直线与圆锥曲线的位置关系

前面几章分别认识了椭圆、双曲线和抛物线。到这一章，我们把一条直线放进同一个坐标系里，问一个更接近解题现场的问题：这条直线和曲线到底有没有交点，有几个交点，交点在哪里？

这个问题的几何图像很直接。一条直线可能穿过曲线，可能刚好擦过曲线，也可能完全避开曲线。坐标法做的事，是把这三种图像翻译成方程组的解。

从交点开始

直线与圆锥曲线的交点，必须同时满足直线方程和圆锥曲线方程。所以判断位置关系的第一步总是联立方程。

例如直线 $l$ 与曲线 $C$ 分别为：

把 $y=kx+b$ 代入 $F(x,y)=0$，就会得到一个关于 $x$ 的方程。这个方程的每一个实数解，都对应直线和曲线的一个真实交点。

如果解出 $x=x_1$，那么交点的纵坐标由直线给出：

所以“求交点”不是额外的技巧，而是联立方程的直接含义。

判别式读出位置关系

很多时候，直线代入圆锥曲线后会得到一元二次方程：

它的判别式是：

当 $A\ne0$ 时，判别式和交点个数之间有直接对应关系：

判别式的好处在于：它不用先把交点全部算出来，就能判断图像关系。它尤其适合题目只问“交点个数”“是否相切”“参数取值范围”的场景。

例题：判断直线与椭圆的交点个数

判断直线 $y=x+1$ 与椭圆

的交点个数。

例题：让一族直线变成切线

求直线 $y=x+b$ 与椭圆

相切时 $b$ 的值。

把 $y=x+b$ 代入椭圆方程：

两边同乘 $36$：

整理得：

相切意味着这个二次方程有两个相等实根，也就是 $\Delta=0$：

化简得：

所以：

这说明斜率固定为 $1$ 的直线族中，只有 $y=x+\sqrt{13}$ 和 $y=x-\sqrt{13}$ 是这条椭圆的切线。

先看次数再用判别式

判别式很好用，但它有一个前提：消元后确实得到一元二次方程。如果代入后最高次数变成一次，或者某些参数让二次项系数变成 $0$，就不能继续机械套 $\Delta$。

以抛物线为例，直线和抛物线也可以有两个交点、一个切点或没有交点。但如果直线方向很特殊，消元后的方程次数可能改变。此时应先看方程本身，再谈判别式。

弦长来自两个根的距离

当直线与圆锥曲线有两个交点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 时，线段 叫作这条直线截得的弦。弦长问题的核心，是把交点坐标差和方程的两个根联系起来。

如果直线为：

那么：

所以弦长为：

如果代入后得到：

由韦达定理：

于是：

这就是弦长公式背后的来源。它不是另一个需要单独背的公式，而是距离公式、直线斜率和韦达定理合在一起。

例题：求一条简单弦的长度

椭圆

被直线 $y=x$ 截得弦 $AB$，求 $|AB|$。

中点弦看见斜率关系

有些题目并不直接给弦的两个端点，而是给弦的中点。此时可以用“点差法”：把两个端点分别代入曲线方程，然后相减。

设椭圆为：

弦 $AB$ 的端点为 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，中点为 。两点都在椭圆上，所以：

两式相减：

用平方差分解：

又因为：

若弦的斜率为 $k$，则：

代入后得到：

也就是：

如果 $x_0$、$y_0$ 都不为 $0$，还可以写成：

这个式子说明，弦的斜率不是随便来的，它受到中点位置和椭圆伸缩比例的共同控制。

例题：已知弦中点求弦所在直线

椭圆

的一条弦以 $M(2,1)$ 为中点，求这条弦所在直线的方程。

切线就是交点压成重根

从代数角度看，切线的基本特征是：直线与曲线联立后，交点对应的根重合了。也就是说，原来两个交点逐渐靠近，最后合成一个重根。

因此，求切线时常用两种思路：

• 如果切点已知，可以先写过切点的直线，再利用只交于一点确定斜率。
• 如果过某个定点作切线，可以写过该点的直线族，再令联立后的判别式为 $0$。

例题：求过外点的切线

求过点 $P(5,0)$ 且与椭圆

相切的直线方程。

容易出错的地方

直线与圆锥曲线位置关系的题，通常难在计算量和条件意识。下面几个检查点很有用。

检查直线形式

看到“过某点的直线”时，常写 $y-y_0=k(x-x_0)$。这种写法覆盖了所有非竖直直线，但漏掉了 $x=x_0$。如果竖直线可能成为答案，必须单独检查。

检查消元后的次数

如果二次项系数含参数，参数的某些取值可能让二次方程退化为一次方程。此时不能把退化后的情形放进同一个判别式结论里。

检查答案是否对应真实交点

如果解题中出现分式、平方、参数替换或两边同乘含未知数的式子，要检查是否引入了多余解，或者是否丢掉了分母为 $0$ 的特殊情形。

检查题目问的是图像还是数值

题目只问交点个数时，不必求出交点；题目问弦长时，通常可以用韦达定理避免繁琐求根；题目问切线时，先判断定点在曲线内、曲线上还是曲线外，会影响切线条数。

练习

直线 $y=\frac12x+3$ 与椭圆

有几个交点？

椭圆

的一条弦以 $M(1,1)$ 为中点，求这条弦所在直线的方程。

求过点 $P(5,0)$ 且与椭圆

相切的直线方程。

本章收束

直线与圆锥曲线的位置关系，可以用一条清晰的代数链条处理：联立方程，消元，看实根；需要长度时，用韦达定理连接根的和、积；需要中点时，把两个端点代入曲线方程后相减；需要切线时，让交点变成重根。

这一章真正要练的是数形结合。图像告诉我们可能发生什么，方程告诉我们怎样判断和计算。两边对上了，解析几何就不再只是长计算。

即：

两边同乘 $144$：

整理得：

判别式 $\Delta=48^2>0$，所以有两个不同实根，直线与椭圆有两个交点。

得：

所以直线方程为：

令判别式为 $0$，可得：

所以两条切线为：