微积分综合建模

一杯刚倒出的热饮、一只正在进出水的水箱、一家店的定价方案，看起来不是同一种问题。微积分处理它们时，动作却很相似：先把现实问题翻译成函数，再用极限理解局部变化，用导数判断变化方向和最优点，用积分把变化率累积回总量。

到这里，本课程前面的工具不再分开出现。极限告诉我们“在很近的地方会怎样”，导数告诉我们“此刻正在怎样变”，积分告诉我们“一段时间总共变了多少”。建模的难点，往往不是公式本身，而是把公式和问题中的单位、变量、条件重新对齐。

从一个具体问题开始

想象一个实验水箱。水不断流入，也不断流出。刚开始水箱里有 40 升水，实验持续 10 分钟。流入速率和流出速率都随时间变化：

i(t)=6+0.4t,\qquad o(t)=2+0.2t^2

这里 $t$ 的单位是分钟， $i(t)$ 和 $o(t)$ 的单位都是升/分钟。我们可能会问：

10 分钟后水箱里有多少水？
水量什么时候最多？
这个模型是否一直合理？
如果只看某一瞬间的速率，能不能判断总量？

这些问题会同时用到导数和积分。水量函数记作 $A(t)$ ，那么净变化率是

A'(t)=i(t)-o(t)

水量本身则由初始值和累计变化给出：

A(t)=A(0)+\int_0^t \bigl(i(s)-o(s)\bigr)\,ds

这就是综合建模最常用的一句话：如果已知“变化率”，就用积分恢复“总量”；如果已知“总量函数”，就用导数读出“瞬时变化率”。

在综合题里，不要急着计算。先问清楚题目给的是函数值、变化率、累计量，还是近似关系。很多错误不是算错，而是把“每分钟多少升”和“总共多少升”放在同一个位置使用。

建模流程

一个可交付的微积分模型，至少要走完六步。

先把问题中的对象命名。时间、温度、水量、销量、利润都要有清楚的符号，变量的取值范围也要写出来。例如 $0\le t\le 10$ 不是装饰，它限制了后面找最大值时要检查哪些点。

再判断题目给的是原函数还是变化率。如果给的是温度 $T(t)$ ，导数 $T'(t)$ 才是降温速度；如果给的是流量 $r(t)$ ，积分才是累计流入或流出量。

接着选择模型形状。线性模型适合短区间近似，二次模型适合有单峰或单谷的关系，指数模型常用于按比例增长或衰减。模型越简单，越要说明它的使用区间。

写出函数关系后，先检查单位。导数的单位是“输出单位/输入单位”，定积分的单位是“纵轴单位乘横轴单位”。单位不对，公式通常也不对。

用导数解决局部变化、单调性和最优化问题。找临界点时，要同时检查端点和题目给出的约束。

用积分解决累计量和总变化量问题。最后把数学结果翻译回现实语言，并说明近似误差或模型边界。

单位先过一遍

单位检查很像给模型过安检。它不能保证答案一定正确，但能快速拦住很多不合理的式子。

单位检查表：比较温度、流量、利润、速度的函数单位、导数单位和积分单位

导数和积分的单位变化，常常直接暴露建模方向是否弄反。

对象	函数意义	函数单位	导数单位	积分单位
$T(t)$	$t$ 分钟时的温度	摄氏度	摄氏度/分钟	摄氏度·分钟
$r(t)$	第 $t$ 分钟的流量	升/分钟	升/分钟²	升
$P(q)$	销量为 $q$ 时的利润	元	元/件	元·件
$v(t)$	$t$ 秒时的速度	米/秒	米/秒²	米

注意第一行：温度函数 $T(t)$ 的积分单位是“摄氏度·分钟”，通常不直接表示温度变化。真正表示温度变化的是 $\int_a^b T'(t)\,dt$ ，因为 $T'(t)$ 的单位是摄氏度/分钟，乘上分钟后才回到摄氏度。

看到积分号时，要看被积函数是什么。积分速度得到位移，积分流量得到体积，积分温度本身一般得到的是“温度对时间的累计”，不是最终温度。

例题：热饮降温中的函数、导数和积分

一杯热饮倒出后，室温约为 $24^\circ\text{C}$ 。在前 30 分钟内，温度可以用下面的模型近似：

T(t)=24+62e^{-0.08t}

其中 $t$ 的单位是分钟， $T(t)$ 的单位是摄氏度。回答以下问题：

长时间以后温度接近多少？
第 10 分钟时温度下降得多快？
前 20 分钟温度总共变化了多少？
用线性近似估计第 11 分钟温度，并判断误差大小。

温度函数随时间下降并趋近室温 24°C，标出 t=10 处切线斜率；右侧变化率函数下方面积表示总变化量。

同一个温度模型里，函数值、切线斜率和变化率积分分别回答不同问题。

先解释模型本身。 $24$ 是环境温度， $62e^{-0.08t}$ 是热饮比环境高出的温差。因为 $e^{-0.08t}$ 会逐渐接近 $0$ ，所以

\lim_{t\to\infty}T(t)=24

这说明模型预测热饮会逐渐接近室温，而不是无限下降。

求导读出瞬时降温速度：

T'(t)=-4.96e^{-0.08t}

第 10 分钟时，

T'(10)=-4.96e^{-0.8}\approx -2.23

单位是摄氏度/分钟，所以它的意思是：第 10 分钟附近，温度大约以每分钟 $2.23^\circ\text{C}$ 的速度下降。

前 20 分钟的总变化量要积分变化率：

\int_0^{20}T'(t)\,dt=T(20)-T(0)

代入模型，

T(20)-T(0)=62e^{-1.6}-62\approx -49.48

所以前 20 分钟温度约下降 $49.48^\circ\text{C}$ 。负号表示温度减少。

线性近似用第 10 分钟附近的切线：

T(11)\approx T(10)+T'(10)(11-10)

因为 $T(10)\approx 51.86$ ， $T'(10)\approx -2.23$ ，所以

T(11)\approx 49.63

直接代入原函数得到 $T(11)\approx 49.72$ ，误差约 $0.09^\circ\text{C}$ 。这个误差小，是因为 $11$ 离线性化点 $10$ 很近。

这个例题把三件事连起来了：极限解释模型最终趋向，导数解释某一刻的变化速度，积分解释一段时间的总变化。三者回答的问题不同，但它们来自同一个函数。

例题：水箱水量的累计和最大值

回到开头的水箱。初始水量为 $A(0)=40$ 升，流入和流出速率分别为

i(t)=6+0.4t,\qquad o(t)=2+0.2t^2

其中 $0\le t\le 10$ 。求水量函数，并判断水量什么时候最多。

水箱流入与流出速率曲线图，展示净变化率、积分累计水量变化，以及用 i(t)=o(t) 判断水量最大时刻。

净速率为正时水量增加，净速率为负时水量减少；最大水量出现在符号改变的位置或端点。

先写出净变化率：

A'(t)=i(t)-o(t)=4+0.4t-0.2t^2

它的单位是升/分钟。这个函数不是水量，而是水量变化得有多快。

用积分从变化率恢复水量：

A(t)=40+\int_0^t\left(4+0.4s-0.2s^2\right)\,ds

计算得到

A(t)=40+4t+0.2t^2-\frac{t^3}{15}

要找最大水量，不能只看积分式，还要看导数的符号。令

A'(t)=4+0.4t-0.2t^2=0

化简得到

t=1+\sqrt{21}\approx 5.58

另一个根为负，不在时间区间内。

检查端点和临界点：

A(0)=40,\qquad A(10)\approx 33.33,\qquad A(5.58)\approx 56.96

所以水量约在第 $5.58$ 分钟达到最大，最大水量约为 $56.96$ 升。

在“流入-流出”模型中，水量最大并不一定出现在流入最多的时候。真正决定水量增减的是净速率 $i(t)-o(t)$ 。当净速率从正变负时，水量才从增加转为减少。

例题：利润最大化和边际解释

一家店销售某种商品。若销售量为 $q$ 件，单价模型为

p(q)=120-0.12q

成本模型为

C(q)=800+28q+0.04q^2

其中 $0\le q\le 500$ ，价格和成本单位都是元。求最大利润、对应销量和单价。

利润最大化建模图，展示需求函数下降、收入、成本与利润曲线，并标出 P'(q)=0、边界检查和最大利润点。

利润最大化不是只看收入，也不是只看成本，而是看收入与成本的差。

收入等于单价乘销量：

R(q)=q\,p(q)=120q-0.12q^2

利润等于收入减成本：

P(q)=R(q)-C(q)=92q-0.16q^2-800

求导得到边际利润：

P'(q)=92-0.32q

它的单位是元/件，表示销量在 $q$ 附近增加一件时，利润大约增加多少元。

找临界点：

92-0.32q=0

所以

q=287.5

又因为

P''(q)=-0.32<0

利润函数是开口向下的二次函数，临界点给出最大值。

检查区间和现实解释。 $287.5$ 在 $[0,500]$ 内，但销量必须是整数，所以可比较 $q=287$ 和 $q=288$ ，两者利润都约为 $12424.96$ 元。连续模型给出的最大利润为

P(287.5)=12425

对应单价为

p(287.5)=85.5

因此店铺可把销量目标看作约 $288$ 件，定价约 $85.5$ 元。

指数模型：变化率与现有数量成比例

线性模型假设“每单位时间增加同样多”，指数模型则假设“每单位时间按现有数量的固定比例变化”。若数量记作 $Q(t)$ ，这个假设写成微分关系就是

Q'(t)=kQ(t)

$k>0$ 表示增长， $k<0$ 表示衰减。因为 $e^{kt}$ 的导数正好是 $ke^{kt}$ ，满足初始值 $Q(0)=Q_0$ 的模型为

Q(t)=Q_0e^{kt}

假设培养皿中最初有 500 个细胞，在实验早期可以近似认为其连续相对增长率为每小时 $8\%$ 。模型是

Q(t)=500e^{0.08t}

六小时后的数量约为

Q(6)=500e^{0.48}\approx 808

此刻的增长速度不是 $0.08$ 个/小时，而是

Q'(6)=0.08Q(6)\approx64.6

即第 6 小时附近大约每小时增加 65 个细胞。若问翻倍时间，就令 $Q(t)=2Q_0$ ：

2Q_0=Q_0e^{0.08t}

t=\frac{\ln2}{0.08}\approx8.66\text{ 小时}

这个翻倍时间与初始数量无关，只由比例常数 $k$ 决定。对衰减模型，把同样的推理用于半衰期即可；例如 $k<0$ 时，半衰期为

t_{1/2}=\frac{\ln2}{|k|}

指数模型不会自动知道资源有限。细胞、人口或资金在短期内可能近似按比例增长，但把 $500e^{0.08t}$ 外推到很久以后，会预测无上限增长。模型算得出来，不等于假设仍然成立；建模答案必须同时说明时间范围和环境条件。

误差和近似

模型不是现实本身。它只是在指定范围内，用可计算的函数抓住主要关系。微积分提供的近似通常是局部的，尤其是线性近似。

曲线 f(x) 与切线 L(x) 在 x=a 附近接近，远离后误差增大的线性近似示意图

切线近似在切点附近可靠，离开切点越远，误差通常越需要重新估计。

若 $f$ 在 $a$ 附近可导，且 $\Delta x$ 很小，则

f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x

也可以写成

\Delta y\approx dy=f'(a)\Delta x

这里的极限思想藏在“很小”两个字里。真正支撑近似的是：当 $\Delta x\to 0$ 时，曲线在局部越来越像切线。离开 $a$ 越远，就越不能只靠一个导数判断。

相对误差常用来判断误差是否可以接受：

\text{相对误差}\approx \frac{|\text{近似值}-\text{真实值}|}{|\text{真实值}|}

不要把“模型给出一个数”误认为“现实必然就是这个数”。综合建模的答案应包含使用区间、单位、近似来源和解释边界。缺少这些说明，计算再漂亮也只是半个答案。

常见误区

综合题最容易出错的地方集中在几个动作上。

首先是把变化率当成总量。流量 $r(t)$ 的单位是升/分钟，它不能直接回答“总共多少升”。要得到总量，需要在时间区间上积分。

其次是最大值只找 $f'(x)=0$ ，却忘了端点。实际问题几乎总有范围，端点常常代表“什么都不做”“做到上限”这类真实方案。

再次是忽略符号。速度积分得到的是位移，可能为负；总路程要积分速度的绝对值。温度变化为负，表示下降，不是“算错了”。

最后是把模型外推得太远。线性近似适合近处，指数衰减模型适合假设成立的环境，利润二次模型只适合给定市场范围。越过范围后，函数仍能算，解释却可能已经失效。

练习

热饮温度模型为 $T(t)=20+70e^{-0.1t}$ ， $t$ 的单位是分钟。求 $\lim_{t\to\infty}T(t)$ ，求 $T'(5)$ ，并计算前 10 分钟温度总变化量。

极限为 $20$ ，表示长期接近室温。导数为

T'(t)=-7e^{-0.1t}

所以

T'(5)=-7e^{-0.5}\approx -4.25

单位是摄氏度/分钟。前 10 分钟总变化量为

T(10)-T(0)=70e^{-1}-70\approx -44.25

温度约下降 $44.25^\circ\text{C}$ 。

某水箱初始有 30 升水，净变化率为 $A'(t)=4+t-0.5t^2$ ， $0\le t\le 4$ 。写出 $A(t)$ ，并判断最大水量。

由初始值和积分可得

A(t)=30+\int_0^t\left(4+s-0.5s^2\right)\,ds

所以

A(t)=30+4t+0.5t^2-\frac{t^3}{6}

令 $A'(t)=0$ ，得到 $t=4$ 或 $t=-2$ 。在区间 $[0,4]$ 内，净变化率到 $t=4$ 才降为 $0$ ，水量一直增加，因此最大值在 $t=4$ ：

A(4)=30+16+8-\frac{64}{6}\approx 43.33

最大水量约为 $43.33$ 升。

某商品价格模型为 $p(q)=80-0.1q$ ，成本模型为 $C(q)=500+20q+0.02q^2$ ， $0\le q\le 400$ 。求利润最大时的销量和最大利润。

收入为

R(q)=q(80-0.1q)=80q-0.1q^2

利润为

P(q)=R(q)-C(q)=60q-0.12q^2-500

导数为

P'(q)=60-0.24q

令 $P'(q)=0$ 得 $q=250$ 。因为 $P''(q)=-0.24<0$ ，且端点利润分别为 $P(0)=-500$ 、 $P(400)=4300$ ，所以最大利润在 $q=250$ ：

P(250)=7000

最大利润为 7000 元。

一个物体沿直线运动，速度为 $v(t)=3t-12$ 米/秒， $0\le t\le 6$ ，初始位置 $s(0)=5$ 米。求 $s(6)$ 和总路程。

位移为

\int_0^6(3t-12)\,dt=\left(1.5t^2-12t\right)\bigg|_0^6=-18

所以

s(6)=5-18=-13

速度在 $t=4$ 时变号。总路程为

\int_0^4(12-3t)\,dt+\int_4^6(3t-12)\,dt=24+6=30

因此终点位置为 $-13$ 米，总路程为 30 米。

正方形边长测得为 12 厘米，测量误差约为 $\pm 0.05$ 厘米。用微分估计面积误差和相对误差。

面积函数为 $A(s)=s^2$ ，所以

dA=2s\,ds

在 $s=12$ 、 $|ds|=0.05$ 时，

|dA|\approx 2\cdot 12\cdot 0.05=1.2

面积误差约为 $1.2$ 平方厘米。面积约为 $144$ 平方厘米，所以相对误差约为

\frac{1.2}{144}\approx 0.0083

也就是约 $0.83\%$ 。

判断说法是否正确：如果一个利润模型满足 $P'(q)=0$ ，那么这个 $q$ 一定给出最大利润。

一个球形气球的半径以 $2$ 厘米/秒的速度增大。球的体积为 $V=\frac43\pi r^3$ 。当半径为 5 厘米时，体积增加得多快？

某种药物在体内的量可近似为 $M(t)=120e^{-0.18t}$ 毫克， $t$ 的单位是小时。求初始量、第 4 小时的瞬时变化率和半衰期，并解释负号。

初始量为

M(0)=120\text{ 毫克}

导数为

M'(t)=-21.6e^{-0.18t}

所以

M'(4)=-21.6e^{-0.72}\approx-10.51

单位是毫克/小时，负号表示药物量正在减少。半衰期满足 $e^{-0.18t}=1/2$ ：

t=\frac{\ln2}{0.18}\approx3.85\text{ 小时}

收束

这门课从极限开始，是为了给“越来越靠近”一套可靠语言；进入导数，是为了把平均变化率推到一个瞬间；学习积分，是为了把无数微小变化重新累积成总量。微积分基本定理又把导数与积分接回彼此。综合建模不是在最后额外加一种公式，而是把这整条链条放回一个真实问题中。

一个完整答案通常不止一个数。它应该说明变量是什么、函数代表什么、单位是否匹配、最优点是否经过端点检查、总变化量来自哪段积分、近似误差能否接受，还应指出模型在哪个范围内值得相信。做到这些，微积分就不只是计算规则，而是一套把变化看清、把累积算准、把结论说完整的工作方法。

微积分综合建模

从一个具体问题开始

想象一个实验水箱。水不断流入，也不断流出。刚开始水箱里有 40 升水，实验持续 10 分钟。流入速率和流出速率都随时间变化：

i(t)=6+0.4t,\qquad o(t)=2+0.2t^2

这里 $t$ 的单位是分钟， $i(t)$ 和 $o(t)$ 的单位都是升/分钟。我们可能会问：

10 分钟后水箱里有多少水？
水量什么时候最多？
这个模型是否一直合理？
如果只看某一瞬间的速率，能不能判断总量？

这些问题会同时用到导数和积分。水量函数记作 $A(t)$ ，那么净变化率是

A'(t)=i(t)-o(t)

水量本身则由初始值和累计变化给出：

A(t)=A(0)+\int_0^t \bigl(i(s)-o(s)\bigr)\,ds

这就是综合建模最常用的一句话：如果已知“变化率”，就用积分恢复“总量”；如果已知“总量函数”，就用导数读出“瞬时变化率”。

建模流程

一个可交付的微积分模型，至少要走完六步。

再判断题目给的是原函数还是变化率。如果给的是温度 $T(t)$ ，导数 $T'(t)$ 才是降温速度；如果给的是流量 $r(t)$ ，积分才是累计流入或流出量。

写出函数关系后，先检查单位。导数的单位是“输出单位/输入单位”，定积分的单位是“纵轴单位乘横轴单位”。单位不对，公式通常也不对。

用导数解决局部变化、单调性和最优化问题。找临界点时，要同时检查端点和题目给出的约束。

用积分解决累计量和总变化量问题。最后把数学结果翻译回现实语言，并说明近似误差或模型边界。

单位先过一遍

单位检查很像给模型过安检。它不能保证答案一定正确，但能快速拦住很多不合理的式子。

单位检查表：比较温度、流量、利润、速度的函数单位、导数单位和积分单位

导数和积分的单位变化，常常直接暴露建模方向是否弄反。

对象	函数意义	函数单位	导数单位	积分单位
$T(t)$	$t$ 分钟时的温度	摄氏度	摄氏度/分钟	摄氏度·分钟
$r(t)$	第 $t$ 分钟的流量	升/分钟	升/分钟²	升
$P(q)$	销量为 $q$ 时的利润	元	元/件	元·件
$v(t)$	$t$ 秒时的速度	米/秒	米/秒²	米

看到积分号时，要看被积函数是什么。积分速度得到位移，积分流量得到体积，积分温度本身一般得到的是“温度对时间的累计”，不是最终温度。

例题：热饮降温中的函数、导数和积分

一杯热饮倒出后，室温约为 $24^\circ\text{C}$ 。在前 30 分钟内，温度可以用下面的模型近似：

T(t)=24+62e^{-0.08t}

其中 $t$ 的单位是分钟， $T(t)$ 的单位是摄氏度。回答以下问题：

长时间以后温度接近多少？
第 10 分钟时温度下降得多快？
前 20 分钟温度总共变化了多少？
用线性近似估计第 11 分钟温度，并判断误差大小。

温度函数随时间下降并趋近室温 24°C，标出 t=10 处切线斜率；右侧变化率函数下方面积表示总变化量。

同一个温度模型里，函数值、切线斜率和变化率积分分别回答不同问题。

先解释模型本身。 $24$ 是环境温度， $62e^{-0.08t}$ 是热饮比环境高出的温差。因为 $e^{-0.08t}$ 会逐渐接近 $0$ ，所以

\lim_{t\to\infty}T(t)=24

这说明模型预测热饮会逐渐接近室温，而不是无限下降。

求导读出瞬时降温速度：

T'(t)=-4.96e^{-0.08t}

第 10 分钟时，

T'(10)=-4.96e^{-0.8}\approx -2.23

单位是摄氏度/分钟，所以它的意思是：第 10 分钟附近，温度大约以每分钟 $2.23^\circ\text{C}$ 的速度下降。

前 20 分钟的总变化量要积分变化率：

\int_0^{20}T'(t)\,dt=T(20)-T(0)

代入模型，

T(20)-T(0)=62e^{-1.6}-62\approx -49.48

所以前 20 分钟温度约下降 $49.48^\circ\text{C}$ 。负号表示温度减少。

线性近似用第 10 分钟附近的切线：

T(11)\approx T(10)+T'(10)(11-10)

因为 $T(10)\approx 51.86$ ， $T'(10)\approx -2.23$ ，所以

T(11)\approx 49.63

直接代入原函数得到 $T(11)\approx 49.72$ ，误差约 $0.09^\circ\text{C}$ 。这个误差小，是因为 $11$ 离线性化点 $10$ 很近。

例题：水箱水量的累计和最大值

回到开头的水箱。初始水量为 $A(0)=40$ 升，流入和流出速率分别为

i(t)=6+0.4t,\qquad o(t)=2+0.2t^2

其中 $0\le t\le 10$ 。求水量函数，并判断水量什么时候最多。

水箱流入与流出速率曲线图，展示净变化率、积分累计水量变化，以及用 i(t)=o(t) 判断水量最大时刻。

净速率为正时水量增加，净速率为负时水量减少；最大水量出现在符号改变的位置或端点。

先写出净变化率：

A'(t)=i(t)-o(t)=4+0.4t-0.2t^2

它的单位是升/分钟。这个函数不是水量，而是水量变化得有多快。

用积分从变化率恢复水量：

A(t)=40+\int_0^t\left(4+0.4s-0.2s^2\right)\,ds

计算得到

A(t)=40+4t+0.2t^2-\frac{t^3}{15}

要找最大水量，不能只看积分式，还要看导数的符号。令

A'(t)=4+0.4t-0.2t^2=0

化简得到

t=1+\sqrt{21}\approx 5.58

另一个根为负，不在时间区间内。

检查端点和临界点：

A(0)=40,\qquad A(10)\approx 33.33,\qquad A(5.58)\approx 56.96

所以水量约在第 $5.58$ 分钟达到最大，最大水量约为 $56.96$ 升。

例题：利润最大化和边际解释

一家店销售某种商品。若销售量为 $q$ 件，单价模型为

p(q)=120-0.12q

成本模型为

C(q)=800+28q+0.04q^2

其中 $0\le q\le 500$ ，价格和成本单位都是元。求最大利润、对应销量和单价。

利润最大化建模图，展示需求函数下降、收入、成本与利润曲线，并标出 P'(q)=0、边界检查和最大利润点。

利润最大化不是只看收入，也不是只看成本，而是看收入与成本的差。

收入等于单价乘销量：

R(q)=q\,p(q)=120q-0.12q^2

利润等于收入减成本：

P(q)=R(q)-C(q)=92q-0.16q^2-800

求导得到边际利润：

P'(q)=92-0.32q

它的单位是元/件，表示销量在 $q$ 附近增加一件时，利润大约增加多少元。

找临界点：

92-0.32q=0

所以

q=287.5

又因为

P''(q)=-0.32<0

利润函数是开口向下的二次函数，临界点给出最大值。

P(287.5)=12425

对应单价为

p(287.5)=85.5

因此店铺可把销量目标看作约 $288$ 件，定价约 $85.5$ 元。

指数模型：变化率与现有数量成比例

Q'(t)=kQ(t)

$k>0$ 表示增长， $k<0$ 表示衰减。因为 $e^{kt}$ 的导数正好是 $ke^{kt}$ ，满足初始值 $Q(0)=Q_0$ 的模型为

Q(t)=Q_0e^{kt}

假设培养皿中最初有 500 个细胞，在实验早期可以近似认为其连续相对增长率为每小时 $8\%$ 。模型是

Q(t)=500e^{0.08t}

六小时后的数量约为

Q(6)=500e^{0.48}\approx 808

此刻的增长速度不是 $0.08$ 个/小时，而是

Q'(6)=0.08Q(6)\approx64.6

即第 6 小时附近大约每小时增加 65 个细胞。若问翻倍时间，就令 $Q(t)=2Q_0$ ：

2Q_0=Q_0e^{0.08t}

t=\frac{\ln2}{0.08}\approx8.66\text{ 小时}

这个翻倍时间与初始数量无关，只由比例常数 $k$ 决定。对衰减模型，把同样的推理用于半衰期即可；例如 $k<0$ 时，半衰期为

t_{1/2}=\frac{\ln2}{|k|}

误差和近似

模型不是现实本身。它只是在指定范围内，用可计算的函数抓住主要关系。微积分提供的近似通常是局部的，尤其是线性近似。

曲线 f(x) 与切线 L(x) 在 x=a 附近接近，远离后误差增大的线性近似示意图

切线近似在切点附近可靠，离开切点越远，误差通常越需要重新估计。

若 $f$ 在 $a$ 附近可导，且 $\Delta x$ 很小，则

f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x

也可以写成

\Delta y\approx dy=f'(a)\Delta x

相对误差常用来判断误差是否可以接受：

\text{相对误差}\approx \frac{|\text{近似值}-\text{真实值}|}{|\text{真实值}|}

常见误区

综合题最容易出错的地方集中在几个动作上。

首先是把变化率当成总量。流量 $r(t)$ 的单位是升/分钟，它不能直接回答“总共多少升”。要得到总量，需要在时间区间上积分。

其次是最大值只找 $f'(x)=0$ ，却忘了端点。实际问题几乎总有范围，端点常常代表“什么都不做”“做到上限”这类真实方案。

再次是忽略符号。速度积分得到的是位移，可能为负；总路程要积分速度的绝对值。温度变化为负，表示下降，不是“算错了”。

练习

热饮温度模型为 $T(t)=20+70e^{-0.1t}$ ， $t$ 的单位是分钟。求 $\lim_{t\to\infty}T(t)$ ，求 $T'(5)$ ，并计算前 10 分钟温度总变化量。

极限为 $20$ ，表示长期接近室温。导数为

T'(t)=-7e^{-0.1t}

所以

T'(5)=-7e^{-0.5}\approx -4.25

单位是摄氏度/分钟。前 10 分钟总变化量为

T(10)-T(0)=70e^{-1}-70\approx -44.25

温度约下降 $44.25^\circ\text{C}$ 。

某水箱初始有 30 升水，净变化率为 $A'(t)=4+t-0.5t^2$ ， $0\le t\le 4$ 。写出 $A(t)$ ，并判断最大水量。

由初始值和积分可得

A(t)=30+\int_0^t\left(4+s-0.5s^2\right)\,ds

所以

A(t)=30+4t+0.5t^2-\frac{t^3}{6}

令 $A'(t)=0$ ，得到 $t=4$ 或 $t=-2$ 。在区间 $[0,4]$ 内，净变化率到 $t=4$ 才降为 $0$ ，水量一直增加，因此最大值在 $t=4$ ：

A(4)=30+16+8-\frac{64}{6}\approx 43.33

最大水量约为 $43.33$ 升。

某商品价格模型为 $p(q)=80-0.1q$ ，成本模型为 $C(q)=500+20q+0.02q^2$ ， $0\le q\le 400$ 。求利润最大时的销量和最大利润。

收入为

R(q)=q(80-0.1q)=80q-0.1q^2

利润为

P(q)=R(q)-C(q)=60q-0.12q^2-500

导数为

P'(q)=60-0.24q

令 $P'(q)=0$ 得 $q=250$ 。因为 $P''(q)=-0.24<0$ ，且端点利润分别为 $P(0)=-500$ 、 $P(400)=4300$ ，所以最大利润在 $q=250$ ：

P(250)=7000

最大利润为 7000 元。

一个物体沿直线运动，速度为 $v(t)=3t-12$ 米/秒， $0\le t\le 6$ ，初始位置 $s(0)=5$ 米。求 $s(6)$ 和总路程。

位移为

\int_0^6(3t-12)\,dt=\left(1.5t^2-12t\right)\bigg|_0^6=-18

所以

s(6)=5-18=-13

速度在 $t=4$ 时变号。总路程为

\int_0^4(12-3t)\,dt+\int_4^6(3t-12)\,dt=24+6=30

因此终点位置为 $-13$ 米，总路程为 30 米。

正方形边长测得为 12 厘米，测量误差约为 $\pm 0.05$ 厘米。用微分估计面积误差和相对误差。

面积函数为 $A(s)=s^2$ ，所以

dA=2s\,ds

在 $s=12$ 、 $|ds|=0.05$ 时，

|dA|\approx 2\cdot 12\cdot 0.05=1.2

面积误差约为 $1.2$ 平方厘米。面积约为 $144$ 平方厘米，所以相对误差约为

\frac{1.2}{144}\approx 0.0083

也就是约 $0.83\%$ 。

判断说法是否正确：如果一个利润模型满足 $P'(q)=0$ ，那么这个 $q$ 一定给出最大利润。

一个球形气球的半径以 $2$ 厘米/秒的速度增大。球的体积为 $V=\frac43\pi r^3$ 。当半径为 5 厘米时，体积增加得多快？

某种药物在体内的量可近似为 $M(t)=120e^{-0.18t}$ 毫克， $t$ 的单位是小时。求初始量、第 4 小时的瞬时变化率和半衰期，并解释负号。

初始量为

M(0)=120\text{ 毫克}

导数为

M'(t)=-21.6e^{-0.18t}

所以

M'(4)=-21.6e^{-0.72}\approx-10.51

单位是毫克/小时，负号表示药物量正在减少。半衰期满足 $e^{-0.18t}=1/2$ ：

t=\frac{\ln2}{0.18}\approx3.85\text{ 小时}

微积分综合建模

从一个具体问题开始

建模流程

单位先过一遍

例题：热饮降温中的函数、导数和积分

例题：水箱水量的累计和最大值

例题：利润最大化和边际解释

相关变化率：先找几何关系，再对时间求导

指数模型：变化率与现有数量成比例

误差和近似

常见误区

练习

收束

微积分综合建模

从一个具体问题开始

建模流程

单位先过一遍

例题：热饮降温中的函数、导数和积分

例题：水箱水量的累计和最大值

例题：利润最大化和边际解释

相关变化率：先找几何关系，再对时间求导

指数模型：变化率与现有数量成比例

误差和近似

常见误区

练习

收束