极限思想：变化过程中的逼近

一辆车经过测速点时，仪器给出的是“这一瞬间”的速度。但如果只用普通手表和里程表，我们往往只能量出一小段时间内的平均速度：0.1 秒、0.01 秒、0.001 秒。时间段越短，平均速度越接近那个瞬间的速度。

极限就在处理这种问题：我们关心的不是某个孤立位置上发生了什么，而是当变量沿着一个过程不断靠近某个位置时，函数值是否也靠近某个稳定目标。

数列逼近但不取到：$a_n = 1 - 1/n$ 越来越接近 1，每一项仍小于 1。

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从数列看逼近

先看一个数列：

$$a_n = 1 - \frac{1}{n}$$

当 $n=1,2,3,4,\ldots$ 时，数列的前几项是：

这些数都在 1 的左边，并且越来越靠近 1。可是无论 $n$ 取多大的正整数，$\frac{1}{n}$ 都不是 0，所以 $a_n$ 从来不等于 1。

这就是“逼近”的第一层意思：目标可以被不断接近，但不要求真的取到。

我们把这个过程写成：

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 1$$

这里的 $n \to \infty$ 不是说 $n$ 变成了某个叫“无穷大”的数，而是说 $n$ 沿着越来越大的方向变化。极限描述的是这个变化过程的趋势。

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函数极限的直觉

函数极限把刚才的想法放到图像和输入值上。设 $x$ 越来越接近某个数 $a$，如果对应的 $f(x)$ 越来越接近同一个数 $L$，我们就写：

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

这句话读作：当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 的极限是 $L$。

注意这里写的是 $x \to a$，不是 $x=a$。极限观察的是 $a$ 附近的函数值怎样变化，而不是只盯住 $a$ 这一点。

图像里的空心点常用来表示“这里不取这个值”。如果曲线从左右两边都靠近同一个高度，极限仍然可以存在。函数在这个点有没有定义、定义成什么值，是另一个问题。

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用表格判断极限

表格适合训练“从两侧靠近”的眼睛。假设我们要判断：

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

原式在 $x=2$ 时分母为 0，所以不能直接代入。但极限并不是问 $x=2$ 时的函数值。我们可以让 $x$ 从 2 的左边和右边靠近。

两列的函数值都靠近 4，所以我们猜测极限是 4。

用表格判断极限：图中展示另一组数值从两侧靠近同一个目标，重点是看两列的共同趋势。

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例题：表格中的极限

判断下面极限是否存在，并说明理由：

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

因此：

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$$

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左极限与右极限

从一个点的左边靠近，叫左极限；从右边靠近，叫右极限。记号分别是：

$$\lim_{x \to a^-} f(x)$$ $$\lim_{x \to a^+} f(x)$$

如果从左边靠近和从右边靠近看到的是同一个目标，二侧极限才存在：

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x \to a^-} f(x)=L \text{ 且 } \lim_{x \to a^+} f(x)=L$$

如果左右两边靠近的目标不同，就不能说二侧极限存在。哪怕函数在那个点正好有一个值，也补不上左右趋势之间的断裂。

左右看见的目标不同，极限不存在。

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例题：图像中的左右极限

设函数 $g(x)$ 的图像可以用下面的分段式描述：

$$g(x)= \begin{cases} x+1, & x<0 \\ 2, & x=0 \\ 3-x, & x>0 \end{cases}$$

判断 $\lim_{x \to 0} g(x)$ 是否存在。

写成记号就是：

$$\lim_{x \to 0^-} g(x)=1$$ $$\lim_{x \to 0^+} g(x)=3$$

所以：

$$\lim_{x \to 0} g(x) \text{ 不存在}$$

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无穷趋近

有时变量不是靠近某个有限数，而是越来越大。例如：

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

当 $x=10,100,1000$ 时，函数值是 $0.1,0.01,0.001$。$x$ 越来越大，$f(x)$ 越来越接近 0。

我们写作：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$$

这仍然是“逼近”，不是“取到”。只要 $x$ 是有限的正数，$\frac{1}{x}$ 就仍然大于 0。图像会越来越贴近 $x$ 轴，但不会在有限位置上穿过它。

无穷趋近示意：$x$ 越来越大时，函数值越来越接近 0，但始终不是等于 0。

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应用：平均速度逼近瞬时速度

设一辆小车沿直线运动，位置函数近似为：

$$s(t)=5t^2$$

这里 $s(t)$ 表示 $t$ 秒后离起点的距离，单位是米。我们想估计 $t=2$ 秒这一瞬间的速度。

如果取从 $2$ 秒到 $2+h$ 秒的一小段时间，平均速度是：

$$\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$$

把 $s(t)=5t^2$ 代入：

$$\frac{5(2+h)^2-5\cdot 2^2}{h}$$

当 $h \ne 0$ 时，它可以化简为：

$$20+5h$$

$h$ 越接近 0，平均速度越接近 20。我们把这个趋势理解为 $t=2$ 秒处的瞬时速度。

平均速度逼近瞬时速度：当时间间隔缩小时，割线斜率逐渐接近切线斜率，极限给出局部变化率。

这个例子说明，极限不是纯粹的符号游戏。它把“越来越短的一段时间”“越来越靠近的一点”“越来越薄的一片区域”变成可以计算的对象。

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常见误区

几个判断习惯可以帮你少犯错：

1. 先看问题问的是 $\lim_{x \to a} f(x)$ 还是 $f(a)$。
2. 如果是极限，优先观察 $a$ 附近而不是只观察 $a$ 本身。
3. 从左、右两侧分别看；两侧靠近同一个目标，二侧极限才存在。
4. 图像里空心点、实心点和断裂都要分开读。空心点影响函数值是否取到，但不一定破坏极限。
5. 当输入趋向无穷时，关注输出是否靠近某个稳定数，或是否没有上界地下去、上去。

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练习

1. 数列 $b_n=2-\frac{1}{n}$ 的前几项越来越接近哪个数？它会在某一项真正等于这个数吗？

2. 某函数在 $x$ 靠近 3 时有如下表格。判断 $\lim_{x \to 3} f(x)$，并说明是否需要知道 $f(3)$。

3. 一个函数在 $x=1$ 左侧的图像靠近高度 2，在 $x=1$ 右侧的图像靠近高度 5。$\lim_{x \to 1} f(x)$ 存在吗？

4. 判断下面极限：

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$$

5. 某物体的位置函数为 $s(t)=t^2+1$。用从 $t=1$ 到 $t=1+h$ 的平均速度估计 $t=1$ 处的瞬时速度。先写出平均速度表达式，再判断 $h \to 0$ 时它趋近多少。

6. 判断下面极限，并解释为什么这不是说函数在某个有限的 $x$ 上等于 3。

$$\lim_{x \to \infty} \left(3+\frac{2}{x}\right)$$