积分应用 I：面积、体积与平均值 | 微积分 II：积分技巧、无穷级数与参数曲线 | 自在学

积分应用 I：面积、体积与平均值

在微积分 I 中，定积分最先被解释为曲线下面的面积。到了这里，我们把同一个思想稍微放开：只要能把一个量切成许多很薄的小片，并能写出每片的近似表达，就可以把这些小片相加，最后取极限。

本章只处理几类最常见的应用：两曲线之间的面积、旋转体体积、壳层法和函数平均值。它们看起来不同，但共同的动作都是先找“微元”，再把微元积分。

从面积到微元

设想一个很薄的竖直小矩形。它的宽是 $\Delta x$ ，高由两条曲线的差给出。把所有小矩形面积相加，就得到区域面积。把小矩形绕轴旋转，它可能变成一个薄圆盘、一个垫片或一个圆柱壳。把函数值看成某种“密度”或“高度”，同样的切片相加还能给出平均值。

所以本章的第一步不是背公式，而是问三个问题：

小片沿哪个方向切？
每个小片的几何量是什么？
这个几何量应该对 $x$ 积分还是对 $y$ 积分？

两曲线之间面积的竖直切片与水平切片

两曲线之间的面积既可用竖直切片表示为 $A=\int(\text{上}-\text{下})\,dx$ ，也可用水平切片表示为 $A=\int(\text{右}-\text{左})\,dy$ 。

定积分应用中的公式通常不是凭空出现的。先画一片厚度为 $dx$ 或 $dy$ 的小片，写出它的面积、体积或贡献量，再把这些小片从起点累加到终点。这个过程比直接记公式更可靠。

两曲线之间的面积

若 $f(x) \ge g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上成立，由两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 夹出的面积是

A=\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx

这里的 $f(x)-g(x)$ 是竖直切片的高度， $dx$ 是切片厚度。直观上，我们不是计算两块曲线下面积的差，而是在每一个 $x$ 处先取“上减下”，再把所有竖直小矩形加起来。

如果区域更适合用水平切片，公式会变成

A=\int_c^d \bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy

其中 $R(y)$ 是右边界， $L(y)$ 是左边界。这里不要把“上减下”硬套到所有题目中；水平切片的方向变了，应该是“右减左”。

例题：同一区域的两种写法

求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的面积。

两条曲线交于

x=x^2

所以 $x=0$ 或 $x=1$ 。在 $0<x<1$ 上， $x>x^2$ ，因此竖直切片给出

A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx

计算得

A=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{6}

同一区域也可以用水平切片描述。由 $y=x$ 得 $x=y$ ，由 $y=x^2$ 得 $x=\sqrt{y}$ 。当时，右边界是，左边界是，所以

A=\int_0^1 (\sqrt{y}-y)\,dy=\frac{1}{6}

两种积分得到同一个面积。区别只在于切片方向和边界函数的表达。

容易出错的地方

如果两条曲线在区间内交换上下位置，不能只写一个“上减下”。此时有两种做法：在交点处分段，分别确定谁在上面；或者写成绝对值积分。

例如 $y=x^3$ 与 $y=x$ 在 $[-1,1]$ 上围出的总面积不能写成

\int_{-1}^1 (x-x^3)\,dx

因为被积函数是奇函数，上下两块会互相抵消。面积应该分段求：

A=\int_{-1}^0 (x^3-x)\,dx+\int_0^1 (x-x^3)\,dx

面积是非负量。若积分结果因为对称抵消而变成 $0$ ，它通常表示“带符号面积”的抵消，不表示区域没有面积。

根据区域选择 dx 或 dy

选择 $dx$ 还是 $dy$ 的实用标准是：让一条切片尽量一次穿过整个区域，并且少拆区间。

做题时可以按下面的顺序判断：

先求边界交点，确定区域的端点。交点给出积分上下限，或至少告诉我们区域大致在哪一段。

画一条竖直切片，看它从下到上是否只穿过一个连续小段。如果可以，就尝试写成上函数减下函数。

再画一条水平切片，看它从左到右是否只穿过一个连续小段。如果这种写法更少分段，就改用 $dy$ 。

同一区域中选择 dx 或 dy 的对比

根据区域形状选择 $dx$ 或 $dy$ ：对由 $x=y^2$ 与 $x=2-y$ 围成的区域，优先选可直接用“右函数减左函数”，若用则需要拆区间。

例题：水平切片更简单

求 $x=y^2$ 与 $x=2-y$ 围成的面积。

先求交点：

y^2=2-y

即

y^2+y-2=0

所以 $y=-2$ 或 $y=1$ 。在这个区域内，右边界是 $x=2-y$ ，左边界是 $x=y^2$ 。水平切片一次穿过整个区域，因此

A=\int_{-2}^{1}\bigl((2-y)-y^2\bigr)\,dy

计算得

A=\left[2y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}

如果改用竖直切片，区域要在 $x=1$ 处分段：

A=\int_0^1 2\sqrt{x}\,dx+\int_1^4 \bigl(2-x+\sqrt{x}\bigr)\,dx

结果仍然是 $\frac{9}{2}$ ，但写法明显更长。

旋转体体积：圆盘法与垫片法

如果一个平面区域绕某条轴旋转，会扫出一个三维立体。定积分给体积的方法仍然是切片：把立体切成许多薄片，每片体积近似为“截面积乘厚度”。

若切片垂直于旋转轴，截面通常是圆盘或垫片。

当区域由 $0\le y\le f(x)$ 、 $a\le x\le b$ 给出，并绕 $x$ 轴旋转时，每个竖直切片旋转成半径为 $f(x)$ 的薄圆盘。体积是

V=\pi\int_a^b \bigl(f(x)\bigr)^2\,dx

若区域有内外两条边界，旋转后截面是带孔的垫片。外半径是 $R(x)$ ，内半径是 $r(x)$ ，体积是

V=\pi\int_a^b \bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx

圆盘法与垫片法的截面对比

圆盘法将曲线下方区域绕 $x$ 轴旋转形成实心圆盘截面；垫片法将两曲线之间区域绕 $x$ 轴旋转形成带孔截面。

例题：圆盘法

求 $y=\sqrt{x}$ 、 $y=0$ 、 $0\le x\le 4$ 围成的区域绕轴旋转所得体积。

这里竖直切片垂直于 $x$ 轴，旋转后形成圆盘。半径是

R(x)=\sqrt{x}

所以

V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx

也就是

V=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi

例题：垫片法

求 $y=\sqrt{x}$ 与 $y=\frac{x}{2}$ 在之间的区域绕轴旋转所得体积。

在这段区间内， $\sqrt{x}$ 在上方， $\frac{x}{2}$ 在下方。绕 $x$ 轴旋转后，外半径是，内半径是。于是

V=\pi\int_0^4 \left((\sqrt{x})^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)\,dx

化简为

V=\pi\int_0^4 \left(x-\frac{x^2}{4}\right)\,dx

因此

V=\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4=\frac{8\pi}{3}

垫片法最常见的错误是忘记平方。截面面积是 $\pi R^2-\pi r^2$ ，不是 $\pi(R-r)^2$ 。外半径和内半径都要先平方，再相减。

壳层法与变量选择

如果切片平行于旋转轴，旋转后形成的不是圆盘，而是很薄的圆柱壳。圆柱壳的体积近似为

\text{壳层体积}\approx 2\pi(\text{半径})(\text{高度})(\text{厚度})

因此，若竖直切片绕 $y$ 轴旋转，常见公式是

V=2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx

其中 $x$ 是壳层半径， $h(x)$ 是切片高度。更一般地，半径要写成“切片到旋转轴的距离”，不一定就是 $x$ 。

壳层法中的半径、高度和厚度

壳层法中，平行于旋转轴的竖直切片旋转形成圆柱壳，其侧面积微元为 $2\pi\cdot\text{半径}\cdot\text{高度}\cdot\text{厚度}$ 。

例题：同一立体的圆盘法与壳层法

仍看区域 $y=\sqrt{x}$ 、 $y=0$ 、 $0\le x\le 4$ 。若它绕轴旋转，用竖直切片会得到圆柱壳。

每个壳层的半径是 $x$ ，高度是 $\sqrt{x}$ ，厚度是 $dx$ 。于是

V=2\pi\int_0^4 x\sqrt{x}\,dx

计算得

V=2\pi\left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_0^4=\frac{128\pi}{5}

如果改用垫片法，就需要水平切片。由 $y=\sqrt{x}$ 得 $x=y^2$ ，且。外半径是，内半径是，所以

V=\pi\int_0^2 \left(4^2-(y^2)^2\right)\,dy

即

V=\pi\int_0^2 (16-y^4)\,dy=\frac{128\pi}{5}

两个方法一致。壳层法在这个例子中更直接，因为它使用原来的 $x$ 表达式，不需要把曲线改写成 $x=y^2$ 。

怎样选择圆盘、垫片或壳层

先看切片方向相对旋转轴的位置：

切片垂直于旋转轴，优先想到圆盘法或垫片法。
切片平行于旋转轴，优先想到壳层法。
如果某个方向会让边界函数分段，先检查另一个方向是否更简单。
如果旋转轴不是坐标轴，半径要写成距离。例如绕 $x=3$ 旋转时，竖直切片到轴的距离可能是 $3-x$ 或 $x-3$ 。

方法选择没有固定答案。一个立体常常可以用圆盘法、垫片法或壳层法中不止一种方法表示。好的选择通常是让边界少分段、半径表达简单、积分容易计算。

函数平均值

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，它在该区间上的平均值定义为

f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

这和有限个数的平均值是同一个思想。有限个数的平均值是“总和除以个数”；函数平均值是“总累积除以区间长度”。

函数平均值与等面积矩形

函数平均值 $f_{\mathrm{avg}}$ 等于区间 $[a,b]$ 上与曲线下面积相同的矩形高度。

从图像上看， $f_{\mathrm{avg}}$ 是一个矩形的高度。这个矩形的底是 $b-a$ ，面积等于曲线下方的带符号面积：

(b-a)f_{\mathrm{avg}}=\int_a^b f(x)\,dx

如果 $f$ 连续，积分中值定理还告诉我们，至少存在一个 $c\in[a,b]$ ，使得

f(c)=f_{\mathrm{avg}}

这句话的意思不是每个函数都在中点取到平均值，而是连续函数不会从整体平均高度旁边“跳过去”。

例题：求平均值并解释

求 $f(x)=3+x^2$ 在 $[0,2]$ 上的平均值。

按照定义，

f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{2-0}\int_0^2 (3+x^2)\,dx

先计算积分：

\int_0^2 (3+x^2)\,dx=\left[3x+\frac{x^3}{3}\right]_0^2=6+\frac{8}{3}=\frac{26}{3}

因此

f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{26}{3}=\frac{13}{3}

这个结果表示：在长度为 $2$ 的区间上，函数 $3+x^2$ 的总累积量等于一个高度为 $\frac{13}{3}$ 、底长为 $2$ 的矩形面积。

把问题写成微元再积分

本章几类公式可以放在同一张图里看。面积问题的微元是“高差乘厚度”；圆盘和垫片法的微元是“截面积乘厚度”；壳层法的微元是“周长乘高度乘厚度”；平均值则是“总累积除以长度”。

面积、体积与平均值中的微元思想

把问题写成微元，再通过积分完成累积。

实际解题时，可以把步骤压缩成一个稳定流程。

先画区域和旋转轴。没有图时，容易把上下、左右、内外半径判断错。

选择切片方向，并给当前切片标出厚度、长度、高度或半径。

写出一个微元。例如 $dA=(\text{上}-\text{下})\,dx$ ，或，或。

练习

求 $y=4-x^2$ 与 $y=0$ 在第一象限围成的面积。

第一象限内交点满足 $4-x^2=0$ ，所以 $x=2$ 。面积为

A=\int_0^2 (4-x^2)\,dx

求 $y=x^2$ 与 $y=2x$ 围成的面积。

交点由 $x^2=2x$ 得 $x=0,2$ 。在 $0<x<2$ 上， $2x$ 在上方，在下方，所以

将 $y=x^2$ 、 $y=0$ 、 $0\le x\le 2$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转，求所得体积。

竖直切片垂直于旋转轴，形成圆盘。半径是 $x^2$ ，所以

V=\pi\int_0^2 (x^2)^2\,dx

将 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转，求所得体积。

在 $0\le x\le 1$ 上，外半径是 $x$ ，内半径是 $x^2$ 。用垫片法：

V=\pi\int_0^1 \left(x^2-x^4\right)\,dx

将 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转，使用壳层法求体积。

竖直切片绕 $y$ 轴旋转形成圆柱壳。半径是 $x$ ，高度是 $x-x^2$ ，所以

V=2\pi\int_0^1 x(x-x^2)\,dx

求 $f(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上的平均值。

按定义，

f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx

本章小结

面积、体积和平均值都依赖同一个基本动作：把对象切成薄片，写出每片的贡献，再积分。两曲线面积要判断上减下或右减左；圆盘法和垫片法适合垂直于旋转轴的切片；壳层法适合平行于旋转轴的切片；函数平均值是定积分除以区间长度。

学会这些内容后，后面的弧长、表面积、功和流体压力会更自然。它们只是把“微元”的形状换成了线段、曲面带、力乘位移或压力乘面积。

dy

0\le y\le 2