双曲线：到两个焦点的距离差保持不变

椭圆用“到两个焦点的距离和”刻画。双曲线换了一个量：到两个焦点的距离差。这个变化很小，却会把一条封闭曲线变成两支向外展开的曲线。

本章先从距离差定义出发，再把它转成标准方程。读标准方程时，要特别盯住三件事：哪一项为正、$a,b,c$ 的关系、渐近线从哪里来。只要这三件事清楚，双曲线的草图、焦点、顶点和离心率就不会散成一堆公式。

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距离差怎样画出两支曲线

平面内有两个定点 $F_1,F_2$，它们叫做双曲线的焦点。若点 $P$ 满足到两个焦点的距离差的绝对值为定值 $2a$，那么点 $P$ 的轨迹叫做双曲线：

$$\left|\left|PF_1\right|-\left|PF_2\right|\right|=2a$$

这里还要满足

$$0<2a<\left|F_1F_2\right|$$

若记焦距 $\left|F_1F_2\right|=2c$，条件就是 $0<a<c$。这个条件很要紧：距离差不能超过两焦点之间的距离，否则轨迹不存在；若刚好等于焦距，会退化成焦点连线外侧的两条射线，不再是通常说的双曲线。

双曲线上的点到两个焦点的距离差绝对值保持不变，左右两支满足同一个条件。

下面这个交互可以直接拖动点 $P$。当 $\left|\left|PF_1\right|-\left|PF_2\right|\right|$ 接近目标值时，点就靠近双曲线轨迹。

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从定义到标准方程

先看焦点在 $x$ 轴上的情形。取焦点

$$F_1(-c,0),\quad F_2(c,0)$$

设 $P(x,y)$ 在右支上，则 $\left|PF_1\right|-\left|PF_2\right|=2a$。把两段距离写成坐标形式：

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$

经过移项、平方、再移项平方，可以整理为

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$$

因为 $c>a$，所以 $c^2-a^2$ 是正数。令

$$b^2=c^2-a^2$$

就得到焦点在 $x$ 轴上的标准方程：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

它沿 $x$ 轴左右开口。若焦点在 $y$ 轴上，对应的标准方程是：

$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$

它沿 $y$ 轴上下开口。

双曲线的开口方向由正项所在的轴决定：正项在 $x$ 轴沿左右开口，正项在 $y$ 轴沿上下开口。

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顶点、焦点、实轴、虚轴和离心率

对横向双曲线

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

可以直接读出这些几何量：

纵向双曲线只是把方向换到 $y$ 轴上：顶点为 $(0,-a),(0,a)$，焦点为 $(0,-c),(0,c)$，参数关系仍然是 $c^2=a^2+b^{}$。

双曲线的焦点距离 $c$ 大于半实轴 $a$，且 $c^2=a^2+b^2$，所以离心率 $e=\frac{c}{}$。

这里的“实轴”穿过两个顶点，是双曲线真正打开的方向。“虚轴”与实轴垂直，长度 $2b$，主要用于确定渐近线和辅助作图。虚轴端点不在双曲线上，这一点和椭圆很不一样。

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渐近线不是边界线

双曲线的两支会越走越直，方向越来越接近两条固定直线。这两条直线叫做渐近线。

以横向双曲线为例：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

由方程解出 $y$：

$$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$$

当 $|x|$ 很大时，$\sqrt{x^2-a^2}$ 和 很接近，于是曲线接近

$$y=\pm \frac{b}{a}x$$

还有一个更快的记法：把标准方程右边的 $1$ 改成 $0$。

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$$

整理后就是

$$y=\pm \frac{b}{a}x$$

纵向双曲线

$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$

的渐近线是

$$y=\pm \frac{a}{b}x$$

中心矩形的对角线延长后就是双曲线的渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

“靠近”不是说曲线最后会碰到渐近线。对于右上方那一支，直线与曲线在同一个 $x$ 处的纵向差为：

$$\frac{b}{a}x-\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2} =\frac{ab}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$$

当 $x$ 越来越大，分母越来越大，这个差越来越小。但只要 $x$ 有限，它仍然是正数，曲线还在渐近线的一侧。

用下面的交互调节 $a,b$ 和开口方向，可以观察中心矩形、焦点、顶点和渐近线怎样一起变化。

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例题：由标准方程画草图

画出双曲线

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$$

的草图，并写出顶点、焦点和渐近线。

由标准方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ 画草图：先看正项确定左右开口，再找 、、。

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例题：根据顶点和焦点求方程

已知双曲线中心在原点，顶点为 $(-3,0),(3,0)$，焦点为 $(-5,0),(5,0)$，求它的标准方程。

这个例题也说明：焦点一定比顶点离中心更远。若题目给出的“焦点”比“顶点”更靠近中心，那组数据就不可能构成双曲线。

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例题：写出渐近线并解释靠近含义

求双曲线

$$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$$

的渐近线，并说明“曲线靠近渐近线”是什么意思。

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时间差定位中的双曲线

双曲线不只是课本中的曲线。若两个基站同时接收同一个信号，接收时间差为 $\Delta t$，信号传播速度为 $v$，那么设备到两个基站的距离差满足

$$\left|d_A-d_B\right|=v\left|\Delta t\right|$$

当 $\Delta t$ 固定时，右边就是常数。设备可能出现的位置，就落在以两个基站为焦点的一条双曲线上。只靠一对基站通常不能确定唯一位置；若有多组基站，就会得到多条双曲线，它们的交点或交汇区域可以用来估计设备位置。

到达时间差固定时，设备到两个基站的距离差也固定，因此对应一条双曲线；多组基站的双曲线交点可估计位置。

这个例子把“双曲线第一定义”翻译成了测量语言：距离差不一定要直接量出来，时间差也能转化成距离差。

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常见误区与自查

判断双曲线时，可以按下面的顺序扫一遍：

1. 方程中两个平方项是相减关系，而不是相加关系。
2. 正项在哪个轴，双曲线就沿哪个轴开口。
3. $a$ 来自实轴方向的分母，不是一定来自较大的分母。
4. 双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，所以 $c>a$，离心率 。

练习一：写出双曲线

$$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$$

的顶点、焦点、渐近线和离心率。

练习二：双曲线中心在原点，顶点为 $(0,-2),(0,2)$，焦点为 $(0,-\sqrt{13}),(0,\sqrt{13})$，求标准方程。

练习三：对双曲线

$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$$

说明它为什么在远处靠近 $y=\pm \sqrt{3}x$。