抛物线：到焦点和准线距离相等

你已经很熟悉二次函数的图像： $y=x^2$ 向上开口， $y=-x^2$ 向下开口，配方以后能读出顶点和对称轴。解析几何中的抛物线从另一个角度进入：它不是先被看成函数图像，而是被看成一组满足同一个距离条件的点。

这个距离条件很短：到一个定点的距离，等于到一条定直线的距离。前一个对象叫焦点，后一个对象叫准线。只要把这句话放进坐标系，抛物线的标准方程就会自然出现。

抛物线焦点-准线定义示意图，点 P 到焦点 F 与到准线垂足 D 的距离相等。

从熟悉的二次函数出发

二次函数让我们先认识了“开口”“顶点”“对称轴”这些词。圆锥曲线里的抛物线保留这些特征，但范围更大：它可以向上、向下、向右、向左开口。向右或向左开口的抛物线通常不是 $y$ 关于 $x$ 的函数，不过它仍然可以用一个二次方程描述。

在平面内，给定一个定点 $F$ 和一条不经过 $F$ 的定直线 $l$ ，所有满足“到 $F$ 的距离等于到 $l$ 的距离”的点组成一条抛物线。 $F$ 叫焦点， $l$ 叫准线。点到准线的距离，指这个点到准线的垂直距离。

这一定义里有三个位置最重要。焦点在抛物线凹的一侧，准线在另一侧；焦点到准线的垂线会穿过顶点；顶点正好是焦点与准线之间那段垂直距离的中点。经过焦点和顶点的直线就是轴线，也是抛物线的对称线。

把“点到点的距离”和“点到线的垂直距离”放在同一个式子里，是本章所有计算的起点。

等距定义怎样变成方程

先看最规整的摆放方式：顶点在原点，轴线是 $y$ 轴，焦点为 $(0,p)$ ，准线为 $y=-p$ ，其中 $p>0$ 。取抛物线上任意一点 $P(x,y)$ ，它到焦点的距离是：

\sqrt{x^2+(y-p)^2}

它到准线 $y=-p$ 的距离是 $y+p$ 。根据抛物线定义，两者相等：

\sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p

两边平方并化简：

x^2+(y-p)^2=(y+p)^2

x^2=4py

这就是顶点在原点、开口向上的抛物线标准方程。式子里的 $p$ 是顶点到焦点的距离，也是顶点到准线的距离，常称为焦准距。

抛物线定义推导示意图：点 P 到焦点 F(0,p) 与准线 y=-p 的距离相等，推出 x^2=4py。

如果把顶点从原点平移到 $(h,k)$ ，再允许轴线平行于坐标轴，就得到更常用的标准形式。它们的核心仍然是同一句话：点到焦点的距离等于点到准线的垂直距离。

四种标准方程

设顶点为 $(h,k)$ 。当轴线竖直时， $x$ 的差被平方；当轴线水平时， $y$ 的差被平方。 $p$ 可以带符号，它表示焦点从顶点沿轴线方向移动的有向距离。

轴线方向	标准方程	焦点	准线	开口判断
竖直	$(x-h)^2=4p(y-k)$	$(h,k+p)$

抛物线四种开口方向的四宫格示意图，分别标出向上、向下、向右、向左开口的标准方程、顶点、焦点和准线。

最容易错的是把 $4p$ 当成 $p$ 。标准方程里的线性项系数是 $4p$ ，焦点离顶点的有向距离才是 $p$ 。例如 $x^2=12y$ 中，，所以，焦点是，不是。

下面的交互可以拖动 $p$ 和点的横坐标，观察点 $P$ 到焦点与到准线的距离如何保持相等。

从方程读信息

读抛物线标准方程时，可以按一个固定顺序走。

先看哪个变量的差被平方。如果是 $(x-h)^2$ ，轴线竖直，抛物线向上或向下开口；如果是 $(y-k)^2$ ，轴线水平，抛物线向右或向左开口。

由焦点和准线求方程

已知焦点 $F(2,3)$ ，准线为 $y=-1$ ，求抛物线方程。

准线是水平直线，所以轴线是竖直直线。焦点的横坐标为 $2$ ，轴线是 $x=2$ 。

顶点在焦点和准线之间的中点处。焦点到准线的垂足是 $(2,-1)$ ，所以顶点是。

从标准方程读焦点和准线

读方程：

(y-1)^2=-16(x+3)

这里 $y$ 的差被平方，所以轴线水平。把 $x+3$ 看成 $x-(-3)$ ，顶点是 $(-3,1)$ 。又因为 $4p=-16$ ，所以，抛物线向左开口。焦点和准线分别是：

(h+p,k)=(-7,1)

x=h-p=1

坐标平面中展示抛物线 (y-1)^2=-16(x+3)，标出顶点、焦点、准线和轴线。

焦准距和开口宽窄

以竖直开口为例，标准方程可以改写为：

y-k=\frac{(x-h)^2}{4p}

当 $|p|$ 越大时，焦点和准线离顶点越远。同一个高度上，曲线离轴线更远，所以图像更宽、更平缓。当 $|p|$ 越小时，焦点和准线贴近顶点，图像更窄、更陡。

同一坐标系中三条共顶点、同轴线、开口向上的抛物线，分别标出 p 小、p 中、p 大对应的焦点和准线，显示 p 越大图像越平缓。

焦点不是只为解题而存在。抛物线还有一个反射性质：平行于轴线进入的光线或信号，会反射到焦点；从焦点发出的光线，反射后会沿轴线方向平行射出。抛物面天线、探照灯、车灯反射杯都借用了这个几何结构。

抛物面天线与车灯反射杯的截面示意，展示平行光与焦点之间的反射关系。

反射应用通常发生在三维抛物面上。我们在平面解析几何里画的是它的截面，所以只需要理解一条抛物线、一个焦点和一条轴线，就能看懂基本原理。

二次函数怎样接上

二次函数的一般式是：

y=ax^2+bx+c

其中 $a\ne0$ 。配方可得：

y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}

令：

h=-\frac{b}{2a},\quad k=c-\frac{b^2}{4a}

就有顶点式：

y=a(x-h)^2+k

再和竖直轴线的抛物线标准方程比较：

(x-h)^2=4p(y-k)

也就是：

y-k=\frac{1}{4p}(x-h)^2

所以二次函数系数 $a$ 与焦准距 $p$ 的关系是：

p=\frac{1}{4a}

这说明： $a>0$ 时 $p>0$ ，抛物线向上开口； $a<0$ 时 $p<0$ ，抛物线向下开口。 $|a|$ 越大，越小，图像越窄。

二次函数从一般式配方为顶点式，并对应到焦点、准线、顶点和轴线标注的竖直抛物线示意图。

下面的交互把 $a,b,c$ 三个系数和焦点、准线同步起来。拖动滑块时，观察顶点先由配方决定，再由 $p=\frac{1}{4a}$ 决定焦点和准线的位置。

配方读出焦点和准线

把二次函数

y=2x^2-8x+3

写成顶点式，并求焦点和准线。

先把二次项系数提出：

y=2(x^2-4x)+3

把二次函数接到焦点和准线时，不要只记“ $a$ 正向上、 $a$ 负向下”。还要记住 $a=\frac{1}{4p}$ ，它控制的是 $p$ 的倒数。图像越窄，焦点和准线反而越靠近顶点。

自测练习

已知焦点 $F(0,4)$ ，准线为 $y=-4$ ，写出抛物线方程。

顶点是 $(0,0)$ ，轴线竖直， $p=4$ ，所以：

x^2=16y

方程 $(x+1)^2=-12(y-2)$ 的顶点、焦点、准线和开口方向分别是什么？

顶点是 $(-1,2)$ 。因为 $4p=-12$ ，所以 $p=-3$ ，抛物线向下开口。焦点是 $(-1,-1)$ ，准线是。

将 $y=-\frac{1}{4}x^2+x+2$ 配方，并求它的顶点、焦点和准线。

配方得到：

y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+3

顶点是 $(2,3)$ ，，所以。焦点是，准线是。

离开这页时，最该留下的不是四个公式的形状，而是它们背后的同一条规则：抛物线上每个点到焦点和到准线的距离相等。标准方程只是这条等距规则在坐标系中的写法。

y=5

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