导数应用：单调性、极值与最优化
前面几章里，导数主要是一个“算出来的量”：给定函数，求出 f′(x)。从这一章开始，导数要承担另一个任务：帮助我们判断函数怎样变化，并在可行范围内找到最好或最省的方案。
想象一段 120 米长的围栏，要靠一面直墙围出一个矩形花圃。靠墙的一边不用围栏，其余三边要用完这 120 米。花圃的宽和长可以有很多组合，但面积不会一直变大。导数要回答的问题是：面积从什么时候开始由增变减，最大值出现在什么地方。
从变化趋势看函数
导数是切线斜率，也是局部变化率。若在某个区间内 f′(x)>0，图像往右走时整体向上，函数在这个区间上递增；若 f′(x)<0，图像往右走时整体向下，函数递减。
f′(x)>0⇒f(x) 在该区间递增
f′(x)<0⇒f(x) 在该区间递减
这两条结论的重点不在某一个点，而在“一个区间”。只知道 f′(2)>0，只能说明函数在 x=2 附近的瞬时趋势是上升；要说函数在 (1,4) 上递增，需要知道这个区间内导数的符号。
图：导数为正时函数上升，导数为负时函数下降，临界点处切线斜率为 0。
判断单调性时，先看定义域，再看导数符号。导数只在函数有意义的地方讨论；如果某个点不在原函数定义域内，它不能成为临界点，也不能直接参与最值比较。
临界点与局部极值
函数从上升变成下降，或者从下降变成上升，常常发生在切线变平或图像出现尖角的地方。这样的横坐标叫做临界点。
设 c 在函数 f 的定义域内。如果满足下面任意一种情况，c 就是 f 的临界点：
f′(c)=0
或
f′(c) 不存在
临界点只是“可能发生极值”的位置，不保证一定有极值。比如 f(x)=x3 在 x=0 处有 f′(0)=0，但函数在 0 左右都递增，所以这里没有局部最大值或局部最小值。
图：临界点分类：导数符号由正变负对应局部极大，由负变正对应局部极小，同号不变则不是极值。
第一导数判别法
若 c 是临界点，并且 f 在 c 附近连续，那么可以比较 c 左右两侧 f′(x) 的符号：
“临界点”和“极值点”不是同一个概念。临界点是候选位置，极值点是比较后确认的位置。解题时常见的错误，是把所有 f′(x)=0 的点直接写成极大值或极小值。
例题：用导数符号判断单调性和极值
设
f(x)=x3−3x2−9x+5
求函数的单调区间，并判断局部极值。
先求导：
f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)临界点来自 f′(x)=0，所以 x=−1 和 x=3 是候选位置。
用临界点把数轴分成三个区间：(−∞,−1)、(−1,3)、(3,∞)。在每个区间取一个测试点，判断 f′(x) 的符号。
当 x<−1 时，(x−3)(x+1)>0，所以 f′(x)>0，函数递增；当 −1<x<3 时，(x−3)(x+1)<0，所以函数递减；当 x>3 时，导数又为正，函数递增。
因为导数在 x=−1 处由正变负，函数在这里有局部最大值：
f(−1)=10因为导数在 x=3 处由负变正，函数在这里有局部最小值：
f(3)=−22结论是：函数在 (−∞,−1) 和 (3,∞) 上递增，在 (−1,3) 上递减；局部最大值为 10，出现在 x=−1；局部最小值为 −22，出现在 x=3。
全局极值与边界检查
局部极值只比较某一点附近的函数值。全局极值要比较整个研究范围内的函数值。实际问题通常有明确范围，例如长度不能为负、产量不能超过设备上限、时间只能在某个区间内。
若 f 在闭区间 [a,b] 上连续，那么最大值和最小值一定存在，而且只可能出现在两类位置：
端点 a,b或区间内部的临界点
图：闭区间最值要把端点值和内部临界点值一起列入候选并比较。
闭区间上求全局最大值、最小值，可以按下面的候选值流程做。
求导，找出区间内部所有临界点，包括 f′(x)=0 的点和 f′(x) 不存在但 f(x) 有意义的点。
把这些候选值放在一起比较。最大者是全局最大值，最小者是全局最小值。
端点不是“可有可无”的检查项。很多最优化问题的最佳方案会落在边界上，例如“最多生产 500 件”或“长度不能小于 0”。只求 f′(x)=0，可能会漏掉真正的最优解。
例题：闭区间上的最大值与最小值
仍看函数
f(x)=x3−3x2−9x+5
求它在闭区间 [−2,4] 上的全局最大值和全局最小值。
前面已经求得
f′(x)=3(x−3)(x+1)临界点为 x=−1 和 x=3，都在区间 [−2,4] 内。
端点也要参与比较，所以候选横坐标是
−2, −1, 3, 4逐一计算函数值：
f(−2)=3,f(−1)=10,f(3)=−22,f(4)=−15比较这些候选值，最大的是 10，最小的是 −22。因此全局最大值为 10，出现在 x=−1；全局最小值为 −22，出现在 x=3。
这个例题里端点不是最终答案，但它们必须检查。闭区间最值法的可靠性就在于“候选点完整”。
最优化建模的基本流程
最优化题的难点往往不在求导，而在把文字问题变成一个一元函数。导数只能分析函数；如果目标函数写错，后面的计算再熟练也会偏离问题。
图：最优化建模流程：从读题确定目标到求导比较并解释答案。
一个常用流程是：
找目标量。题目问“最大面积”“最低成本”“最短距离”“最大利润”，这些量就是要优化的对象。
设变量，并写出目标函数。若目标量一开始含有两个变量，先保留它，不急着求导。
找约束条件。围栏总长、固定体积、预算上限、价格与销量关系，都可能是把多个变量联系起来的条件。
用约束把目标函数化成一个变量的函数，并写出可行范围。
最优化题的核心不是“令导数等于零”这一句，而是“目标函数、约束条件、可行范围、候选值比较”四件事都完整。导数负责找到内部候选点，边界检查负责保证答案没有漏。
例题：靠墙围栏的最大面积
用 120 米围栏靠一面直墙围出矩形花圃。靠墙的一边不用围栏，其余三边用围栏。怎样设计长和宽，面积最大？
图：靠墙围栏面积最大化：A(x)=x(120-2x)，当 x=30 时面积最大。
设垂直于墙的宽为 x 米，平行于墙的长为 y 米。需要围栏的三条边是两条宽和一条长，所以约束条件是
2x+y=120面积是
A=xy由约束条件得
y=120−2x因此面积函数为
A(x)=x(120−2x)=120x−2x2写出可行范围。宽不能为负，长也不能为负，所以
0≤x≤60求导并找临界点：
A′(x)=120−4x令 A′(x)=0，得到
x=30比较候选值：
A(0)=0,A(30)=1800,A(60)=0所以最大面积出现在 x=30。此时
y=120−2⋅30=60答案是：宽为 30 米、长为 60 米时，面积最大，最大面积为 1800 平方米。
例题：利润最大化中的边际平衡
某小厂一天生产并销售 q 件产品，市场价格满足
p(q)=80−0.2q
成本函数为
C(q)=1000+20q
其中 0≤q≤300。问每天生产多少件时利润最大？
图：利润在最优产量 q∗ 处达到最高，此时边际收益等于边际成本。
收益等于单价乘数量：
R(q)=q(80−0.2q)=80q−0.2q2利润等于收益减成本：
P(q)=R(q)−C(q)所以
P(q)=−0.2q2+60q−1000在可行区间 [0,300] 上求导：
P′(q)=−0.4q+60令 P′(q)=0，得到
q=150比较端点和临界点：
P(0)=−1000,P(150)=3500,P(300)=−1000因此利润最大时的产量是 150 件，最大利润是 3500 元。
这里还可以从边际量理解。收益的导数是边际收益：
MR(q)=R′(q)=80−0.4q
成本的导数是边际成本：
MC(q)=C′(q)=20
利润最大点满足 P′(q)=R′(q)−C′(q)=0，也就是
MR(q)=MC(q)
这句话的意思是：在最优产量附近，多生产一件带来的额外收益，正好等于额外成本。再多生产，额外收益低于额外成本，利润会下降。
常见误区
把导数为零直接当成最大值或最小值
f′(c)=0 只说明切线斜率为零。它可能是局部最大值、局部最小值，也可能只是一个水平拐过的点。必须检查导数符号变化，或用其他判别方法确认。
忘记可行范围
现实变量通常有范围。长度不能为负，折出的盒子高度不能超过纸板短边的一半，产量不能超过设备上限。没有范围，就无法可靠判断全局最优。
只看内部临界点，不看端点
闭区间上的全局极值必须比较端点。端点不一定是极值点，但它可能给出最大值或最小值。
算出变量后没有回到问题
如果设的是宽 x，最后题目问的是长和宽，就要把长也算出来。如果题目问最大利润，还要给出利润值，而不只是最优产量。
练习
- 求函数 f(x)=x3−6x2+9x+1 的单调区间和局部极值。
先求导：
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)函数在 (−∞,1) 上递增，在 (1,3) 上递减，在 (3,∞) 上递增。x=1 处导数由正变负，有局部最大值：
f(1)=5x=3 处导数由负变正，有局部最小值：
f(3)=1
- 求 f(x)=x3−3x 在 [−2,2] 上的全局最大值和全局最小值。
先求导：
f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)候选点为端点 −2,2 和临界点 −1,1。计算：
f(−2)=−2,f(−1)=2,f(1)=−2,f(2)=2全局最大值为 2，出现在 x=−1 和 x=2；全局最小值为 −2，出现在 x=−2 和 x=1。
- 函数 g(x)=x3 在 x=0 处满足 g′(0)=0。它在 x=0 处有局部极值吗？说明理由。
没有。因为
g′(x)=3x2在 x=0 左右，g′(x) 都非负，函数没有从递增变递减，也没有从递减变递增。x=0 是临界点，但不是局部极值点。
- 一张 30 cm×20 cm 的硬纸板，从四个角各剪去边长为 x 厘米的小正方形，再折成无盖盒子。求使体积最大的 x。
体积函数为
V(x)=x(30−2x)(20−2x)可行范围是 0<x<10。展开并求导：
V(x)=600x−100x2+4x3V′(x)=600−200x+12x2令 V′(x)=0，得
3x2−50x+150=0所以
x=325±57其中 325+57>10，不在可行范围内。于是最大体积对应
x=325−57≈3.92厘米。
- 某产品利润函数为 P(q)=−0.05q2+8q−120，可行产量为 0≤q≤200。求最大利润和对应产量。
求导：
P′(q)=−0.1q+8令 P′(q)=0，得 q=80。比较候选值：
P(0)=−120,P(80)=200,P(200)=−520所以最大利润为 200，对应产量为 80。