微积分基本定理

如果一辆车的位置函数是 $S(t)$ ，它的速度就是 $S'(t)$ 。这个方向我们已经熟悉：知道总量，求变化率，用导数。

反过来，如果只知道速度 $v(t)$ ，能不能找回一段时间内位置改变了多少？第 9 章已经用速度-时间图像下的面积给出直觉答案。本章要把这件事说成一个定理：变化率累积起来，得到原来的净变化量；而累计函数的变化率，又会回到被累计的函数。

微积分基本定理总览图：变化率曲线通过积分形成累积量曲线，导数将累积量还原为变化率。

积分把变化率累积成总量，导数把累积量还原成变化率。

从变化率回到净变化量

先看最常见的运动问题。速度 $v(t)$ 表示位置 $S(t)$ 的变化率，也就是

S'(t)=v(t)

在很短的时间 $\Delta t$ 内，位移近似等于“速度乘以时间”：

\Delta S\approx v(t)\Delta t

把一段时间切成很多小段，每一小段都有一个小位移。所有小位移相加，极限意义下就是定积分：

S(b)-S(a)=\int_a^b v(t)\,dt

这就是“净变化量”的核心句子：一个量的变化率在区间上的累积，等于这个量在区间两端的差。

“净变化量”允许正负相抵。速度为负时，位置在反方向变化；流量为负时，水量在减少。定积分保留符号，所以它给出的不是所有变化幅度的总和，而是最后留下的净结果。

原函数和不定积分

如果 $F'(x)=f(x)$ ，我们说 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。这个说法很朴素： $F$ 求导以后变成，所以是的“导数来源”。

同一个 $f(x)$ 往往有无穷多个原函数。比如 $x^2$ 的一个原函数是 $\frac{x^3}{3}$ ，但

\frac{x^3}{3}+5

求导以后还是 $x^2$ 。常数项求导会消失，所以原函数只差一个常数。

几条形状相同、上下平移的曲线表示原函数族 F(x)+C，求导后都回到同一个 f(x)。

不定积分表示一族只相差常数 C 的原函数；对它们求导都会得到同一个函数 f(x)。

用符号写，不定积分表示 $f(x)$ 的全体原函数：

\int f(x)\,dx=F(x)+C,\quad F'(x)=f(x)

这里的 $C$ 是任意常数。不定积分的结果不是一个确定的数，而是一族函数。

不要把不定积分和定积分混在一起。不定积分 $\int f(x)\,dx$ 返回原函数族，需要写 $+C$ ；定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 返回一个数，不写。

变上限积分

定积分通常给出一个数。例如固定区间 $[1,3]$ 后， $\int_1^3 f(t)\,dt$ 是一段固定的累计量。

如果把右端点改成变量 $x$ ，就得到一个新函数：

A(x)=\int_a^x f(t)\,dt

这个函数的意思是：从固定起点 $a$ 开始，一直累计到当前位置 $x$ 。 $x$ 每移动一点，累计范围就变一点， $A(x)$ 的值也跟着变。

坐标轴上从固定起点 a 到移动终点 x 的曲线下方面积被填色，表示累计面积 A(x)。

变上限积分示意：x 移动时，从 a 到 x 的累计面积 A(x) 随之成为函数。

微积分基本定理的第一部分正是关于这个函数：

\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)=f(x)

如果 $f$ 连续，累计函数 $A(x)$ 的导数就是当前被累计的函数值 $f(x)$ 。换句话说，累计量增长得快不快，由当前的变化率决定。

变上限积分把“面积”变成了“函数”。当右端点 $x$ 向右挪动一个很小的量 $\Delta x$ 时，多出来的面积大约是 $f(x)\Delta x$ ，所以累计函数对 $x$ 的变化率就是 $f(x)$ 。

定理的两种说法

微积分基本定理通常分成两部分。第一部分回答“累计函数求导会怎样”，第二部分回答“定积分怎样计算”。

累计函数的导数

若 $f$ 在区间上连续，并定义

A(x)=\int_a^x f(t)\,dt

则

A'(x)=f(x)

这说明积分之后再求导，会回到原来的函数。

用原函数计算定积分

若 $F'(x)=f(x)$ ，则

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

这说明只要找到一个原函数，就可以用端点值相减来计算定积分。

定积分示意图，展示找原函数、代上端点、减下端点三步，并配有曲线下的区间面积。

用原函数计算定积分的三步流程：找原函数、代上端点、减下端点。

这两部分合在一起，说的是同一件事的两个方向：导数描述局部变化率，积分累计局部变化；它们在连续函数上互相接回去。

例题：从速度函数恢复位移变化

一个质点在 $0\le t\le 3$ 秒内的速度为

v(t)=3t-5

单位是米每秒。求这段时间内的净位移。

速度-时间图中正面积与负面积共同决定净位移，下方示意净位移小于总路程。

由速度函数恢复位移变化：正面积和负面积相抵得到净位移，总路程则累加实际运动长度。

先把问题翻译成定积分。速度是位置的变化率，所以净位移等于速度函数在时间区间上的积分：

\int_0^3 (3t-5)\,dt

如果题目问“总路程”，就不能让正负面积相抵。速度在 $t=\frac{5}{3}$ 时变号，总路程应计算

\int_0^3 |3t-5|\,dt

这和净位移是两个不同的问题。

例题：用原函数计算定积分

计算

\int_1^4 (2x+3)\,dx

先找被积函数 $2x+3$ 的一个原函数。因为 $x^2$ 的导数是 $2x$ ， $3x$ 的导数是，所以可以取

这里没有写 $+C$ 。如果写成 $F(x)=x^2+3x+C$ ，端点相减时常数也会抵消：

[F(4)+C]-[F(1)+C]=F(4)-F(1)

例题：对变上限积分求导

设

G(x)=\int_2^{x^2} \sqrt{t+1}\,dt

求 $G'(x)$ 。

先注意上限不是 $x$ ，而是 $x^2$ 。可以把它看成复合函数：先从 $2$ 累计到某个上限 $u$ ，再令 $u=x^2$ 。

变上限积分求导时，积分变量 $t$ 只是临时变量。真正会影响外层函数的是积分上限。若上限是 $x^2$ 、 $\sin x$ 或其他函数，必须再乘以上限本身的导数。

净变化量的应用

微积分基本定理不只用于面积计算。只要一个函数表示某个量的变化率，积分就能给出这个量的净变化。

净变化量实际应用示意图，展示流量累积成水量变化、边际成本累积成总成本增加、温度变化率累积成温度变化。

初始量加上变化率的累积，得到最终量。

统一写法是：

Q(b)=Q(a)+\int_a^b Q'(t)\,dt

其中 $Q'(t)$ 是 $Q(t)$ 的变化率。若 $Q$ 是水箱水量， $Q'$ 可以是净流入速度；若 $Q$ 是总成本，可以是边际成本；若是温度，可以是温度变化率。

这个公式提醒我们先读懂单位。若 $Q'(t)$ 的单位是“升/分钟”，对时间积分后单位就是“升”；若边际成本的单位是“元/件”，对产量积分后单位就是“元”。

常见误区

把净位移当作总路程是很常见的错误。 $\int_a^b v(t)\,dt$ 会让反方向运动抵消正方向运动；总路程要用 $\int_a^b |v(t)|\,dt$ ，并且通常要在速度变号的位置分段。

定积分计算时要按上端点减下端点。 $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ ，顺序反过来会改变符号。

微积分基本定理需要合适的连续性条件。入门阶段遇到的多项式、三角函数、指数函数、对数函数在各自定义区间内通常满足这些条件；遇到分段函数或间断点时，要先检查区间内是否有问题点。

练习

已知 $F'(x)=f(x)$ ， $F(2)=5$ ，且

\int_2^7 f(x)\,dx=13

求 $F(7)$ 。

由微积分基本定理，

\int_2^7 f(x)\,dx=F(7)-F(2)

所以 $13=F(7)-5$ ，得到。

质点速度为 $v(t)=2t-6$ ， $0\le t\le 5$ 。求净位移，并说明它的符号含义。

净位移为

\int_0^5 (2t-6)\,dt=[t^2-6t]_0^5

继续上一题，求总路程。

速度在 $t=3$ 处变号，所以总路程为

\int_0^5 |2t-6|\,dt=\int_0^3 (6-2t)\,dt+\int_3^5 (2t-6)\,dt

计算

\int_1^3 (x^2+2x)\,dx

一个原函数是

F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2

所以

\int_{1}^{3} (x^{2}

A(x)=\int_0^x \sqrt{t^2+1}\,dt

求 $A'(2)$ 。

由微积分基本定理，

A'(x)=\sqrt{x^2+1}

水箱初始有 $20$ 升水，净流入速度为 $r(t)=4+t$ 升/分钟。求前 $3$ 分钟后水箱中的水量。

水量等于初始量加净流入量：

20+\int_0^3 (4+t)\,dt

=20+\left[4t+\frac{t^2}{2}\right]_0^3

+

2

x

)

d

x

=

F

(

3

)

-

F

(

1

)

\int_1^3 (x^2+2x)\,dx=F(3)-F(1)

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