分部积分法：把乘积拆开 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

分部积分法：把乘积拆开

分部积分法处理的是一种很常见的尴尬：被积函数看起来像两个部分的乘积，其中一个部分求导后会变简单，另一个部分可以顺利积分。它不是新发明的一条孤立公式，而是求导乘积法则的反向使用。

如果换元法像是在寻找“里面的函数”，分部积分法更像是在决定“谁负责被求导，谁负责被积分”。这个决定做得好，积分会明显变短；做得不好，题目可能绕回原地，甚至变得更复杂。

分部积分公式来自乘积法则的反向使用

分部积分把乘积法则倒过来用：保留一个边界项，再把难度转移到另一个积分。

从乘积法则得到公式

先回到微积分 I 中最熟悉的乘积法则。设 $u=u(x)$ ， $v=v(x)$ 都可微，则

\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

把两边对 $x$ 积分，得到

u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx

移项后就是分部积分公式：

\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx

用微分记号写，会更接近实际解题时的手感：

\int u\,dv=uv-\int v\,du

这里 $u$ 是我们决定拿去求导的部分， $dv$ 是我们决定拿去积分的部分。求出 $du$ 和 $v$ 后，原来的积分被换成新的积分 $\int v\,du$ 。

分部积分不是“看到乘积就套公式”。它真正要检查的是：把 $u$ 求导、把 $dv$ 积分之后，新积分 $\int v\,du$ 是否比原积分更容易。

公式中的每个位置

公式

\int u\,dv=uv-\int v\,du

有三个容易混淆的位置。

第一，左边的 $dv$ 不是一个随便写的符号，它必须包含被积函数中准备积分的部分以及 $dx$ 。例如在 $\int x e^x\,dx$ 中，如果选 $u=x$ ，那么 $d v = e^{x} d x$ 。

第二， $v$ 是对 $dv$ 积分得到的函数。若 $dv=e^x\,dx$ ，则 $v=e^x$ ；若，则。

第三，右边的新积分是 $\int v\,du$ ，不是 $\int u\,dv$ 的轻微改写。它已经把“谁求导、谁积分”的角色交换过一次。

怎样选择 u 和 dv

分部积分法最难的地方通常不是计算，而是选择。一个实用的判断是：

\text{让 }u\text{ 求导后变简单，让 }dv\text{ 容易积分。}

选择 u 与 dv 的判断流程

好的选择会让新积分变短；坏的选择往往只是把题目换个外壳。

例如 $\int x e^x\,dx$ 中， $x$ 求导后会变成 $1$ ，而 $e^x$ 积分仍是 $e^x$ ，所以选

u=x,\qquad dv=e^x\,dx

这是自然的选择。

再看 $\int \ln x\,dx$ 。它表面上不是乘积，但可以把它看成

\int \ln x\cdot 1\,dx

这时选 $u=\ln x$ ， $dv=dx$ ，因为 $\ln x$ 求导后变成 $1/x$ ，而 $1$ 很容易积分。

LIATE 经验顺序

很多教材会给出一个经验顺序：对数、反三角、代数、三角、指数。它常被记作 LIATE。更适合用中文理解为：如果几个因子同时出现，通常优先把求导后明显变简单的那一类放进 $u$ 。

LIATE 经验顺序的中文阶梯图

LIATE 是经验提示，不是强制规则。最后仍要检查新积分是否更简单。

这个顺序能解释许多常见选择：

$\int x e^x\,dx$ ：代数因子 $x$ 做 $u$ 。
$\int x\sin x\,dx$ ：代数因子做。

LIATE 不能替代思考。它只是在常见题型中提高命中率。选完以后，必须把 $du$ 、 $v$ 和新积分写出来，看新积分是否真的更容易。

一次分部积分

先从最典型的题目开始。

例题：计算 x 乘 e 的 x 次方的积分

求

\int x e^x\,dx

一次分部积分把代数因子降阶

选择 $u=x$ ， $dv=e^x\,dx$ 。这样 $u$ 求导后变成，而积分不变。

这个例子里，分部积分真正做的事是把代数因子 $x$ 的次数降低。之后遇到 $x^2e^x$ 、 $x^3e^x$ 这类题，也会重复同样的想法。

例题：计算 x 乘正弦的积分

求

\int x\sin x\,dx

选择

u=x,\qquad dv=\sin x\,dx

于是

du=dx,\qquad v=-\cos x

代入公式：

\int x\sin x\,dx=x(-\cos x)-\int (-\cos x)\,dx

所以

\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int \cos x\,dx

得到

\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C

这个例子提醒我们， $v$ 的符号不能凭感觉跳过。因为 $\sin x$ 的一个原函数是 $-\cos x$ ，前面的负号会影响后续每一步。

看起来不是乘积的积分

分部积分也常用于单个函数，尤其是 $\ln x$ 和反三角函数。关键是把它们看成“这个函数乘以 $1$ ”。

例题：计算 ln x 的积分

求

\int \ln x\,dx

把它写成

\int \ln x\cdot 1\,dx

选择

u=\ln x,\qquad dv=dx

于是

du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=x

代入公式：

\int \ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx

也就是

\int \ln x\,dx=x\ln x-\int 1\,dx

因此

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C

例题：计算反正切的积分

求

\int \arctan x\,dx

同样把它看成 $\arctan x\cdot 1$ 。选择

u=\arctan x,\qquad dv=dx

于是

du=\frac{1}{1+x^2}\,dx,\qquad v=x

代入公式：

\int \arctan x\,dx=x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx

剩下的积分用换元 $w=1+x^2$ 处理：

\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)

所以

\int \arctan x\,dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C

当积分中出现 $\ln x$ 、 $\arctan x$ 、 $\arcsin x$ 这类“求导后会变成代数式”的函数时，可以先试着把被积函数看成它乘以 $1$ 。

多次分部积分

如果 $u$ 求导一次还没有消失，但每求导一次都会变简单，就可以多次使用分部积分。例如 $x^2e^x$ 中， $x^2$ 要经过两次求导才会降到常数。

例题：计算 x 平方乘 e 的 x 次方的积分

求

\int x^2e^x\,dx

第一次选择

u=x^2,\qquad dv=e^x\,dx

则

du=2x\,dx,\qquad v=e^x

代入公式：

\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int 2xe^x\,dx

剩下的 $\int 2xe^x\,dx$ 还需要再做一次分部积分。先把常数 $2$ 放在外面：

\int 2xe^x\,dx=2\int xe^x\,dx

上一节已经算过

\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C

所以

\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+C

整理：

\int x^2e^x\,dx=e^x(x^2-2x+2)+C

表格法的作用

当一边不断求导到 $0$ ，另一边反复积分都不变复杂时，可以把过程排成表格。表格法不是新公式，而是多次分部积分的简写。

多次分部积分的表格法结构

表格法适合“多项式乘指数”或“多项式乘三角函数”这类需要重复降阶的题。

表格法只适合有清晰终点的多次分部积分。若求导列不会逐步变简单，表格只会把混乱排得更整齐，并不会让题目变容易。

循环分部积分

有些积分做了两次分部积分后，会重新出现原来的积分。此时不要慌，因为它可能变成一个代数方程。

典型例子是

\int e^x\sin x\,dx

指数函数积分后不变，三角函数积分后会在 $\sin x$ 和 $\cos x$ 之间循环，所以原积分可能回到等式右边。

循环分部积分中原积分回到等式两边

例题：计算 e 的 x 次方乘正弦的积分

设

I=\int e^x\sin x\,dx

第一次分部积分，选

u=\sin x,\qquad dv=e^x\,dx

于是

du=\cos x\,dx,\qquad v=e^x

得到

I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx

现在处理

\int e^x\cos x\,dx

再次分部积分，选

u=\cos x,\qquad dv=e^x\,dx

于是

du=-\sin x\,dx,\qquad v=e^x

所以

\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\,dx

也就是

\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x+I

代回原式：

I=e^x\sin x-\bigl(e^x\cos x+I\bigr)

移项：

2I=e^x\sin x-e^x\cos x

因此

\int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C

循环分部积分的关键不是“消掉原积分”，而是承认它回来了，然后把它移到等式同一边。最后得到的是关于原积分 $I$ 的一次方程。

定积分中的分部积分

分部积分也可以直接用于定积分。若 $u$ 和 $v$ 在区间 $[a,b]$ 上满足相应的可微与可积条件，则

\int_a^b u\,dv=\bigl[uv\bigr]_a^b-\int_a^b v\,du

与不定积分相比，定积分中的分部积分有一个好处：最后不需要写 $C$ ，但边界项一定要认真代入。

例题：计算 0 到 1 上 x 乘 e 的 x 次方的积分

求

\int_0^1 x e^x\,dx

选择

u=x,\qquad dv=e^x\,dx

于是

du=dx,\qquad v=e^x

代入定积分公式：

\int_0^1 x e^x\,dx=\bigl[xe^x\bigr]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx

计算边界项和剩余积分：

\bigl[xe^x\bigr]_0^1=e

\int_0^1 e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-1

因此

\int_0^1 x e^x\,dx=e-(e-1)=1

例题：计算 1 到 e 上 ln x 的积分

求

\int_1^e \ln x\,dx

选择

u=\ln x,\qquad dv=dx

于是

du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=x

代入公式：

\int_1^e \ln x\,dx=\bigl[x\ln x\bigr]_1^e-\int_1^e 1\,dx

边界项为

\bigl[x\ln x\bigr]_1^e=e\ln e-1\ln 1=e

剩余积分为

\int_1^e 1\,dx=e-1

所以

\int_1^e \ln x\,dx=e-(e-1)=1

定积分中最常见的错误是只给剩余积分代上下限，却忘了边界项 $\bigl[uv\bigr]_a^b$ 也要代上下限。

常见误区

把 dv 写得不完整

在 $\int x e^x\,dx$ 中，若写 $dv=e^x$ ，就丢掉了微分 $dx$ 。更准确的写法是

dv=e^x\,dx

这样才知道 $v$ 是对 $e^x$ 关于 $x$ 积分。

让新积分更难

在 $\int x e^x\,dx$ 中，如果选

u=e^x,\qquad dv=x\,dx

则

du=e^x\,dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}

分部积分得到

\int xe^x\,dx=\frac{x^2e^x}{2}-\int \frac{x^2e^x}{2}\,dx

新积分比原积分更复杂。这不是公式错了，而是选择不合适。

忘记分部积分后还要继续使用别的方法

分部积分只负责把原积分改写成新积分。新积分可能需要换元法、三角恒等式或代数化简。例如

\int \arctan x\,dx

分部积分之后出现

\int \frac{x}{1+x^2}\,dx

这一步要用换元法，而不是继续机械地分部积分。

循环时没有把原积分移项

在 $\int e^x\sin x\,dx$ 中，做两次分部积分后会出现原来的 $I$ 。如果把它当成失败，就会停在半路。正确做法是把等式看成

I=e^x\sin x-e^x\cos x-I

再移项得到

2I=e^x\sin x-e^x\cos x

方法选择小结

遇到一个可能使用分部积分的题，可以按下面的顺序检查。

先看被积函数是否含有两个部分的乘积，或者能否看成某个函数乘以 $1$ 。典型信号包括多项式乘指数、多项式乘三角、对数函数、反三角函数。

再选 $u$ 。优先考虑求导后会变简单的部分，例如 $\ln x$ 、 $\arctan x$ 、。

练习

基础练习

计算

\int x\cos x\,dx

选择 $u=x$ ， $dv=\cos x\,dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=\sin x$ 。因此

计算

\int x^2 e^x\,dx

连续两次分部积分，或使用表格法，得到

\int x^2 e^x\,dx=e^x(x^2-2x+2)+C

计算

\int \ln(2x)\,dx

把它看成 $\ln(2x)\cdot 1$ 。取 $u=\ln(2x)$ ， $dv=dx$ ，则 $du=\frac{1}{x}\,dx$ ，。所以

计算

\int x\ln x\,dx

取 $u=\ln x$ ， $dv=x\,dx$ ，则 $du=\frac{1}{x}\,dx$ ，。因此

进阶练习

计算

\int e^x\cos x\,dx

设 $I=\int e^x\cos x\,dx$ 。取 $u=\cos x$ ， $dv=e^x\,dx$ ，得

计算

\int_0^\pi x\sin x\,dx

取 $u=x$ ， $dv=\sin x\,dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=-\cos x$ 。定积分分部积分给出

判断下面的选择是否合适，并说明原因：

\int x^3\ln x\,dx,\qquad u=x^3,\qquad dv=\ln x\,dx

这个选择通常不合适。虽然 $x^3$ 求导会降阶，但 $dv=\ln x\,dx$ 本身就需要分部积分才能积分，等于先制造了一个额外问题。更自然的选择是

u=\ln x,\qquad dv=x^3\,dx

计算

\int x^2\sin x\,dx

取 $u=x^2$ ， $dv=\sin x\,dx$ ，则 $du=2x\,dx$ ，。第一次分部积分：

本章收束

分部积分法的核心句子可以压缩成一句：让一个部分求导变简单，让另一个部分积分可控。公式本身来自乘积法则：

\int u\,dv=uv-\int v\,du

使用它时，先判断被积函数能否拆成 $u$ 与 $dv$ ，再检查新积分是否真的更简单。一次分部积分适合 $xe^x$ 、 $x\sin x$ 这类题；把函数看成乘以 $1$ 可以处理 $\ln x$ 和反三角函数；多次分部积分适合逐步降阶；循环分部积分则要把原积分移到等式同一边。

下一章会进入三角积分与三角代换。那里的问题不再主要是“谁求导、谁积分”，而是怎样用三角恒等式和几何代换把被积函数改写成可积分的形式。

dv=e^x\,dx

x

v=-\cos x