$ 在 $S_\infty$ 上连续。它在 $S_\infty$ 上处处为正；紧性保证它取得正的最小值 $m>0$。于是对任意非零 ，令 ，则 ，从而

零向量时不等式也成立。于是

任意两个范数都分别与坐标范数等价，因此彼此等价。

例题：用坐标变换检查一个范数并找比较常数

在 $\mathbb R^2$ 上定义

证明 $N$ 是范数，并比较它与 $\|(x,y)\|_\infty$。这里有两种办法：可以直接逐条验证三角不等式；更省力的办法是把它看成一个可逆线性坐标变换后的上确界范数。

有限维子空间为何是闭的

Riesz 引理会要求我们选出的子空间是闭集。仅仅知道它由有限个向量张成，还不能省略这一条件的来由。

设 $M=\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_d)$ 是赋范空间 $V$ 的有限维子空间，这里 $e_1,\dots ,e_{}$ 取为一组基。若 且 ，写成

有限维范数等价给出一个 $c>0$，使

右侧随 $m,n\to\infty$ 趋零，所以每个坐标列 $(a_{n,j})_n$ 都是标量 Cauchy 列。实数和复数完备，记其极限为 $a_j$，并令 。由三角不等式，

而 $x_n\to x$，故 $\|x-y\|\le\|x-x_n\|+\|x_n-y\|\to0$，得到 。所以 闭。零维子空间 的闭性直接来自范数的正定性。这段证明只用了标量空间的完备性，没有假定整个 完备。

无限维的第一道裂缝：闭单位球不紧

本节的“单位球”特指闭单位球

在有限维空间里，闭且有界的集合紧；在无限维赋范空间里，这个结论失败。更准确地说：

定理。 赋范空间 $V$ 的闭单位球紧，当且仅当 $V$ 是有限维的。

“有限维 $\Rightarrow$ 紧”来自范数等价和坐标空间中的 Heine–Borel 定理。

平面中的闭有界区域给出了紧集的熟悉形象。这依靠空间有限维；换成无限维单位球，结论需要重新检查。

下面证明更容易被误用的反方向。核心工具是一个简单的距离构造。

Riesz 引理带来的分离序列

若 $M$ 是赋范空间 $V$ 的真闭线性子空间，取 $0<\alpha<1$，则存在 $u\in V$，满足

证明如下。选 $z\notin M$。因为 $M$ 闭，$V\setminus M$ 是开集，所以 $z$ 到 $M$ 的距离

严格大于 $0$。根据下确界的定义，可以选 $m_0\in M$，使

令 $u=(z-m_0)/\|z-m_0\|$。因为 $M$ 是线性子空间，

这里等式中的平移不改变到子空间的距离，缩放则把距离按正数倍缩放。引理得证。

现在假设 $V$ 无限维。令 $M_0=\{0\}$，使用 Riesz 引理选 $u_1\in V$，$$。递归地令

它是有限维子空间，因此闭；又因为 $V$ 无限维，它是真子空间。再次使用引理，取 $u_n$ 满足

若 $n>m$，则 $u_m\in M_{n-1}$，所以

这列单位向量中任意两项都相距超过 $1/2$。因此它没有 Cauchy 子列，更不可能有收敛子列。度量空间中的紧集要求每个序列都有收敛子列，这列向量本身就在闭单位球中，且没有收敛子列，所以闭单位球不紧。

两类基本的无限维空间

连续函数空间 C[a,b]

设 $a<b$，记

这里的一个向量是一整个函数。曲线上的采样点只是观察窗口，不能代替函数在整个区间上的信息。

常见范数包括上确界范数

和对 $1\le p<\infty$ 的积分范数

上确界是最大值，是因为 $|f|$ 连续而 $[a,b]$ 紧。上确界范数的三角不等式逐点成立：

对 $t$ 取最大值得到结论。

对积分范数，齐次性来自积分的齐次性。正定性需要用到连续性：若 $\|f\|_p=0$ 但某点 $t_0$ 有 $|f(t_0)|>0$，连续性会保证 附近一小段区间上 仍有正的下界，积分就会严格大于零，矛盾。三角不等式是 Minkowski 不等式；它由 Hölder 不等式推出，可回顾《测度论与 Lebesgue 积分 I》第 8 章的证明。这里我们在连续函数上使用它，不需要另外取几乎处处等价类。

两种范数之间总有一个直接的单向估计：

所以

反方向在无限维中一般不存在统一常数。这个差别正是“平均误差”和“最大误差”分道扬镳的地方。

例题：同一列函数在两种范数下走向不同

在 $C[0,1]$ 中定义

判断 $f_n$ 是否在 $\|\cdot\|_\infty$ 和 $\|\cdot\|_p$（）下收敛到零，并据此判断这两个范数在 上是否等价。

把两个三角形的中心移到 $t=1/2$，就得到尖峰函数在 $n=4$ 和 $n=8$ 时的非零部分。高度同为 $1$，底宽从 $1/2$ 缩到 $1/4$；上确界不变，面积从 减到 。

尖峰的最高处和积分分别对应两种范数，所以直接计算比抽象比较更清楚。

$C[a,b]$ 是无限维的：多项式 $1,t,t^2,\dots$ 在任意非退化区间上都线性无关。因而函数空间并不是“坐标很多的 $\mathbb R^n$”，它真的允许不断加入新的独立方向。

序列空间 ℓᵖ

对 $1\le p<\infty$，定义

还定义

有限维坐标范数的公式被保留下来，只是求和变成无穷求和。对 $\ell^p$ 来说，齐次性和正定性直接来自级数；三角不等式仍是 Minkowski 不等式的序列版本。

最基本的方向向量 $e_k=(0,\dots,0,1,0,\dots)$ 都属于每个 $\ell^p$，且

当 $j\ne k$ 时，$e_j-e_k$ 有两个非零坐标，因此

这已经给出闭单位球不紧的一个具体反例：单位向量全部在闭单位球中，却没有任何 Cauchy 子列。

非零坐标不断向后移动，每个向量的范数仍是 $1$，不同标准基之间的距离也没有缩小。它们不能组成 Cauchy 子列。

再固定一个坐标 $j$ 来看：只有 $e_j$ 的第 $j$ 个坐标为一，其余 $e_k$ 在这个坐标上都为零，所以 $k\to\infty$ 时每个坐标都趋于零。但 始终不变，按范数并不趋零。无限多个坐标分别变小，不等于它们共同构成的误差范数变小。

ℓ² 是 Hilbert 空间的入口

在 $\ell^2$ 上定义内积

由 Cauchy–Schwarz 不等式，这个级数收敛，并且

所以 $\ell^2$ 的范数来自内积，后面 Hilbert 空间的正交、投影和最小二乘都会在这里找到熟悉的序列版本。内积本身并不保证完备性：有限支撑序列也有同样的内积，却会漏掉极限。下一章会证明 $\ell^2$ 完备；同时具有内积和相应范数完备性，才称为 Hilbert 空间。正交投影将在第 6 章展开。

在图上比较长度与误差

同一个向量放进不同的球

先取 $v=(1,1)$，球的半径取 $R=1$。不用拖动，判断它分别在 $\ell^1$、$\ell^2$、 球的内部、边界还是外部。实验中改变指数 ，边界由 确定；向量本身的两个坐标保持不动。

当 $v\ne0$ 时，把 $v$ 除以当前范数，得到的点应当落在对应单位球边界上。用“归一化”检查这个预测，记录两个不同 $p$ 的结果。还可以把 $v$ 沿坐标轴与对角线移动，对照

当 $p$ 增大时，同样的单位半径允许更大的区域：$B_1\subset B_2\subset B_\infty$。区域变大与同一个向量的范数变小相互对应，不能把这两个变化方向颠倒。

尖峰变窄，并不规定它必须变矮

在刚才的尖峰上再乘高度 $h\ge0$，得到

齐次性直接给出

固定 $h=1$，把 $n$ 加倍，先预测最大误差与 $L^1$ 误差各会怎样变化，再观察图和读数。随后同时把高度加倍，记录两次结果：尖峰更窄了，面积是否仍然下降？

对 $p=1$，面积为 $h/n$，因此同时把 $h$ 与 $n$ 加倍，面积保持不变，最大误差却加倍了。换成 $p=2$，范数按 $h/\sqrt n$ 的比例变化，不能再沿用面积的判断。前面固定高度的例子是一种特定变化方式；决定误差的，是高度与宽度怎样共同变化。

递进练习

快速检查

巩固：把定义真正用起来

练习 4｜范数检查与收敛。 在 $\mathbb R^2$ 上定义 $N(x,y)=3|x|+|y|$。证明 $N$ 是范数，并判断 $v_n$ 在 下的极限。

练习 5｜连续函数中的直接计算。 在 $C[0,1]$ 中取 $f(t)=t$。分别计算 $\|f\|_1$、$\|f\|_2$ 和 ，并检查 是否在这个例子中成立。

应用：选择范数而不是只会代入

练习 6｜同一收敛问题的范数选择。 设 $g_n(t)=t^n$，$t\in[0,1]$。判断它是否按上确界范数收敛到零；再判断它是否按 $L^1$ 范数收敛到零。说明两种结论为什么不同，并指出这里不能用“有限维范数等价”来解释。

练习 7｜有限维等价性的迁移。 对 $x\in\mathbb R^3$ 证明

第一条可以直接证明；第二条要求你选择一个合适的不等式。说明这两个范数给出的收敛序列为何相同。

迁移：识别无限维的障碍

练习 8｜$\ell^p$ 中的非紧性。 固定 $1\le p<\infty$，用标准单位向量 $e_k$ 证明 $\ell^p$ 的闭单位球不紧。再说明 时结论如何改写。

练习 9｜用 Riesz 引理自己造分离序列。 设 $V$ 是无限维赋范空间。说明为什么可以递归构造单位向量 $u_1,u_2,\dots$，使 $n>m$ 时 $\mathrm{\parallel }$。你的解答必须指出有限维子空间为什么能在下一步使用 Riesz 引理。

练习 10｜综合判断。 在 $C[0,1]$ 上，给定一列函数 $h_n$ 满足 $\|h_n-h_m\|_\infty\le2^{-\min\{m,n\}}$。证明它在上确界范数下是 Cauchy 序列。这个条件能否仅凭本章内容保证它在 中收敛？请说明还缺少什么结论。

练习 11｜看起来像长度的规则。 在 $\mathbb R^2$ 上定义 $P(x,y)=|x-y|$。它是否是范数？检查三条公理，并说明由 $P(u-v)$ 定义的“距离”会漏掉什么。

练习 12｜每个坐标都趋零以后。 令 $x^{(n)}$ 的前 $n$ 个坐标都是 $1/n$，其余为零。证明每个坐标趋于零，但 $x^{(n)}$ 不按 $\ell^1$ 范数趋零；再比较 与 ，判断它是否 Cauchy。

练习 13｜Riesz 引理的条件能否少一个。 在 $V=\ell^2$ 中取由有限支撑序列组成的真子空间 $M=c_{00}$。说明每个 $x\in\ell^2$ 都满足 ，并解释为什么这不反驳 Riesz 引理。

现在回头看“函数差不多”这句话，你已经能要求一个明确的范数，并检查误差是在每一点都受控，还是只在总量上受控。下一章还要多问一步：逼近过程即使已经是 Cauchy，原来的空间能不能容纳它的极限？