极限运算与常见极限

上一章我们把极限理解成“输入越来越靠近某处时，输出越来越靠近哪里”。这一章开始计算。计算不是把符号机械代进去，而是先判断当前问题属于哪一种情形，再选合适的变形。

先看一个具体问题：

$$\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$

如果直接把 $x=2$ 代入，会得到 $0/0$。这不是答案，也不是说明极限不存在。它只是告诉我们：当前表达式把真实的趋近趋势遮住了，需要先整理式子。

图：先判断代入后的形式，再选择极限法则、因式分解、最高次项比较或重要三角极限。

---

极限法则把计算变成局部处理

设

$$\lim_{x \to a} f(x)=L,\qquad \lim_{x \to a} g(x)=M$$

如果这些极限都存在，那么常数倍、和差、乘积可以直接分别取极限：

$$\lim_{x \to a} c f(x)=cL$$ $$\lim_{x \to a} \bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M$$ $$\lim_{x \to a} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M$$ $$\lim_{x \to a} f(x)g(x)=LM$$

商的情况要多一个条件：分母的极限不能是 0。

$$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},\qquad M\ne 0$$

这些法则的直觉很朴素。如果 $f(x)$ 靠近 $L$，$g(x)$ 靠近 $M$，那么它们的和就靠近 $L+M$，积就靠近 $LM$。真正要小心的是商法则，因为“越来越接近 0 的分母”会放大误差，甚至让函数值发散。

---

先代入，再判断形式

多项式在任意实数处都连续，所以多项式极限可以直接代入：

$$\lim_{x \to a} p(x)=p(a)$$

有理函数也常常可以直接代入，但前提是分母在目标点不为 0。若 $q(a)\ne 0$，则

$$\lim_{x \to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}$$

例如

$$\lim_{x \to 1}\frac{x^2+3x+5}{x+2} =\frac{1+3+5}{3}=3$$

如果代入后得到 $0/0$，情况就不同了。$0/0$ 叫未定式，它说明分子和分母同时变小，但还没有说明谁变小得更快。此时常见做法是因式分解、约去共同因式、再求极限。

图：因式分解消去只是帮助求极限；原式在 $x=2$ 处无定义，极限可代入化简后的表达式。

---

可约分的有理函数与孔洞

考虑函数

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

当 $x\ne 1$ 时，可以因式分解并约去共同因式：

$$\frac{x^2-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1$$

但这个约分只在 $x\ne 1$ 的范围内有效。原函数在 $x=1$ 处分母为 0，所以函数值不存在。极限问的是 $x$ 趋近 1 时函数值靠近哪里，因此可以看化简式的趋势：

$$\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x \to 1}(x+1)=2$$

图：函数 $y=(x^2-1)/(x-1)$ 在 $x=1$ 处函数值未定义，但两侧沿化简后的直线 $y=x+1$ 趋向 2。

例题：可约分的有理函数极限

计算

$$\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$

---

无穷远处的极限与水平渐近线

$x \to \infty$ 不是说 $x$ 到达了某个叫“无穷”的数，而是说我们观察 $x$ 越来越大时函数的长期趋势。对有理函数来说，一个可靠办法是把分子分母同时除以分母中的最高次幂。

例如

$$\frac{2x^2+3x+1}{x^2+4} = \frac{2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}$$

当 $x\to\infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{x^2}$ 都趋向 0，所以这个分式趋向 2。

图：当 $\lvert x\rvert$ 越来越大时，低次项相对被压小，函数图像逐渐贴近水平渐近线 $y=2$。

如果

$$\lim_{x \to \infty} f(x)=L$$

或

$$\lim_{x \to -\infty} f(x)=L$$

那么直线 $y=L$ 叫作函数图像的一条水平渐近线。它描述的是远处趋势，不要求曲线在有限位置永远不能穿过这条线。

图：低次比高次极限为 0，同次数看最高次系数比，高次比低次通常发散或出现斜渐近线。

例题：判断水平渐近线

判断函数

$$f(x)=\frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x+4}$$

在 $x\to\infty$ 时是否趋向水平渐近线，并求出这条渐近线。

一个简单应用是平均成本模型。若生产 $n$ 件产品的平均成本被粗略写成

$$A(n)=12+\frac{500}{n}$$

那么

$$\lim_{n \to \infty}A(n)=12$$

这表示固定成本被越来越多的产品分摊后，平均成本会靠近每件 12 元的长期水平。模型本身很简化，但它说明了水平渐近线常常用来表达“长期靠近的稳定值”。

---

重要三角极限的直观含义

本章只使用一个最常见的三角极限：

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

这里的 $x$ 必须用弧度。直觉上，当角 $x$ 很小时，单位圆上的弧长 $x$ 和对应的竖直高度 $\sin x$ 几乎一样长，所以它们的比值趋向 1。

图：单位圆直观解释，当 $x\to 0$ 时，由 $\sin x < x < \tan x$ 可推出 $\sin x/x$ 趋向 1。

这个极限常和换元一起出现。只要把分子里的角和分母里的变量配成同一个小量，就能回到基本形式。

例题：把三角极限化成标准形式

计算

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{2x}$$

---

练习

练习 1 计算：

$$\lim_{x \to 4}\frac{x^2-16}{x-4}$$

练习 2 计算：

$$\lim_{x \to -1}\frac{x^2+3x+2}{x+1}$$

练习 3 计算：

$$\lim_{x \to \infty}\frac{5x^3-x}{2x^3+7}$$

练习 4 判断下面函数在 $x\to\infty$ 时是否有水平渐近线，并写出渐近线：

$$f(x)=\frac{4x+1}{x^2+3}$$

练习 5 计算：

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x}$$

练习 6 设

$$f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$$

判断 $x=3$ 处的函数值是否存在，并求 $\lim_{x\to 3}f(x)$。