常见函数求导法则

上一章用差商定义求过导数。那种方法可靠，但每次都从极限开始，计算会很快变长。比如一个产品的收益可以写成“销量乘单价”，一个运动模型可能写成“外层函数套着内层函数”。如果每一道题都重新展开极限，真正的困难会被代数运算淹没。

这一章要做的是建立求导工具箱。先认出函数由哪些基本结构拼成，再选对应法则。求导不是背一堆孤立公式，而是看清楚：这里是幂函数、这里是相加、这里是相乘、这里是相除，还是一个函数套在另一个函数外面。

求导法则工具箱总览图，展示幂函数、常数倍、和差、乘积、商和链式六类常见求导法则。

图示：常见函数求导法则工具箱，按函数结构选择对应规则。

从函数结构入手

求导法则的第一步不是立刻动笔，而是看函数最外层的结构。

如果最外层是加减，先用和差法则拆开。如果最外层是乘积，先用乘积法则。如果最外层是分式，先用商法则。如果最外层是“某个整体的幂”，例如 $(3x^2+1)^4$ ，先把它看成外层函数套着内层函数，用链式法则。

这种判断看起来很小，但它会决定整道题的路线。

一个实用习惯是先问：“最外层正在做什么？”不要先盯着里面最复杂的部分。最外层决定第一条法则，内部结构决定后续还要不要继续拆。

幂函数、常数与线性组合

最常用的规则从幂函数开始。若 $n$ 是实数，在导数存在的地方，

\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

这条规则可以读成一句话：指数搬到前面，原指数减 $1$ 。例如 $x^5$ 的导数是 $5x^4$ ， $x^{-2}$ 的导数是 $-2x^{-3}$ 。

常数函数的图像是一条水平线，斜率为 $0$ ，所以

\frac{d}{dx}c = 0

常数倍不会改变“随 $x$ 变化”的结构，只会把变化率按同样倍数放大或缩小：

\frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x)

加法和减法可以逐项处理：

\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

合在一起，若 $a,b$ 是常数，

\frac{d}{dx}[a f(x)+b g(x)] = a f'(x)+b g'(x)

幂函数、常数函数与线性组合求导法则的中文板书整理图。

图示：幂函数求导时指数前移并减 1，常数函数导数为 0；线性组合求导时保留系数并逐项求导。

例如

\frac{d}{dx}(5x^4-3x^2+7)=20x^3-6x

这里 $7$ 的导数为 $0$ ，系数 $5$ 和 $-3$ 保留下来，再分别对 $x^4$ 和 $x^2$ 使用幂函数求导。

常数函数变成 $0$ ，但常数倍不会消失。比如 $(7)'=0$ ，而 $(7x^3)'=21x^2$ 。很多错误来自把“常数”和“常数倍”混在一起。

乘积法则：两个因子都在变

如果 $h(x)=u(x)v(x)$ ，两个因子都会随着 $x$ 改变。乘积的变化来自两部分： $u$ 变化而 $v$ 暂时保留， $v$ 变化而 $u$ 暂时保留。

\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

也可以简写为

(uv)' = u'v+uv'

乘积法则的面积模型示意图，矩形面积 A=u(x)v(x)，新增面积分为 vΔu、uΔv 和 ΔuΔv。

图示：乘积法则的面积模型，一阶主要贡献来自 $v\Delta u$ 和 $u\Delta v$ ， $\Delta u\Delta v$ 是更小的二阶小块。

面积模型能解释这条公式。把 $u$ 看成矩形宽， $v$ 看成高。宽增加一点，高也增加一点，新增面积主要有两条窄长矩形：一条是 $v \Delta u$ ，一条是 $u \Delta v$ 。角落的小矩形 $\Delta u \Delta v$ 更小，除以 $\Delta x$ 后在极限中消失，于是保留下来的就是 $u'v+uv'$ 。

乘积的导数不是两个导数的乘积。一般来说， $(uv)' \ne u'v'$ 。如果只把两个因子分别求导再相乘，会漏掉一个因子保持原样时带来的变化。

例题：展开求导与乘积法则得到同一结果

求 $h(x)=(4x^3-11)(x+3)$ 的导数，并比较两种方法。

先用直接展开。把两个因式相乘：

h(x)=4x^4+12x^3-11x-33

逐项求导得到：

h'(x)=16x^3+36x^2-11

再用乘积法则。令 $u(x)=4x^3-11$ ， $v(x)=x+3$ ，则 $u'(x)=12x^2$ ， $v'(x)=1$ 。

代入乘积法则：

h'(x)=12x^2(x+3)+(4x^3-11)\cdot 1

化简得：

h'(x)=16x^3+36x^2-11

两种方法一致。这个例子里展开并不难，但如果两个因式都很长，乘积法则通常更稳，也更不容易在展开时出错。

商法则：分母也在变

当函数写成分式时，分子和分母都可能随 $x$ 改变。若 $v(x) \ne 0$ ，

\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}

可以把它读成：上导乘下，减去上乘下导，分母平方。

商法则结构图，展示 u(x)/v(x) 求导后分子为上导乘下减上乘下导，分母为下的平方。

图示：商法则中分子是“上导 × 下 − 上 × 下导”，分母是“下的平方”，且 $v(x)\ne 0$ 。

这条公式不是说“分子导数除以分母导数”。分母变化会改变整个比值的尺度，所以结果需要分母平方来归一化。

例题：使用商法则处理有理函数

求

q(x)=\frac{2x+1}{x^2+4}

的导数。

先标出分子和分母。令 $u(x)=2x+1$ ， $v(x)=x^2+4$ 。于是 $u'(x)=2$ ， $v'(x)=2x$ 。

代入商法则：

q'(x)=\frac{2(x^2+4)-(2x+1)(2x)}{(x^2+4)^2}

化简分子：

2x^2+8-4x^2-2x=-2x^2-2x+8

所以

q'(x)=\frac{-2x^2-2x+8}{(x^2+4)^2}

商法则中减号的顺序不能随便换。若写成 $uv'-u'v$ ，结果会差一个负号。计算时可以先完整写出 $u'v-uv'$ ，再展开化简。

链式法则：外层与内层

复合函数的形式是一个函数套在另一个函数外面：

h(x)=f(g(x))

链式法则说，先对外层函数求导，但内层保持原样，再乘以内层函数的导数：

\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)

若用 $u=g(x)$ 表示内层，也可以写成

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}

链式法则内层函数 g(x) 与外层函数 f(u) 的流程图，展示 x 到 g(x) 再到 f(g(x)) 的求导关系。

图示：链式法则把“外层变化”和“内层变化”相乘。

例如 $(3x^2+1)^4$ 的最外层是“某个整体的四次方”，内层是 $3x^2+1$ 。如果只把它看成 $x^4$ ，就会忘记乘内层导数。

例题：复合函数求导

求

y=(3x^2-2x+5)^4

的导数。

先拆层。内层是

u=3x^2-2x+5

外层是

y=u^4

分别求导。外层对 $u$ 的导数是

\frac{dy}{du}=4u^3

内层对 $x$ 的导数是

\frac{du}{dx}=6x-2

按链式法则相乘，并把 $u$ 换回原来的表达式：

\frac{dy}{dx}=4(3x^2-2x+5)^3(6x-2)

链式法则的口令可以很短：外层先求导，内层不动，再乘内层导数。只要外层里面装的不是单独的 $x$ ，就要主动检查内层导数。

综合使用：先选第一条法则

复杂函数往往需要多条法则一起用。关键是先看最外层，再逐层进入。

求导法则选择流程图，依次判断常数幂、和差或常数倍、乘积、商、外层套内层，并对应选择求导法则。

图示：从常数、幂、和差、乘积、商到链式法则，复杂题先拆外层结构，再处理内部。

比如

y=(x^2+1)^3(x-4)

最外层是两个因子的乘积，所以第一步用乘积法则。第一个因子 $(x^2+1)^3$ 本身又是复合函数，所以在求它的导数时还要用链式法则：

y'=6x(x^2+1)^2(x-4)+(x^2+1)^3

这里不必急着把结果完全展开。保留结构通常更能看出每一项来自哪条法则。

求导结果是否需要展开，取决于后续目的。如果要比较零点，因式形式可能更好；如果要合并同类项或代入计算，展开形式可能更方便。

常见误区

下面这些错误很常见，最好在练习时主动检查。

把 $(uv)'$ 写成 $u'v'$ 。
把 $\left(\frac{u}{v}\right)'$ 写成 $\frac{u'}{v'}$ 。
用商法则时漏掉分母平方。
用链式法则时忘记乘以内层导数。
把常数倍当成常数，误把 $(5x^3)'$ 写成 $0$ 。
在求导前先代入某个 $x$ 值，导致函数结构消失。

练习

练习一

求 $f(x)=5x^4-3x^2+7$ 的导数。

答案是：

f'(x)=20x^3-6x

$7$ 是常数，导数为 $0$ 。

练习二

求 $y=(x^2+1)(x^3-2x)$ 的导数。

用乘积法则：

y'=2x(x^3-2x)+(x^2+1)(3x^2-2)

如果化简，得到：

y'=5x^4-3x^2-2

练习三

求

r(x)=\frac{2x-1}{x^2+3}

的导数。

令 $u=2x-1$ ， $v=x^2+3$ ，则 $u'=2$ ， $v'=2x$ 。因此

r'(x)=\frac{2(x^2+3)-(2x-1)(2x)}{(x^2+3)^2}

化简得：

r'(x)=\frac{-2x^2+2x+6}{(x^2+3)^2}

练习四

求 $g(x)=(4x^2+1)^5$ 的导数。

这是复合函数。外层是五次方，内层是 $4x^2+1$ ：

g'(x)=5(4x^2+1)^4\cdot 8x

所以

g'(x)=40x(4x^2+1)^4

练习五

判断 $y=(x^2+1)^3(x-4)$ 求导时第一步应使用哪条法则，并写出导数。

最外层是乘积，所以第一步用乘积法则。第一个因子求导时再用链式法则：

y'=6x(x^2+1)^2(x-4)+(x^2+1)^3

练习六

某商品销量为 $q$ 时，单价模型为 $p(q)=100-0.5q$ ，收益为 $R(q)=q p(q)$ 。求边际收益 $R'(q)$ ，并计算 $q=30$ 时的边际收益。

先写出收益函数：

R(q)=q(100-0.5q)=100q-0.5q^2

求导得到：

R'(q)=100-q

当 $q=30$ 时，

R'(30)=70

这表示在该模型下，销量接近 $30$ 时，每多销售一个单位，收益大约增加 $70$ 个货币单位。

常见函数求导法则

求导法则工具箱总览图，展示幂函数、常数倍、和差、乘积、商和链式六类常见求导法则。

图示：常见函数求导法则工具箱，按函数结构选择对应规则。

从函数结构入手

求导法则的第一步不是立刻动笔，而是看函数最外层的结构。

这种判断看起来很小，但它会决定整道题的路线。

一个实用习惯是先问：“最外层正在做什么？”不要先盯着里面最复杂的部分。最外层决定第一条法则，内部结构决定后续还要不要继续拆。

幂函数、常数与线性组合

最常用的规则从幂函数开始。若 $n$ 是实数，在导数存在的地方，

\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

这条规则可以读成一句话：指数搬到前面，原指数减 $1$ 。例如 $x^5$ 的导数是 $5x^4$ ， $x^{-2}$ 的导数是 $-2x^{-3}$ 。

常数函数的图像是一条水平线，斜率为 $0$ ，所以

\frac{d}{dx}c = 0

常数倍不会改变“随 $x$ 变化”的结构，只会把变化率按同样倍数放大或缩小：

\frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x)

加法和减法可以逐项处理：

\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

合在一起，若 $a,b$ 是常数，

\frac{d}{dx}[a f(x)+b g(x)] = a f'(x)+b g'(x)

幂函数、常数函数与线性组合求导法则的中文板书整理图。

图示：幂函数求导时指数前移并减 1，常数函数导数为 0；线性组合求导时保留系数并逐项求导。

例如

\frac{d}{dx}(5x^4-3x^2+7)=20x^3-6x

这里 $7$ 的导数为 $0$ ，系数 $5$ 和 $-3$ 保留下来，再分别对 $x^4$ 和 $x^2$ 使用幂函数求导。

常数函数变成 $0$ ，但常数倍不会消失。比如 $(7)'=0$ ，而 $(7x^3)'=21x^2$ 。很多错误来自把“常数”和“常数倍”混在一起。

乘积法则：两个因子都在变

如果 $h(x)=u(x)v(x)$ ，两个因子都会随着 $x$ 改变。乘积的变化来自两部分： $u$ 变化而 $v$ 暂时保留， $v$ 变化而 $u$ 暂时保留。

\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

也可以简写为

(uv)' = u'v+uv'

乘积法则的面积模型示意图，矩形面积 A=u(x)v(x)，新增面积分为 vΔu、uΔv 和 ΔuΔv。

图示：乘积法则的面积模型，一阶主要贡献来自 $v\Delta u$ 和 $u\Delta v$ ， $\Delta u\Delta v$ 是更小的二阶小块。

乘积的导数不是两个导数的乘积。一般来说， $(uv)' \ne u'v'$ 。如果只把两个因子分别求导再相乘，会漏掉一个因子保持原样时带来的变化。

例题：展开求导与乘积法则得到同一结果

求 $h(x)=(4x^3-11)(x+3)$ 的导数，并比较两种方法。

先用直接展开。把两个因式相乘：

h(x)=4x^4+12x^3-11x-33

逐项求导得到：

h'(x)=16x^3+36x^2-11

再用乘积法则。令 $u(x)=4x^3-11$ ， $v(x)=x+3$ ，则 $u'(x)=12x^2$ ， $v'(x)=1$ 。

代入乘积法则：

h'(x)=12x^2(x+3)+(4x^3-11)\cdot 1

化简得：

h'(x)=16x^3+36x^2-11

两种方法一致。这个例子里展开并不难，但如果两个因式都很长，乘积法则通常更稳，也更不容易在展开时出错。

商法则：分母也在变

当函数写成分式时，分子和分母都可能随 $x$ 改变。若 $v(x) \ne 0$ ，

\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}

可以把它读成：上导乘下，减去上乘下导，分母平方。

商法则结构图，展示 u(x)/v(x) 求导后分子为上导乘下减上乘下导，分母为下的平方。

图示：商法则中分子是“上导 × 下 − 上 × 下导”，分母是“下的平方”，且 $v(x)\ne 0$ 。

这条公式不是说“分子导数除以分母导数”。分母变化会改变整个比值的尺度，所以结果需要分母平方来归一化。

例题：使用商法则处理有理函数

求

q(x)=\frac{2x+1}{x^2+4}

的导数。

先标出分子和分母。令 $u(x)=2x+1$ ， $v(x)=x^2+4$ 。于是 $u'(x)=2$ ， $v'(x)=2x$ 。

代入商法则：

q'(x)=\frac{2(x^2+4)-(2x+1)(2x)}{(x^2+4)^2}

化简分子：

2x^2+8-4x^2-2x=-2x^2-2x+8

所以

q'(x)=\frac{-2x^2-2x+8}{(x^2+4)^2}

商法则中减号的顺序不能随便换。若写成 $uv'-u'v$ ，结果会差一个负号。计算时可以先完整写出 $u'v-uv'$ ，再展开化简。

链式法则：外层与内层

复合函数的形式是一个函数套在另一个函数外面：

h(x)=f(g(x))

链式法则说，先对外层函数求导，但内层保持原样，再乘以内层函数的导数：

\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)

若用 $u=g(x)$ 表示内层，也可以写成

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}

链式法则内层函数 g(x) 与外层函数 f(u) 的流程图，展示 x 到 g(x) 再到 f(g(x)) 的求导关系。

图示：链式法则把“外层变化”和“内层变化”相乘。

例如 $(3x^2+1)^4$ 的最外层是“某个整体的四次方”，内层是 $3x^2+1$ 。如果只把它看成 $x^4$ ，就会忘记乘内层导数。

例题：复合函数求导

求

y=(3x^2-2x+5)^4

的导数。

先拆层。内层是

u=3x^2-2x+5

外层是

y=u^4

分别求导。外层对 $u$ 的导数是

\frac{dy}{du}=4u^3

内层对 $x$ 的导数是

\frac{du}{dx}=6x-2

按链式法则相乘，并把 $u$ 换回原来的表达式：

\frac{dy}{dx}=4(3x^2-2x+5)^3(6x-2)

链式法则的口令可以很短：外层先求导，内层不动，再乘内层导数。只要外层里面装的不是单独的 $x$ ，就要主动检查内层导数。

综合使用：先选第一条法则

复杂函数往往需要多条法则一起用。关键是先看最外层，再逐层进入。

求导法则选择流程图，依次判断常数幂、和差或常数倍、乘积、商、外层套内层，并对应选择求导法则。

图示：从常数、幂、和差、乘积、商到链式法则，复杂题先拆外层结构，再处理内部。

比如

y=(x^2+1)^3(x-4)

最外层是两个因子的乘积，所以第一步用乘积法则。第一个因子 $(x^2+1)^3$ 本身又是复合函数，所以在求它的导数时还要用链式法则：

y'=6x(x^2+1)^2(x-4)+(x^2+1)^3

这里不必急着把结果完全展开。保留结构通常更能看出每一项来自哪条法则。

求导结果是否需要展开，取决于后续目的。如果要比较零点，因式形式可能更好；如果要合并同类项或代入计算，展开形式可能更方便。

常见误区

下面这些错误很常见，最好在练习时主动检查。

把 $(uv)'$ 写成 $u'v'$ 。
把 $\left(\frac{u}{v}\right)'$ 写成 $\frac{u'}{v'}$ 。
用商法则时漏掉分母平方。
用链式法则时忘记乘以内层导数。
把常数倍当成常数，误把 $(5x^3)'$ 写成 $0$ 。
在求导前先代入某个 $x$ 值，导致函数结构消失。

练习

练习一

求 $f(x)=5x^4-3x^2+7$ 的导数。

答案是：

f'(x)=20x^3-6x

$7$ 是常数，导数为 $0$ 。

练习二

求 $y=(x^2+1)(x^3-2x)$ 的导数。

用乘积法则：

y'=2x(x^3-2x)+(x^2+1)(3x^2-2)

如果化简，得到：

y'=5x^4-3x^2-2

练习三

求

r(x)=\frac{2x-1}{x^2+3}

的导数。

令 $u=2x-1$ ， $v=x^2+3$ ，则 $u'=2$ ， $v'=2x$ 。因此

r'(x)=\frac{2(x^2+3)-(2x-1)(2x)}{(x^2+3)^2}

化简得：

r'(x)=\frac{-2x^2+2x+6}{(x^2+3)^2}

练习四

求 $g(x)=(4x^2+1)^5$ 的导数。

这是复合函数。外层是五次方，内层是 $4x^2+1$ ：

g'(x)=5(4x^2+1)^4\cdot 8x

所以

g'(x)=40x(4x^2+1)^4

练习五

判断 $y=(x^2+1)^3(x-4)$ 求导时第一步应使用哪条法则，并写出导数。

最外层是乘积，所以第一步用乘积法则。第一个因子求导时再用链式法则：

y'=6x(x^2+1)^2(x-4)+(x^2+1)^3

练习六

某商品销量为 $q$ 时，单价模型为 $p(q)=100-0.5q$ ，收益为 $R(q)=q p(q)$ 。求边际收益 $R'(q)$ ，并计算 $q=30$ 时的边际收益。

先写出收益函数：

R(q)=q(100-0.5q)=100q-0.5q^2

求导得到：

R'(q)=100-q

当 $q=30$ 时，

R'(30)=70

这表示在该模型下，销量接近 $30$ 时，每多销售一个单位，收益大约增加 $70$ 个货币单位。