椭圆：到两个焦点的距离和保持不变

如果把一根定长细线的两端固定在纸板上的两个点，再用笔尖把细线绷紧移动，笔尖画出的不是圆，而是一条椭圆。这个动作里藏着本章的核心条件：笔尖到两个固定点的距离之和始终不变。

椭圆上的动点 P 到两个焦点 F₁、F₂ 的距离和保持不变。

圆是“到一个定点的距离不变”，椭圆是“到两个定点的距离和不变”。这句话先是一个几何描述，放进坐标系后，就会变成可以计算、可以画图、可以读取参数的标准方程。

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从距离和看椭圆

平面内有两个定点 $F_1$、$F_2$。若动点 $P$ 满足

$$|PF_1|+|PF_2|=2a$$

并且 $2a>|F_1F_2|$，那么点 $P$ 的轨迹叫做椭圆。两个定点 $F_1$、 叫做椭圆的焦点，线段 的长度叫做焦距。通常记 ，于是 是半焦距。

这里把常数写成 $2a$ 不是随意的。对标准位置的椭圆来说，$2a$ 正好是长轴的长度，$a$ 是长半轴的长度。也就是说，定义里的“距离和不变”会直接控制椭圆最长的那条直径。

下面的交互可以拖动参数和点的位置，观察 $PF_1+PF_2$ 为什么始终等于 $2a$。

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把定义翻译成方程

为了让方程尽量简单，把两个焦点放在 $x$ 轴上，并让它们关于原点对称：

$$F_1(-c,0),\quad F_2(c,0)$$

设椭圆上一点为 $P(x,y)$。根据距离公式，点 $P$ 到两个焦点的距离分别是

$$|PF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$ $$|PF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$$

椭圆定义给出方程

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$

接下来只做代数化简。把一个根式移到等号右侧，平方；整理后再平方，可以得到

$$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$$

由于 $a>c>0$，所以 $a^2-c^2>0$。令

$$b^2=a^2-c^2$$

上式就化为

$$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$$

两边同时除以 $a^2b^2$，得到焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

其中 $a>b>0$。这个式子说明，$a$ 和 $b$ 不是两个互不相关的数。$a$ 来自距离和的一半，$c$ 来自焦点位置，$b$ 则由

$$b^2=a^2-c^2$$

确定。

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两种标准方程

椭圆的长轴可以在 $x$ 轴上，也可以在 $y$ 轴上。判断方向时，不要只看哪个字母叫 $a$，要看较大的分母落在哪个变量下面。

椭圆焦点在 x 轴和 y 轴上时的标准方程、长轴方向与焦点坐标对比。

当焦点在 $x$ 轴上时，

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)$$

此时长轴在 $x$ 轴上，顶点是 $(\pm a,0)$，短轴端点是 $(0,\pm b)$，焦点是 $(\pm c,0)$，其中

$$c^2=a^2-b^2$$

当焦点在 $y$ 轴上时，

$$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\quad(a>b>0)$$

此时长轴在 $y$ 轴上，顶点是 $(0,\pm a)$，短轴端点是 $(\pm b,0)$，焦点是 $(0,\pm c)$，仍然有

$$c^2=a^2-b^2$$

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参数控制图形

标准方程不只是用来算数，它会直接告诉我们图形长什么样。以

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)$$

为例，椭圆关于 $x$ 轴、$y$ 轴和原点都对称。因为 $x^2/a^2$ 与 $y^2/b^2$ 都不能为负，所以椭圆的范围是

$$-a\le x\le a,\quad -b\le y\le b$$

这也说明，横向最远只能到 $(\pm a,0)$，纵向最远只能到 $(0,\pm b)$。

椭圆的长轴、短轴、顶点、焦点与离心率关系总览。

椭圆有几个最常用的几何量。

• 长半轴 $a$：中心到长轴顶点的距离，长轴长为 $2a$。
• 短半轴 $b$：中心到短轴端点的距离，短轴长为 $2b$。
• 半焦距 $c$：中心到焦点的距离，满足 $c^2=a^2-b^2$。

离心率描述椭圆“偏离圆”的程度。若 $e=0$，两个焦点重合，椭圆退化为圆；若 $e$ 接近 $1$，焦点接近顶点，椭圆会显得更扁。

离心率越大，焦点越靠近顶点，椭圆越扁；在 a 相同时体现为 c 增大、b 减小。

下面的交互把“读方程”和“看图形”放在一起。改变 $a$、$b$ 和长轴方向，观察顶点、焦点、离心率如何同步变化；再移动点 $P$，看代入值怎样判断点的位置。

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例题：由焦点和轴长写方程

已知椭圆的焦点为 $F_1(-3,0)$、$F_2(3,0)$，长轴长为 $10$。求椭圆的标准方程。

这个例题的关键不是计算很难，而是先锁定方向，再找 $a$、$c$，最后通过 $a^2=b^2+c^2$ 找 $b$。

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例题：从方程读几何元素

求椭圆

$$16x^2+25y^2=400$$

的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率。

先把方程化为标准形式：

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

较大的分母 $25$ 在 $x^2$ 下方，所以长轴在 $x$ 轴上。于是

$$a^2=25,\quad b^2=16$$

也就是 $a=5$，$b=4$。由

$$c^2=a^2-b^2=25-16=9$$

得到 $c=3$。因此，长轴长为 $10$，短轴长为 $8$，顶点为 $(\pm 5,0)$，短轴端点为 $(0,\pm 4)$，焦点为 $(\pm 3,0$，离心率为

$$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$$

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例题：判断点和椭圆的位置

对于椭圆

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

判断点 $P(3,\frac{16}{5})$、$Q(3,2)$、$R(6,0)$ 分别在椭圆上、椭圆内还是椭圆外。

把点的坐标代入左边，记

$$S=\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$$

若 $S=1$，点在椭圆上；若 $S<1$，点在椭圆内；若 $S>1$，点在椭圆外。

对 $P(3,\frac{16}{5})$，

$$S=\frac{9}{25}+\frac{(16/5)^2}{16} =\frac{9}{25}+\frac{16}{25} =1$$

所以 $P$ 在椭圆上。

对 $Q(3,2)$，

$$S=\frac{9}{25}+\frac{4}{16} =\frac{9}{25}+\frac{1}{4} =\frac{61}{100}<1$$

所以 $Q$ 在椭圆内。

对 $R(6,0)$，

$$S=\frac{36}{25}>1$$

所以 $R$ 在椭圆外。

这个判断方法的直观含义是：标准方程左边等于 $1$ 的点正好落在边界上；左边小于 $1$ 时，点离中心还没有达到椭圆边界；左边大于 $1$ 时，点已经越过边界。

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简单应用和图像识别

椭圆的焦点不是只为写方程服务。椭圆有一个重要的反射性质：从一个焦点发出的光线或声波，经椭圆边界反射后会经过另一个焦点。回音廊、某些反射装置和医学碎石的教学模型，常用这个性质来解释“焦点”为什么重要。

从一个焦点出发，反射后经过另一个焦点。

在简单建模里，如果一个椭圆形拱门的宽为 $20$ 米，高为 $12$ 米，并且以拱门中心为原点、宽的方向为 $x$ 轴，那么可以取 $a=10$、$b=6$，得到截面方程

$$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$$

这个模型没有把材料厚度、真实结构和三维形状都放进去，但它抓住了平面轮廓的主要尺寸。解析几何里的“方程”经常这样使用：先抓住关键几何量，再把复杂对象简化成可以计算的图形。

识别椭圆图像时，先做三件事。

1. 先把方程右边化成 $1$。例如 $16x^2+25y^2=400$ 要先除以 $400$。
2. 看 $x^2$ 和 的系数是否同号，并且标准式中两个分母是否为正。

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练习

1. 椭圆的焦点为 $(0,\pm 4)$，长轴长为 $10$，求它的标准方程。

2. 已知椭圆

$$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{9}=1$$

写出它的长轴长、短轴长、焦点坐标和离心率。

3. 对椭圆

$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$$

判断点 $(2,1)$、$(4,0)$、$(0,3)$ 的位置。

4. 某椭圆的长半轴为 $6$，短半轴为 $6$。它的焦点在哪里？它还是通常意义上的椭圆吗？

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回到本章主线

椭圆的学习可以压缩成一条线索：先抓住几何条件 $|PF_1|+|PF_2|=2a$，再选择让焦点对称的坐标系，用距离公式写出方程，最后化成标准形式。标准方程里的大分母告诉你长轴方向，$a$、$$、 和 告诉你图形的大小、焦点位置和扁平程度。

到这里，椭圆已经不只是一个“扁圆形”。它是由距离和条件定义出来的点集，也是可以通过方程精确读取的几何对象。