反常积分与收敛 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

反常积分与收敛

定积分最初是在闭区间上定义的：区间长度有限，被积函数在区间上连续或至少有界。反常积分故意越过这条边界。它允许积分区间伸向无穷远，也允许函数在某些点附近无限增大。

这类积分的核心问题不是“能不能把 $\infty$ 代入原函数”，而是“把普通定积分推到极限时，面积是否趋近一个有限数”。如果趋近有限数，就说反常积分收敛；如果极限不存在或变成无穷大，就说它发散。

截断积分极限示意图，展示从下限 a 到截断点 T 的面积 A(T)，并令 T 趋于无穷判断反常积分收敛。

把上限先截到 $T$ ，得到普通定积分，再观察 $T$ 向无穷远移动时面积是否稳定。

从普通积分到反常积分

在微积分 I 中， $\int_a^b f(x)\,dx$ 的两个端点都是实数。只要 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，定积分就可以用黎曼和、面积或累积量解释。

当上限变成 $\infty$ 时，表达式

\int_a^\infty f(x)\,dx

本身还不是一个普通定积分。 $\infty$ 不是可以代入的数，也不是一个很大的端点。正确做法是先把右端截断到一个有限数 $T$ ：

A(T)=\int_a^T f(x)\,dx

然后研究 $A(T)$ 在 $T\to\infty$ 时的极限。

\int_a^\infty f(x)\,dx =\lim_{T\to\infty}\int_a^T f(x)\,dx

如果这个极限存在并且有限，反常积分收敛；否则发散。左端伸向负无穷时同理：

\int_{-\infty}^b f(x)\,dx =\lim_{T\to-\infty}\int_T^b f(x)\,dx

若两个端点都是无穷，必须选一个有限点 $c$ 把区间拆开。

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx+\int_c^\infty f(x)\,dx

这个定义要求左右两边都收敛。只要其中一边发散，整个积分就发散。

不要把 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$ 简单写成一个对称极限 $\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}f(x)\,dx$ 。对称极限可能因为正负面积抵消而存在，但反常积分的定义要求左右两边分别收敛。

例题：一条无限长尾巴也可能只有有限面积

判断

\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx

是否收敛，并求出它的值。

先把无穷上限换成有限截断点 $T$ ，得到普通定积分

\int_1^T \frac{1}{x^2}\,dx

同样是无限长区间，

\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx =\lim_{T\to\infty}\ln T

却发散。两条曲线都趋近于 $0$ ，但 $\frac{1}{x}$ 的尾部衰减得太慢，面积会一直增长。

对比 y=1/x 与 y=1/x² 在从 x=1 延伸到无穷远时的尾部面积，说明无限长区间的面积可能发散也可能有限。

函数趋近 $0$ 只是收敛的必要直觉，不是充分条件。尾部衰减速度才决定面积是否被压住。

无界点附近的反常积分

反常积分的另一种来源是函数在积分区间内无界。例如 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $x=0$ 附近无限增大，但

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

仍然可能有有限面积。正确处理方式是避开无界点，再取单侧极限。

如果 $f$ 在 $(a,b]$ 上连续，但在 $a$ 处无界，就定义

\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx

如果 $f$ 在 $[a,b)$ 上连续，但在 $b$ 处无界，就定义

\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx

如果无界点在区间内部，比如 $c\in(a,b)$ ，必须拆成两段：

\int_a^b f(x)\,dx =\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx

这两段都要分别收敛，整体才收敛。

例题：高度无限不等于面积无限

比较下面两个积分：

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \qquad \int_0^1 \frac{1}{x}\,dx

对第一个积分，

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-1/2}\,dx

=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[2\sqrt{x}\right]_{\varepsilon}^{1} =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(2-2\sqrt{\varepsilon}\right) =2

它收敛。对第二个积分，

\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(-\ln \varepsilon\right)

这个极限趋向 $+\infty$ ，所以发散。

并排两幅反常积分示意图，比较 y=1/√x 的有限面积与 y=1/x 的面积发散，突出 x=0 附近端点无界。

靠近无界点时，要看面积累积的极限，而不是只看函数高度是否变大。

反常积分的“反常”不在于符号复杂，而在于定义需要极限。每次看到无穷端点或无界点，都先问：我要把哪一端截开？我要取哪个单侧极限？

p 型积分

$p$ 型积分是反常积分中最常用的比较对象。它们像后面学习级数时的 $p$ 级数一样，提供了一把判断尾部衰减速度的尺子。

无穷远处的 p 型积分

考虑

\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx

当 $p\ne 1$ 时，

\int_1^T x^{-p}\,dx =\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^T =\frac{T^{1-p}-1}{1-p}

如果 $p>1$ ，则 $1-p<0$ ， $T^{1-p}\to 0$ ，所以积分收敛：

\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx =\frac{1}{p-1}

如果 $p<1$ ，则 $T^{1-p}\to\infty$ ，积分发散。临界情形 $p=1$ 是调和型积分：

\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim_{T\to\infty}\ln T

它也发散。

因此，

\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & p>1,\\ \text{发散}, & p\le 1. \end{cases}

原点附近的 p 型积分

再看

\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx

当 $p\ne 1$ 时，

\int_{\varepsilon}^{1}x^{-p}\,dx =\frac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}

如果 $p<1$ ，则 $\varepsilon^{1-p}\to0$ ，积分收敛；如果 $p>1$ ，则 $\varepsilon^{1-p}\to\infty$ ，积分发散。仍然发散。

所以，

\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & p<1,\\ \text{发散}, & p\ge 1. \end{cases}

p 型积分判别图，比较无穷远端与原点附近两类积分在 p=1 两侧的收敛和发散条件

同一个临界值 $p=1$ ，在无穷远和原点附近给出相反方向的判别。

例题：同时有无界点和无穷区间

判断

\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\,dx

是否收敛。

这个积分在 $x=0$ 处无界，右端又是无穷，所以必须拆开。例如取 $1$ 为分界点：

\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\,dx =\int_0^1 \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\,dx+\int_1^\infty \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\,dx

第一段中 $0<e^{-x}\le1$ ，所以

0\le \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\le \frac{1}{\sqrt{x}}

而 $\int_0^1 x^{-1/2}\,dx$ 收敛，所以第一段收敛。第二段中 $x\ge1$ 时 $\sqrt{x}\ge1$ ，于是

0\le \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\le e^{-x}

而 $\int_1^\infty e^{-x}\,dx$ 收敛，所以第二段也收敛。两段都收敛，原积分收敛。

比较判别法

很多反常积分无法方便地求出精确值，但我们只关心它是否收敛。比较判别法的思想很朴素：如果一个非负函数总在一个已知收敛函数的下方，那么它的面积也被压住；如果一个非负函数总在一个已知发散函数的上方，那么它的面积也会发散。

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上非负，并且从某个位置开始满足比较关系。

如果

0\le f(x)\le g(x)

且

\int_a^\infty g(x)\,dx

收敛，那么

\int_a^\infty f(x)\,dx

也收敛。

如果

0\le g(x)\le f(x)

且

\int_a^\infty g(x)\,dx

发散，那么

\int_a^\infty f(x)\,dx

也发散。

比较判别法示意图，左侧展示0≤f(x)≤g(x)且g面积有限时f面积被压住，右侧展示f(x)/g(x)趋近正数L时两函数同阶尾部一起收敛或一起发散。

比较法只需要从某个位置以后成立。有限区间上的面积不会改变无穷远处的收敛性。

例题：用上界证明收敛

判断

\int_1^\infty \frac{3+\sin x}{x^2+1}\,dx

是否收敛。

因为 $-1\le \sin x\le1$ ，所以

0\le 3+\sin x\le4

又因为 $x^2+1\ge x^2$ ，所以

0\le \frac{3+\sin x}{x^2+1}\le \frac{4}{x^2}

而

\int_1^\infty \frac{4}{x^2}\,dx

收敛。由比较判别法，原积分收敛。

例题：用下界证明发散

判断

\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx

是否收敛。

当 $x\ge1$ 时，

x^2+1\le 2x^2

因此

\sqrt{x^2+1}\le \sqrt{2}x

于是

\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}x}

右侧的积分是常数倍的调和型积分：

\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{2}x}\,dx

它发散。原函数在一个发散函数上方，所以原积分发散。

比较判别法最常见的错误是比较方向反了。要证明收敛，需要把目标函数放在一个已知收敛函数的下方；要证明发散，需要把目标函数放在一个已知发散函数的上方。

极限比较思想

有些函数很难直接比较大小，但尾部行为很像。例如

\frac{5x^2+1}{x^4-3x+10}

在 $x$ 很大时主要像 $\frac{5x^2}{x^4}=\frac{5}{x^2}$ 。极限比较把这个直觉写成可检验的条件。

设 $f(x)\ge0$ 、 $g(x)>0$ 。如果

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L

其中 $0<L<\infty$ ，那么

\int_a^\infty f(x)\,dx

与

\int_a^\infty g(x)\,dx

同收敛或同发散。

例题：同阶于 $1/x^2$

判断

\int_2^\infty \frac{5x^2+1}{x^4-3x+10}\,dx

是否收敛。

取比较函数

g(x)=\frac{1}{x^2}

计算比值：

\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{5x^2+1}{x^4-3x+10}\cdot x^2 =\frac{5x^4+x^2}{x^4-3x+10}

于是

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=5

这是一个正的有限数。因为 $\int_2^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ 收敛，原积分也收敛。

例题：同阶于 $1/x$

判断

\int_2^\infty \frac{x+3}{x^2+1}\,dx

是否收敛。

取

g(x)=\frac{1}{x}

则

\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{x+3}{x^2+1}\cdot x =\frac{x^2+3x}{x^2+1}

所以

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1

由于 $\int_2^\infty \frac{1}{x}\,dx$ 发散，原积分也发散。

极限比较的目标不是求积分值，而是识别尾部阶数。先看最高次项、最强衰减项或主导因子，再把它变成一个熟悉的比较函数。

概率密度中的尾部积分

反常积分在概率中自然出现。连续型随机变量的概率密度函数 $f(x)$ 需要满足

f(x)\ge0

以及

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1

如果随机变量只取非负值，比如等待时间、寿命或到达间隔，常见条件会写成

\int_0^\infty f(x)\,dx=1

这就是一个无穷区间上的反常积分。

指数密度曲线在无穷区间上总面积为 1，并用深色阴影标出从 t 到无穷的右尾概率。

概率密度的总面积必须是 $1$ ，右尾面积表示“超过某个阈值”的概率。

指数密度的右尾概率

设

f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge0,\quad \lambda>0

先检查总面积：

\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx =\lim_{T\to\infty}\int_0^T \lambda e^{-\lambda x}\,dx

=\lim_{T\to\infty}\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^T =\lim_{T\to\infty}\left(1-e^{-\lambda T}\right) =1

因此它确实可以作为概率密度。若要计算等待时间至少为 $t$ 的概率，就取右尾面积：

P(X\ge t)=\int_t^\infty \lambda e^{-\lambda x}\,dx =e^{-\lambda t}

概率密度还提醒我们一件事：总面积有限不代表所有相关积分都有限。例如

f(x)=\frac{1}{x^2},\qquad x\ge1

满足

\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=1

但它的期望需要计算

\int_1^\infty x\cdot \frac{1}{x^2}\,dx =\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx

这个积分发散。也就是说，一个分布可以有有限总概率，却有无限平均值。

解题路线

反常积分题目通常先判断“哪里反常”，再决定是计算极限还是用比较。

先找反常来源。端点是否是 $\pm\infty$ ？被积函数是否在端点或内部某点无界？如果有多个反常点，要逐一拆开。

能直接积分时，先把反常积分改写成有限截断积分的极限，再计算极限。不要跳过截断步骤。

不能直接积分或只需要判断收敛性时，寻找熟悉的比较对象，优先考虑 $1/x^p$ 、、和有理函数的最高次项。

常见误区

函数趋近 $0$ 并不能保证反常积分收敛。 $\frac{1}{x}$ 趋近 $0$ ，但 $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$ 发散。

无界函数不一定导致积分发散。 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $0$ 附近无界，但收敛。

遇到内部无界点时，不能把左右两边直接合成一个极限。必须分别考察左右两段，因为一侧发散就足以让整个积分发散。

练习

判断下列反常积分是否收敛；若容易求值，求出积分值。

练习 1

\int_2^\infty \frac{1}{x^3}\,dx

这是无穷远处的 $p$ 型积分， $p=3>1$ ，所以收敛。直接计算：

\int_2^\infty x^{-3}\,dx =\lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{2x^2}\right]_2^T =\frac{1}{8}

练习 2

\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

这是 $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ ，其中 $p=\frac{1}{2}\le1$ ，所以发散。

练习 3

\int_0^1 \frac{1}{x^{3/4}}\,dx

这是原点附近的 $p$ 型积分， $p=\frac{3}{4}<1$ ，所以收敛。计算得到

\int_{0}^{1} x^{- 3 / 4} d x = \lim_{ε \to 0^{+}} {[4 x^{1 / 4}]}_{}^{}

练习 4

\int_0^1 \frac{1}{x^{5/4}}\,dx

这是原点附近的 $p$ 型积分， $p=\frac{5}{4}\ge1$ ，所以发散。

练习 5

\int_1^\infty \frac{2+\cos x}{x^3+1}\,dx

有 $0\le 2+\cos x\le3$ ，且 $x^3+1\ge x^3$ ，所以

练习 6

\int_2^\infty \frac{x^2+4}{x^3+x}\,dx

取 $g(x)=\frac{1}{x}$ 。有

\frac{\frac{x^2+4}{x^3+x}}{\frac{1}{x}} =\frac{x^3+4x}{x^3+x}\to1

练习 7

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx

需要拆开，例如在 $0$ 处分成两段。两段都可直接求：

\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}

练习 8

\int_0^\infty \frac{1}{x+1}\,dx

该函数在 $[0,\infty)$ 上没有无界点，但区间无限。计算截断积分：

\int_0^T \frac{1}{x+1}\,dx=\ln(T+1)

小结

反常积分把普通定积分放进极限框架中。无穷区间要截断端点，无界点要避开奇点，多个反常点要逐段检查。

$p$ 型积分是最重要的参照物。无穷远处， $\int_1^\infty 1/x^p\,dx$ 在 $p>1$ 时收敛；原点附近，在时收敛。

比较判别法让我们不必总是求出积分值。只要能把目标函数与熟悉函数的面积关系说清楚，就能判断收敛或发散。这种思想会在后面的无穷级数中再次出现，而且会成为级数判别法的基础。

ε

1

=

4

\int_0^1 x^{-3/4}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[4x^{1/4}\right]_{\varepsilon}^{1} =4

反常积分与收敛

从普通积分到反常积分

例题：一条无限长尾巴也可能只有有限面积

无界点附近的反常积分

例题：高度无限不等于面积无限

p 型积分

无穷远处的 p 型积分

原点附近的 p 型积分

例题：同时有无界点和无穷区间

比较判别法

例题：用上界证明收敛

例题：用下界证明发散

极限比较思想

例题：同阶于 1/x21/x^21/x2

例题：同阶于 1/x1/x1/x

概率密度中的尾部积分

指数密度的右尾概率

解题路线

常见误区

练习

练习 1

练习 2

练习 3

练习 4

练习 5

练习 6

练习 7

练习 8

小结

例题：同阶于 $1/x^2$

例题：同阶于 $1/x$