直线与圆锥曲线的位置关系

前面几章分别认识了椭圆、双曲线和抛物线。到这一章，我们把一条直线放进同一个坐标系里，问一个更接近解题现场的问题：这条直线和曲线到底有没有交点，有几个交点，交点在哪里？

这个问题的几何图像很直接。一条直线可能穿过曲线，可能刚好擦过曲线，也可能完全避开曲线。坐标法做的事，是把这三种图像翻译成方程组的解。

直线与椭圆三种位置关系示意：相交有两个交点，相切有一个切点，相离没有交点。

从交点开始

直线与圆锥曲线的交点，必须同时满足直线方程和圆锥曲线方程。所以判断位置关系的第一步总是联立方程。

例如直线 $l$ 与曲线 $C$ 分别为：

l:\ y=kx+b

C:\ F(x,y)=0

把 $y=kx+b$ 代入 $F(x,y)=0$ ，就会得到一个关于 $x$ 的方程。这个方程的每一个实数解，都对应直线和曲线的一个真实交点。

如果解出 $x=x_1$ ，那么交点的纵坐标由直线给出：

y_1=kx_1+b

所以“求交点”不是额外的技巧，而是联立方程的直接含义。

直线与椭圆相交以及代入消元后用判别式判断交点个数的流程图

当直线是竖直线时，不能写成 $y=kx+b$ 。这时应直接使用 $x=c$ 代入曲线方程，改为求 $y$ 。选择哪一个未知数消元，不是固定格式，而是看哪一种写法更适合当前直线。

判别式读出位置关系

很多时候，直线代入圆锥曲线后会得到一元二次方程：

Ax^2+Bx+C=0

它的判别式是：

\Delta=B^2-4AC

当 $A\ne0$ 时，判别式和交点个数之间有直接对应关系：

判别式	方程实根	几何位置
$\Delta>0$	两个不同实根	相交，有两个交点
$\Delta=0$	两个相等实根	相切，有一个切点
$\Delta<0$	没有实根	相离，没有交点

判别式的好处在于：它不用先把交点全部算出来，就能判断图像关系。它尤其适合题目只问“交点个数”“是否相切”“参数取值范围”的场景。

例题：判断直线与椭圆的交点个数

判断直线 $y=x+1$ 与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

的交点个数。

把直线方程代入椭圆方程，得到：

\frac{x^2}{9}+\frac{(x+1)^2}{4}=1

两边同乘 $36$ ，化为一元二次方程：

4x^2+9(x+1)^2=36

13x^2+18x-27=0

计算判别式：

\Delta=18^2-4\cdot13\cdot(-27)=1728

因为 $\Delta>0$ ，方程有两个不同实根。

所以直线与椭圆相交，有两个交点。题目没有要求交点坐标，就不必继续求根。

例题：让一族直线变成切线

求直线 $y=x+b$ 与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

相切时 $b$ 的值。

把 $y=x+b$ 代入椭圆方程：

\frac{x^2}{9}+\frac{(x+b)^2}{4}=1

两边同乘 $36$ ：

4x^2+9(x+b)^2=36

整理得：

13x^2+18bx+9b^2-36=0

相切意味着这个二次方程有两个相等实根，也就是 $\Delta=0$ ：

(18b)^2-4\cdot13(9b^2-36)=0

化简得：

1872-144b^2=0

所以：

b=\pm\sqrt{13}

这说明斜率固定为 $1$ 的直线族中，只有 $y=x+\sqrt{13}$ 和 $y=x-\sqrt{13}$ 是这条椭圆的切线。

先看次数再用判别式

判别式很好用，但它有一个前提：消元后确实得到一元二次方程。如果代入后最高次数变成一次，或者某些参数让二次项系数变成 $0$ ，就不能继续机械套 $\Delta$ 。

以抛物线为例，直线和抛物线也可以有两个交点、一个切点或没有交点。但如果直线方向很特殊，消元后的方程次数可能改变。此时应先看方程本身，再谈判别式。

三幅并排小图展示抛物线 y²=2px 与直线的两个交点、一个切点和平行于轴的特殊情形。

“一个交点”不一定都叫相切。对抛物线、双曲线等曲线，某些方向的直线可能因为消元后只剩一次方程而只有一个交点。判断切线时，要看它是否在交点附近只擦过曲线，代数上通常表现为重根，而不是普通的一次根。

弦长来自两个根的距离

当直线与圆锥曲线有两个交点 $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ 时，线段 $AB$ 叫作这条直线截得的弦。弦长问题的核心，是把交点坐标差和方程的两个根联系起来。

如果直线为：

y=kx+b

那么：

y_1-y_2=k(x_1-x_2)

所以弦长为：

|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

|AB|=\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|

如果代入后得到：

Ax^2+Bx+C=0

由韦达定理：

x_1+x_2=-\frac{B}{A}

x_1x_2=\frac{C}{A}

于是：

|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}

这就是弦长公式背后的来源。它不是另一个需要单独背的公式，而是距离公式、直线斜率和韦达定理合在一起。

例题：求一条简单弦的长度

椭圆

\frac{x^2}{4}+y^2=1

被直线 $y=x$ 截得弦 $AB$ ，求 $|AB|$ 。

代入 $y=x$ ：

\frac{x^2}{4}+x^2=1

即：

5x^2=4

两个交点的横坐标为：

x_1=\frac{2}{\sqrt5},\quad x_2=-\frac{2}{\sqrt5}

所以：

|x_1-x_2|=\frac{4}{\sqrt5}

因为直线斜率 $k=1$ ，所以：

|AB|=\sqrt{1+1^2}\cdot\frac{4}{\sqrt5}

|AB|=\frac{4\sqrt{10}}{5}

中点弦看见斜率关系

有些题目并不直接给弦的两个端点，而是给弦的中点。此时可以用“点差法”：把两个端点分别代入曲线方程，然后相减。

设椭圆为：

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

弦 $AB$ 的端点为 $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ ，中点为 $M(x_0,y_0)$ 。两点都在椭圆上，所以：

\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1

\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1

两式相减：

\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0

用平方差分解：

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0

又因为：

x_1+x_2=2x_0,\quad y_1+y_2=2y_0

若弦的斜率为 $k$ ，则：

k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}

代入后得到：

\frac{x_0}{a^2}+\frac{ky_0}{b^2}=0

也就是：

k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}

椭圆中的斜弦 AB、弦中点 M 以及虚线 OM，展示弦斜率 k 与 OM 斜率 y₀/x₀ 的关系。

如果 $x_0$ 、 $y_0$ 都不为 $0$ ，还可以写成：

k\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{b^2}{a^2}

这个式子说明，弦的斜率不是随便来的，它受到中点位置和椭圆伸缩比例的共同控制。

例题：已知弦中点求弦所在直线

椭圆

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1

的一条弦以 $M(2,1)$ 为中点，求这条弦所在直线的方程。

这里 $a^2=16$ ， $b^2=9$ ， $x_0=2$ ， $y_0=1$ 。

由中点弦斜率关系：

k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}

得：

k=-\frac{9\cdot2}{16\cdot1}=-\frac{9}{8}

过点 $M(2,1)$ 且斜率为 $-\frac98$ 的直线为：

y-1=-\frac98(x-2)

切线就是交点压成重根

从代数角度看，切线的基本特征是：直线与曲线联立后，交点对应的根重合了。也就是说，原来两个交点逐渐靠近，最后合成一个重根。

因此，求切线时常用两种思路：

如果切点已知，可以先写过切点的直线，再利用只交于一点确定斜率。
如果过某个定点作切线，可以写过该点的直线族，再令联立后的判别式为 $0$ 。

例题：求过外点的切线

求过点 $P(5,0)$ 且与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

相切的直线方程。

先检查竖直线 $x=5$ 。它与椭圆没有交点，所以不是切线。

设过 $P(5,0)$ 的非竖直直线为：

y=k(x-5)

代入椭圆方程：

\frac{x^2}{9}+\frac{k^2(x-5)^2}{4}=1

两边同乘 $36$ ：

4x^2+9k^2(x-5)^2=36

整理成关于 $x$ 的二次方程：

(4+9k^2)x^2-90k^2x+225k^2-36=0

相切要求判别式为 $0$ ：

(-90k^2)^2-4(4+9k^2)(225k^2-36)=0

化简得：

576-2304k^2=0

所以：

k=\pm\frac12

两条切线为：

y=\frac12(x-5)

y=-\frac12(x-5)

切线问题的核心不是记某一个切线公式，而是识别“只有一个交点”在代数中的样子。对于本章的基本题型，令判别式等于 $0$ 是最稳定的通法。

容易出错的地方

直线与圆锥曲线位置关系的题，通常难在计算量和条件意识。下面几个检查点很有用。

直线与圆锥曲线位置关系中的常见误区：竖直直线不能直接写成 y=kx+b，联立后需要检验分母、定义域或退化情况。

检查直线形式

看到“过某点的直线”时，常写 $y-y_0=k(x-x_0)$ 。这种写法覆盖了所有非竖直直线，但漏掉了 $x=x_0$ 。如果竖直线可能成为答案，必须单独检查。

检查消元后的次数

如果二次项系数含参数，参数的某些取值可能让二次方程退化为一次方程。此时不能把退化后的情形放进同一个判别式结论里。

检查答案是否对应真实交点

如果解题中出现分式、平方、参数替换或两边同乘含未知数的式子，要检查是否引入了多余解，或者是否丢掉了分母为 $0$ 的特殊情形。

检查题目问的是图像还是数值

题目只问交点个数时，不必求出交点；题目问弦长时，通常可以用韦达定理避免繁琐求根；题目问切线时，先判断定点在曲线内、曲线上还是曲线外，会影响切线条数。

练习

直线 $y=\frac12x+3$ 与椭圆

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1

有几个交点？

椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

的一条弦以 $M(1,1)$ 为中点，求这条弦所在直线的方程。

求过点 $P(5,0)$ 且与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

相切的直线方程。

本章收束

直线与圆锥曲线的位置关系，可以用一条清晰的代数链条处理：联立方程，消元，看实根；需要长度时，用韦达定理连接根的和、积；需要中点时，把两个端点代入曲线方程后相减；需要切线时，让交点变成重根。

这一章真正要练的是数形结合。图像告诉我们可能发生什么，方程告诉我们怎样判断和计算。两边对上了，解析几何就不再只是长计算。

直线与圆锥曲线的位置关系

这个问题的几何图像很直接。一条直线可能穿过曲线，可能刚好擦过曲线，也可能完全避开曲线。坐标法做的事，是把这三种图像翻译成方程组的解。

直线与椭圆三种位置关系示意：相交有两个交点，相切有一个切点，相离没有交点。

从交点开始

直线与圆锥曲线的交点，必须同时满足直线方程和圆锥曲线方程。所以判断位置关系的第一步总是联立方程。

例如直线 $l$ 与曲线 $C$ 分别为：

l:\ y=kx+b

C:\ F(x,y)=0

把 $y=kx+b$ 代入 $F(x,y)=0$ ，就会得到一个关于 $x$ 的方程。这个方程的每一个实数解，都对应直线和曲线的一个真实交点。

如果解出 $x=x_1$ ，那么交点的纵坐标由直线给出：

y_1=kx_1+b

所以“求交点”不是额外的技巧，而是联立方程的直接含义。

直线与椭圆相交以及代入消元后用判别式判断交点个数的流程图

判别式读出位置关系

很多时候，直线代入圆锥曲线后会得到一元二次方程：

Ax^2+Bx+C=0

它的判别式是：

\Delta=B^2-4AC

当 $A\ne0$ 时，判别式和交点个数之间有直接对应关系：

判别式	方程实根	几何位置
$\Delta>0$	两个不同实根	相交，有两个交点
$\Delta=0$	两个相等实根	相切，有一个切点
$\Delta<0$	没有实根	相离，没有交点

判别式的好处在于：它不用先把交点全部算出来，就能判断图像关系。它尤其适合题目只问“交点个数”“是否相切”“参数取值范围”的场景。

例题：判断直线与椭圆的交点个数

判断直线 $y=x+1$ 与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

的交点个数。

把直线方程代入椭圆方程，得到：

\frac{x^2}{9}+\frac{(x+1)^2}{4}=1

两边同乘 $36$ ，化为一元二次方程：

4x^2+9(x+1)^2=36

13x^2+18x-27=0

计算判别式：

\Delta=18^2-4\cdot13\cdot(-27)=1728

因为 $\Delta>0$ ，方程有两个不同实根。

所以直线与椭圆相交，有两个交点。题目没有要求交点坐标，就不必继续求根。

例题：让一族直线变成切线

求直线 $y=x+b$ 与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

相切时 $b$ 的值。

把 $y=x+b$ 代入椭圆方程：

\frac{x^2}{9}+\frac{(x+b)^2}{4}=1

两边同乘 $36$ ：

4x^2+9(x+b)^2=36

整理得：

13x^2+18bx+9b^2-36=0

相切意味着这个二次方程有两个相等实根，也就是 $\Delta=0$ ：

(18b)^2-4\cdot13(9b^2-36)=0

化简得：

1872-144b^2=0

所以：

b=\pm\sqrt{13}

这说明斜率固定为 $1$ 的直线族中，只有 $y=x+\sqrt{13}$ 和 $y=x-\sqrt{13}$ 是这条椭圆的切线。

先看次数再用判别式

三幅并排小图展示抛物线 y²=2px 与直线的两个交点、一个切点和平行于轴的特殊情形。

弦长来自两个根的距离

如果直线为：

y=kx+b

那么：

y_1-y_2=k(x_1-x_2)

所以弦长为：

|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

|AB|=\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|

如果代入后得到：

Ax^2+Bx+C=0

由韦达定理：

x_1+x_2=-\frac{B}{A}

x_1x_2=\frac{C}{A}

于是：

|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}

这就是弦长公式背后的来源。它不是另一个需要单独背的公式，而是距离公式、直线斜率和韦达定理合在一起。

例题：求一条简单弦的长度

椭圆

\frac{x^2}{4}+y^2=1

被直线 $y=x$ 截得弦 $AB$ ，求 $|AB|$ 。

代入 $y=x$ ：

\frac{x^2}{4}+x^2=1

即：

5x^2=4

两个交点的横坐标为：

x_1=\frac{2}{\sqrt5},\quad x_2=-\frac{2}{\sqrt5}

所以：

|x_1-x_2|=\frac{4}{\sqrt5}

因为直线斜率 $k=1$ ，所以：

|AB|=\sqrt{1+1^2}\cdot\frac{4}{\sqrt5}

|AB|=\frac{4\sqrt{10}}{5}

中点弦看见斜率关系

有些题目并不直接给弦的两个端点，而是给弦的中点。此时可以用“点差法”：把两个端点分别代入曲线方程，然后相减。

设椭圆为：

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

弦 $AB$ 的端点为 $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ ，中点为 $M(x_0,y_0)$ 。两点都在椭圆上，所以：

\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1

\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1

两式相减：

\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0

用平方差分解：

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0

又因为：

x_1+x_2=2x_0,\quad y_1+y_2=2y_0

若弦的斜率为 $k$ ，则：

k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}

代入后得到：

\frac{x_0}{a^2}+\frac{ky_0}{b^2}=0

也就是：

k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}

椭圆中的斜弦 AB、弦中点 M 以及虚线 OM，展示弦斜率 k 与 OM 斜率 y₀/x₀ 的关系。

如果 $x_0$ 、 $y_0$ 都不为 $0$ ，还可以写成：

k\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{b^2}{a^2}

这个式子说明，弦的斜率不是随便来的，它受到中点位置和椭圆伸缩比例的共同控制。

例题：已知弦中点求弦所在直线

椭圆

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1

的一条弦以 $M(2,1)$ 为中点，求这条弦所在直线的方程。

这里 $a^2=16$ ， $b^2=9$ ， $x_0=2$ ， $y_0=1$ 。

由中点弦斜率关系：

k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}

得：

k=-\frac{9\cdot2}{16\cdot1}=-\frac{9}{8}

过点 $M(2,1)$ 且斜率为 $-\frac98$ 的直线为：

y-1=-\frac98(x-2)

切线就是交点压成重根

从代数角度看，切线的基本特征是：直线与曲线联立后，交点对应的根重合了。也就是说，原来两个交点逐渐靠近，最后合成一个重根。

因此，求切线时常用两种思路：

如果切点已知，可以先写过切点的直线，再利用只交于一点确定斜率。
如果过某个定点作切线，可以写过该点的直线族，再令联立后的判别式为 $0$ 。

例题：求过外点的切线

求过点 $P(5,0)$ 且与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

相切的直线方程。

先检查竖直线 $x=5$ 。它与椭圆没有交点，所以不是切线。

设过 $P(5,0)$ 的非竖直直线为：

y=k(x-5)

代入椭圆方程：

\frac{x^2}{9}+\frac{k^2(x-5)^2}{4}=1

两边同乘 $36$ ：

4x^2+9k^2(x-5)^2=36

整理成关于 $x$ 的二次方程：

(4+9k^2)x^2-90k^2x+225k^2-36=0

相切要求判别式为 $0$ ：

(-90k^2)^2-4(4+9k^2)(225k^2-36)=0

化简得：

576-2304k^2=0

所以：

k=\pm\frac12

两条切线为：

y=\frac12(x-5)

y=-\frac12(x-5)

切线问题的核心不是记某一个切线公式，而是识别“只有一个交点”在代数中的样子。对于本章的基本题型，令判别式等于 $0$ 是最稳定的通法。

容易出错的地方

直线与圆锥曲线位置关系的题，通常难在计算量和条件意识。下面几个检查点很有用。

直线与圆锥曲线位置关系中的常见误区：竖直直线不能直接写成 y=kx+b，联立后需要检验分母、定义域或退化情况。

检查直线形式

看到“过某点的直线”时，常写 $y-y_0=k(x-x_0)$ 。这种写法覆盖了所有非竖直直线，但漏掉了 $x=x_0$ 。如果竖直线可能成为答案，必须单独检查。

检查消元后的次数

如果二次项系数含参数，参数的某些取值可能让二次方程退化为一次方程。此时不能把退化后的情形放进同一个判别式结论里。

检查答案是否对应真实交点

如果解题中出现分式、平方、参数替换或两边同乘含未知数的式子，要检查是否引入了多余解，或者是否丢掉了分母为 $0$ 的特殊情形。

检查题目问的是图像还是数值

练习

直线 $y=\frac12x+3$ 与椭圆

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1

有几个交点？

椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

的一条弦以 $M(1,1)$ 为中点，求这条弦所在直线的方程。

求过点 $P(5,0)$ 且与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

相切的直线方程。

本章收束

这一章真正要练的是数形结合。图像告诉我们可能发生什么，方程告诉我们怎样判断和计算。两边对上了，解析几何就不再只是长计算。