三角、指数与对数函数的导数

弹簧上的小球来回振动，位置可以写成一个正弦或余弦函数。培养皿里的细菌在资源充足时增长，数量常被近似写成指数函数。声波、潮汐、交流电、放射性衰减、复利和药物代谢也会反复遇到这些函数。

前面学过的多项式、根式和有理函数已经能处理不少变化率问题，但它们还不够。周期现象需要三角函数，持续按比例变化的现象需要指数函数，对数量级、倍数和反函数关系的分析需要对数函数。本章要做的事很直接：把这些熟悉的函数接入导数语言，理解它们的斜率、速度和瞬时增长率。

周期函数的斜率

先看 $y=\sin x$ 。在 $x=0$ 附近，正弦曲线正在向上穿过原点，斜率接近 $1$ ；在 $x=\frac{\pi}{2}$ 附近，它到达最高点，切线水平，斜率为 $0$ ；在 $x=\pi$ 附近，它向下穿过轴线，斜率接近 $-1$ 。这些斜率的变化本身正好排成一条余弦曲线。

正弦函数的斜率如何形成余弦函数，展示 d/dx sin x = cos x 与相位提前 π/2 的关系

正弦函数的导数不是新的曲线类型，而是同一个周期系统中相位提前的余弦曲线。

基本公式是：

\frac{d}{dx}\sin x=\cos x

\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x

余弦函数的导数前面多了一个负号。直觉上看， $y=\cos x$ 在 $x=0$ 处位于最高点，斜率为 $0$ ；过了最高点以后开始下降，斜率为负。这个负号记录的正是“从最高点往下走”的方向。

这些公式默认角度用弧度制。若把输入当成角度制， $\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ 这个基础极限会改变，导数公式也会多出换算常数。微积分里的三角函数，除非特别说明，都按弧度理解。

正切函数可以写成商：

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}

用商法则求导，得到：

\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x

正切函数及其导数 sec²x 的中文教学图，展示 tan x 的垂直渐近线、上升切线和 sec²x 始终非负

正切函数在每个定义区间内都递增，因此导数 $\sec^2 x$ 始终为正；靠近垂直渐近线时斜率迅速变大。

如果内部还有一个函数 $u(x)$ ，要把链式法则一起用上：

\frac{d}{dx}\sin u(x)=\cos u(x)\cdot u'(x)

\frac{d}{dx}\cos u(x)=-\sin u(x)\cdot u'(x)

\frac{d}{dx}\tan u(x)=\sec^2 u(x)\cdot u'(x)

例题：简谐运动的速度

一个小滑块在水平弹簧上做近似简谐运动。它相对平衡位置的位移为

s(t)=0.08\cos\left(4\pi t-\frac{\pi}{6}\right)

其中 $s(t)$ 的单位是米， $t$ 的单位是秒。求速度函数 $v(t)$ ，并说明最大速率是多少。

速度是位移对时间的导数，所以先写成 $v(t)=s'(t)$ 。这里真正被求导的是一个复合函数，外层是余弦，内层是 $4\pi t-\frac{\pi}{6}$ 。

对余弦求导会得到负的正弦，同时乘以内层导数 $4\pi$ ：

v(t)=0.08\cdot\left[-\sin\left(4\pi t-\frac{\pi}{6}\right)\right]\cdot 4\pi

整理常数，得到速度函数：

v(t)=-0.32\pi\sin\left(4\pi t-\frac{\pi}{6}\right)

因为 $\sin$ 的取值范围是 $[-1,1]$ ，速度的绝对值最大为 $0.32\pi$ 。所以最大速率是

0.32\pi\ \text{米/秒}

约为 $1.01$ 米/秒。

这个例子里，位置函数是余弦，速度函数是负的正弦。速度达到最大时，滑块往往正经过平衡位置；位置到达最高或最低端点时，速度为 $0$ 。导数把“位置图像”换成了“运动快慢图像”。

指数函数的瞬时增长率

指数函数最特别的地方是：变化率和当前数量绑在一起。数量越大，下一瞬间增加得越快；数量越小，下一瞬间变化也越小。

自然指数函数 $e^x$ 是这个家族里最简洁的一个：

\frac{d}{dx}e^x=e^x

自然指数函数 y=e^x 的教学图，展示 x=0、1、2 处函数值与切线斜率相同，说明斜率等于高度

在 $y=e^x$ 上，曲线高度和切线斜率由同一个表达式 $e^x$ 给出。

这条公式不是说指数函数“长得很快”这么笼统，而是说在每个 $x$ 处，它的瞬时变化率正好等于它的当前函数值。比如 $x=0$ 时，函数值为 $1$ ，斜率也为 $1$ ； $x=2$ 时，函数值为 $e^2$ ，斜率也为 $e^2$ 。

一般底数的指数函数要多乘一个常数：

\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a

其中 $a>0$ 且 $a\ne 1$ 。

指数函数导数符号示意图，比较底数大于 1 时增长和底数在 0 与 1 之间时衰减

底数 $a$ 的作用通过 $\ln a$ 进入导数： $a>1$ 时增长， $0<a<1$ 时衰减。

当 $a>1$ 时， $\ln a>0$ ，导数为正，函数增长；当 $0<a<1$ 时， $\ln a<0$ ，导数为负，函数衰减。底数不只是图像形状的参数，它还直接决定导数的符号和变化速度。

若指数的内部是 $u(x)$ ，仍然要乘以内层导数：

\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}u'(x)

\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x)

指数增长模型常写成 $y=y_0e^{kt}$ 。它的导数是 $y'=ky$ ，所以 $k$ 描述的是相对增长率， $ky$ 才是某一时刻的绝对增长速度。两个量单位不同，含义也不同。

例题：指数增长模型的瞬时增长率

某培养皿中细菌数量可近似表示为

P(t)=500e^{0.18t}

其中 $t$ 以小时计， $P(t)$ 表示细菌数。求 $t=4$ 小时时的细菌数量和瞬时增长率。

先求数量。把 $t=4$ 代入模型：

P(4)=500e^{0.72}

近似为 $1027$ 。

对模型求导。由于 $0.18t$ 的导数是 $0.18$ ，所以

P'(t)=500e^{0.18t}\cdot 0.18

把原函数 $P(t)=500e^{0.18t}$ 代回，可以写成更有解释力的形式：

P'(t)=0.18P(t)

这表示每一小时的瞬时增长率约为当前数量的 $18\%$ 。

代入 $t=4$ ：

P'(4)=0.18\cdot 500e^{0.72}\approx 185

因此第 $4$ 小时时，模型给出的瞬时增长率约为每小时增加 $185$ 个细菌。

这里的 $185$ 不是从第 $4$ 小时到第 $5$ 小时的实际增加量，而是 $t=4$ 这一刻切线的斜率。指数模型中，数量越大，这个斜率越大。

对数函数的斜率

对数函数和指数函数互为反函数。自然对数 $y=\ln x$ 的导数是：

\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}

这个公式只在 $x>0$ 时讨论，因为 $\ln x$ 的定义域就是正数。它的图像靠近 $0$ 时很陡，向右走时越来越平缓。

自然对数函数 y=ln x 的导数示意图，标出 x=0.5、1、2、4 处切线斜率分别为 2、1、1/2、1/4，强调定义域 x>0 和斜率 1/x 越往右越小

自然对数的斜率由 $1/x$ 给出，输入越大，单位增加带来的对数变化越小。

一般底数的对数可以通过换底公式化成自然对数：

\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}

所以

\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x\ln a}

其中 $a>0$ 且 $a\ne 1$ 。

复合函数形式也很常见：

\frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}

\frac{d}{dx}\log_a u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\ln a}

不要把 $\frac{d}{dx}\ln(3x)$ 误写成 $\frac{1}{3x}$ 。链式法则给出 $\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$ 。对数求导里，分子上的内层导数经常会和分母的一部分相消。

例题：对数函数与链式法则

求函数

f(x)=\ln(3x^2+1)-\log_2 x

在 $x>0$ 上的导数。

第一项是自然对数复合函数，内层是 $3x^2+1$ ，内层导数是 $6x$ 。因此

\frac{d}{dx}\ln(3x^2+1)=\frac{6x}{3x^2+1}

第二项是以 $2$ 为底的对数函数。根据公式

\frac{d}{dx}\log_2 x=\frac{1}{x\ln 2}

保留原式中的减号，得到

f'(x)=\frac{6x}{3x^2+1}-\frac{1}{x\ln 2}

对数求导的入门方法

有些函数看起来像幂函数，又像指数函数。例如 $x^x$ 中，底数和指数都含有变量。它不是 $x^n$ ，也不是 $a^x$ ，直接套基本公式会出错。

对数求导的想法是：先把函数记为 $y$ ，再对等式两边取自然对数。对数可以把乘积变成和，把商变成差，把幂的指数放下来。等式变得容易求导以后，再把 $y$ 乘回去。

对数求导流程图，展示设 y=f(x)、两边取 ln、利用对数性质展开、两边求导并解出 y'，并以 y=x^x 为例得到 y'=x^x(ln x+1)

对数求导不是新规则的堆叠，而是先用对数性质改写结构，再回到链式法则、乘积法则和商法则。

常用流程是：

设 $y=f(x)$ ，并确认所讨论的区间内 $y>0$ 。入门阶段通常选择本身为正的表达式。

两边取自然对数，得到 $\ln y=\ln f(x)$ 。

用对数性质展开右边，把乘积、商和幂尽量拆开。

对 $x$ 求导。左边要写成 $\frac{y'}{y}$ ，右边按已经学过的规则求导。

两边乘以 $y$ ，最后把 $y$ 换回原来的 $f(x)$ 。

例题：求 $x^x$ 的导数

在 $x>0$ 上，求

y=x^x

的导数。

两边取自然对数：

\ln y=\ln(x^x)

用对数性质把指数放下来：

\ln y=x\ln x

对两边求导。左边用链式法则，右边用乘积法则：

\frac{y'}{y}=\ln x+1

两边乘以 $y$ ，再把 $y=x^x$ 代回：

y'=x^x(\ln x+1)

当表达式里同时出现“变量作底数”和“变量作指数”时，先想到对数求导。取对数以后，指数会降到前面，问题通常会变成乘积法则和链式法则的组合。

常见误区

三角、指数和对数导数的公式不算多，真正容易错的是条件和结构。

第一，三角函数默认用弧度。不要在微积分公式里混用角度制。

第二， $\cos x$ 的导数是 $-\sin x$ ，负号不能丢。类似地，后面遇到 $\cot x$ 、 $\csc x$ 的导数时，也会出现负号。

第三， $a^x$ 的导数不是 $xa^{x-1}$ 。幂函数 $x^n$ 是“变量在底数，常数在指数”；指数函数 $a^x$ 是“常数在底数，变量在指数”。结构不同，规则不同。

第四， $\ln u(x)$ 的导数是 $\frac{u'(x)}{u(x)}$ ，不是简单的 $\frac{1}{u(x)}$ 。只要里面不是单独的 $x$ ，就要检查内层导数。

第五，对数求导不是把两边取对数后忘记左边。若 $\ln y$ 对 $x$ 求导，结果是 $\frac{y'}{y}$ ，不是 $\frac{1}{y}$ 。

练习

求导：

f(x)=3\sin x-2\cos x+\tan x

答案是

f'(x)=3\cos x+2\sin x+\sec^2 x

其中 $-2\cos x$ 的导数是 $2\sin x$ ，负号要一起处理。

求导：

g(t)=5e^{-0.4t}+2^t

答案是

g'(t)=-2e^{-0.4t}+2^t\ln 2

第一项要用链式法则，第二项用 $\frac{d}{dt}a^t=a^t\ln a$ 。

在 $x>0$ 上求导：

h(x)=\ln(3x^2+1)-\log_2 x

答案是

h'(x)=\frac{6x}{3x^2+1}-\frac{1}{x\ln 2}

第一项来自 $\frac{u'}{u}$ ，第二项来自换底公式。

一个物体的位移为

s(t)=0.05\sin(10t)

其中 $s$ 的单位是米， $t$ 的单位是秒。求速度函数和最大速率。

速度函数是

v(t)=s'(t)=0.5\cos(10t)

因为 $\cos(10t)$ 的绝对值最大为 $1$ ，所以最大速率是 $0.5$ 米/秒。

某数量模型为

N(t)=1200e^{0.03t}

其中 $t$ 以天计。求 $N'(t)$ ，并求 $t=10$ 时的瞬时增长率。

导数为

N'(t)=36e^{0.03t}

在 $t=10$ 时，

N'(10)=36e^{0.3}\approx 48.6

也可以写成 $N'(t)=0.03N(t)$ ，表示瞬时增长率等于当前数量的 $3\%$ 。

用对数求导求

y=x^{\sin x}