抛物线：先看见“等距”，再写下方程

在纸上点一个焦点 $F$ ，再画一条不经过它的直线 $l$ 。现在别急着想 $y=ax^2+bx+c$ ，先做一个折纸动作：在 $l$ 上任选一点 $H$ ，把纸折到 $F$ 与 $H$ 正好重合，再把纸展开。换一个 $H$ ，再折一次。折痕越来越多，它们会慢慢托出一条弯曲的轮廓，那就是抛物线。

这里有个容易忽略的细节：整条折痕并不是抛物线，许多折痕共同包住的那条曲线才是。某条折痕与曲线相切于 $P$ 时，折叠让 $F$ 与 $H$ 重合，所以折痕上的 $P$ 满足 $PF=PH$ 。如果 $PH$ 又垂直于直线 $l$ ，那么 $PH$ 正是 $P$ 到 $l$ 的距离。于是，一个折纸动作把抛物线最核心的规则摆在了眼前：

动点到一个定点的距离，始终等于它到一条定直线的垂直距离。

平面内，给定一个定点 $F$ 和一条不经过 $F$ 的定直线 $l$ ，所有满足“到 $F$ 的距离等于到 $l$ 的距离”的点组成一条抛物线。 $F$ 叫焦点， $l$ 叫准线。焦点到准线的垂线叫抛物线的轴线，焦点与准线之间的中点叫顶点。

不用方程，也能把抛物线画出来

折纸是在“连续地画”。如果手边只有直尺和圆规，也可以一个点一个点地找。

设焦点为 $F$ ，准线为 $l$ 。先从 $F$ 向准线作垂线，垂足记作 $D$ 。线段 $FD$ 的中点 $V$ 同时到 $F$ 和 $l$ 等距，所以 $V$ 就是顶点；直线 $FD$ 就是轴线。

接下来，取 $r\geq FV$ ，在焦点这一侧画一条与 $l$ 平行的直线，让它到 $l$ 的距离为 $r$ ；再以 $F$ 为圆心、 $r$ 为半径画圆。平行线与圆的交点 $P,Q$ 都满足：

PF=QF=r

而 $P,Q$ 所在的平行线到准线的距离也正好是 $r$ ，因此 $P,Q$ 都在抛物线上。换几个不同的 $r$ ，就能得到一串关于轴线成对出现的点。顺着这些点画一条光滑曲线，抛物线就出来了。

这个作图还顺手解释了三个特征：

曲线关于轴线对称，因为每次找到的 $P,Q$ 都成对出现。
顶点是离准线最近的曲线上一点，也正好夹在焦点与准线之间。
曲线只向焦点所在的一侧打开，准线那一侧没有曲线。

所以，“开口朝哪边”不是背图背出来的。焦点在哪一侧，抛物线就朝哪一侧打开。

把等距规则翻译成标准方程

先把坐标系摆得最省事：顶点放在原点，轴线取作 $y$ 轴，焦点放在上方。设顶点到焦点的距离为 $p$ ，其中 $p>0$ ，那么：

F(0,p),\qquad l:y=-p

取抛物线上任意一点 $P(x,y)$ 。它到焦点的距离是：

PF=\sqrt{x^2+(y-p)^2}

从 $P$ 向准线作垂线，垂足记作 $H$ 。因为这条抛物线向上开口，所以 $y\geq 0$ ，点到准线的距离是：

PH=y-(-p)=y+p

现在把“两个距离相等”直接写出来：

\sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p

两边都是非负数，可以平方：

x^2+(y-p)^2=(y+p)^2

展开以后， $y^2$ 和 $p^2$ 会在两边抵消：

x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2

于是只剩下：

x^2=4py

这就是顶点在原点、开口向上的抛物线标准方程。看上去突然冒出的 $4$ ，其实来自平方展开后的 $2py$ 与 $-2py$ ，两者相差 $4py$ 。

反过来也没有偷偷混进增根。由 $x^2=4py$ 和 $p>0$ 可知 $y\geq0$ ，所以 $y+p>0$ ；把方程代回距离式，两边确实都等于同一个非负数。

如果顶点从原点平移到 $(h,k)$ ，只需把 $x,y$ 分别换成 $x-h,y-k$ ：

(x-h)^2=4p(y-k)

方程的外形变了，背后的动作没变：还是在比较点到焦点和到准线的距离。

四个方向，其实是同一张图在转身

先用 $d>0$ 表示顶点到焦点的实际距离。这样，四个开口方向可以明明白白地写成四种标准式：

开口方向	标准方程	顶点	轴线	焦点	准线
向上	$(x-h)^2=4d(y-k)$	$(h,k)$	$x=h$	$(h,k+d)$	$y=k-d$
向下	$(x-h)^2=-4d(y-k)$	$(h,k)$	$x=h$	$(h,k-d)$	$y=k+d$
向右	$(y-k)^2=4d(x-h)$	$(h,k)$	$y=k$	$(h+d,k)$	$x=h-d$
向左	$(y-k)^2=-4d(x-h)$	$(h,k)$	$y=k$	$(h-d,k)$	$x=h+d$

这张表不用硬背，可以按两个问题现推：

哪个变量被平方？ $(x-h)^2$ 表示轴线竖直， $(y-k)^2$ 表示轴线水平。
线性方向上的系数是正还是负？正号朝坐标正方向开，负号朝坐标负方向开。

计算时，人们常把方向也塞进参数 $p$ 的正负号里。于是四行可以压成两行：

(x-h)^2=4p(y-k)

(y-k)^2=4p(x-h)

这里 $p\ne0$ 是有向距离。第一式中， $p>0$ 向上、 $p<0$ 向下；第二式中， $p>0$ 向右、 $p<0$ 向左。顶点到焦点的实际距离始终是 $\lvert p\rvert$ 。

标准式里出现的是 $4p$ ，焦点离顶点的有向距离才是 $p$ 。例如 $(y-1)^2=-16(x+3)$ 中， $4p=-16$ ，所以 $p=-4$ 。顶点是 $(-3,1)$ ，焦点向左移动 $4$ 个单位到 $(-7,1)$ ，准线则在另一侧，即 $x=1$ 。

通径把 $p$ 和 $4p$ 同时画出来

过焦点作一条垂直于轴线的弦，这条弦叫通径。以竖直轴线为例，焦点所在高度是 $y=k+p$ 。代回标准式：

(x-h)^2=4p\cdot p=4p^2

所以两个端点到轴线的水平距离都是 $2\lvert p\rvert$ ，整条通径长度为：

4\lvert p\rvert

这正好说明 $p$ 与 $4p$ 各自负责什么： $\lvert p\rvert$ 是顶点到焦点的距离， $4\lvert p\rvert$ 是通径长度。

为什么 $\lvert p\rvert$ 越大，开口越宽

看开口向上的情形。在离顶点轴向距离 $t$ 的高度，也就是 $y-k=t$ 处，标准式给出：

\lvert x-h\rvert=2\sqrt{pt}

固定同一个 $t$ ， $p$ 越大，左右半宽 $2\sqrt{pt}$ 越大，所以图像越宽、更平缓。 $p$ 越小，曲线越快贴近轴线，看起来就越窄、更陡。

已知焦点和准线，方程怎么写

已知焦点 $F(2,3)$ ，准线为 $y=-1$ ，求抛物线方程。

准线是水平线，所以轴线与它垂直，是竖直线。轴线要经过焦点，因此轴线为 $x=2$ 。

焦点到准线的垂足是 $(2,-1)$ 。顶点位于这两个点的中点，所以：

V\left(\frac{2+2}{2},\frac{3+(-1)}{2}\right)=(2,1)

焦点在顶点上方 $2$ 个单位，所以有向参数 $p=2$ ，抛物线向上开口。

代入竖直轴线的标准式：

(x-2)^2=4\cdot2(y-1)

因此：

(x-2)^2=8(y-1)

这类题最稳的顺序是：准线定轴向，焦点和准线定顶点，焦点相对顶点的位置定 $p$ 的符号。一上来套公式，反而容易把顶点误认成焦点。

已知标准式，反过来读图形

再看：

(y-1)^2=-16(x+3)

$y$ 的差被平方，所以轴线水平。把 $x+3$ 看成 $x-(-3)$ ，顶点是 $(-3,1)$ 。令 $4p=-16$ ，得到 $p=-4$ 。于是：

F(h+p,k)=(-7,1)

x=h-p=1

也就是说，抛物线向左开口，轴线是 $y=1$ ，焦点为 $(-7,1)$ ，准线为 $x=1$ ，通径长 $16$ 。

二次函数怎样接到焦点和准线

熟悉的二次函数是：

y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0

它看起来没有焦点、准线和 $p$ 。配一次方，就能把这些信息找回来：

y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c

括号里加上再减去 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ ：

y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}

令：

h=-\frac{b}{2a},\qquad k=c-\frac{b^2}{4a}

就得到顶点式：

y=a(x-h)^2+k

把它改写成圆锥曲线标准式：

(x-h)^2=\frac{1}{a}(y-k)

再与 $(x-h)^2=4p(y-k)$ 对比，马上得到：

p=\frac{1}{4a}

这条关系把两套说法接在了一起： $a$ 的符号与 $p$ 的符号相同，都决定向上还是向下； $\lvert a\rvert$ 越大， $\lvert p\rvert$ 越小，图像越窄。前面说“ $\lvert p\rvert$ 越大越宽”，这里说“ $\lvert a\rvert$ 越大越窄”，两句话并不打架，因为 $a$ 与 $p$ 互为四倍倒数。

下面的交互可以调节 $a,b,c$ 。先看配方怎样移动顶点，再看 $p=\frac{1}{4a}$ 怎样把焦点和准线放到顶点两侧。

配方例题

把：

y=2x^2-8x+3

写成顶点式，并求顶点、焦点和准线。

先从含 $x$ 的两项中提出二次项系数：

y=2(x^2-4x)+3

括号内配方。因为 $-4$ 的一半是 $-2$ ，所以：

x^2-4x=(x-2)^2-4

代回得到：

y=2(x-2)^2-5

顶点为 $(2,-5)$ ，轴线为 $x=2$ 。由 $a=2$ 得：

p=\frac{1}{4a}=\frac18

焦点在顶点上方 $\frac18$ 个单位，准线在顶点下方 $\frac18$ 个单位，所以：

F\left(2,-\frac{39}{8}\right),\qquad y=-\frac{41}{8}

如果方程写成 $x=ay^2+by+c$ ，做法完全相同，只是 $x,y$ 的角色互换，得到的是向左或向右开口的抛物线。

切线为什么会带来反射性质

把抛物线转到向右开口，取最简标准式：

y^2=4px,\qquad p>0

设切点为 $P(x_1,y_1)$ 。先看 $y_1\ne0$ 的情形。对方程求导：

2y\frac{dy}{dx}=4p

所以切线斜率为：

m=\frac{2p}{y_1}

用点斜式写切线：

y-y_1=\frac{2p}{y_1}(x-x_1)

两边乘 $y_1$ ，再利用 $y_1^2=4px_1$ 化简：

yy_1=2p(x+x_1)

这个公式连顶点也包括在内：顶点 $(0,0)$ 代入后得到 $x=0$ ，正是顶点处的竖直切线。

如果只知道切线斜率 $m\ne0$ ，还可以把切线写成：

y=mx+\frac{p}{m}

这时切点为：

\left(\frac{p}{m^2},\frac{2p}{m}\right)

公式告诉我们“怎么算”，焦点—准线定义则告诉我们“为什么会反射”。从切点 $P$ 向准线作垂线，垂足记为 $C$ 。这里焦点是 $F(p,0)$ ，准线是 $x=-p$ ，所以 $C=(-p,y_1)$ 。按定义有 $PF=PC$ ，于是 $P$ 在线段 $FC$ 的垂直平分线上。

再比较两条直线的斜率。 $FC$ 的斜率为：

\frac{y_1-0}{-p-p}=-\frac{y_1}{2p}

而切线斜率为 $\frac{2p}{y_1}$ ，两者乘积是 $-1$ 。切线既经过 $P$ ，又垂直于 $FC$ ，因此它正是 $FC$ 的垂直平分线。

这意味着切线与 $PF$ 、 $PC$ 所成的角相等。又因为 $PC$ 垂直准线，也就平行于抛物线轴线，于是得到：

抛物线在任一切点处，切线与焦点半径、轴线平行线所成的角相等。换成反射语言：从焦点发出的光线照到抛物线上，反射后会平行于轴线射出；反过来，平行于轴线射来的光线会汇聚到焦点。

抛物面天线、车灯反射杯和探照灯用的是三维抛物面。平面图里这条抛物线，是抛物面经过轴线的截面；截面上的等角性质绕轴旋转一圈，就变成了整个反射面的聚焦或准直效果。

切线例题

求抛物线 $y^2=12x$ 在点 $(3,6)$ 处的切线。

这里 $4p=12$ ，所以 $p=3$ 。代入切线公式：

6y=2\cdot3(x+3)

化简得到：

y=x+3

也可以先求导得到 $m=\frac{6}{6}=1$ ，再用点斜式写成 $y-6=x-3$ 。两条路得到同一条直线。

以焦点为极点，极坐标式怎么来

极坐标最适合描述“从焦点往某个方向看，走多远会碰到曲线”。仍看向右开口的抛物线：

y^2=4px,\qquad F(p,0),\qquad l:x=-p

现在把焦点 $F$ 当作极点，把向右的轴线方向当作极轴。若曲线上一点 $P$ 的极坐标为 $(\rho,\theta)$ ，那么换回原来的直角坐标时：

x=p+\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta

$P$ 到焦点的距离就是 $\rho$ 。它到准线 $x=-p$ 的距离是：

x-(-p)=2p+\rho\cos\theta

令两段距离相等：

\rho=2p+\rho\cos\theta

整理得到：

\rho=\frac{2p}{1-\cos\theta}

几个特殊角能帮你检查公式有没有写反：

$\theta=0$ 时分母为 $0$ ，表示沿开口方向要走到无穷远，才会“追上”不断张开的曲线。
$\theta=\pi$ 时 $\rho=p$ ，从焦点向左走 $p$ 个单位正好到顶点。
$\theta=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$ 时 $\rho=2p$ ，到达通径的两个端点。

极坐标式依赖“极点放在哪里、 $\theta=0$ 朝哪里”。这里极点是焦点，极轴朝抛物线开口方向，所以分母是 $1-\cos\theta$ 。换了极轴方向，式子的正负号也会跟着变；不要脱离坐标约定单背公式。

做题时，用这条路线对账

抛物线题目看起来很多，其实都在反复做同一件事：把几何位置与方程参数一一对上。

先定轴向。准线水平，轴线竖直；准线竖直，轴线水平。标准方程里， $x$ 的差被平方时轴线竖直， $y$ 的差被平方时轴线水平。

再找顶点。已知焦点和准线时，顶点是焦点与准线垂足的中点；已知方程时，先配方，再从括号里读 $(h,k)$ 。

接着找 $p$ 。标准式线性方向的系数等于 $4p$ ；二次函数顶点式中则有 $p=\frac{1}{4a}$ 。 $p$ 的符号定开口， $\lvert p\rvert$ 定焦点和准线离顶点多远。

最后回图检查。焦点必须在开口一侧，准线必须在另一侧；顶点应夹在两者正中间；通径长应为 $4\lvert p\rvert$ 。这三条能抓住大多数符号错误。

如果题目还给了一条直线，就把直线方程代入抛物线方程。得到两个不同实根时有两个交点，重根时直线相切，没有实根时没有交点。所谓“相切”，在代数里就是交点方程的判别式等于 $0$ 。

自测练习

焦点和准线反求方程

已知焦点 $F(0,4)$ ，准线为 $y=-4$ ，求抛物线方程和通径长度。

从标准式读完整信息

对抛物线 $(y+2)^2=20(x-1)$ ，求顶点、轴线、焦点、准线、开口方向和通径端点。

$y$ 的差被平方，所以轴线水平。顶点为 $(1,-2)$ ，且 $4p=20$ ，所以 $p=5>0$ ，向右开口。

焦点与准线为：

F(h+p,k)=(6,-2)

x=h-p=-4

轴线是 $y=-2$ 。通径经过焦点并垂直于轴线，所以它在直线 $x=6$ 上；两个端点离轴线各 $2\lvert p\rvert=10$ ，因此端点是 $(6,8)$ 与 $(6,-12)$ 。

对抛物线 $(x+1)^2=-12(y-2)$ ，求顶点、焦点、准线、开口方向和通径长度。

配方与二次函数

将 $x^2-6x-8y+17=0$ 化成标准式，并求顶点、焦点和准线。

将 $y=-\frac14x^2+x+2$ 配方，并求顶点、焦点和准线。

切线与反射

求抛物线 $y^2=12x$ 在点 $(3,6)$ 处的切线，并说明从焦点射到该点的光线反射后朝哪个方向传播。

与抛物线 $y^2=8x$ 相切且斜率为 $2$ 的直线是什么？切点在哪里？

极坐标

对抛物线 $y^2=8x$ ，以焦点为极点、向右为极轴。当 $\theta=\frac{2\pi}{3}$ 时，求 $\rho$ ，并把该点换回直角坐标。

由 $4p=8$ 得 $p=2$ ，所以极坐标式为：

\rho=\frac{4}{1-\cos\theta}

当 $\theta=\frac{2\pi}{3}$ 时， $\cos\theta=-\frac12$ ，因此：

\rho=\frac{4}{1+\frac12}=\frac83

焦点是 $(2,0)$ 。换回原直角坐标：

x=2+\rho\cos\theta =2-\frac43 =\frac23

y=\rho\sin\theta =\frac83\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{4\sqrt3}{3}

检查可得 $y^2=\frac{16}{3}$ ，而 $8x=\frac{16}{3}$ ，点确实在抛物线上。

离开这页时，不妨只记住最初那张折纸图：焦点是一个点，准线是一条线，动点到它们的距离始终相等。标准方程、通径、切线反射和极坐标式，都是这一个等距动作在不同坐标语言里的写法。

抛物线：先看见“等距”，再写下方程

动点到一个定点的距离，始终等于它到一条定直线的垂直距离。

不用方程，也能把抛物线画出来

折纸是在“连续地画”。如果手边只有直尺和圆规，也可以一个点一个点地找。

设焦点为 $F$ ，准线为 $l$ 。先从 $F$ 向准线作垂线，垂足记作 $D$ 。线段 $FD$ 的中点 $V$ 同时到 $F$ 和 $l$ 等距，所以 $V$ 就是顶点；直线 $FD$ 就是轴线。

PF=QF=r

这个作图还顺手解释了三个特征：

曲线关于轴线对称，因为每次找到的 $P,Q$ 都成对出现。
顶点是离准线最近的曲线上一点，也正好夹在焦点与准线之间。
曲线只向焦点所在的一侧打开，准线那一侧没有曲线。

所以，“开口朝哪边”不是背图背出来的。焦点在哪一侧，抛物线就朝哪一侧打开。

把等距规则翻译成标准方程

先把坐标系摆得最省事：顶点放在原点，轴线取作 $y$ 轴，焦点放在上方。设顶点到焦点的距离为 $p$ ，其中 $p>0$ ，那么：

F(0,p),\qquad l:y=-p

取抛物线上任意一点 $P(x,y)$ 。它到焦点的距离是：

PF=\sqrt{x^2+(y-p)^2}

从 $P$ 向准线作垂线，垂足记作 $H$ 。因为这条抛物线向上开口，所以 $y\geq 0$ ，点到准线的距离是：

PH=y-(-p)=y+p

现在把“两个距离相等”直接写出来：

\sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p

两边都是非负数，可以平方：

x^2+(y-p)^2=(y+p)^2

展开以后， $y^2$ 和 $p^2$ 会在两边抵消：

x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2

于是只剩下：

x^2=4py

这就是顶点在原点、开口向上的抛物线标准方程。看上去突然冒出的 $4$ ，其实来自平方展开后的 $2py$ 与 $-2py$ ，两者相差 $4py$ 。

反过来也没有偷偷混进增根。由 $x^2=4py$ 和 $p>0$ 可知 $y\geq0$ ，所以 $y+p>0$ ；把方程代回距离式，两边确实都等于同一个非负数。

如果顶点从原点平移到 $(h,k)$ ，只需把 $x,y$ 分别换成 $x-h,y-k$ ：

(x-h)^2=4p(y-k)

方程的外形变了，背后的动作没变：还是在比较点到焦点和到准线的距离。

四个方向，其实是同一张图在转身

先用 $d>0$ 表示顶点到焦点的实际距离。这样，四个开口方向可以明明白白地写成四种标准式：

开口方向	标准方程	顶点	轴线	焦点	准线
向上	$(x-h)^2=4d(y-k)$	$(h,k)$	$x=h$	$(h,k+d)$	$y=k-d$
向下	$(x-h)^2=-4d(y-k)$	$(h,k)$	$x=h$	$(h,k-d)$	$y=k+d$
向右	$(y-k)^2=4d(x-h)$	$(h,k)$	$y=k$	$(h+d,k)$	$x=h-d$
向左	$(y-k)^2=-4d(x-h)$	$(h,k)$	$y=k$	$(h-d,k)$	$x=h+d$

这张表不用硬背，可以按两个问题现推：

哪个变量被平方？ $(x-h)^2$ 表示轴线竖直， $(y-k)^2$ 表示轴线水平。
线性方向上的系数是正还是负？正号朝坐标正方向开，负号朝坐标负方向开。

计算时，人们常把方向也塞进参数 $p$ 的正负号里。于是四行可以压成两行：

(x-h)^2=4p(y-k)

(y-k)^2=4p(x-h)

这里 $p\ne0$ 是有向距离。第一式中， $p>0$ 向上、 $p<0$ 向下；第二式中， $p>0$ 向右、 $p<0$ 向左。顶点到焦点的实际距离始终是 $\lvert p\rvert$ 。

通径把 $p$ 和 $4p$ 同时画出来

过焦点作一条垂直于轴线的弦，这条弦叫通径。以竖直轴线为例，焦点所在高度是 $y=k+p$ 。代回标准式：

(x-h)^2=4p\cdot p=4p^2

所以两个端点到轴线的水平距离都是 $2\lvert p\rvert$ ，整条通径长度为：

4\lvert p\rvert

这正好说明 $p$ 与 $4p$ 各自负责什么： $\lvert p\rvert$ 是顶点到焦点的距离， $4\lvert p\rvert$ 是通径长度。

为什么 $\lvert p\rvert$ 越大，开口越宽

看开口向上的情形。在离顶点轴向距离 $t$ 的高度，也就是 $y-k=t$ 处，标准式给出：

\lvert x-h\rvert=2\sqrt{pt}

固定同一个 $t$ ， $p$ 越大，左右半宽 $2\sqrt{pt}$ 越大，所以图像越宽、更平缓。 $p$ 越小，曲线越快贴近轴线，看起来就越窄、更陡。

已知焦点和准线，方程怎么写

已知焦点 $F(2,3)$ ，准线为 $y=-1$ ，求抛物线方程。

准线是水平线，所以轴线与它垂直，是竖直线。轴线要经过焦点，因此轴线为 $x=2$ 。

焦点到准线的垂足是 $(2,-1)$ 。顶点位于这两个点的中点，所以：

V\left(\frac{2+2}{2},\frac{3+(-1)}{2}\right)=(2,1)

焦点在顶点上方 $2$ 个单位，所以有向参数 $p=2$ ，抛物线向上开口。

代入竖直轴线的标准式：

(x-2)^2=4\cdot2(y-1)

因此：

(x-2)^2=8(y-1)

这类题最稳的顺序是：准线定轴向，焦点和准线定顶点，焦点相对顶点的位置定 $p$ 的符号。一上来套公式，反而容易把顶点误认成焦点。

已知标准式，反过来读图形

再看：

(y-1)^2=-16(x+3)

$y$ 的差被平方，所以轴线水平。把 $x+3$ 看成 $x-(-3)$ ，顶点是 $(-3,1)$ 。令 $4p=-16$ ，得到 $p=-4$ 。于是：

F(h+p,k)=(-7,1)

x=h-p=1

也就是说，抛物线向左开口，轴线是 $y=1$ ，焦点为 $(-7,1)$ ，准线为 $x=1$ ，通径长 $16$ 。

二次函数怎样接到焦点和准线

熟悉的二次函数是：

y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0

它看起来没有焦点、准线和 $p$ 。配一次方，就能把这些信息找回来：

y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c

括号里加上再减去 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ ：

y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}

令：

h=-\frac{b}{2a},\qquad k=c-\frac{b^2}{4a}

就得到顶点式：

y=a(x-h)^2+k

把它改写成圆锥曲线标准式：

(x-h)^2=\frac{1}{a}(y-k)

再与 $(x-h)^2=4p(y-k)$ 对比，马上得到：

p=\frac{1}{4a}

下面的交互可以调节 $a,b,c$ 。先看配方怎样移动顶点，再看 $p=\frac{1}{4a}$ 怎样把焦点和准线放到顶点两侧。

配方例题

把：

y=2x^2-8x+3

写成顶点式，并求顶点、焦点和准线。

先从含 $x$ 的两项中提出二次项系数：

y=2(x^2-4x)+3

括号内配方。因为 $-4$ 的一半是 $-2$ ，所以：

x^2-4x=(x-2)^2-4

代回得到：

y=2(x-2)^2-5

顶点为 $(2,-5)$ ，轴线为 $x=2$ 。由 $a=2$ 得：

p=\frac{1}{4a}=\frac18

焦点在顶点上方 $\frac18$ 个单位，准线在顶点下方 $\frac18$ 个单位，所以：

F\left(2,-\frac{39}{8}\right),\qquad y=-\frac{41}{8}

如果方程写成 $x=ay^2+by+c$ ，做法完全相同，只是 $x,y$ 的角色互换，得到的是向左或向右开口的抛物线。

切线为什么会带来反射性质

把抛物线转到向右开口，取最简标准式：

y^2=4px,\qquad p>0

设切点为 $P(x_1,y_1)$ 。先看 $y_1\ne0$ 的情形。对方程求导：

2y\frac{dy}{dx}=4p

所以切线斜率为：

m=\frac{2p}{y_1}

用点斜式写切线：

y-y_1=\frac{2p}{y_1}(x-x_1)

两边乘 $y_1$ ，再利用 $y_1^2=4px_1$ 化简：

yy_1=2p(x+x_1)

这个公式连顶点也包括在内：顶点 $(0,0)$ 代入后得到 $x=0$ ，正是顶点处的竖直切线。

如果只知道切线斜率 $m\ne0$ ，还可以把切线写成：

y=mx+\frac{p}{m}

这时切点为：

\left(\frac{p}{m^2},\frac{2p}{m}\right)

再比较两条直线的斜率。 $FC$ 的斜率为：

\frac{y_1-0}{-p-p}=-\frac{y_1}{2p}

而切线斜率为 $\frac{2p}{y_1}$ ，两者乘积是 $-1$ 。切线既经过 $P$ ，又垂直于 $FC$ ，因此它正是 $FC$ 的垂直平分线。

这意味着切线与 $PF$ 、 $PC$ 所成的角相等。又因为 $PC$ 垂直准线，也就平行于抛物线轴线，于是得到：

切线例题

求抛物线 $y^2=12x$ 在点 $(3,6)$ 处的切线。

这里 $4p=12$ ，所以 $p=3$ 。代入切线公式：

6y=2\cdot3(x+3)

化简得到：

y=x+3

也可以先求导得到 $m=\frac{6}{6}=1$ ，再用点斜式写成 $y-6=x-3$ 。两条路得到同一条直线。

以焦点为极点，极坐标式怎么来

极坐标最适合描述“从焦点往某个方向看，走多远会碰到曲线”。仍看向右开口的抛物线：

y^2=4px,\qquad F(p,0),\qquad l:x=-p

现在把焦点 $F$ 当作极点，把向右的轴线方向当作极轴。若曲线上一点 $P$ 的极坐标为 $(\rho,\theta)$ ，那么换回原来的直角坐标时：

x=p+\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta

$P$ 到焦点的距离就是 $\rho$ 。它到准线 $x=-p$ 的距离是：

x-(-p)=2p+\rho\cos\theta

令两段距离相等：

\rho=2p+\rho\cos\theta

整理得到：

\rho=\frac{2p}{1-\cos\theta}

几个特殊角能帮你检查公式有没有写反：

$\theta=0$ 时分母为 $0$ ，表示沿开口方向要走到无穷远，才会“追上”不断张开的曲线。
$\theta=\pi$ 时 $\rho=p$ ，从焦点向左走 $p$ 个单位正好到顶点。
$\theta=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$ 时 $\rho=2p$ ，到达通径的两个端点。

做题时，用这条路线对账

抛物线题目看起来很多，其实都在反复做同一件事：把几何位置与方程参数一一对上。

先定轴向。准线水平，轴线竖直；准线竖直，轴线水平。标准方程里， $x$ 的差被平方时轴线竖直， $y$ 的差被平方时轴线水平。

再找顶点。已知焦点和准线时，顶点是焦点与准线垂足的中点；已知方程时，先配方，再从括号里读 $(h,k)$ 。

接着找 $p$ 。标准式线性方向的系数等于 $4p$ ；二次函数顶点式中则有 $p=\frac{1}{4a}$ 。 $p$ 的符号定开口， $\lvert p\rvert$ 定焦点和准线离顶点多远。

最后回图检查。焦点必须在开口一侧，准线必须在另一侧；顶点应夹在两者正中间；通径长应为 $4\lvert p\rvert$ 。这三条能抓住大多数符号错误。

自测练习

焦点和准线反求方程

已知焦点 $F(0,4)$ ，准线为 $y=-4$ ，求抛物线方程和通径长度。

从标准式读完整信息

对抛物线 $(y+2)^2=20(x-1)$ ，求顶点、轴线、焦点、准线、开口方向和通径端点。

$y$ 的差被平方，所以轴线水平。顶点为 $(1,-2)$ ，且 $4p=20$ ，所以 $p=5>0$ ，向右开口。

焦点与准线为：

F(h+p,k)=(6,-2)

x=h-p=-4

轴线是 $y=-2$ 。通径经过焦点并垂直于轴线，所以它在直线 $x=6$ 上；两个端点离轴线各 $2\lvert p\rvert=10$ ，因此端点是 $(6,8)$ 与 $(6,-12)$ 。

对抛物线 $(x+1)^2=-12(y-2)$ ，求顶点、焦点、准线、开口方向和通径长度。

配方与二次函数

将 $x^2-6x-8y+17=0$ 化成标准式，并求顶点、焦点和准线。

将 $y=-\frac14x^2+x+2$ 配方，并求顶点、焦点和准线。

切线与反射

求抛物线 $y^2=12x$ 在点 $(3,6)$ 处的切线，并说明从焦点射到该点的光线反射后朝哪个方向传播。

与抛物线 $y^2=8x$ 相切且斜率为 $2$ 的直线是什么？切点在哪里？

极坐标

对抛物线 $y^2=8x$ ，以焦点为极点、向右为极轴。当 $\theta=\frac{2\pi}{3}$ 时，求 $\rho$ ，并把该点换回直角坐标。

由 $4p=8$ 得 $p=2$ ，所以极坐标式为：

\rho=\frac{4}{1-\cos\theta}

当 $\theta=\frac{2\pi}{3}$ 时， $\cos\theta=-\frac12$ ，因此：

\rho=\frac{4}{1+\frac12}=\frac83

焦点是 $(2,0)$ 。换回原直角坐标：

x=2+\rho\cos\theta =2-\frac43 =\frac23

y=\rho\sin\theta =\frac83\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{4\sqrt3}{3}

检查可得 $y^2=\frac{16}{3}$ ，而 $8x=\frac{16}{3}$ ，点确实在抛物线上。

抛物线：先看见“等距”，再写下方程

不用方程，也能把抛物线画出来

把等距规则翻译成标准方程

四个方向，其实是同一张图在转身

通径把 ppp 和 4p4p4p 同时画出来

为什么 ∣p∣\lvert p\rvert∣p∣ 越大，开口越宽

已知焦点和准线，方程怎么写

已知标准式，反过来读图形

二次函数怎样接到焦点和准线

配方例题

切线为什么会带来反射性质

切线例题

以焦点为极点，极坐标式怎么来

做题时，用这条路线对账

自测练习

焦点和准线反求方程

从标准式读完整信息

配方与二次函数

切线与反射

极坐标

抛物线：先看见“等距”，再写下方程

不用方程，也能把抛物线画出来

把等距规则翻译成标准方程

四个方向，其实是同一张图在转身

通径把 ppp 和 4p4p4p 同时画出来

为什么 ∣p∣\lvert p\rvert∣p∣ 越大，开口越宽

已知焦点和准线，方程怎么写

已知标准式，反过来读图形

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以焦点为极点，极坐标式怎么来

做题时，用这条路线对账

自测练习

焦点和准线反求方程

从标准式读完整信息

配方与二次函数

切线与反射

极坐标

通径把 $p$ 和 $4p$ 同时画出来

为什么 $\lvert p\rvert$ 越大，开口越宽

通径把 $p$ 和 $4p$ 同时画出来

为什么 $\lvert p\rvert$ 越大，开口越宽