基本积分方法

如果一辆车的速度是 $v(t)=3t^2-4t+1$ ，我们想恢复它的位置函数，应该做什么？

上一章已经说明：如果 $s'(t)=v(t)$ ，那么位置函数 $s(t)$ 是速度函数 $v(t)$ 的一个原函数。现在问题变成计算：怎样从一个已知的导函数，找回可能的原函数。

积分计算刚开始不需要很多技巧。先会三件事就能处理一大批题：能直接从导数表倒着看；能认出链式法则的反向结构；能在简单乘积里使用分部积分。

常见直接积分表，列出幂函数、指数函数、三角函数、常数倍法则和和差法则的积分公式，并强调最后加 C。 — 常见直接积分表：从导数表倒着看，整理基本积分公式与线性法则。

不定积分是一族函数

若 $F'(x)=f(x)$ ，我们说 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。 $f(x)$ 的不定积分记作：

\int f(x)\,dx=F(x)+C

这里的 $C$ 是任意常数。它不是装饰，因为同一个导函数可能来自无穷多个只差常数的函数。例如：

\frac{d}{dx}(x^2)=2x

\frac{d}{dx}(x^2+7)=2x

\frac{d}{dx}(x^2-100)=2x

所以：

\int 2x\,dx=x^2+C

不定积分的答案通常是一族函数，而不是一个单独函数。只有题目给出初始条件，例如 $F(0)=5$ ，我们才可以把 $C$ 算成具体数值。

直接积分的核心是把常见导数表倒过来看。最常用的规则包括：

\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1)

\int \frac{1}{x}\,dx=\ln |x|+C

\int e^x\,dx=e^x+C

\int \cos x\,dx=\sin x+C

\int \sin x\,dx=-\cos x+C

常数倍和加减可以拆开：

\int \bigl(af(x)+bg(x)\bigr)\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx

积分没有普通意义下的“乘积法则”和“商法则”。不能把 $\int f(x)g(x)\,dx$ 直接写成 $\int f(x)\,dx\int g(x)\,dx$ 。遇到乘积时，先观察能不能换元；不行时再考虑分部积分。

例题：直接积分一组常见项

计算：

\int \left(6x^5-\frac{4}{x}+3\cos x-2e^x\right)\,dx

先把积分按加减拆开，并把常数因子留在每一项前面。这样可以分别处理幂函数、对数、三角函数和指数函数。

对 $6x^5$ 使用幂函数积分公式，得到 $x^6$ 。对使用，得到。

这类题的检查很直接：把结果求导，应该回到原来的被积函数。

例题：用初始条件确定常数

一辆车的速度为 $v(t)=3t^2-4t+1$ ，位置函数满足 $s(0)=5$ 。求 $s(t)$ 。

位置函数的导数是速度，所以先写成不定积分：

s(t)=\int (3t^2-4t+1)\,dt

换元法是链式法则倒过来

有些积分看起来不能直接套表，但里面藏着“外层函数”和“内层函数”。例如：

\int 2x\cos(x^2+1)\,dx

这里的 $x^2+1$ 是内层函数，它的导数是 $2x$ 。这正好对应链式法则：

\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)

把这条规则倒过来看，就得到换元法的基本想法：

\int F'(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C

链式法则反向识别对照图，展示正向求导与反向积分结构，并用颜色标出内层 g(x) 与内层导数 g'(x)。 — 看见复合函数和内层导数：从链式法则到换元积分的反向识别。

换元法用一个临时变量把内层函数改名。若令 $u=g(x)$ ，且 $du=g'(x)\,dx$ ，那么：

\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du

换元法的五步流程图，展示从找内层 u 到换回 x 并加 C 的积分换元步骤。 — 以 ∫2x cos(x²+1) dx 为例，说明换元法中先把内层函数记作 u，再全部换成 u 积分，最后换回 x 并加 C。

换元的关键不是把某一块改成 $u$ 就结束，而是让整个积分都只剩下 $u$ 和 $du$ 。

换元后最常见的错误是混用变量：式子里一部分已经写成 $u$ ，另一部分还留着 $x$ 。如果是不定积分，要么全部换成 $u$ 后积分，再换回 $x$ ；要么暂时不要换元。

例题：识别内层导数

计算：

\int 2x\cos(x^2+1)\,dx

观察复合函数 $\cos(x^2+1)$ 的内层是 $x^2+1$ 。它的导数是，正好在积分中出现。

答案是：

\int 2x\cos(x^2+1)\,dx=\sin(x^2+1)+C

例题：差一个常数也可以换元

计算：

\int 3(3x+2)^4\,dx

内层函数是 $3x+2$ ，它的导数是 $3$ ，正好与积分前面的系数匹配。

令 $u=3x+2$ ，则。原积分变成：

如果前面的系数不是完全匹配，也常常只差一个常数。例如：

\int e^{5x}\,dx

令 $u=5x$ ，则 $du=5\,dx$ ，所以 $dx=\frac{1}{5}du$ ：

\int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}\int e^u\,du=\frac{1}{5}e^{5x}+C

换元法不是为了制造新符号，而是为了把一个复合函数积分变回熟悉的积分表。选 $u$ 时，优先看括号里、指数里、根号里、三角函数里面的表达式。

分部积分来自乘积法则

换元法处理的是链式法则的反向结构。分部积分处理的是乘积法则的反向结构。

乘积法则说：

(uv)'=u'v+uv'

把它积分并整理，可得到：

\int u\,dv=uv-\int v\,du

分部积分来自乘积法则的中文推导图，从 (uv)' = u'v + uv' 推到 ∫u dv = uv - ∫v du，并用颜色标注 u、dv、du、v。 — 从乘积法则反向推导分部积分公式，提醒目标是把右边的新积分变简单。

这个公式的意思是：把原来的积分 $\int u\,dv$ 换成另一个积分 $\int v\,du$ 。如果新积分更简单，分部积分就有价值；如果新积分更难，就换一种拆法。

例题：计算 $\int xe^x\,dx$

计算：

\int xe^x\,dx

这是一个乘积。 $x$ 微分后会变成 $1$ ，而 $e^x$ 很容易积分，所以令 $u=x$ ，。

所以：

\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C

例题：把 $\ln x$ 看成乘积

计算：

\int \ln x\,dx

这个积分看起来不是乘积，但可以把它写成：

\int 1\cdot \ln x\,dx

令 $u=\ln x$ ， $dv=dx$ 。这样 $u$ 微分后会变成 $\frac{1}{x}\,dx$ ，而积分得到。

答案是：

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C

分部积分中， $v=\int dv$ 这一步通常不写 $+C$ 。原因是最后整个不定积分会统一加一个 $C$ ；在中间给 $v$ 加常数，只会并入最终的积分常数。

先选方法，再检查答案

积分方法的选择可以先按下面的顺序问：

中文教学决策树，标题为“先问哪一种积分方法”，按直接套表、复合函数与内层导数、乘积且一项微分后变简单、先代数整理来选择积分方法。 — 积分方法选择树：从直接积分、换元法、分部积分到先整理再观察的复习路径。

能逐项套常见积分表吗？能，就直接积分。
看见复合函数，并且旁边有内层导数吗？优先试换元。
看见乘积，并且其中一项微分后会变简单，另一项容易积分吗？可以试分部积分。
仍然看不出来时，先整理代数形式，例如展开、提取常数、拆分分式，再重新观察。

无论用哪种方法，最后都可以用求导检查。若你算出：

\int f(x)\,dx=G(x)+C

那么必须满足：

G'(x)=f(x)

积分计算的四个检查点提醒图，列出是否写 dx、是否加 C、换元后是否只剩 u、分部积分的新积分是否更简单。 — 检查不定积分答案时，可逐项核对 dx、常数 C、换元变量与分部积分后的新积分复杂度。

积分入门阶段，最可靠的习惯是“每题都能说出自己在反用哪条求导规则”。直接积分反用基本导数表，换元法反用链式法则，分部积分反用乘积法则。

练习

计算：

\int (4x^3-6x+5)\,dx

逐项积分：

\int (4x^3-6x+5)\,dx=x^4-3x^2+5x+C

计算：

\int \left(\frac{2}{x}+3e^x-\sin x\right)\,dx

分别使用 $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ 、 $\int e^x\,dx=e^x+C$ 和：

用换元法计算：

\int 6x(x^2+4)^5\,dx

令 $u=x^2+4$ ，则 $du=2x\,dx$ 。因为 $6x\,dx=3du$ ，所以：

用换元法计算：

\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx

令 $u=x^2+1$ ，则 $du=2x\,dx$ 。原积分变成：

\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C

用分部积分计算：

\int x\cos x\,dx

令 $u=x$ ， $dv=\cos x\,dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=\sin x$ 。代入公式：

判断下面计算错在哪里，并改正：

\int x\cos(x^2)\,dx=\sin(x^2)+C

右边求导得到 $2x\cos(x^2)$ ，比原被积函数多了一个系数 $2$ 。正确做法是令 $u=x^2$ ， $du=2x\,dx$ ，所以：

d v = e^{x} d x

dv=e^x\,dx

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