一般二次方程与圆锥曲线识别

前面几章里，圆、椭圆、双曲线和抛物线大多以标准方程出现。标准方程看起来整齐，是因为坐标轴选得很配合：中心或顶点放在合适位置，曲线的轴也和坐标轴平行。

真实题目不一定这么体贴。同一条圆锥曲线，经过平移、旋转，方程可能变得不那么好看。本章要做的事，就是把这些“不好看”的二次方程重新看回图形。

从标准式走向一般式

平面上的圆锥曲线可以统一写成二元二次方程：

其中 $A$、$B$、$C$ 不能全为 $0$。如果它们全为 $0$，方程就只剩一次项和常数项，描述的通常是直线，不再是二次曲线。

圆锥曲线可以统一写成一般二次方程，再由方程特征识别不同类型。

这个式子里，各部分分工很清楚：

• $Ax^2+Bxy+Cy^2$ 是二次项，主要决定曲线的大类和朝向。
• $Dx+Ey$ 是一次项，常常把曲线从原点附近平移出去。
• 是常数项，它会影响曲线的大小，也可能让方程退化成点、直线，甚至没有实点。

没有交叉项时，先配方

当 $B=0$ 时，方程没有 $xy$ 项，曲线的轴通常和坐标轴平行。这时最可靠的工具仍然是配方法。它的目标不是机械整理式子，而是把方程变回你熟悉的标准形式。

配方的关键是先按变量分组，再把平方项和一次项配成完整平方。

例题：把一般方程化为椭圆标准形式

将方程

化为标准形式，并指出曲线类型和中心。

一次项不是“干扰项”。它们常常在告诉你：原来以原点为中心的曲线，被移动到了新的中心或顶点。

一次项会使圆锥曲线发生平移，中心从原点 $O$ 移动到 $(h,k)$。

下面这个交互可以用来练习配方过程。重点看每一步为什么要这样补平方，而不是只看最终答案。

抛物线的配方略有不同

如果只有一个变量出现平方项，例如

仍然先对平方变量配方：

整理得

这就是开口向右的抛物线，顶点为 $(1,-3)$。抛物线没有“中心”，所以读图形信息时要说顶点、开口方向和焦准距，而不是硬找中心。

交叉项表示坐标轴转了角度

标准方程里通常没有 $xy$ 项。可是一旦把坐标轴旋转，原来的 $u^2$、$v^2$ 展开到 $x$、$y$ 中，就会混出 $xy$ 项。

交叉项 $Bxy$ 的直观含义：曲线主轴相对原坐标轴发生旋转。

在常用约定下，旋转坐标轴可以写成

选择合适的 $\theta$，可以把新方程中的交叉项消掉。常见公式是

这个公式在本章只需要初步认识：它说明 $Bxy$ 不是一种新的曲线，而是坐标轴没有顺着曲线主轴放置时产生的混合项。

例如 $xy=1$ 看起来不像标准双曲线，但令

就有

于是

等价于

这是一条在旋转坐标系中写得很标准的双曲线。

判别式先给出曲线大类

如果只想先判断曲线大类，不一定要立刻完成旋转和配方。一般二次方程的二次项有一个重要判别式：

它只看 $x^2$、$xy$、$y^2$ 三个二次项的系数。平移不会改变它，旋转坐标轴后它的符号也保持不变，所以它可以先给出类型方向。

判别式先给出圆锥曲线大类，随后还需检查是否退化。

判断规则如下：

• $\Delta<0$：椭圆类，包括圆，也可能退化成一个点或无实点。
• $\Delta=0$：抛物线类，也可能退化成一条直线或两条平行直线。
• $\Delta>0$：双曲线类，也可能退化成两条相交直线。

例题：不用旋转，先判断类型

判断方程

对应的圆锥曲线大类。

这里 $A=13$，$B=-6\sqrt{3}$，$C=7$。计算判别式：

因为 $\Delta<0$，所以它是椭圆类。若要画出准确图像，还需要旋转坐标轴，把 $xy$ 项消掉；但只判断大类时，判别式已经足够。

再看一个更短的例子：

它的判别式为

所以它是双曲线类。

下面的交互可以拖动 $A$、$B$、$C$，观察判别式符号怎样改变曲线大类。

退化情形不要被判别式骗过

退化圆锥曲线仍然来自二次方程，但图形不再是通常说的圆、椭圆、双曲线或抛物线。它可能只剩一个点、一条直线、两条直线，也可能没有实点。

退化情形示意：点、直线、相交直线与无实点的区别。

几个简单例子很有代表性：

只有一个实点 $(0,0)$，因为两个平方数都不能为负。

没有实点，因为左边至少为 $1$。

可以因式分解为

所以它表示两条相交直线 $y=x$ 和 $y=-x$。

再如

它看起来是二次方程，实际只表示一条直线 $y=x$。这类题最适合先尝试因式分解；如果不能快速分解，再用配方检查标准形式。

一套可复用的识别流程

遇到一般二次方程时，可以按下面的顺序处理。

自练

判断下列方程表示的图形，并尽量写成标准形式。

1. $4x^2+9y^2-16x+18y-11=0$
2. $x^2-6x-8$

这样做的目的，是让 $x$ 和 $y$ 分别配方。

并准确读出 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$。特别注意 $xy$ 项的系数是不是被漏掉。

所以

它是椭圆，中心为 $(2,-1)$。

第 2 题：

它是开口向上的抛物线，顶点为 $(3,1)$。

第 3 题：

所以

它不是普通双曲线，而是两条相交直线 $y=-x$ 和 $y=x+2$。