积分应用 II：弧长、表面积、功与压力 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

积分应用 II：弧长、表面积、功与压力

上一章里，定积分主要用来累加面积、体积和平均值。本章把同一个思想再往前推进一步：如果要累加的对象不是“平面上一条竖条的面积”，而是一小段曲线的长度、一圈旋转曲面的面积、一小段位移中的功，或一条浸在水中的水平带受到的力，定积分仍然可以工作。

共同的做法很朴素。先把对象切成很多小块，在每一小块上找一个近似公式，再把这些近似量相加，最后让小块越来越细。真正困难的地方不在于“要不要积分”，而在于每个问题中微小量到底是什么。

本章的核心句子是：先写出微小量，再积分。弧长的微小量是 $ds$ ，表面积的微小量是 $2\pi r\,ds$ ，功的微小量是 $F(x)\,dx$ ，流体压力的微小量是 $\rho g h\,dA$ 。

从折线到弧长微元

如果一条曲线是直线段，长度可以直接用两点距离公式。对一般光滑曲线，思路是把曲线切成许多很短的小弧段，每一段近似看成直线段。分割越细，折线长度越接近真实弧长。

设曲线为 $y=f(x)$ ，在区间 $[a,b]$ 上 $f'$ 连续。取一小段横向变化 $dx$ ，纵向变化为

dy=f'(x)\,dx

这段小弧长近似为一个直角三角形的斜边：

ds=\sqrt{dx^2+dy^2}

把 $dy=f'(x)\,dx$ 代入，得到

ds=\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx

于是曲线从 $x=a$ 到 $x=b$ 的弧长是

L=\int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx

平面曲线弧长微元示意图，展示曲线 y=f(x) 的小段放大为直角三角形，并标注 dx、dy、ds 和切线斜率。

从折线近似到弧长微元：局部小弧段可近似为直角三角形，因此 $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ ，进而得到弧长积分公式。

这个公式看起来只是多了一个根号，但它已经比普通面积积分复杂许多。很多弧长积分没有初等反函数形式；这不是推导出了问题，而是弧长问题本身常常会自然导向更复杂的积分。

用不同变量写弧长

如果曲线更适合写成 $x=g(y)$ ， $y$ 从 $c$ 到 $d$ ，同样的推导给出

L=\int_c^d \sqrt{1+\left(g'(y)\right)^2}\,dy

选择 $dx$ 还是 $dy$ ，不是格式偏好，而是计算策略。哪种表达能让导数和积分更简单，就优先使用哪种。

例题：计算抛物线弧长

求曲线

y=\frac{2}{3}x^{3/2}

在 $0\le x\le 1$ 上的弧长。

先求导数。因为

y=\frac{2}{3}x^{3/2}

所以

y^{'}

这个例子特意选择了一个能算干净的函数。一般题目中，弧长公式先把问题转成积分；至于积分能不能初等算出，要再看被积函数的结构。

弧长公式中的 $dx$ 不等于 $ds$ 。只有水平直线段才有 $ds=dx$ 。只要曲线有斜率，小弧段的长度就要同时考虑横向变化和纵向变化。

旋转曲面的表面积

现在把曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转。曲线上的一小段弧长 $ds$ 旋转后，会扫出一个很窄的圆台带。若这一小段到旋转轴的距离约为 $y$ ，圆周长约为 $2\pi y$ ，窄带面积约为

dS=2\pi y\,ds

由于

ds=\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,dx

绕 $x$ 轴旋转得到的曲面面积为

S=2\pi\int_a^b y\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,dx

这里要求 $y\ge 0$ ，因为 $y$ 表示到 $x$ 轴的半径。如果曲线在轴的另一侧，应使用到旋转轴的距离，也就是半径 $r$ 。

曲线 y=f(x) 绕 x 轴旋转形成曲面，一条窄带标注半径 y、斜长 ds 和圆周 2πy，并给出表面积公式。

旋转曲面的表面积可看作许多细小圆台带的面积累加： $dS=2\pi y\,ds$ 。

如果曲线绕 $y$ 轴旋转，半径不再是 $y$ ，而是到 $y$ 轴的距离。若曲线仍写成 $y=f(x)$ ，半径为 $x$ ，公式变为

S=2\pi\int_a^b x\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,dx

更一般地说：

S=2\pi\int r\,ds

其中 $r$ 是曲线小段到旋转轴的距离。

例题：直线段绕 x 轴旋转

求直线

y=x

在 $0\le x\le 2$ 上绕 $x$ 轴旋转所得曲面的面积。

先识别半径和弧长微元。绕 $x$ 轴旋转时半径是 $y=x$ ，并且 $y'=1$ 。

这正好是一个圆锥的侧面积。直线段长为 $2\sqrt{2}$ ，底面半径为 $2$ ，圆锥侧面积 $\pi r\ell$ 等于 $\pi\cdot 2\cdot 2\sqrt{2}=4\pi\sqrt{2}$ ，与积分结果一致。

表面积公式里最常见的错误是把半径写错。绕 $x$ 轴时半径通常与 $y$ 有关，绕 $y$ 轴时半径通常与 $x$ 有关；如果旋转轴是 $x=3$ 或 $y=-1$ ，半径还要改成到那条直线的距离。

变力做功：把力沿位移累加

物理中，恒力沿同一方向推动物体经过距离 $d$ ，做功为

W=Fd

如果力随位置变化，不能直接把某一个力值乘以总距离。我们把位移区间切成许多小段，在很短的一段上把力近似看成常数。位于 $x$ 附近、长度为 $dx$ 的小段上，微小功是

dW=F(x)\,dx

总功为

W=\int_a^b F(x)\,dx

弹簧被拉伸产生弹力 F=kx，右侧 F-x 图像用窄矩形和阴影面积表示变力做功积分。

变力做功等于沿位移累加微小功，总功为力-位移图像下的面积。

这个公式的单位也能帮助检查。若力用牛顿，位移用米，则积分单位是牛顿·米，也就是焦耳。

例题：拉伸弹簧所做的功

一个弹簧满足胡克定律 $F(x)=kx$ 。若 $k=40\,\text{N/m}$ ，把弹簧从自然长度拉伸到 $0.3\,\text{m}$ ，需要做多少功？

写出力函数和位移区间。这里

F(x)=40x,\qquad 0\le x\le 0.3

提升重物与抽水问题

做功积分还常用于“每一小部分移动距离不同”的问题。例如把水从水箱中抽出，某一薄层水的重量是它的体积乘以重度，而它需要被提升的距离取决于这层水的高度。微小功通常写成

dW=(\text{薄层重量})(\text{提升距离})

再对所有薄层积分。

这种题的关键不是先找公式，而是把薄层画出来：薄层体积、薄层重量和薄层需要移动的距离分别是什么。

变力做功题中，积分变量必须和力函数的变量一致。如果 $F(x)$ 描述的是随位置 $x$ 变化的力，就对 $x$ 积分；如果题目按高度 $y$ 切薄层，就要把重量和距离都写成 $y$ 的函数。

流体压力：深处的条带更重

静止流体中的压强随深度增加。若液体密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ ，水面下深度为 $h$ 处的压强是

p=\rho g h

压强是单位面积上的力。如果一块竖直挡板浸在液体中，不同高度处的压强不同，不能简单用一个压强乘以总面积。我们把挡板切成水平条带。某条带深度为 $h(y)$ ，宽度为 $w(y)$ ，厚度为 $dy$ ，面积近似为

dA=w(y)\,dy

因此这条带受到的微小力为

dF=\rho g h(y)w(y)\,dy

总流体力为

F=\int \rho g h(y)w(y)\,dy

装水容器侧视图中，竖直挡板受流体压力作用，水平条带位于深度 h 处，标出 w(y)、dy 与压力微元公式。

流体压力随深度增大，将竖直挡板分成水平条带后，可用 $dF=\rho g h(y)w(y)\,dy$ 累加总力。

在美制单位中，水的重度常直接写成 $\gamma=62.4\,\text{lb/ft}^3$ 。这时压强写成

p=\gamma h

在国际单位中，更常用 $\rho g$ ，水的密度约为 $1000\,\text{kg/m}^3$ ，所以 $\rho g\approx 9800\,\text{N/m}^3$ 。

例题：矩形挡板受到的水压力

一块宽 $3\,\text{m}$ 、高 $2\,\text{m}$ 的矩形挡板竖直放置，顶边正好在水面处。求挡板一侧受到的水压力。取水的重度 $\rho g=9800\,\text{N/m}^3$ 。

令 $y$ 表示从水面向下的深度，单位为米。挡板从 $y=0$ 到 $y=2$ ，每条水平条带的宽度恒为

w(y)=3

三角形挡板为什么更容易出错

如果挡板不是矩形，宽度 $w(y)$ 往往随深度变化。比如一个顶点在下、底边在水面的等腰三角形挡板，越往下条带越短；若顶点在上、底边在下，越往下条带越长。两个题的深度函数可能一样，但宽度函数不同，最后的力也不同。

流体压力题不能只算“平均深度乘总面积”，除非你能说明压强关于面积的分布正好允许这样处理。可靠做法是写出条带深度 $h(y)$ 、条带宽度 $w(y)$ 和积分上下限。

概率密度的期望值：积分平均的另一种面貌

定积分不只处理几何和物理，也能处理连续型随机变量。若随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $p(x)$ ，它满足

p(x)\ge 0,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}p(x)\,dx=1

这里 $p(x)\,dx$ 可以理解为 $X$ 落在 $x$ 附近一小段中的概率。期望值是所有可能取值的加权平均：

E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x p(x)\,dx

非对称概率密度曲线下方面积标为 1，均值 μ 像支点一样表示期望值的平衡点，并配有期望公式。

概率密度的期望值可以看作以 $p(x)$ 为权重的积分平均，均值 $\mu$ 是分布的平衡点。

这个公式与函数平均值

f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

有相同的精神。区别在于，普通平均值把区间中的每个位置看得同等重要，而概率期望用 $p(x)$ 给不同位置分配权重。

例题：简单密度函数的期望

设随机变量 $X$ 的密度函数为

p(x)=2x,\qquad 0\le x\le 1

其他地方 $p(x)=0$ 。求 $E[X]$ 。

先检查它确实是密度函数。

\int_0^1 2x\,dx=\left.x^2\right|_0^1=1

因为密度 $p(x)=2x$ 在靠近 $1$ 的位置更大，期望值 $\frac{2}{3}$ 大于区间中点 $\frac{1}{2}$ 。这正是“加权平均”的直观结果。

同一个积分模板

弧长、表面积、功、压力和期望值看起来来自不同领域，但它们的结构可以用同一张表概括。

问题	微小量	积分形式	关键判断
弧长	$ds$	$L=\int ds$	$ds$ 要由坐标变化得到
旋转曲面表面积	$2\pi r\,ds$	$S = 2 π \int r d s$

微小量累加应用总结图，四栏展示弧长、表面积、变力做功与流体压力的微元图示和积分公式。

四类应用都遵循“总量 = $\int$ 微小量”的统一思想。

遇到新的积分应用题时，可以先问四个问题：切哪一种小块？小块大小是多少？小块对应的物理或几何量是什么？积分上下限覆盖了整个对象吗？

常见错误

把公式当成记忆清单

本章公式较多，但它们不是彼此无关的清单。若只背 $L$ 、 $S$ 、 $W$ 、 $F$ 的外形，很容易在半径、深度、宽度和变量上出错。更稳的方法是每次从微小量开始写。

忘记半径是距离

旋转曲面中， $r$ 是到旋转轴的距离，不一定等于 $x$ 或 $y$ 。绕 $y=2$ 旋转时，曲线点 $(x,y)$ 到旋转轴的距离是 $|y-2|$ ；绕旋转时，距离是。

把水深和坐标混在一起

流体压力中，深度必须从水面向下量。若坐标原点不在水面，深度函数 $h(y)$ 往往不是 $y$ 本身。先画水面，再写深度，能避免大多数符号错误。

忽略单位

弧长和表面积是几何量，单位分别是一维和二维。功的单位是力乘距离。流体力的单位是力。每个结果算完后都应检查单位是否合理。

练习

练习一

求曲线

y=\frac{x^2}{2}

在 $0\le x\le 1$ 上的弧长。

先求导：

y'=x

弧长为

L=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx

练习二

求曲线 $y=\sqrt{x}$ 在 $1\le x\le 4$ 上绕 $x$ 轴旋转所得曲面的面积。

有

y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

练习三

一个弹簧满足 $F(x)=60x$ ，其中力的单位是牛顿，位移单位是米。把弹簧从 $x=0.1$ 拉到 $x=0.4$ ，需要做多少功？

做功为

W=\int_{0.1}^{0.4}60x\,dx

计算得

W=30\left(x^2\right)\bigg|_{0.1}^{0.4}=30(0.16-0.01)=4.5

练习四

一块宽 $4\,\text{m}$ 、高 $1.5\,\text{m}$ 的矩形挡板竖直放置，顶边在水面下 $0.5\,\text{m}$ 。取水的重度 $9800\,\text{N/m}^3$ ，求挡板受到的水压力。

令 $y$ 表示从挡板顶边向下的距离，则 $0\le y\le 1.5$ 。这条带的水深是

h(y)=0.5+y

宽度恒为 $4$ ，所以

练习五

设

p(x)=3x^2,\qquad 0\le x\le 1

其他地方 $p(x)=0$ 。求 $E[X]$ 。

先检查密度：

\int_0^1 3x^2\,dx=1

期望为

E[X]=\int_0^1 x\cdot 3x^2\,dx=\int_0^1 3x^3\,dx

小结

本章的应用题都围绕同一个动作展开：把总量拆成很多微小量，再用定积分把它们加起来。弧长需要从 $dx$ 和 $dy$ 得到 $ds$ ；旋转曲面表面积在 $ds$ 外再乘一圈圆周；变力做功把力沿位移累加；流体压力把随深度变化的压强乘上水平条带面积；概率期望则把取值按密度加权平均。

下一步进入积分技巧时，这些应用会反过来提醒我们：真实问题给出的积分不总是简单的。选择合适的计算方法，正是微积分 II 后续章节要解决的核心任务。

=

x^{1 / 2}

y'=x^{1/2}

S=2\pi\int r\,ds