曲线分析：凹凸性、二阶导数与图像草图

一条曲线在某个点附近上升，并不说明它接下来会继续“越来越快”地上升。两辆车此刻都在向前开，速度也一样；一辆正在加速，另一辆正在松油门，它们几秒后的距离会明显不同。

函数图像也是这样。一阶导数告诉我们函数值在上升还是下降，二阶导数告诉我们这个上升或下降的速度在怎样改变。把这两层信息合起来，我们就能从公式、符号表或导数图像中读出更完整的图像轮廓。

原函数、一阶导数与二阶导数三层对照图，展示递增递减、极值、拐点、斜率正负和凹凸性变化。

图：同一个函数可以从高度、斜率、斜率变化三层同时观察。

一个具体问题

假设某段时间内，平台的用户数仍在增加。只看“用户数增加”这句话，我们无法判断情况到底是好是坏：新增速度可能越来越快，也可能越来越慢。

如果用函数 $f(t)$ 表示用户总数，那么 $f'(t)$ 表示瞬时增长速度。若 $f'(t)>0$ ，用户数在增加；若 $f'(t)$ 还在继续变大，增长速度本身也在增加。后一句需要看 $f''(t)$ 。

这就是二阶导数的核心用途：它不只问“函数往哪走”，还问“它走的趋势正在怎样弯”。

二阶导数

若函数 $f$ 可导，导函数 $f'$ 本身也是一个函数。若 $f'$ 也可导，就把 $f'$ 的导数称为 $f$ 的二阶导数，记作 $f''$ 。

f''(x)=(f'(x))'

也可以写成莱布尼茨记号：

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)

一阶导数描述 $f$ 的变化率，二阶导数描述变化率的变化率。换句话说， $f''$ 是在读 $f'$ 的升降。

如果 $s(t)$ 表示位置，那么 $s'(t)$ 是速度， $s''(t)$ 是加速度。速度为正表示位置在增加；加速度为正表示速度在变大。速度和加速度的符号可以不同，所以“向前运动”和“越来越快”不是同一件事。

位置-时间图展示曲线先凹向下后凹向上，并用速度和加速度小图说明加速度反映速度变化方式。

图：二阶导数在运动问题中对应加速度。

凹凸性的直觉

凹向上可以理解为“斜率从左到右逐渐增大”。这时切线会越来越陡，或者从很负的斜率变成较小的负斜率，再变成正斜率。即使函数正在下降，只要下降得越来越慢，也可能是凹向上。

凹向下可以理解为“斜率从左到右逐渐减小”。这时函数可能仍在上升，但上升速度越来越慢；也可能正在下降，并且下降得越来越快。

左右对比图：凹向上曲线的切线位于曲线下方且斜率逐渐增大，凹向下曲线的切线位于曲线上方且斜率逐渐减小。

图：凹凸性看的是斜率如何变化，不是单纯看函数在升还是降。

用二阶导数判断凹凸性：

f''(x)>0 \quad \Longrightarrow \quad f \text{ 在该区间凹向上}

f''(x)<0 \quad \Longrightarrow \quad f \text{ 在该区间凹向下}

凹凸性和单调性是两件事。 $f'(x)>0$ 只说明函数在上升，不能说明它凹向上； $f''(x)>0$ 只说明斜率在增大，不能说明函数值一定在增加。

拐点

曲线从凹向上变为凹向下，或从凹向下变为凹向上时，发生改变的点叫拐点。更准确地说，若 $f$ 在 $x=c$ 连续，并且 $c$ 两侧的凹凸性发生改变，那么点 $(c,f(c))$ 是拐点。

二阶导数为零或不存在的点，是寻找拐点时的候选点。它们只是候选点，不自动成为拐点。

左图为 f(x)=x^3，在原点标注拐点且二阶导数左负右正；右图为 f(x)=x^4，在原点标注不是拐点且两侧二阶导数都为正。

图： $f''(0)=0$ 不足以保证拐点，关键是凹凸性是否真的改变。

常见错误是把“ $f''(c)=0$ ”直接写成“ $x=c$ 是拐点”。正确做法是检查 $c$ 左右两侧 $f''$ 的符号，或者直接判断曲线凹凸性是否改变。若两侧同为正或同为负，就没有拐点。

例如 $f(x)=x^4$ ，有

f''(x)=12x^2

虽然 $f''(0)=0$ ，但 $x=0$ 两侧都有 $f''(x)>0$ ，曲线始终凹向上，所以 $(0,0)$ 不是拐点。

用导数信息画图像草图

曲线草图不是追求每个像素都准确，而是把函数的重要结构画对：上升下降、极值、凹向、拐点，以及必要的截距或渐近线。

一个稳定的分析流程是：

先看定义域和容易计算的点，例如截距、端点或对称性。这一步给草图提供基本边界，避免只根据导数符号画出漂浮在纸上的曲线。

求一阶导数 $f'(x)$ ，找出 $f'(x)=0$ 或 $f'(x)$ 不存在的点，并在数轴上判断 $f'$ 的正负。 $f'>0$ 对应函数递增， $f'<0$ 对应函数递减。

求二阶导数 $f''(x)$ ，找出 $f''(x)=0$ 或 $f''(x)$ 不存在的点，并判断 $f''$ 的正负。 $f''>0$ 对应凹向上， $f''<0$ 对应凹向下。

把一阶和二阶导数的信息合并：极值点由单调性改变确认，拐点由凹凸性改变确认。最后计算这些关键点的函数值，用平滑曲线连接。

从导数符号表推导函数图像草图的中文示意图，包含 f'(x)、f''(x) 在 -1、0、1 分界点上的符号变化，以及极大值、极小值和拐点标注。

图：符号表不是答案本身，它是画出函数大致形状的中间地图。

例题：由公式完成完整草图

设

f(x)=x^4-4x^2

分析它的单调性、凹凸性、极值和拐点，并画出大致图像。

先求一阶导数：

f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)

因此临界点为 $x=-\sqrt{2}$ 、 $x=0$ 、 $x=\sqrt{2}$ 。

判断 $f'$ 的符号。可在四个区间中取测试点，得到： $(-\infty,-\sqrt{2})$ 上 $f'<0$ ， $(-\sqrt{2},0)$ 上 $f'>0$ ， $(0,\sqrt{2})$ 上 $f'<0$ ， $(\sqrt{2},\infty)$ 上 $f'>0$ 。

所以函数先减、再增、再减、再增。 $x=-\sqrt{2}$ 和 $x=\sqrt{2}$ 是局部最小点， $x=0$ 是局部最大点。

计算关键点的函数值：

f(-\sqrt{2})=-4,\qquad f(0)=0,\qquad f(\sqrt{2})=-4

这些点会固定草图的几个主要转折位置。

再求二阶导数：

f''(x)=12x^2-8=4(3x^2-2)

令 $f''(x)=0$ ，得到候选点：

x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}

判断 $f''$ 的符号。 $|x|>\sqrt{\frac{2}{3}}$ 时 $f''(x)>0$ ，曲线凹向上； $|x|<\sqrt{\frac{2}{3}}$ 时 $f''(x)<0$ ，曲线凹向下。因此两个候选点都是拐点。

拐点的纵坐标为：

f\left(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-\frac{20}{9}

结合这些信息，草图应呈现左右对称的 W 形：两侧向上开，中间在 $(0,0)$ 附近向下弯，在两个拐点处改变凹凸性，并在 $x=\pm\sqrt{2}$ 处达到局部最小值。

从导数图像推断原函数

有时题目不给 $f(x)$ ，只给 $f'(x)$ 的图像。这时仍然可以读出很多信息：

$f'(x)>0$ ： $f$ 递增。
$f'(x)<0$ ： $f$ 递减。
$f'$ 从负变正： $f$ 有局部最小值。
$f'$ 从正变负： $f$ 有局部最大值。
$f'$ 递增： $f''>0$ ，所以 $f$ 凹向上。
$f'$ 递减： $f''<0$ ，所以 $f$ 凹向下。

导数图像与原函数草图并排展示，说明 f' 的正负、增减、零点和峰谷如何对应原函数的上升下降、凹凸性、局部极值和拐点。

图：导数图像的零点对应原函数的极值候选，导数图像的升降对应原函数的凹凸。

例题：只看导数也能画出轮廓

已知某函数的导数为

f'(x)=4-x^2

不先求 $f(x)$ 的具体表达式，判断 $f$ 的单调性、凹凸性、极值和拐点。

先看 $f'$ 的正负。 $4-x^2=0$ 给出 $x=-2$ 和 $x=2$ 。当 $x<-2$ 时， $f'(x)<0$ ；当 $-2<x<2$ 时， $f'(x)>0$ ；当 $x>2$ 时， $f'(x)<0$ 。

所以 $f$ 先递减，再递增，再递减。

根据 $f'$ 的符号变化判断极值。 $x=-2$ 处 $f'$ 从负变正，因此 $f$ 有局部最小值； $x=2$ 处 $f'$ 从正变负，因此 $f$ 有局部最大值。

再看 $f'$ 自身的升降。因为 $f'(x)=4-x^2$ 是开口向下的抛物线，它在 $x<0$ 时递增，在 $x>0$ 时递减。

于是 $x<0$ 时 $f''(x)>0$ ， $f$ 凹向上； $x>0$ 时 $f''(x)<0$ ， $f$ 凹向下。

$x=0$ 两侧凹凸性改变，所以 $f$ 在 $x=0$ 处有拐点。草图应从左侧下降进入局部最小值，然后上升并在 $x=0$ 附近由凹向上转为凹向下，最后到达局部最大值后下降。

如果愿意验证，可以对 $f'$ 积分得到某个原函数：

f(x)=4x-\frac{x^3}{3}+C

常数 $C$ 只会把图像整体上下平移，不会改变单调性、凹凸性、极值点的横坐标或拐点的横坐标。

应用：加速度也是二阶导数

设物体位置为 $s(t)$ 。速度和加速度分别为：

v(t)=s'(t),\qquad a(t)=s''(t)

如果 $v(t)>0$ 且 $a(t)>0$ ，物体向正方向运动，并且越来越快。如果 $v(t)>0$ 但 $a(t)<0$ ，物体仍向正方向运动，但速度在变小。

这和曲线凹凸性完全对应：位置图像凹向上时，速度在增加；位置图像凹向下时，速度在减少。二阶导数把“弯曲方向”和“速度变化”连在了一起。

读图时可以用一句话检查自己：一阶导数看函数往哪走，二阶导数看斜率往哪走。前者决定上升或下降，后者决定凹向上或凹向下。

练习

练习一

设 $f(x)=x^3-3x$ 。求函数的单调区间、局部极值、凹凸区间和拐点。

先求导：

f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

所以 $f$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,\infty)$ 上递增，在 $(-1,1)$ 上递减。 $x=-1$ 处从增到减，是局部最大值， $f(-1)=2$ ； $x=1$ 处从减到增，是局部最小值， $f(1)=-2$ 。

再求二阶导数：

f''(x)=6x

因此 $x<0$ 时凹向下， $x>0$ 时凹向上，拐点为 $(0,0)$ 。

练习二

解释为什么 $f(x)=x^4$ 在 $x=0$ 处不是拐点，即使 $f''(0)=0$ 。

有

f''(x)=12x^2

当 $x\ne0$ 时， $f''(x)>0$ ；在 $x=0$ 左右两侧，曲线都凹向上。凹凸性没有改变，所以 $(0,0)$ 不是拐点。

练习三

某函数的导数图像满足： $f'(x)<0$ 在 $(-\infty,-3)$ 和 $(1,\infty)$ 上成立， $f'(x)>0$ 在 $(-3,1)$ 上成立；并且 $f'$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(2,\infty)$ 上递增，在 $(-1,2)$ 上递减。判断 $f$ 的极值类型和凹凸区间。

由 $f'$ 的正负可知， $f$ 在 $x=-3$ 处从递减变递增，所以有局部最小值；在 $x=1$ 处从递增变递减，所以有局部最大值。

由 $f'$ 的升降可知， $f'$ 递增时 $f''>0$ ，所以 $f$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(2,\infty)$ 上凹向上； $f'$ 递减时 $f''<0$ ，所以 $f$ 在 $(-1,2)$ 上凹向下。若函数在相关点连续，则 $x=-1$ 和 $x=2$ 是拐点的横坐标。

练习四

设位置函数为

s(t)=t^3-9t^2+24t,\qquad t\ge0

求速度和加速度，并判断在 $t=1$ 与 $t=5$ 时物体速度大小是在增加还是减少。

速度和加速度为：

v(t)=s'(t)=3t^2-18t+24

a(t)=s''(t)=6t-18

当 $t=1$ 时， $v(1)=9>0$ ， $a(1)=-12<0$ ，物体向正方向运动但速度大小在减少。当 $t=5$ 时， $v(5)=9>0$ ， $a(5)=12>0$ ，物体向正方向运动且速度大小在增加。

练习五

已知

f'(x)=x^2-4x

根据一阶和二阶导数信息，描述 $f$ 的草图特征。

先看一阶导数：

f'(x)=x(x-4)

因此 $f$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(4,\infty)$ 上递增，在 $(0,4)$ 上递减。 $x=0$ 处从增到减，是局部最大值； $x=4$ 处从减到增，是局部最小值。

再看二阶导数：

f''(x)=2x-4

所以 $x<2$ 时凹向下， $x>2$ 时凹向上， $x=2$ 是拐点的横坐标。草图应先上升并凹向下，在 $x=0$ 附近转为下降，经过 $x=2$ 改变凹凸性，最后在 $x=4$ 处转为上升。

小结

这一章的读图线索可以压缩成三句话。 $f'$ 的正负看 $f$ 的升降； $f''$ 的正负看 $f$ 的凹凸；拐点要看凹凸性是否改变，而不只是看 $f''$ 是否等于零。

当一阶导数和二阶导数一起出现时，不要急着画曲线。先把它们各自的符号和变化整理到同一条数轴上，再把极值、拐点和关键函数值落到坐标平面里。这样画出的草图通常不会偏离函数的主要形状。

曲线分析：凹凸性、二阶导数与图像草图

原函数、一阶导数与二阶导数三层对照图，展示递增递减、极值、拐点、斜率正负和凹凸性变化。

图：同一个函数可以从高度、斜率、斜率变化三层同时观察。

一个具体问题

假设某段时间内，平台的用户数仍在增加。只看“用户数增加”这句话，我们无法判断情况到底是好是坏：新增速度可能越来越快，也可能越来越慢。

这就是二阶导数的核心用途：它不只问“函数往哪走”，还问“它走的趋势正在怎样弯”。

二阶导数

若函数 $f$ 可导，导函数 $f'$ 本身也是一个函数。若 $f'$ 也可导，就把 $f'$ 的导数称为 $f$ 的二阶导数，记作 $f''$ 。

f''(x)=(f'(x))'

也可以写成莱布尼茨记号：

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)

一阶导数描述 $f$ 的变化率，二阶导数描述变化率的变化率。换句话说， $f''$ 是在读 $f'$ 的升降。

位置-时间图展示曲线先凹向下后凹向上，并用速度和加速度小图说明加速度反映速度变化方式。

图：二阶导数在运动问题中对应加速度。

凹凸性的直觉

凹向下可以理解为“斜率从左到右逐渐减小”。这时函数可能仍在上升，但上升速度越来越慢；也可能正在下降，并且下降得越来越快。

左右对比图：凹向上曲线的切线位于曲线下方且斜率逐渐增大，凹向下曲线的切线位于曲线上方且斜率逐渐减小。

图：凹凸性看的是斜率如何变化，不是单纯看函数在升还是降。

用二阶导数判断凹凸性：

f''(x)>0 \quad \Longrightarrow \quad f \text{ 在该区间凹向上}

f''(x)<0 \quad \Longrightarrow \quad f \text{ 在该区间凹向下}

凹凸性和单调性是两件事。 $f'(x)>0$ 只说明函数在上升，不能说明它凹向上； $f''(x)>0$ 只说明斜率在增大，不能说明函数值一定在增加。

拐点

二阶导数为零或不存在的点，是寻找拐点时的候选点。它们只是候选点，不自动成为拐点。

左图为 f(x)=x^3，在原点标注拐点且二阶导数左负右正；右图为 f(x)=x^4，在原点标注不是拐点且两侧二阶导数都为正。

图： $f''(0)=0$ 不足以保证拐点，关键是凹凸性是否真的改变。

例如 $f(x)=x^4$ ，有

f''(x)=12x^2

虽然 $f''(0)=0$ ，但 $x=0$ 两侧都有 $f''(x)>0$ ，曲线始终凹向上，所以 $(0,0)$ 不是拐点。

用导数信息画图像草图

曲线草图不是追求每个像素都准确，而是把函数的重要结构画对：上升下降、极值、凹向、拐点，以及必要的截距或渐近线。

一个稳定的分析流程是：

先看定义域和容易计算的点，例如截距、端点或对称性。这一步给草图提供基本边界，避免只根据导数符号画出漂浮在纸上的曲线。

求一阶导数 $f'(x)$ ，找出 $f'(x)=0$ 或 $f'(x)$ 不存在的点，并在数轴上判断 $f'$ 的正负。 $f'>0$ 对应函数递增， $f'<0$ 对应函数递减。

求二阶导数 $f''(x)$ ，找出 $f''(x)=0$ 或 $f''(x)$ 不存在的点，并判断 $f''$ 的正负。 $f''>0$ 对应凹向上， $f''<0$ 对应凹向下。

把一阶和二阶导数的信息合并：极值点由单调性改变确认，拐点由凹凸性改变确认。最后计算这些关键点的函数值，用平滑曲线连接。

从导数符号表推导函数图像草图的中文示意图，包含 f'(x)、f''(x) 在 -1、0、1 分界点上的符号变化，以及极大值、极小值和拐点标注。

图：符号表不是答案本身，它是画出函数大致形状的中间地图。

例题：由公式完成完整草图

设

f(x)=x^4-4x^2

分析它的单调性、凹凸性、极值和拐点，并画出大致图像。

先求一阶导数：

f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)

因此临界点为 $x=-\sqrt{2}$ 、 $x=0$ 、 $x=\sqrt{2}$ 。

所以函数先减、再增、再减、再增。 $x=-\sqrt{2}$ 和 $x=\sqrt{2}$ 是局部最小点， $x=0$ 是局部最大点。

计算关键点的函数值：

f(-\sqrt{2})=-4,\qquad f(0)=0,\qquad f(\sqrt{2})=-4

这些点会固定草图的几个主要转折位置。

再求二阶导数：

f''(x)=12x^2-8=4(3x^2-2)

令 $f''(x)=0$ ，得到候选点：

x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}

判断 $f''$ 的符号。 $|x|>\sqrt{\frac{2}{3}}$ 时 $f''(x)>0$ ，曲线凹向上； $|x|<\sqrt{\frac{2}{3}}$ 时 $f''(x)<0$ ，曲线凹向下。因此两个候选点都是拐点。

拐点的纵坐标为：

f\left(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-\frac{20}{9}

从导数图像推断原函数

有时题目不给 $f(x)$ ，只给 $f'(x)$ 的图像。这时仍然可以读出很多信息：

$f'(x)>0$ ： $f$ 递增。
$f'(x)<0$ ： $f$ 递减。
$f'$ 从负变正： $f$ 有局部最小值。
$f'$ 从正变负： $f$ 有局部最大值。
$f'$ 递增： $f''>0$ ，所以 $f$ 凹向上。
$f'$ 递减： $f''<0$ ，所以 $f$ 凹向下。

导数图像与原函数草图并排展示，说明 f' 的正负、增减、零点和峰谷如何对应原函数的上升下降、凹凸性、局部极值和拐点。

图：导数图像的零点对应原函数的极值候选，导数图像的升降对应原函数的凹凸。

例题：只看导数也能画出轮廓

已知某函数的导数为

f'(x)=4-x^2

不先求 $f(x)$ 的具体表达式，判断 $f$ 的单调性、凹凸性、极值和拐点。

先看 $f'$ 的正负。 $4-x^2=0$ 给出 $x=-2$ 和 $x=2$ 。当 $x<-2$ 时， $f'(x)<0$ ；当 $-2<x<2$ 时， $f'(x)>0$ ；当 $x>2$ 时， $f'(x)<0$ 。

所以 $f$ 先递减，再递增，再递减。

根据 $f'$ 的符号变化判断极值。 $x=-2$ 处 $f'$ 从负变正，因此 $f$ 有局部最小值； $x=2$ 处 $f'$ 从正变负，因此 $f$ 有局部最大值。

再看 $f'$ 自身的升降。因为 $f'(x)=4-x^2$ 是开口向下的抛物线，它在 $x<0$ 时递增，在 $x>0$ 时递减。

于是 $x<0$ 时 $f''(x)>0$ ， $f$ 凹向上； $x>0$ 时 $f''(x)<0$ ， $f$ 凹向下。

如果愿意验证，可以对 $f'$ 积分得到某个原函数：

f(x)=4x-\frac{x^3}{3}+C

常数 $C$ 只会把图像整体上下平移，不会改变单调性、凹凸性、极值点的横坐标或拐点的横坐标。

应用：加速度也是二阶导数

设物体位置为 $s(t)$ 。速度和加速度分别为：

v(t)=s'(t),\qquad a(t)=s''(t)

如果 $v(t)>0$ 且 $a(t)>0$ ，物体向正方向运动，并且越来越快。如果 $v(t)>0$ 但 $a(t)<0$ ，物体仍向正方向运动，但速度在变小。

这和曲线凹凸性完全对应：位置图像凹向上时，速度在增加；位置图像凹向下时，速度在减少。二阶导数把“弯曲方向”和“速度变化”连在了一起。

读图时可以用一句话检查自己：一阶导数看函数往哪走，二阶导数看斜率往哪走。前者决定上升或下降，后者决定凹向上或凹向下。

练习

练习一

设 $f(x)=x^3-3x$ 。求函数的单调区间、局部极值、凹凸区间和拐点。

先求导：

f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

再求二阶导数：

f''(x)=6x

因此 $x<0$ 时凹向下， $x>0$ 时凹向上，拐点为 $(0,0)$ 。

练习二

解释为什么 $f(x)=x^4$ 在 $x=0$ 处不是拐点，即使 $f''(0)=0$ 。

有

f''(x)=12x^2

当 $x\ne0$ 时， $f''(x)>0$ ；在 $x=0$ 左右两侧，曲线都凹向上。凹凸性没有改变，所以 $(0,0)$ 不是拐点。

练习三

由 $f'$ 的正负可知， $f$ 在 $x=-3$ 处从递减变递增，所以有局部最小值；在 $x=1$ 处从递增变递减，所以有局部最大值。

练习四

设位置函数为

s(t)=t^3-9t^2+24t,\qquad t\ge0

求速度和加速度，并判断在 $t=1$ 与 $t=5$ 时物体速度大小是在增加还是减少。

速度和加速度为：

v(t)=s'(t)=3t^2-18t+24

a(t)=s''(t)=6t-18

当 $t=1$ 时， $v(1)=9>0$ ， $a(1)=-12<0$ ，物体向正方向运动但速度大小在减少。当 $t=5$ 时， $v(5)=9>0$ ， $a(5)=12>0$ ，物体向正方向运动且速度大小在增加。

练习五

已知

f'(x)=x^2-4x

根据一阶和二阶导数信息，描述 $f$ 的草图特征。

先看一阶导数：

f'(x)=x(x-4)

因此 $f$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(4,\infty)$ 上递增，在 $(0,4)$ 上递减。 $x=0$ 处从增到减，是局部最大值； $x=4$ 处从减到增，是局部最小值。

再看二阶导数：

f''(x)=2x-4

小结

这一章的读图线索可以压缩成三句话。 $f'$ 的正负看 $f$ 的升降； $f''$ 的正负看 $f$ 的凹凸；拐点要看凹凸性是否改变，而不只是看 $f''$ 是否等于零。