部分分式与积分策略 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

部分分式与积分策略

前几章我们已经见过换元法、分部积分、三角积分和三角代换。到了这一章，问题开始变得更像真实的积分题：同一个被积函数可能同时带有代数结构、乘积结构、复合结构，甚至一开始看不出应该用哪一种方法。

本章先处理一类很有代表性的对象：有理函数，也就是多项式除以多项式。它的积分重点不在“背一个新公式”，而在于先把代数结构拆开。部分分式的作用，就是把一个复杂分母下的整体分式，拆成若干个简单分式，使每一项都能用对数、幂函数或反正切来积分。

有理函数积分策略信息图，从有理函数经过次数检查和多项式长除，整理为真分式后进入部分分式分解

学完部分分式之后，我们会把前几章的技巧放回同一张策略图里。面对一个新积分，先问“它是什么结构”，再决定“先动哪一步”，这比机械套最近学过的方法更可靠。

有理函数要先看次数

有理函数是形如

\frac{P(x)}{Q(x)}

的函数，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，并且 $Q(x)\ne 0$ 。部分分式分解不是对所有有理函数直接开工。第一步必须检查次数：

\deg P(x) < \deg Q(x)

时，分式叫做真分式，可以直接考虑部分分式。若

\deg P(x) \ge \deg Q(x)

则它是假分式，要先做多项式长除，把它写成

\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}

其中 $S(x)$ 是多项式，余式 $R(x)$ 满足

\deg R(x) < \deg Q(x)

然后只对后面的真分式做部分分式分解。

部分分式的入口是“真分式”。如果分子次数不低于分母次数，先长除；跳过这一步常会让后面的待定系数形式写错，或者多出本来应该先积分掉的多项式部分。

长除例题

计算

\int \frac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx

这里分子次数为 $2$ ，分母次数为 $1$ ，不能直接做部分分式。先长除：

\frac{x^2+3x+5}{x+1} = x+2+\frac{3}{x+1}

因此

\int \frac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx = \int \left(x+2+\frac{3}{x+1}\right)\,dx

得到

\int \frac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx = \frac{x^2}{2}+2x+3\ln|x+1|+C

这个例子没有复杂的分母分解，却说明了一个很常见的顺序：先把有理函数整理成“多项式部分 + 真分式部分”。多项式部分直接积分，真分式部分再看分母结构。

分母结构决定分解形式

部分分式的核心是：先把分母因式分解，再按每个因子的类型写出对应的简单分式。

部分分式结构图，展示整体分母拆成线性因子项和不可约二次因子项

如果分母已经分解为若干个因子，每个因子都要在右边出现。右边的分子形式不能随意写，它由分母因子的次数决定。

分母类型决定分子形式的四栏教学表，比较线性因子、重复线性因子、不可约二次因子和重复二次因子的部分分式分子形式

不重复线性因子

若分母含有互不相同的线性因子，例如

Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)

则写成

\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}

每个线性因子上方只需要一个常数。

计算

\int \frac{3x}{(x-2)(x+1)}\,dx

先设

\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}

通分后得到

3x=A(x+1)+B(x-2)

代入 $x=2$ ：

6=3A

所以 $A=2$ 。代入 $x=-1$ ：

-3=-3B

所以 $B=1$ 。于是

\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{x-2}+\frac{1}{x+1}

积分为

\int \frac{3x}{(x-2)(x+1)}\,dx =2\ln|x-2|+\ln|x+1|+C

重复线性因子

若分母含有重复线性因子，例如 $(x-a)^3$ ，不能只写一个

\frac{A}{(x-a)^3}

而要从一次幂写到三次幂：

\frac{A_1}{x-a} +\frac{A_2}{(x-a)^2} +\frac{A_3}{(x-a)^3}

例如

\frac{2x+5}{(x+1)^2} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}

通分得到

2x+5=A(x+1)+B

比较系数可得 $A=2$ ， $B=3$ ，所以

\int \frac{2x+5}{(x+1)^2}\,dx = \int \left(\frac{2}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}\right)\,dx

即

\int \frac{2x+5}{(x+1)^2}\,dx =2\ln|x+1|-\frac{3}{x+1}+C

注意第二项不是对数。只有一次幂分母 $\frac{1}{x-a}$ 积分为对数；更高次幂按幂函数规则积分。

不可约二次因子

有些二次多项式在实数范围内不能分解为两个线性因子。例如

x^2+1

在实数范围内不可约。若分母含有不可约二次因子，分子必须写成一次式：

\frac{Bx+C}{x^2+px+q}

原因很简单：分子次数必须比分母次数低。二次分母的“低一阶”就是一次式，而不是常数。

例如

\frac{2x^2+3x+4}{(x+1)(x^2+1)} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}

通分后

2x^2+3x+4 =A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1)

展开右边：

2x^2+3x+4 =(A+B)x^2+(B+C)x+(A+C)

比较系数得到

\begin{cases} A+B=2\\ B+C=3\\ A+C=4 \end{cases}

解得

A=\frac{3}{2},\quad B=\frac{1}{2},\quad C=\frac{5}{2}

因此

\frac{2x^2+3x+4}{(x+1)(x^2+1)} =\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x+1} +\frac{\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}{x^2+1}

积分为

\int \frac{2x^2+3x+4}{(x+1)(x^2+1)}\,dx =\frac{3}{2}\ln|x+1| +\frac{1}{4}\ln(x^2+1) +\frac{5}{2}\arctan x+C

这里的二次因子产生了两个不同来源： $\frac{x}{x^2+1}$ 给出对数， $\frac{1}{x^2+1}$ 给出反正切。

待定系数怎样求

写出部分分式形式之后，剩下的代数任务是求待定系数。常用方法有两类：代入特殊值和比较系数。

部分分式待定系数中代入特殊值与比较系数两种方法的中文板书对比

代入特殊值

当分母有不重复线性因子时，代入使某个因子为零的 $x$ 值，可以快速消去其他项。

以前面的分解为例：

3x=A(x+1)+B(x-2)

代入 $x=2$ 会消去含 $B$ 的项，代入 $x=-1$ 会消去含 $A$ 的项。这个方法快，但它主要适合不重复线性因子。遇到重复因子或不可约二次因子时，通常还需要比较系数。

比较系数

比较系数是最稳的方法。通分后，两边都是多项式。若它们对所有允许的 $x$ 都相等，则对应幂次的系数必须相等。

先写出完整的部分分式形式，保证每个重复因子逐幂出现，不可约二次因子的分子写成一次式。

两边同乘原分母，把分式恒等式变成多项式恒等式。

展开并按 $x$ 的幂次整理右边，不急着积分。

“代入特殊值”和“比较系数”不是互斥的。实际计算时常常先用特殊值求出一部分系数，再用比较系数补齐剩下的系数。

部分分式积分的三种结局

一旦分解完成，积分就变成若干个熟悉小块。

线性因子给出对数

最基本的形式是

\int \frac{A}{x-a}\,dx=A\ln|x-a|+C

如果线性因子前有系数，例如 $3x-2$ ，则可以把常数因子处理进去：

\int \frac{A}{3x-2}\,dx=\frac{A}{3}\ln|3x-2|+C

重复线性因子的高次项给出幂函数

对于 $k\ge 2$ ，

\int \frac{A}{(x-a)^k}\,dx =A\int (x-a)^{-k}\,dx

因此

\int \frac{A}{(x-a)^k}\,dx =\frac{A(x-a)^{-k+1}}{-k+1}+C

只有 $k=1$ 的那一项是对数。

不可约二次因子给出对数和反正切

不可约二次因子分式积分分解为对数项与反正切项的中文流程图

当出现

\int \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}\,dx

时，一个常用思路是把分子拆成两部分：一部分与分母的导数成比例，另一部分通过配方转化为反正切形式。

例如

\int \frac{2x+5}{x^2+4x+8}\,dx

分母导数是 $2x+4$ 。把分子写成

2x+5=(2x+4)+1

于是

\int \frac{2x+5}{x^2+4x+8}\,dx =\int \frac{2x+4}{x^2+4x+8}\,dx +\int \frac{1}{x^2+4x+8}\,dx

第一项是对数：

\int \frac{2x+4}{x^2+4x+8}\,dx =\ln(x^2+4x+8)

第二项先配方：

x^2+4x+8=(x+2)^2+4

因此

\int \frac{1}{x^2+4x+8}\,dx =\int \frac{1}{(x+2)^2+2^2}\,dx

得到

\int \frac{1}{(x+2)^2+2^2}\,dx =\frac{1}{2}\arctan\frac{x+2}{2}+C

所以

\int \frac{2x+5}{x^2+4x+8}\,dx =\ln(x^2+4x+8)+\frac{1}{2}\arctan\frac{x+2}{2}+C

交互：部分分式实验室

下面的实验室把部分分式的流程拆成可点击的步骤。建议先选择一个例子，只看第一步，自己在纸上写出下一步，再展开核对。

积分策略总览

部分分式是有理函数的强力工具，但它不是所有积分的默认答案。一个更稳的策略是先观察结构，再决定入口。

积分策略总览：先观察被积函数结构，再选择合适的积分技巧

可以按下面的顺序检查。

先化简

很多积分一开始看起来复杂，是因为被积函数还没有整理。常见化简包括展开、因式分解、约分、拆项、三角恒等变形和多项式长除。

例如

\int \frac{x^3}{x^2+1}\,dx

如果急着寻找新技巧，会觉得它不像基本公式。先长除：

\frac{x^3}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}

于是

\int \frac{x^3}{x^2+1}\,dx =\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C

再试简单换元

若被积函数里同时出现一个表达式和它的导数影子，先考虑换元。

例如

\int x\ln(x^2+1)\,dx

它看起来是乘积，容易让人马上想到分部积分。但令

u=x^2+1

则

du=2x\,dx

原积分变成

\frac{1}{2}\int \ln u\,du

这时才对 $\ln u$ 做一次分部积分，计算会比直接在 $x$ 上做分部积分更清楚：

\int x\ln(x^2+1)\,dx =\frac{1}{2}\left((x^2+1)\ln(x^2+1)-(x^2+1)\right)+C

乘积结构考虑分部积分

如果被积函数是多项式与指数、三角函数、对数或反三角函数的乘积，并且没有明显简单换元，分部积分常常合适。例如

\int x e^x\,dx

中， $x$ 求导会变简单， $e^x$ 容易积分。第 4 章的 $u$ 与 $dv$ 选择原则在这里继续有效。

三角幂和根式看三角技巧

若出现 $\sin^m x\cos^n x$ 、 $\tan^m x\sec^n x$ 这样的三角幂，先回到第 5 章的恒等式策略。若出现

\sqrt{a^2-x^2},\quad \sqrt{a^2+x^2},\quad \sqrt{x^2-a^2}

这类根式，三角代换往往能把根式整理掉。

有理函数再进入部分分式

若被积函数是多项式除以多项式，先检查次数，必要时长除，再对真分式做部分分式。若它不是直接的有理函数，但换元后变成有理函数，也可以在新变量中用部分分式。

例如

\int \frac{e^x}{e^{2x}-1}\,dx

令

u=e^x

则 $du=e^x\,dx$ ，积分变为

\int \frac{1}{u^2-1}\,du

这就是部分分式问题。

承认非初等或改用近似

有些积分没有初等原函数，例如

\int e^{-x^2}\,dx

和

\int \frac{\sin x}{x}\,dx

在这种情况下，目标通常会改变：如果是定积分，可以用数值积分；如果需要函数近似，后面会用幂级数和泰勒级数处理。

积分策略不是一串死规则，而是一种检查顺序：先整理结构，再试简单换元，最后才动用较重的技巧。一个题目可能需要两种方法连续使用。

交互：积分策略诊断器

下面的诊断器适合用来练“先观察结构”。选择一个被积函数后，先自己判断第一步，再查看工具给出的理由。

混合题示范

本节用几个题目展示“先诊断，再计算”的节奏。

先换元再部分分式

计算

\int \frac{e^x}{e^{2x}+3e^x+2}\,dx

先观察到分母是 $e^x$ 的多项式，而分子正好有 $e^x\,dx$ 。令 $u=e^x$ ，则。

这里的关键不是“看到指数就换元”这一句话，而是看到整个分母都是 $e^x$ 的代数表达式，分子又刚好提供了 $du$ 。

先长除再部分分式

计算

\int \frac{x^3+2x^2+x+3}{x^2+x}\,dx

分子次数高于分母次数，先长除。因为

x^2+x=x(x+1)

长除得

\frac{x^3+2x^2+x+3}{x^2+x} =x+1+\frac{3}{x(x+1)}

只需分解余下真分式：

\frac{3}{x(x+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}

通分：

3=A(x+1)+Bx

代入 $x=0$ 得 $A=3$ ，代入 $x=-1$ 得 $B=-3$ 。所以

\frac{3}{x(x+1)} =\frac{3}{x}-\frac{3}{x+1}

于是

\int \frac{x^3+2x^2+x+3}{x^2+x}\,dx =\int \left(x+1+\frac{3}{x}-\frac{3}{x+1}\right)\,dx

结果为

\int \frac{x^3+2x^2+x+3}{x^2+x}\,dx =\frac{x^2}{2}+x+3\ln|x|-3\ln|x+1|+C

先识别非初等

考虑

\int \frac{\sin x}{x}\,dx

这个积分不是有理函数，也没有简单换元能把 $dx$ 搭配完整。它不是分部积分或三角恒等式能初等解决的典型题。若题目要求定积分，例如

\int_0^1 \frac{\sin x}{x}\,dx

通常转向数值近似或后续的级数方法。能识别“此路不通”也是积分策略的一部分。

常见错误

忘记先长除

看到

\frac{x^3+1}{x^2-1}

就直接写部分分式，通常会漏掉多项式部分。先检查次数，可以避免这个错误。

重复因子只写最高次

对于

\frac{P(x)}{(x-2)^3}

右边必须有

\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}

只写最后一项会让待定系数数量不足，无法表示一般分子。

二次因子的分子写成常数

对于不可约二次因子 $x^2+1$ ，应写

\frac{Bx+C}{x^2+1}

若只写 $\frac{C}{x^2+1}$ ，就会漏掉产生对数项的可能。

把所有项都积分成对数

只有

\frac{1}{x-a}

型项积分为对数。像

\frac{1}{(x-a)^2}

应该按幂函数积分，结果含有 $-\frac{1}{x-a}$ 。

不回到原变量

如果先令 $u=e^x$ ，最后的答案不能停在 $u$ 。除非题目明确允许，否则必须把 $u$ 换回 $x$ 。

部分分式的错误往往不是积分错误，而是代数分解错误。积分前最好把分解式通分检查一次：右边是否真的回到原来的分子。

练习

基础分解

计算

\int \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx

设

\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}

重复线性因子

计算

\int \frac{x+4}{(x-2)^2}\,dx

设

\frac{x+4}{(x-2)^2} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}

先长除

计算

\int \frac{x^2+1}{x-1}\,dx

先长除：

\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}

不可约二次因子

计算

\int \frac{x+3}{x^2+2x+5}\,dx

分母导数是 $2x+2$ 。先把分子拆成

x+3=\frac{1}{2}(2x+2)+2

线性与二次因子混合

计算

\int \frac{x^2+2}{x(x^2+1)}\,dx

设

\frac{x^2+2}{x(x^2+1)} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}

换元后做部分分式

计算

\int \frac{e^x}{e^{2x}-4}\,dx

令 $u=e^x$ ，则 $du=e^x\,dx$ 。原积分变为

\int \frac{1}{u^2-4}\,du =\int \frac{1}{(u-2)(u+2)}\,du

策略判断

判断下面积分第一步更适合做什么：

\int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx

第一步更适合简单换元，而不是三角代换。令

u=x^2+9

则 $du=2x\,dx$ ，原积分变为

\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du

找出错误

某同学把

\frac{1}{x(x-1)^2}

写成

\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)^2}

问题在哪里？

重复因子 $(x-1)^2$ 必须逐幂出现，所以应写成

\frac{1}{x(x-1)^2} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}

小结

部分分式把有理函数积分转化为代数分解问题。先检查次数，必要时长除；再按分母因子类型写出完整分解形式；最后通分求系数并逐项积分。

积分策略的共同原则是先观察结构。能化简就先化简，能简单换元就先换元；乘积结构考虑分部积分，三角幂与根式回到三角技巧，有理函数进入部分分式。若一个积分没有初等原函数，也不必硬凑技巧，后续的数值积分和级数方法会提供新的处理方式。