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数列：无穷过程的第一语言

反常积分让截断点走向无穷；数列则让项号 $n$ 走向无穷。数列不是把无穷多个数同时摆在眼前，而是给出一个规则：输入正整数 $n$ ，得到第 $n$ 项 $a_n$ 。

我们关心的也不是前十项看起来怎样，而是从某一项以后，所有项会不会稳定靠近同一个数。

学习目标

学完本章，你应能：

从列表、通项或递推式读出数列；
用极限而不是前几项猜测判断收敛；
使用极限运算、夹逼、增长速度和洛必达法则处理常见极限；
用子数列证明振荡数列不收敛；
用单调有界定理证明递推数列确实有极限；
区分“求出候选极限”与“证明收敛”。

无限列表，不是连续曲线

数列可以看成定义域为正整数的函数：

a:\mathbb N\to\mathbb R

通常写作

\{a_n\}_{n=1}^{\infty}

图像只在 $n=1,2,3,\ldots$ 这些离散位置上有点。把这些点用线连起来可以帮助观察，但连线不是数列本身。

数列的离散点逐渐靠近极限

例如

a_n=\frac{2n+1}{n+3}

前几项是

\frac34,\ \frac57,\ \frac78,\ \frac9{9},\ldots

通项可以改写为

a_n=2-\frac5{n+3}

于是长期行为一眼可见：

\lim_{n\to\infty}a_n=2

通项、递推和前几项

通项公式

通项直接由 $n$ 计算 $a_n$ 。例如

a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}

递推定义

递推式用前一项生成后一项。例如

a_1=1,\qquad a_{n+1}=\frac{a_n+3}{2}

它产生

1,\ 2,\ \frac52,\ \frac{11}{4},\ldots

通项与递推定义

递推式必须给初值。只有

a_{n+1}=2a_n

并不能决定唯一数列，因为不同 $a_1$ 会生成不同结果。

从列表猜通项的局限

列表

1,4,9,16,\ldots

自然会让人猜 $a_n=n^2$ ，但有限个已知项永远不能唯一决定所有后项。题目若要求“写出一种可能的通项”，猜测可以；若要求证明一个给定规律，必须使用定义或其他条件。

数列极限：最终靠近一个数

若对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在正整数 $N$ ，使得当 $n\ge N$ 时

|a_n-L|<\varepsilon

就说

\lim_{n\to\infty}a_n=L

关键是“从某个 $N$ 以后所有项”。偶尔进入误差带不够，后面的项不能再跑出去。

收敛、无界与振荡三种行为

用定义验证一个极限

证明

\lim_{n\to\infty}\frac1n=0

给定 $\varepsilon>0$ ，要使

\left|\frac1n-0\right|<\varepsilon

只需

n>\frac1\varepsilon

可以取

N=\left\lfloor\frac1\varepsilon\right\rfloor+1

于是对所有 $n\ge N$ ，都有 $1/n<\varepsilon$ 。

极限运算法则

若 $a_n\to A$ 、 $b_n\to B$ ，则

a_n\pm b_n\to A\pm B

a_nb_n\to AB

若 $B\ne0$ 且分母最终不为零，

\frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}

连续函数还能把极限带入：

a_n\to A \quad\Longrightarrow\quad f(a_n)\to f(A)

前提是 $f$ 在 $A$ 连续。

常用极限工具

有理式看最高次

\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n+4}{5n^2+2} =\frac35

把分子分母同除以 $n^2$ 即可。

夹逼定理

若

b_n\le a_n\le c_n

且 $b_n,c_n$ 都趋近 $L$ ，则 $a_n\to L$ 。

例如

\left|\frac{\sin n}{n}\right|\le\frac1n

所以

\frac{\sin n}{n}\to0

把数列看成函数取整数值

若 $a_n=f(n)$ ，且

\lim_{x\to\infty}f(x)=L

那么 $a_n\to L$ 。因此可以使用函数极限的代数、夹逼和洛必达法则。

例如

\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}

对应函数极限为 $\infty/\infty$ ，洛必达后：

\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0

所以 $\ln n/n\to0$ 。

洛必达法则作用于连续变量的函数极限，不是直接对 $n$ “求导”。我们先构造 $f(x)$ ，验证函数极限条件，再把结论用于整数点。

子数列：证明不收敛的利器

从原数列中按递增项号挑出无限多项，得到子数列

a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\ldots

若原数列收敛到 $L$ ，每个子数列也必须收敛到 $L$ 。

因此，只要找到两个子数列趋向不同极限，就能证明原数列不收敛。

例如

a_n=(-1)^n

偶数项子数列满足

a_{2k}=1

奇数项子数列满足

a_{2k-1}=-1

它们极限不同，所以原数列发散。

再如

a_n=(-1)^n+\frac1n

偶数项趋近 $1$ ，奇数项趋近 $-1$ ，仍不收敛。附加的 $1/n$ 不会消除长期振荡。

有界、单调与收敛

数列有上界是指存在 $M$ ，使所有项都满足 $a_n\le M$ ；有下界类似。上下都有界叫有界。

数列单调递增是

a_{n+1}\ge a_n

单调递减则反向。

单调有界定理

单调递增且有上界的数列收敛；
单调递减且有下界的数列收敛。

单调有界数列逼近极限

这条定理提供“极限存在”的证明，不一定直接给出极限值。

例题：递推数列

设

a_1=1,\qquad a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}

我们猜它趋近 $2$ ，但要先证明。

证明上界

用归纳法证明 $a_n<2$ 。初值 $a_1=1<2$ 。若 $a_n<2$ ，则

a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt4=2

所以 $2$ 是上界。

证明单调

因 $a_n<2$ 且 $a_n>0$ ：

a_{n+1}\ge a_n

等价于

\sqrt{2+a_n}\ge a_n

两边平方：

2+a_n\ge a_n^2

即

(2-a_n)(a_n+1)\ge0

成立。因此数列单调递增且有上界，必收敛。

求极限

设极限为 $L$ 。递推函数连续，所以

L=\sqrt{2+L}

解得 $L=2$ 或 $L=-1$ 。由于各项为正，只能取

L=2

先证明收敛，再把极限代入递推式。直接解固定点方程只会得到“如果极限存在，它可能是什么”，并没有证明数列会靠近那个点。

证明递推数列收敛的模板

递推题通常按“范围、单调、极限”三步处理。

先找可能保持不变的区间

若

a_{n+1}=f(a_n)

并能证明 $f([m,M])\subseteq[m,M]$ ，那么只要 $a_1\in[m,M]$ ，所有后续项都留在这个区间。这叫不变区间。

再比较相邻两项

可以直接研究

a_{n+1}-a_n

的符号；也可以在 $f$ 单调时用归纳法。例如若已知 $a_2\ge a_1$ 且 $f$ 递增，那么

a_{n+1}=f(a_n)\ge f(a_{n-1})=a_n

从而数列单调递增。

最后使用连续性求极限

证明单调有界以后，设 $a_n\to L$ ，再代入

L=f(L)

并用不变区间排除不合适的根。

例题：分式递推

设

a_1=2,\qquad a_{n+1}=\frac{5a_n}{a_n+2}

固定点满足

L=\frac{5L}{L+2}

候选为 $L=0$ 或 $L=3$ 。

先证明 $2\le a_n<3$ 。初值成立。若 $2\le a_n<3$ ，则

\frac{5a_n}{a_n+2}\ge2

等价于 $3a_n\ge4$ ，成立；同时

\frac{5a_n}{a_n+2}<3

等价于 $2a_n<6$ ，也成立。

再看差：

a_{n+1}-a_n =\frac{a_n(3-a_n)}{a_n+2}>0

所以数列递增且上界为 $3$ ，必收敛。极限位于 $[2,3]$ ，因此只能是

L=3

这个例子完整展示了为什么固定点方程要放在收敛证明之后。

常见数列和增长速度

几何数列

a_n=ar^n

$|r|<1$ 时， $a_n\to0$ ；
$r=1$ 时， $a_n=a$ ；
$r=-1$ 且 $a\ne0$ 时振荡；
$|r|>1$ 且 $a\ne0$ 时绝对值无界。

多项式、指数与阶乘

长期增长速度满足

\ln n\ll n^p\ll a^n\ll n!

其中 $p>0$ 、 $a>1$ 。

常见增长速度层级

例如

\frac{5^n}{n!}\to0

可以看相邻项比值：

\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{5}{n+1}\to0

从某一项起，每一项至多是前一项的一半，因此快速趋零。

递推数列与稳定点

对

a_{n+1}=f(a_n)

若 $a_n\to L$ 且 $f$ 在 $L$ 连续，则

L=f(L)

这样的 $L$ 叫固定点。

但固定点可能稳定，也可能不稳定。粗略地说：

若 $|f'(L)|<1$ ，附近误差通常缩小；
若 $|f'(L)|>1$ ，附近误差通常放大。

递推数列固定点的稳定与不稳定

线性递推的误差法

设

a_{n+1}=ra_n+b,\qquad r\ne1

固定点为

L=\frac{b}{1-r}

定义误差 $e_n=a_n-L$ ，则

e_{n+1}=re_n

所以

e_n=r^{n-1}e_1

$|r|<1$ 时误差趋零， $a_n\to L$ ；
$|r|>1$ 时除非初值正好等于 $L$ ，误差会放大；
$r=-1$ 时误差来回变号，通常振荡。

与级数的连接

级数

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

不是直接研究 $a_n$ 的极限，而是研究部分和数列

S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n

是否收敛。

如果级数收敛，那么

a_N=S_N-S_{N-1}\to0

所以通项趋零是必要条件。但反过来不成立： $a_n=1/n\to0$ ，调和级数的部分和却发散。

下一章会把“无限相加”严格翻译成“部分和数列的极限”。

数列极限还有两个常用但容易被忽略的性质。第一，改动有限项不会改变极限，因为极限只约束“足够靠后”的项；前十项甚至前一万项长什么样，都不会改变尾部最终靠近哪里。第二，收敛数列一定有界，但有界数列未必收敛。前者说明一旦尾部都挤在极限附近，再加上有限个前项，就能找到统一边界；后者则被 $(-1)^n$ 直接否定。这两个性质会在级数里反复出现：有限前缀不改变收敛性，而仅仅把部分和限制在某个范围内，也还要结合更多结构才能得出结论。

判断一道数列题时，最好把“猜极限”和“证明收敛”分开。递推方程给出的固定点只是候选答案；真正的证明往往来自单调有界、夹逼或误差递推。这样做看似多一步，却能排除那些代入方程成立、实际轨道永远不会靠近的根。

这也是本章最值得带走的习惯：前几项负责帮助观察，尾部性质负责完成证明，不能让图像代替论证。

常见误区

只算前几项就断言收敛。
把有界当作收敛； $(-1)^n$ 有界但不收敛。
把单调当作收敛； $a_n=n$ 单调却无界。
解出固定点就跳过收敛证明。
在递推极限方程中保留不符合范围的根。
认为序列图的连线就是连续函数。
混淆 $a_n\to0$ 与 $\sum a_n$ 收敛。

章末练习

写出数列 $3,7,11,15,\ldots$ 的通项。
求 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{4n^2+1}{2n^2-3n}$ 。
求 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos n}{\sqrt n}$ 。
判断 $a_n=(-1)^n\dfrac{n}{n+1}$ 是否收敛。
求 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^3}{2^n}$ 。
设 $a_1=0$ 、 $a_{n+1}=\dfrac{a_n+6}{3}$ ，求极限并说明收敛依据。
判断 $a_n=\sin(n\pi/2)$ 是否收敛。
设 $a_{n+1}=1.2a_n-1$ ，找固定点并判断它是否稳定。

a_n=4n-1

2

因 $|\cos n|\le1$ ：
$\left|\frac{\cos n}{\sqrt n}\right|\le\frac1{\sqrt n}\to0$
偶数项趋近 $1$ ，奇数项趋近 $-1$ ，所以发散。
指数增长快于多项式，极限为 $0$ 。也可连续使用洛必达或比较相邻项。
固定点满足 $L=(L+6)/3$ ，得 $L=3$ 。令 $e_n=a_n-3$ ，则 $e_{n+1}=e_n/3$ ，所以误差趋零， $a_n\to3$ 。
子数列周期出现 $0,1,0,-1$ ，有不同子数列极限，发散。
固定点为 $L=5$ 。误差满足 $e_{n+1}=1.2e_n$ ，除非 $a_1=5$ ，否则误差放大，固定点不稳定。

小结

数列极限说的是：从某一项以后，所有项都待在目标值的任意小误差带内。极限运算负责计算，子数列负责揭示振荡，单调有界定理负责证明极限存在，误差法负责分析递推。

下一章把每个 $a_n$ 累加成部分和 $S_N$ 。那时最重要的提醒是：项本身趋零，只是无限级数收敛的起点。

数列：无穷过程的第一语言

我们关心的也不是前十项看起来怎样，而是从某一项以后，所有项会不会稳定靠近同一个数。

学习目标

学完本章，你应能：

从列表、通项或递推式读出数列；
用极限而不是前几项猜测判断收敛；
使用极限运算、夹逼、增长速度和洛必达法则处理常见极限；
用子数列证明振荡数列不收敛；
用单调有界定理证明递推数列确实有极限；
区分“求出候选极限”与“证明收敛”。

无限列表，不是连续曲线

数列可以看成定义域为正整数的函数：

a:\mathbb N\to\mathbb R

通常写作

\{a_n\}_{n=1}^{\infty}

图像只在 $n=1,2,3,\ldots$ 这些离散位置上有点。把这些点用线连起来可以帮助观察，但连线不是数列本身。

数列的离散点逐渐靠近极限

例如

a_n=\frac{2n+1}{n+3}

前几项是

\frac34,\ \frac57,\ \frac78,\ \frac9{9},\ldots

通项可以改写为

a_n=2-\frac5{n+3}

于是长期行为一眼可见：

\lim_{n\to\infty}a_n=2

通项、递推和前几项

通项公式

通项直接由 $n$ 计算 $a_n$ 。例如

a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}

递推定义

递推式用前一项生成后一项。例如

a_1=1,\qquad a_{n+1}=\frac{a_n+3}{2}

它产生

1,\ 2,\ \frac52,\ \frac{11}{4},\ldots

通项与递推定义

递推式必须给初值。只有

a_{n+1}=2a_n

并不能决定唯一数列，因为不同 $a_1$ 会生成不同结果。

从列表猜通项的局限

列表

1,4,9,16,\ldots

数列极限：最终靠近一个数

若对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在正整数 $N$ ，使得当 $n\ge N$ 时

|a_n-L|<\varepsilon

就说

\lim_{n\to\infty}a_n=L

关键是“从某个 $N$ 以后所有项”。偶尔进入误差带不够，后面的项不能再跑出去。

收敛、无界与振荡三种行为

用定义验证一个极限

证明

\lim_{n\to\infty}\frac1n=0

给定 $\varepsilon>0$ ，要使

\left|\frac1n-0\right|<\varepsilon

只需

n>\frac1\varepsilon

可以取

N=\left\lfloor\frac1\varepsilon\right\rfloor+1

于是对所有 $n\ge N$ ，都有 $1/n<\varepsilon$ 。

极限运算法则

若 $a_n\to A$ 、 $b_n\to B$ ，则

a_n\pm b_n\to A\pm B

a_nb_n\to AB

若 $B\ne0$ 且分母最终不为零，

\frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}

连续函数还能把极限带入：

a_n\to A \quad\Longrightarrow\quad f(a_n)\to f(A)

前提是 $f$ 在 $A$ 连续。

常用极限工具

有理式看最高次

\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n+4}{5n^2+2} =\frac35

把分子分母同除以 $n^2$ 即可。

夹逼定理

若

b_n\le a_n\le c_n

且 $b_n,c_n$ 都趋近 $L$ ，则 $a_n\to L$ 。

例如

\left|\frac{\sin n}{n}\right|\le\frac1n

所以

\frac{\sin n}{n}\to0

把数列看成函数取整数值

若 $a_n=f(n)$ ，且

\lim_{x\to\infty}f(x)=L

那么 $a_n\to L$ 。因此可以使用函数极限的代数、夹逼和洛必达法则。

例如

\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}

对应函数极限为 $\infty/\infty$ ，洛必达后：

\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0

所以 $\ln n/n\to0$ 。

洛必达法则作用于连续变量的函数极限，不是直接对 $n$ “求导”。我们先构造 $f(x)$ ，验证函数极限条件，再把结论用于整数点。

子数列：证明不收敛的利器

从原数列中按递增项号挑出无限多项，得到子数列

a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\ldots

若原数列收敛到 $L$ ，每个子数列也必须收敛到 $L$ 。

因此，只要找到两个子数列趋向不同极限，就能证明原数列不收敛。

例如

a_n=(-1)^n

偶数项子数列满足

a_{2k}=1

奇数项子数列满足

a_{2k-1}=-1

它们极限不同，所以原数列发散。

再如

a_n=(-1)^n+\frac1n

偶数项趋近 $1$ ，奇数项趋近 $-1$ ，仍不收敛。附加的 $1/n$ 不会消除长期振荡。

有界、单调与收敛

数列有上界是指存在 $M$ ，使所有项都满足 $a_n\le M$ ；有下界类似。上下都有界叫有界。

数列单调递增是

a_{n+1}\ge a_n

单调递减则反向。

单调有界定理

单调递增且有上界的数列收敛；
单调递减且有下界的数列收敛。

单调有界数列逼近极限

这条定理提供“极限存在”的证明，不一定直接给出极限值。

例题：递推数列

设

a_1=1,\qquad a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}

我们猜它趋近 $2$ ，但要先证明。

证明上界

用归纳法证明 $a_n<2$ 。初值 $a_1=1<2$ 。若 $a_n<2$ ，则

a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt4=2

所以 $2$ 是上界。

证明单调

因 $a_n<2$ 且 $a_n>0$ ：

a_{n+1}\ge a_n

等价于

\sqrt{2+a_n}\ge a_n

两边平方：

2+a_n\ge a_n^2

即

(2-a_n)(a_n+1)\ge0

成立。因此数列单调递增且有上界，必收敛。

求极限

设极限为 $L$ 。递推函数连续，所以

L=\sqrt{2+L}

解得 $L=2$ 或 $L=-1$ 。由于各项为正，只能取

L=2

先证明收敛，再把极限代入递推式。直接解固定点方程只会得到“如果极限存在，它可能是什么”，并没有证明数列会靠近那个点。

证明递推数列收敛的模板

递推题通常按“范围、单调、极限”三步处理。

先找可能保持不变的区间

若

a_{n+1}=f(a_n)

并能证明 $f([m,M])\subseteq[m,M]$ ，那么只要 $a_1\in[m,M]$ ，所有后续项都留在这个区间。这叫不变区间。

再比较相邻两项

可以直接研究

a_{n+1}-a_n

的符号；也可以在 $f$ 单调时用归纳法。例如若已知 $a_2\ge a_1$ 且 $f$ 递增，那么

a_{n+1}=f(a_n)\ge f(a_{n-1})=a_n

从而数列单调递增。

最后使用连续性求极限

证明单调有界以后，设 $a_n\to L$ ，再代入

L=f(L)

并用不变区间排除不合适的根。

例题：分式递推

设

a_1=2,\qquad a_{n+1}=\frac{5a_n}{a_n+2}

固定点满足

L=\frac{5L}{L+2}

候选为 $L=0$ 或 $L=3$ 。

先证明 $2\le a_n<3$ 。初值成立。若 $2\le a_n<3$ ，则

\frac{5a_n}{a_n+2}\ge2

等价于 $3a_n\ge4$ ，成立；同时

\frac{5a_n}{a_n+2}<3

等价于 $2a_n<6$ ，也成立。

再看差：

a_{n+1}-a_n =\frac{a_n(3-a_n)}{a_n+2}>0

所以数列递增且上界为 $3$ ，必收敛。极限位于 $[2,3]$ ，因此只能是

L=3

这个例子完整展示了为什么固定点方程要放在收敛证明之后。

常见数列和增长速度

几何数列

a_n=ar^n

$|r|<1$ 时， $a_n\to0$ ；
$r=1$ 时， $a_n=a$ ；
$r=-1$ 且 $a\ne0$ 时振荡；
$|r|>1$ 且 $a\ne0$ 时绝对值无界。

多项式、指数与阶乘

长期增长速度满足

\ln n\ll n^p\ll a^n\ll n!

其中 $p>0$ 、 $a>1$ 。

常见增长速度层级

例如

\frac{5^n}{n!}\to0

可以看相邻项比值：

\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{5}{n+1}\to0

从某一项起，每一项至多是前一项的一半，因此快速趋零。

递推数列与稳定点

对

a_{n+1}=f(a_n)

若 $a_n\to L$ 且 $f$ 在 $L$ 连续，则

L=f(L)

这样的 $L$ 叫固定点。

但固定点可能稳定，也可能不稳定。粗略地说：

若 $|f'(L)|<1$ ，附近误差通常缩小；
若 $|f'(L)|>1$ ，附近误差通常放大。

递推数列固定点的稳定与不稳定

线性递推的误差法

设

a_{n+1}=ra_n+b,\qquad r\ne1

固定点为

L=\frac{b}{1-r}

定义误差 $e_n=a_n-L$ ，则

e_{n+1}=re_n

所以

e_n=r^{n-1}e_1

$|r|<1$ 时误差趋零， $a_n\to L$ ；
$|r|>1$ 时除非初值正好等于 $L$ ，误差会放大；
$r=-1$ 时误差来回变号，通常振荡。

与级数的连接

级数

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

不是直接研究 $a_n$ 的极限，而是研究部分和数列

S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n

是否收敛。

如果级数收敛，那么

a_N=S_N-S_{N-1}\to0

所以通项趋零是必要条件。但反过来不成立： $a_n=1/n\to0$ ，调和级数的部分和却发散。

下一章会把“无限相加”严格翻译成“部分和数列的极限”。

这也是本章最值得带走的习惯：前几项负责帮助观察，尾部性质负责完成证明，不能让图像代替论证。

常见误区

只算前几项就断言收敛。
把有界当作收敛； $(-1)^n$ 有界但不收敛。
把单调当作收敛； $a_n=n$ 单调却无界。
解出固定点就跳过收敛证明。
在递推极限方程中保留不符合范围的根。
认为序列图的连线就是连续函数。
混淆 $a_n\to0$ 与 $\sum a_n$ 收敛。

章末练习

写出数列 $3,7,11,15,\ldots$ 的通项。
求 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{4n^2+1}{2n^2-3n}$ 。
求 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos n}{\sqrt n}$ 。
判断 $a_n=(-1)^n\dfrac{n}{n+1}$ 是否收敛。
求 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^3}{2^n}$ 。
设 $a_1=0$ 、 $a_{n+1}=\dfrac{a_n+6}{3}$ ，求极限并说明收敛依据。
判断 $a_n=\sin(n\pi/2)$ 是否收敛。
设 $a_{n+1}=1.2a_n-1$ ，找固定点并判断它是否稳定。

a_n=4n-1

2

因 $|\cos n|\le1$ ：
$\left|\frac{\cos n}{\sqrt n}\right|\le\frac1{\sqrt n}\to0$
偶数项趋近 $1$ ，奇数项趋近 $-1$ ，所以发散。
指数增长快于多项式，极限为 $0$ 。也可连续使用洛必达或比较相邻项。
固定点满足 $L=(L+6)/3$ ，得 $L=3$ 。令 $e_n=a_n-3$ ，则 $e_{n+1}=e_n/3$ ，所以误差趋零， $a_n\to3$ 。
子数列周期出现 $0,1,0,-1$ ，有不同子数列极限，发散。
固定点为 $L=5$ 。误差满足 $e_{n+1}=1.2e_n$ ，除非 $a_1=5$ ，否则误差放大，固定点不稳定。

小结

下一章把每个 $a_n$ 累加成部分和 $S_N$ 。那时最重要的提醒是：项本身趋零，只是无限级数收敛的起点。

数列：无穷过程的第一语言

学习目标

无限列表，不是连续曲线

通项、递推和前几项

通项公式

递推定义

从列表猜通项的局限

数列极限：最终靠近一个数

用定义验证一个极限

极限运算法则

常用极限工具

有理式看最高次

夹逼定理

把数列看成函数取整数值

子数列：证明不收敛的利器

有界、单调与收敛

单调有界定理

例题：递推数列

证明上界

证明单调

求极限

更多极限例题

根式差要有理化

nnn 次方根看指数增长率

夹逼含振荡项

指数型极限

证明递推数列收敛的模板

先找可能保持不变的区间

再比较相邻两项

最后使用连续性求极限

例题：分式递推

常见数列和增长速度

几何数列

多项式、指数与阶乘

递推数列与稳定点

线性递推的误差法

与级数的连接

常见误区

章末练习

小结

数列：无穷过程的第一语言

学习目标

无限列表，不是连续曲线

通项、递推和前几项

通项公式

递推定义

从列表猜通项的局限

数列极限：最终靠近一个数

用定义验证一个极限

极限运算法则

常用极限工具

有理式看最高次

夹逼定理

把数列看成函数取整数值

子数列：证明不收敛的利器

有界、单调与收敛

单调有界定理

例题：递推数列

证明上界

证明单调

求极限

更多极限例题

根式差要有理化

nnn 次方根看指数增长率

夹逼含振荡项

指数型极限

证明递推数列收敛的模板

先找可能保持不变的区间

再比较相邻两项

最后使用连续性求极限

例题：分式递推

常见数列和增长速度

几何数列

多项式、指数与阶乘

递推数列与稳定点

线性递推的误差法

与级数的连接

常见误区

章末练习

小结

$n$ 次方根看指数增长率

$n$ 次方根看指数增长率