三角积分与三角代换 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

三角积分与三角代换

这一章处理两类看起来相近、实际入口不同的积分。第一类是被积函数已经由三角函数组成，例如 $\sin^m x\cos^n x$ 或 $\tan^m x\sec^n x$ 。这时问题不是“要不要换成三角函数”，而是怎样用恒等式把它拆到普通换元能接住的形态。

第二类是被积函数含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ 、 $\sqrt{a^2+x^2}$ 、这样的根式。根式背后藏着勾股恒等式，所以我们把写成、或，让根式先变成一个三角函数，再回到前一类问题。

三角积分与三角代换的章节路线图

三角积分处理“已经是三角函数”的幂乘积；三角代换处理“可以被勾股恒等式打开”的根式。

本章要抓住的结构

三角积分最常用的恒等式来自同一个源头：

\sin^2 x+\cos^2 x=1

由它可以推出：

1+\tan^2 x=\sec^2 x,\qquad \sec^2 x-1=\tan^2 x

当幂次都是偶数时，还要用降幂公式：

\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}

以及积化倍角公式：

\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}

这些公式在本章里不是孤立记忆点。它们的作用是把被积函数改写成两种容易积分的形态：一种保留某个函数的导数因子，另一种把偶次三角幂降成更低的角度表达式。

判断三角积分时，先不要急着展开。先问一句：被积函数里有没有某个函数的导数因子？如果有，就把剩余部分改写成换元变量的多项式；如果没有，再考虑降幂公式。

本章学完后，你应能完成四件事：识别 $\sin^m x\cos^n x$ 的奇偶幂策略；识别 $\tan^m x\sec^n x$ 的导数配对；为三类根式选择正确三角代换；在最后用代换三角形把答案写回。

正弦与余弦幂的积分

考虑一般形式：

I_{m,n}=\int \sin^m x\cos^n x\,dx

这里 $m,n$ 通常是非负整数。处理这类积分时，关键是看 $m$ 与 $n$ 的奇偶。

sin 与 cos 幂乘积的奇偶指数策略

奇次幂提供换元所需的导数因子；偶次幂通常需要降幂公式。

有奇次幂时保留一个因子

如果 $\sin x$ 的幂是奇数，就保留一个 $\sin x$ ，把其余的 $\sin^2 x$ 改写成 $1-\cos^2 x$ ：

\sin^m x=(\sin^2 x)^{(m-1)/2}\sin x=(1-\cos^2 x)^{(m-1)/2}\sin x

随后令 $u=\cos x$ ，因为 $du=-\sin x\,dx$ 。

如果 $\cos x$ 的幂是奇数，就保留一个 $\cos x$ ，把其余的 $\cos^2 x$ 改写成 $1-\sin^2 x$ ：

\cos^n x=(\cos^2 x)^{(n-1)/2}\cos x=(1-\sin^2 x)^{(n-1)/2}\cos x

随后令 $u=\sin x$ ，因为 $du=\cos x\,dx$ 。

如果两个幂次都是奇数，两种保留方式都能做。通常保留幂次较小的那一类会让展开稍短一些，但正确性不依赖这个偏好。

求积分：

\int \sin^3 x\cos^4 x\,dx

先看奇偶。 $\sin x$ 的幂为 $3$ ，是奇数； $\cos x$ 的幂为 $4$ ，是偶数。因此保留一个 $\sin x$ ，把剩下的换成。

两个幂次都为偶数时使用降幂

当 $m,n$ 都是偶数时，保留一个 $\sin x$ 或 $\cos x$ 都不能直接形成普通换元。此时使用降幂公式，把平方降成含有 $2x$ 的表达式。

求积分：

\int \sin^2 x\cos^2 x\,dx

一种干净做法是先把乘积看成整体：

\sin^2 x\cos^2 x=(\sin x\cos x)^2=\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2

继续降幂：

\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\sin^2 2x=\frac{1}{8}(1-\cos 4x)

所以：

\int \sin^2 x\cos^2 x\,dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C

偶次幂题常见错误是强行保留一个因子。例如把 $\sin^2 x\cos^2 x$ 拆成 $\sin x(\sin x\cos^2 x)$ 并令，剩下的并不能自然改写成的多项式。奇偶判断要先于换元。

正切与正割幂的积分

另一组常见三角积分是：

J_{m,n}=\int \tan^m x\sec^n x\,dx

这里的核心不是 $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ 本身，而是导数配对：

\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x,\qquad \frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x

tan 与 sec 幂乘积的换元策略

判断 $\tan^m x\sec^n x$ 时，先看能否保留 $\sec^2 x\,dx$ 或 $\sec x\tan x\,dx$ 。

正割偶次时令 $u=\tan x$

如果 $\sec x$ 的幂次 $n$ 是偶数，并且 $n\ge 2$ ，就保留一个 $\sec^2 x$ 。剩余的 $\sec^2 x$ 可用改写：

\sec^2 x=1+\tan^2 x

求积分：

\int \tan^4 x\sec^2 x\,dx

令 $u=\tan x$ ， $du=\sec^2 x\,dx$ ，于是：

\int \tan^4 x\sec^2 x\,dx=\int u^4\,du=\frac{u^5}{5}+C

代回可得：

\int \tan^4 x\sec^2 x\,dx=\frac{\tan^5 x}{5}+C

正切奇次且有正割因子时令 $u=\sec x$

如果 $\tan x$ 的幂次 $m$ 是奇数，并且被积函数中至少有一个 $\sec x$ ，就保留 $\sec x\tan x\,dx$ 。剩余的 $\tan^2 x$ 用改写：

\tan^2 x=\sec^2 x-1

求积分：

\int \tan^3 x\sec^5 x\,dx

因为 $\tan x$ 是奇次且有 $\sec x$ 因子，保留 $\sec x\tan x\,dx$ ，把剩下的 $\tan^2 x$ 换成。

两个特殊基本积分

有些题会化到 $\int \tan x\,dx$ 或 $\int \sec x\,dx$ ，这两个需要单独记住：

\int \tan x\,dx=\ln|\sec x|+C=-\ln|\cos x|+C

\int \sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C

csc 与 cot 的搭配和 sec 与 tan 类似。通常先把 $\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x$ 、 $\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$ 写出来，再照同样思路判断。

三角代换的三种基本形状

三角代换把代数根式变成三角函数。它最适合根式中出现两个平方项，并且这两个平方项能和勾股恒等式对应起来。

三类根式与三角代换的对应关系

三类根式分别对应 $\sin\theta$ 、 $\tan\theta$ 、 $\sec\theta$ 的勾股恒等式。

常用对应关系如下：

根式结构	推荐代换	根式化简	使用的恒等式
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin\theta$

表中把根式直接化成 $a\cos\theta$ 、 $a\sec\theta$ 、 $a\tan\theta$ ，默认已经选择了合适的 $\theta$ 区间，让这些量非负。做不定积分时，通常在一个区间上讨论；做定积分时，代换后的上下限会帮你固定这个区间。

三角代换不是根式题的第一反应。如果根式内部的导数已经在旁边，例如 $\int x\sqrt{9-x^2}\,dx$ ，普通换元 $u=9-x^2$ 更直接。三角代换适合普通换元缺少关键因子的情形。

用三角代换计算根式积分

先看最典型的圆形根式：

\int \sqrt{9-x^2}\,dx

这里 $9-x^2=3^2-x^2$ ，对应 $x=3\sin\theta$ 。

写出代换和微分：

x=3\sin\theta,\qquad dx=3\cos\theta\,d\theta

同时根式变为：

\sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{}

这个结果也有几何意味： $\sqrt{9-x^2}$ 是半径为 $3$ 的上半圆，积分计算的是圆弓形面积。三角代换相当于用圆心角 $\theta$ 来描述横坐标。

含有 $\sqrt{x^2+a^2}$ 的例子

求积分：

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\,dx

根式是 $\sqrt{x^2+2^2}$ ，令 $x=2\tan\theta$ 。于是：

dx=2\sec^2\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{x^2+4}=2\sec\theta

原积分变为：

\int \frac{2\sec^2\theta}{2\sec\theta}\,d\theta=\int \sec\theta\,d\theta

所以：

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C

由 $x=2\tan\theta$ 得 $\tan\theta=x/2$ ，且 $\sec\theta=\sqrt{x^2+4}/2$ 。代回后常数可吸收，得到：

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\ln|x+\sqrt{x^2+4}|+C

含有 $\sqrt{x^2-a^2}$ 的例子

在 $x>3$ 的区间上求积分：

\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\,dx

令 $x=3\sec\theta$ ，则：

dx=3\sec\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{x^2-9}=3\tan\theta

原积分变为：

\int \frac{3\tan\theta}{3\sec\theta}\cdot 3\sec\theta\tan\theta\,d\theta =3\int \tan^2\theta\,d\theta

因为 $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ ，所以：

3\int \tan^2\theta\,d\theta=3\tan\theta-3\theta+C

从代换三角形可知 $\tan\theta=\sqrt{x^2-9}/3$ ，且 $\theta=\arccos(3/x)$ 。因此：

\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\,dx=\sqrt{x^2-9}-3\arccos\frac{3}{x}+C,\qquad x>3

代换三角形与回代

三角代换之后，答案中可能出现 $\sin\theta$ 、 $\cos\theta$ 、 $\tan\theta$ 、 $\sec\theta$ ，甚至单独的 $\theta$ 。回代的稳妥做法是画直角三角形，把每个三角函数都写成关于 $x$ 的表达式。

用代换三角形完成回代

以 $x=a\sin\theta$ 为例，三角形直接给出 $\sin\theta$ 、 $\cos\theta$ 、 $\tan\theta$ 与 $x$ 的关系。

以 $x=a\sin\theta$ 为例：

\sin\theta=\frac{x}{a}

对应的直角三角形中，斜边为 $a$ ，对边为 $x$ ，邻边为 $\sqrt{a^2-x^2}$ 。于是：

\cos\theta=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a},\qquad \tan\theta=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}

如果答案里出现单独的 $\theta$ ，就用反三角函数回代：

\theta=\arcsin\frac{x}{a}

做定积分时还有另一种选择：把上下限也换成 $\theta$ ，最后就不需要再把 $\theta$ 换回 $x$ 。例如：

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx

令 $x=2\sin\theta$ 。当 $x=0$ 时 $\theta=0$ ；当 $x=1$ 时 $θ = π / 6$ 。并且，。因此：

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx =\int_0^{\pi/6}1\,d\theta =\frac{\pi}{6}

定积分中不要混用上下限。若已经把 $x$ 换成 $\theta$ ，上下限也必须换成 $\theta$ ；若保留原来的 $x$ 上下限，就必须先把原函数完整回代到 $x$ 。

先配方再代换

有些根式不是直接写成 $a^2-x^2$ 、 $a^2+x^2$ 或 $x^{2} -$ ，但通过配方可以变成其中一种。

例如：

\int \frac{1}{\sqrt{6x-x^2}}\,dx

先配方：

6x-x^2=9-(x-3)^2

于是令 $u=x-3$ ，积分变为：

\int \frac{1}{\sqrt{9-u^2}}\,du

这对应 $u=3\sin\theta$ ，也可以直接识别为反正弦型积分：

\int \frac{1}{\sqrt{9-u^2}}\,du=\arcsin\frac{u}{3}+C

代回 $u=x-3$ ：

\int \frac{1}{\sqrt{6x-x^2}}\,dx=\arcsin\frac{x-3}{3}+C

三角代换的完整工作流程

完整题目通常要经历整理形状、选择代换、化成三角积分、积分、回代和检查区间。

方法选择与常见错误

面对一道题，可以按下面顺序判断。

先做代数整理。分母能约分、根式能配方、三角函数能化成同一组函数时，先整理。
如果被积函数是 $\sin^m x\cos^n x$ ，先看正弦或余弦是否有奇次幂。
如果被积函数是 $\tan^m x\sec^n x$ ，先看能否保留或。

常见错误可以归纳为四类。第一类是保留错因子，例如该保留 $\sec^2 x$ 时只保留 $\sec x$ 。第二类是恒等式方向错，例如把 $\tan^2 x$ 写成 $1-\sec^2 x$ 。第三类是忘记的变化，导致代换后少一个因子。第四类是答案停在，没有把三角函数或角度换回。

一个实用检查：求完不定积分后，随机对答案求导。如果导数能回到原被积函数，说明代换、恒等式和回代至少在代数层面一致。

练习

求下列不定积分。

$\int \sin^5 x\cos^2 x\,dx$

令 $u=\cos x$ ，保留一个 $\sin x$ ，并把 $\sin^4 x$ 写成 $(1-\cos^2 x)^2$ ：

$\int \sin^2 x\cos^2 x\,dx$

使用 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ：

\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x=\frac{1}{8}(1-\cos 4x)

$\int \tan^2 x\sec^4 x\,dx$

保留 $\sec^2 x\,dx$ ，令 $u=\tan x$ 。剩余一个 $\sec^2 x$ 写成 $1+\tan^2 x$ ：

$\int \tan^5 x\sec^3 x\,dx$

保留 $\sec x\tan x\,dx$ ，令 $u=\sec x$ 。剩下的 $\tan^4 x\sec^2 x$ 变为：

$\int \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}\,dx$

这是 $\sqrt{a^2-x^2}$ 型，令 $x=4\sin\theta$ 。也可直接使用反正弦形式：

在 $x>2$ 上求 $\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}\,dx$

令 $x=2\sec\theta$ ，则 $dx=2\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ ， $\sqrt{x^2-4}=2\tan\theta$ 。原积分变为：

$\int \frac{1}{\sqrt{10x-x^2-16}}\,dx$

先配方：

10x-x^2-16=9-(x-5)^2

令 $u=x-5$ ，积分变成：

小结

三角积分的核心是“为普通换元制造条件”。 $\sin^m x\cos^n x$ 中，奇次幂让我们保留一个导数因子；两个幂次都偶数时，降幂公式更自然。 $\tan^m x\sec^n x$ 中，对应，对应。

三角代换的核心是“让根式匹配勾股恒等式”。 $\sqrt{a^2-x^2}$ 配 $x=a\sin\theta$ ，配，配。代换完成后，积分通常会变成三角积分；积分结束后，用代换三角形把答案写回原变量。

\sin^2 x

9 - 9 \sin^{2} θ

=

3

\cos

θ

\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\sin^2\theta}=3\cos\theta

x

\theta=\pi/6

a^{2}

x^2-a^2

三角积分与三角代换

本章要抓住的结构

正弦与余弦幂的积分

有奇次幂时保留一个因子

两个幂次都为偶数时使用降幂

正切与正割幂的积分

正割偶次时令 u=tan⁡xu=\tan xu=tanx

正切奇次且有正割因子时令 u=sec⁡xu=\sec xu=secx

两个特殊基本积分

三角代换的三种基本形状

用三角代换计算根式积分

含有 x2+a2\sqrt{x^2+a^2}x2+a2​ 的例子

含有 x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x2−a2​ 的例子

代换三角形与回代

先配方再代换

方法选择与常见错误

练习

小结

正割偶次时令 $u=\tan x$

正切奇次且有正割因子时令 $u=\sec x$

含有 $\sqrt{x^2+a^2}$ 的例子

含有 $\sqrt{x^2-a^2}$ 的例子