无穷级数：从部分和到收敛 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

无穷级数：从部分和到收敛

在上一章，数列帮助我们描述“一个无限列表会不会靠近某个数”。这一章把问题推进一步：如果把无限多个数相加，结果还能不能看作一个确定的数？

这不是一句形式上的话。有限和 $a_1+a_2+\cdots+a_n$ 总能一步步算出来，而无限和

a_1+a_2+a_3+\cdots

没有“最后一项”。因此，级数的核心问题不是把所有项真的加完，而是观察有限部分和在 $n$ 越来越大时会不会稳定下来。

部分和序列趋近极限的中文示意图

本章只讨论正项或一般实数项级数的入门部分：级数、部分和、几何级数、调和级数、 $p$ 级数和发散测试。更复杂的比较判别、积分判别、交错级数与绝对收敛会在下一章集中处理。

从有限相加到无限相加

先看一个普通的有限和：

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}

它的值是 $\frac{15}{8}$ 。如果继续加下去，

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots

直觉上这些项越来越小，似乎总和会靠近 $2$ 。但“似乎”还不是定义。微积分中把这个问题交给部分和序列处理。

对级数

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

定义第 $N$ 个部分和为

S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N=\sum_{n=1}^{N}a_n

这样，无穷级数的命运就变成了数列 $\{S_N\}$ 的命运。

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，意思是部分和序列 $\{S_N\}$ 收敛到某个有限数。这时我们把称为该级数的和，记作。

如果 $\{S_N\}$ 没有有限极限，级数就发散。发散不一定表示部分和越来越大，也可能是来回振荡，或者不断远离某个稳定值。判断级数时，真正被观察的对象是 $S_N$ ，不是单个项 $a_n$ 。

记号中的起点

级数可以从 $n=1$ 开始，也可以从 $n=0$ 或别的整数开始。例如

\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n

和

\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

表示同一个数列项的相加，只是下标写法不同。处理级数时要先看清楚第一项是什么，不要只盯着通项形式。

级数与部分和序列

把级数写成部分和序列，有两个好处。第一，它把“无限相加”转化为上一章已经熟悉的数列极限。第二，它让我们能用图像和表格观察收敛趋势。

例如

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}

的部分和依次为

S_1=\frac{1}{2}

S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

S_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

一般地，

S_N=1-\frac{1}{2^N}

所以

\lim_{N\to\infty}S_N=1

于是

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=1

不要把“项越来越小”直接翻译成“级数收敛”。项越来越小只是一个必要线索，还不能决定无限总和是否有限。调和级数会给出一个很重要的反例。

例题：用部分和定义判断一个级数

判断级数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}

是否收敛；若收敛，求它的和。

先把通项分解成容易相消的形式。因为

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

这个例子说明，部分和不是只用于定义。有些级数可以通过写出 $S_N$ 的闭式直接求和。

几何级数

几何级数是最先应该掌握的一类级数，因为它既能精确求和，又会在后续幂级数中反复出现。

形如

\sum_{n=0}^{\infty} ar^n=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots

的级数称为几何级数，其中 $a$ 是首项， $r$ 是公比。

几何级数面积分割示意图

当 $r\neq 1$ 时，前 $N+1$ 项部分和为

S_N=a+ar+\cdots+ar^N

两边乘以 $r$ ：

rS_N=ar+ar^2+\cdots+ar^{N+1}

相减得到

(1-r)S_N=a-ar^{N+1}

因此

S_N=\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}

当 $|r|<1$ 时， $r^{N+1}\to 0$ ，所以

\sum_{n=0}^{\infty} ar^n=\frac{a}{1-r}

当 $|r|\ge 1$ 时， $r^{N+1}$ 不趋向 $0$ 或不稳定，部分和没有有限极限。因此几何级数发散。

几何级数的判定可以记成一句话： $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 在 $|r|<1$ 时收敛，和为；在时发散。这里默认。

例题：识别首项和公比

求

\sum_{n=1}^{\infty}3\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}

的和。

先写出前几项：

3+3\cdot\frac{2}{5}+3\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^2+\cdots

例题：公比为负时

判断

\sum_{n=0}^{\infty}4\left(-\frac{3}{4}\right)^n

是否收敛；若收敛，求和。

这里 $a=4$ ， $r=-\frac{3}{4}$ 。虽然项的正负号交替变化，但 $|r|=\frac{3}{4}<1$ ，所以级数收敛。它的和是

\frac{4}{1-\left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{4}{\frac{7}{4}} = \frac{16}{7}

负公比不会自动导致发散。关键仍然是 $|r|$ 是否小于 $1$ 。

调和级数与 p 级数

几何级数的项以指数速度变小。调和级数的项也趋向 $0$ ，但速度慢得多：

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots

这就是调和级数。它发散。

调和级数部分和缓慢发散的示意图

一种经典解释是把项分组：

1+\frac{1}{2} +\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) +\cdots

每一组都至少有 $\frac{1}{2}$ ：

\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}

\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}> 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}

继续分组可以不断得到新的 $\frac{1}{2}$ 。因此部分和没有有限上界，调和级数发散。

调和级数是本章最重要的反例： $\frac{1}{n}\to 0$ ，但 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 发散。所以“通项趋近 0”不能作为收敛结论使用。

p 级数

调和级数属于更大的一类：

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

它称为 $p$ 级数。它的判定结论是：

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \quad \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & 0<p\le 1. \end{cases}

p 级数在 p=1 处分界的中文对比图

这个结论现在可以先作为常用事实记住。下一章学习积分判别法后，你会看到它和反常积分

\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx

的收敛性完全对应。

例题：判断 p 级数

判断下面两个级数的收敛性：

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}

第一个级数中 $p=\frac{3}{2}>1$ ，所以收敛。第二个级数可以写成

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}

这里 $p=\frac{1}{2}\le 1$ ，所以发散。

发散测试

如果级数

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

收敛，那么它的通项必须趋近 $0$ ：

\lim_{n\to\infty}a_n=0

理由很短。若 $S_N=a_1+\cdots+a_N$ ，则

a_N=S_N-S_{N-1}

如果 $S_N\to S$ ，那么 $S_{N-1}\to S$ ，于是

a_N=S_N-S_{N-1}\to S-S=0

这个必要条件反过来给出发散测试。

发散测试流程图

发散测试只能证明发散。若 $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ 或该极限不存在，则 $\sum a_n$ 发散；若，测试没有给出结论。

例题：先看通项极限

判断

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{5n-3}

是否收敛。

通项为

a_n=\frac{2n+1}{5n-3}

它的极限是

\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{5n-3}=\frac{2}{5}

由于通项不趋近 $0$ ，原级数发散。

例题：测试无结论的情形

判断发散测试能否处理

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

这里

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0

所以发散测试不能证明发散，也不能证明收敛。我们需要调用 $p$ 级数结论：因为 $p=2>1$ ，该级数收敛。

从图像看收敛

级数收敛时，部分和序列会在数轴或坐标平面上靠近一个有限位置。级数发散时，部分和可能持续上升、持续下降，也可能振荡而不稳定。

无穷级数概念地图

三种常见图像

第一种是几何级数式的快速稳定。例如

\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n

部分和很快靠近 $\frac{3}{2}$ ，后面的项只是在做越来越小的修正。

第二种是调和级数式的慢发散。它的项很小，部分和看起来增长很慢，但没有有限上界。用有限窗口观察时，这种发散最容易被误判为收敛。

第三种是通项不趋近 $0$ 的直接发散。例如

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}

每一项都接近 $1$ ，部分和自然会持续增加。

一个实用判断顺序

面对一个刚出现的级数，可以先按下面的顺序观察：

先看通项 $a_n$ 是否趋近 $0$ 。如果不趋近 $0$ ，直接发散。
再看是否是几何级数。如果是，检查 $|r|<1$ 。
再看是否是 $p$ 级数。如果是，检查。

这个顺序不是所有级数的完整算法，但它能避免很多入门错误。

常见误区

把通项极限当成级数的和

例如

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0

但

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

不是 $0$ ，而是发散。通项极限描述单个项，级数收敛描述部分和。

忘记几何级数的下标起点

级数

\sum_{n=1}^{\infty}2\left(\frac{1}{3}\right)^n

的第一项是 $\frac{2}{3}$ ，不是 $2$ 。它的和是

\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=1

如果误把首项当作 $2$ ，就会得到错误结果 $3$ 。

看到 $a_n\to 0$ 就停笔

发散测试的逻辑是单向的。它说“若通项不趋近 $0$ ，则级数发散”，没有说“若通项趋近 $0$ ，则级数收敛”。遇到 $a_n\to 0$ ，下一步应该寻找其他结构。

练习

写出级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n}$ 的前四个部分和，并求它的和。

这是几何级数，前四个部分和为

S_1=\frac{2}{3}

S_2=\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=\frac{8}{9}

判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5n}{2n+7}$ 的收敛性。

通项为

a_n=\frac{5n}{2n+7}

它的极限是

\lim_{n\to\infty}\frac{5n}{2n+7}=\frac{5}{2}

判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{0.9}}$ 和 $\sum_{n =}^{}$ 的收敛性。

它们都是 $p$ 级数。第一个级数 $p=0.9\le 1$ ，所以发散。第二个级数 $p=1.1>1$ ，所以收敛。

判断 $\sum_{n=0}^{\infty}7(-1.2)^n$ 是否收敛。

这是几何级数，首项 $a=7$ ，公比 $r=-1.2$ 。由于 $|r|=1.2>1$ ，几何级数发散。

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 的通项趋近 $0$ 。这能说明它收敛吗？

不能。通项趋近 $0$ 只是收敛的必要条件，不是充分条件。调和级数正是通项趋近 $0$ 但级数发散的例子。

本章小结

无穷级数的定义建立在部分和序列上。判断

\sum_{n=1}^{\infty}a_n

是否收敛，本质上是在判断

S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n

是否有有限极限。

几何级数是本章最重要的可求和模型：

\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1-r}

条件是 $|r|<1$ 。调和级数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

发散，说明项趋近 $0$ 不足以保证收敛。 $p$ 级数的分界是 $p=1$ ：当 $p>1$ 时收敛，当 $0<p\le 1$ 时发散。

最后，发散测试是最先检查的工具。如果通项不趋近 $0$ ，级数必发散；如果通项趋近 $0$ ，还要继续寻找几何级数、 $p$ 级数或下一章要学习的其他判别法。

\frac{a}{1 - r}

\frac{a}{1-r}

p>1

1

\infty

\frac{1}{n^{1.1}}

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1.1}}