连续性：图像能不能一笔画下去

一辆车从隧道入口开到出口，位置会随着时间变化。只要车没有瞬间传送，位置函数的图像就不该突然断开。温度、液面高度、弹簧长度也常有类似性质：时间一点点变，测量值也一点点变。

但不是所有量都这样。银行账户余额可能在转账到账的一瞬间跳起来，阶梯电价也可能在用电量跨过某个档位后突然换规则。连续性要处理的正是这个问题：一个函数在某个点附近变化时，图像能不能不抬笔地接过去。

这一章把前两章的极限和函数值接起来。极限问的是“靠近某点时趋向哪里”，连续性再多问一句：“函数在这个点本身，是否正好取到那个值？”

连续性的三件事检查表：函数在 x=a 附近平滑通过点，极限值与函数值在同一水平线上对齐，右侧列出 f(a) 有定义、极限存在、二者相等。

连续的三件事：函数值存在、极限存在，并且二者相等。

从一个缺点问题开始

先看一个很小的问题：

g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

当 $x\ne 2$ 时，可以约分：

g(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2

所以当 $x$ 越来越靠近 $2$ ，函数值越来越靠近 $4$ 。可是原式在 $x=2$ 时分母为 $0$ ，函数值没有定义。图像看起来几乎是一条直线，只是在 $(2,4)$ 这里缺了一个点。

展示函数 y=(x²−4)/(x−2) 在 x=2 处有空洞，并通过补 f(2)=4 变为连续的中文微积分教学图。

补上函数值 f(2)=4，就能把可去间断点补成连续点。

如果把 $g(2)$ 补定义为 $4$ ，这个缺口就被填上了。这里的“补上”不是随便填一个数，而是填极限给出的那个数。

连续性关心的不是公式长得是否整齐，而是函数在某一点附近的趋向和这一点本身的函数值是否对得上。极限给出附近的趋势，函数值给出点上的实际取值。

连续的定义

函数 $f$ 在 $x=a$ 处连续，意思是：

\lim_{x\to a} f(x)=f(a)

这一个等式背后有三件事：

$f(a)$ 有定义；
$\lim_{x\to a}f(x)$ 存在；
极限值等于函数值。

少任何一件，都不能说 $f$ 在 $a$ 处连续。

不要只算极限就下结论。函数在某点的极限可以存在，但如果这一点没有函数值，或者函数值被定义成了别的数，函数仍然不连续。

下面这个交互可以切换三种情况。观察右侧三项检查，尤其注意“极限存在”和“函数值等于极限”不是同一件事。

常见函数在哪里连续

很多熟悉的函数在自己的定义域内都是连续的。多项式函数在所有实数上连续；有理函数在分母不为 $0$ 的地方连续；指数函数和正弦、余弦函数在所有实数上连续；对数函数在 $x>0$ 上连续。

这句话的用法很朴素：如果研究点不在函数的危险位置，就可以直接使用连续性。比如 $p(x)=x^3-2x+1$ 是多项式，所以它在 $[-1,2]$ 上连续，不需要逐点检查。

三类常见间断

函数在某点不连续，就说这个点是间断点。初学微积分时，最常见的三类间断是可去间断、跳跃间断和无穷间断。

三类间断对比图：可去间断、跳跃间断、无穷间断

三类间断对比：看极限是否存在、是否相等、是否为有限值。

类型	图像特征	极限情况	能否只改一个点修好
可去间断	图像有一个洞，或洞旁边有一个错放的点	双侧极限存在且有限	可以
跳跃间断	左边靠近一个高度，右边靠近另一个高度	左右极限都存在但不相等	不可以
无穷间断	图像靠近某条竖线时向上或向下发散	至少一侧趋向无穷	不可以

可去间断的典型形式是：

\lim_{x\to a}f(x)=L

但 $f(a)$ 没有定义，或者 $f(a)\ne L$ 。这时只要重新定义 $f(a)=L$ ，就能让函数在 $a$ 处连续。

跳跃间断的典型判断是：

\lim_{x\to a^-}f(x)\ne \lim_{x\to a^+}f(x)

左右两边已经靠向不同高度，给 $f(a)$ 填任何一个数都无法同时接住两边。

无穷间断常出现在竖直渐近线附近，例如 $f(x)=\frac{1}{x-2}$ 在 $x=2$ 附近会发散。它不是“缺一个点”，而是附近的函数值本身没有稳定高度。

把所有间断都叫“洞”会误导判断。只有双侧极限存在且有限的间断，才可能通过补一个函数值修好；跳跃间断和无穷间断不能靠改 $f(a)$ 解决。

判断分段函数的连接点

分段函数通常只需要重点检查连接点。每一段内部如果是多项式、直线、指数或其他已知连续函数，就先不用费力。真正可能出问题的，是两段规则切换的地方。

分段函数在 x=1 处比较左极限、右极限和函数值来判断连续性的示意图

连接点是否连续，要看左极限、右极限与函数值三者是否相等。

例题：判断连接点是否连续

判断下面的函数在 $x=1$ 处是否连续；如果不连续，说明间断类型。

f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<1\\ 4, & x=1\\ x^2+2, & x>1 \end{cases}

先看函数值。题目直接给出 $f(1)=4$ ，所以连续性的第一项检查通过：函数在这个点有定义。

再算左极限。因为 $x<1$ 时使用 $2x+1$ ，所以

\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(2x+1)=3

接着算右极限。因为 $x>1$ 时使用 $x^2+2$ ，所以

\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x^2+2)=3

左右极限相等，因此双侧极限存在，且

\lim_{x\to 1}f(x)=3

但 $f(1)=4$ ，极限值和函数值不相等，所以 $f$ 在 $x=1$ 处不连续。

由于双侧极限存在且有限，只是函数值放错了位置，这个间断是可去间断。如果把 $f(1)$ 改成 $3$ ，函数就在 $x=1$ 处连续。

补一个函数值让函数连续

“补值”题的思路很固定：先把目标点以外的表达式看清楚，再求靠近目标点的极限，最后把该点函数值定义成这个极限。

例题：求参数让函数连续

设

h(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & x\ne 2\\ k, & x=2 \end{cases}

求 $k$ ，使 $h$ 在 $x=2$ 处连续。

连续要求 $h(2)$ 等于 $x$ 趋近 $2$ 时的极限。题目已经把 $h(2)$ 写成 $k$ ，所以目标是先求

\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}

当 $x\ne 2$ 时，可以因式分解并约去共同因子：

\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2

约分只用于 $x\ne 2$ 的附近点，不是在原式里把 $x=2$ 代进去。

现在求极限：

\lim_{x\to 2}(x+2)=4

要让 $h$ 在 $x=2$ 处连续，需要

h(2)=\lim_{x\to 2}h(x)=4

因为 $h(2)=k$ ，所以 $k=4$ 。

补值题的答案来自极限，不来自代入原式。原式在缺点处不能代入，但极限可以通过附近点的趋势算出来。

闭区间上的连续函数

函数在一个区间上连续，意思是它在区间里的每个点都连续。对开区间内的点，我们用双侧极限检查；对闭区间端点，只能从区间内部靠近。

闭区间 [a,b] 上连续的函数曲线，端点单侧观察，中间点双侧观察

闭区间连续要求左端点看右连续、右端点看左连续，中间点看两侧。

函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，通常理解为：

f \text{ 在 } (a,b) \text{ 内每一点连续}

并且端点满足：

\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a),\qquad \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)

这个端点规则很自然。因为在 $[a,b]$ 上研究函数时， $a$ 的左边和 $b$ 的右边本来不属于这个区间，不能要求函数从区间外也接得上。

中间值思想

连续函数最有用的直觉之一是：如果图像从一个高度走到另一个高度，中间的高度不能被跳过。

闭区间 [a,b] 上连续曲线从 f(a) 上升到 f(b)，水平线 y=M 与曲线相交于 c，说明至少有一个 c 使 f(c)=M。

中间值思想：从低到高，不能跳过中间高度。

更准确地说，如果 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $M$ 介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，那么至少存在一个 $c\in[a,b]$ ，使得：

f(c)=M

“介于之间”可以写成：

f(a)\le M\le f(b)

或

f(b)\le M\le f(a)

这个结论叫中间值定理。它不告诉我们 $c$ 具体在哪里，也不保证这样的 $c$ 只有一个；它只保证至少有一个。

例题：证明方程有解

说明方程

x^3+x-1=0

在区间 $(0,1)$ 内至少有一个解。

把方程左边看成函数：

F(x)=x^3+x-1

它是多项式，所以在 $[0,1]$ 上连续。

计算端点函数值：

F(0)=-1

F(1)=1

$0$ 介于 $F(0)=-1$ 和 $F(1)=1$ 之间。由于 $F$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，根据中间值定理，存在某个 $c\in(0,1)$ ，使得

F(c)=0

$F(c)=0$ 就是 $c^3+c-1=0$ ，所以原方程在 $(0,1)$ 内至少有一个解。

中间值定理只能在连续函数上使用。如果函数中间有跳跃，就可能从一个高度跳到另一个高度，却从未取到中间某个值。

小结

连续性把“靠近时的趋势”和“点上的取值”放在一起检查。判断某点连续时，先问函数值是否存在，再问双侧极限是否存在，最后比较二者是否相等。

可去间断可以通过补一个函数值修好；跳跃间断是左右极限不相等；无穷间断是靠近某点时函数值发散。闭区间上的连续函数还有一个重要后果：端点之间的每个中间高度都至少会被取到一次。

练习

练习 1 判断下面的函数在 $x=1$ 处是否连续。

f(x)= \begin{cases} x^2+2, & x<1\\ 3, & x=1\\ 2x+1, & x>1 \end{cases}

左极限为 $\lim_{x\to 1^-}(x^2+2)=3$ ，右极限为 $\lim_{x\to 1^+}(2x+1)=3$ ，所以双侧极限是 $3$ 。又因为 $f(1)=3$ ，所以函数在 $x=1$ 处连续。

练习 2 设

g(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-9}{x-3}, & x\ne 3\\ k, & x=3 \end{cases}

求 $k$ ，使 $g$ 在 $x=3$ 处连续。

当 $x\ne 3$ 时，

\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3

所以

\lim_{x\to 3}g(x)=6

要连续，必须令 $g(3)=6$ ，因此 $k=6$ 。

练习 3 判断 $r(x)=\frac{1}{x-2}$ 在 $x=2$ 处的间断类型。

$r(2)$ 没有定义，并且当 $x$ 靠近 $2$ 时函数值会无界发散。这个点是无穷间断，不是可去间断。

练习 4 设

p(x)= \begin{cases} ax+1, & x<2\\ x^2-a, & x\ge 2 \end{cases}

求 $a$ ，使 $p$ 在 $x=2$ 处连续。

左极限是

\lim_{x\to 2^-}p(x)=2a+1

右侧规则包含 $x=2$ ，所以

p(2)=4-a

连续要求 $2a+1=4-a$ ，解得 $3a=3$ ，所以 $a=1$ 。

练习 5 用中间值定理说明方程 $x^3-2x-1=0$ 在区间 $(1,2)$ 内至少有一个解。

令 $Q(x)=x^3-2x-1$ 。它是多项式，在 $[1,2]$ 上连续。

Q(1)=1-2-1=-2

Q(2)=8-4-1=3

$0$ 介于 $-2$ 和 $3$ 之间，所以由中间值定理，存在 $c\in(1,2)$ ，使得 $Q(c)=0$ 。原方程在 $(1,2)$ 内至少有一个解。

练习 6 已知 $f$ 在 $[0,4]$ 上连续，且 $f(0)=10$ ， $f(4)=2$ 。能否断定存在 $c\in[0,4]$ 使 $f(c)=7$ ？能否断定这样的 $c$ 只有一个？

可以断定存在。因为 $7$ 介于 $10$ 和 $2$ 之间，且 $f$ 在 $[0,4]$ 上连续，所以中间值定理保证至少有一个 $c$ 使 $f(c)=7$ 。不能断定只有一个；函数图像可能多次经过高度 $7$ 。