椭圆：到两个焦点的距离和保持不变

如果把一根定长细线的两端固定在纸板上的两个点，再用笔尖把细线绷紧移动，笔尖画出的不是圆，而是一条椭圆。这个动作里藏着本章的核心条件：笔尖到两个固定点的距离之和始终不变。

椭圆第一定义示意图，椭圆上动点到两个焦点的距离和保持定长。

椭圆上的动点 P 到两个焦点 F₁、F₂ 的距离和保持不变。

圆是“到一个定点的距离不变”，椭圆是“到两个定点的距离和不变”。这句话先是一个几何描述，放进坐标系后，就会变成可以计算、可以画图、可以读取参数的标准方程。

从距离和看椭圆

平面内有两个定点 $F_1$ 、 $F_2$ 。若动点 $P$ 满足

|PF_1|+|PF_2|=2a

并且 $2a>|F_1F_2|$ ，那么点 $P$ 的轨迹叫做椭圆。两个定点 $F_1$ 、 $F_2$ 叫做椭圆的焦点，线段 $F_1F_2$ 的长度叫做焦距。通常记 $|F_1F_2|=2c$ ，于是 $c$ 是半焦距。

这里把常数写成 $2a$ 不是随意的。对标准位置的椭圆来说， $2a$ 正好是长轴的长度， $a$ 是长半轴的长度。也就是说，定义里的“距离和不变”会直接控制椭圆最长的那条直径。

定义中必须有 $2a>|F_1F_2|$ 。如果距离和等于两个焦点之间的距离，动点只能落在线段 $F_1F_2$ 上；如果距离和小于两个焦点之间的距离，就没有点能满足条件。椭圆真正出现时，距离和要比焦点间距更长。

下面的交互可以拖动参数和点的位置，观察 $PF_1+PF_2$ 为什么始终等于 $2a$ 。

把定义翻译成方程

为了让方程尽量简单，把两个焦点放在 $x$ 轴上，并让它们关于原点对称：

F_1(-c,0),\quad F_2(c,0)

设椭圆上一点为 $P(x,y)$ 。根据距离公式，点 $P$ 到两个焦点的距离分别是

|PF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}

|PF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}

椭圆定义给出方程

\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a

接下来只做代数化简。把一个根式移到等号右侧，平方；整理后再平方，可以得到

(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)

由于 $a>c>0$ ，所以 $a^2-c^2>0$ 。令

b^2=a^2-c^2

上式就化为

b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2

两边同时除以 $a^2b^2$ ，得到焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程：

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

其中 $a>b>0$ 。这个式子说明， $a$ 和 $b$ 不是两个互不相关的数。 $a$ 来自距离和的一半， $c$ 来自焦点位置， $b$ 则由

b^2=a^2-c^2

确定。

可以把 $b$ 理解成短半轴。取椭圆上方的短轴端点 $(0,b)$ ，它到两个焦点的距离相等，每段距离都是 $a$ 。由直角三角形得到 $b^2+c^2=a^2$ ，这和代数推导得到的 $b^2=a^2-c^2$ 是同一件事。

两种标准方程

椭圆的长轴可以在 $x$ 轴上，也可以在 $y$ 轴上。判断方向时，不要只看哪个字母叫 $a$ ，要看较大的分母落在哪个变量下面。

横轴与纵轴两种椭圆标准方程对比图

椭圆焦点在 x 轴和 y 轴上时的标准方程、长轴方向与焦点坐标对比。

当焦点在 $x$ 轴上时，

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)

此时长轴在 $x$ 轴上，顶点是 $(\pm a,0)$ ，短轴端点是 $(0,\pm b)$ ，焦点是 $(\pm c,0)$ ，其中

c^2=a^2-b^2

当焦点在 $y$ 轴上时，

\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\quad(a>b>0)

此时长轴在 $y$ 轴上，顶点是 $(0,\pm a)$ ，短轴端点是 $(\pm b,0)$ ，焦点是 $(0,\pm c)$ ，仍然有

c^2=a^2-b^2

常见错误是把 $x^2$ 下面的分母一律当成 $a^2$ 。在椭圆中， $a$ 表示长半轴，不固定属于 $x$ 或 $y$ 。标准方程里较大的分母对应长轴方向，也对应焦点所在的轴。

参数控制图形

标准方程不只是用来算数，它会直接告诉我们图形长什么样。以

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)

为例，椭圆关于 $x$ 轴、 $y$ 轴和原点都对称。因为 $x^2/a^2$ 与 $y^2/b^2$ 都不能为负，所以椭圆的范围是

-a\le x\le a,\quad -b\le y\le b

这也说明，横向最远只能到 $(\pm a,0)$ ，纵向最远只能到 $(0,\pm b)$ 。

椭圆几何元素总览图，标出中心、顶点、短轴端点、焦点、长轴、短轴、半焦距和离心率

椭圆的长轴、短轴、顶点、焦点与离心率关系总览。

椭圆有几个最常用的几何量。

长半轴 $a$ ：中心到长轴顶点的距离，长轴长为 $2a$ 。
短半轴 $b$ ：中心到短轴端点的距离，短轴长为 $2b$ 。
半焦距 $c$ ：中心到焦点的距离，满足 $c^2=a^2-b^2$ 。
离心率 $e$ ：定义为 $e=c/a$ ，并且 $0\le e<1$ 。

离心率描述椭圆“偏离圆”的程度。若 $e=0$ ，两个焦点重合，椭圆退化为圆；若 $e$ 接近 $1$ ，焦点接近顶点，椭圆会显得更扁。

三幅并排椭圆示意图，展示长半轴 a 相同，离心率 e 增大时 c 增大、b 减小，椭圆逐渐变扁。

离心率越大，焦点越靠近顶点，椭圆越扁；在 a 相同时体现为 c 增大、b 减小。

下面的交互把“读方程”和“看图形”放在一起。改变 $a$ 、 $b$ 和长轴方向，观察顶点、焦点、离心率如何同步变化；再移动点 $P$ ，看代入值怎样判断点的位置。

例题：由焦点和轴长写方程

已知椭圆的焦点为 $F_1(-3,0)$ 、 $F_2(3,0)$ ，长轴长为 $10$ 。求椭圆的标准方程。

先判断长轴方向。两个焦点都在 $x$ 轴上，所以椭圆的长轴在 $x$ 轴上，方程应写成

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

长轴长为 $10$ ，所以 $2a=10$ ，得到 $a=5$ 。焦点坐标是 $(\pm 3,0)$ ，所以 $c=3$ 。

用关系 $b^2=a^2-c^2$ 求短半轴平方：

b^2=5^2-3^2=25-9=16

把 $a^2=25$ 、 $b^2=16$ 代入标准方程，得到

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1

这个例题的关键不是计算很难，而是先锁定方向，再找 $a$ 、 $c$ ，最后通过 $a^2=b^2+c^2$ 找 $b$ 。

例题：从方程读几何元素

求椭圆

16x^2+25y^2=400

的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率。

先把方程化为标准形式：

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1

较大的分母 $25$ 在 $x^2$ 下方，所以长轴在 $x$ 轴上。于是

a^2=25,\quad b^2=16

也就是 $a=5$ ， $b=4$ 。由

c^2=a^2-b^2=25-16=9

得到 $c=3$ 。因此，长轴长为 $10$ ，短轴长为 $8$ ，顶点为 $(\pm 5,0)$ ，短轴端点为 $(0,\pm 4)$ ，焦点为 $(\pm 3,0)$ ，离心率为

e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}

读椭圆标准方程时，可以按“化标准、看大分母、定方向、求 $c$ 、列元素”的顺序走。这个顺序能避免把短轴端点误写成顶点，也能避免把焦点放错轴。

例题：判断点和椭圆的位置

对于椭圆

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1

判断点 $P(3,\frac{16}{5})$ 、 $Q(3,2)$ 、 $R(6,0)$ 分别在椭圆上、椭圆内还是椭圆外。

把点的坐标代入左边，记

S=\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}

若 $S=1$ ，点在椭圆上；若 $S<1$ ，点在椭圆内；若 $S>1$ ，点在椭圆外。

对 $P(3,\frac{16}{5})$ ，

S=\frac{9}{25}+\frac{(16/5)^2}{16} =\frac{9}{25}+\frac{16}{25} =1

所以 $P$ 在椭圆上。

对 $Q(3,2)$ ，

S=\frac{9}{25}+\frac{4}{16} =\frac{9}{25}+\frac{1}{4} =\frac{61}{100}<1

所以 $Q$ 在椭圆内。

对 $R(6,0)$ ，

S=\frac{36}{25}>1

所以 $R$ 在椭圆外。

这个判断方法的直观含义是：标准方程左边等于 $1$ 的点正好落在边界上；左边小于 $1$ 时，点离中心还没有达到椭圆边界；左边大于 $1$ 时，点已经越过边界。

简单应用和图像识别

椭圆的焦点不是只为写方程服务。椭圆有一个重要的反射性质：从一个焦点发出的光线或声波，经椭圆边界反射后会经过另一个焦点。回音廊、某些反射装置和医学碎石的教学模型，常用这个性质来解释“焦点”为什么重要。

椭圆形回音廊中，从焦点 F₁ 发出的光线或声波经椭圆边界反射后经过焦点 F₂。

从一个焦点出发，反射后经过另一个焦点。

在简单建模里，如果一个椭圆形拱门的宽为 $20$ 米，高为 $12$ 米，并且以拱门中心为原点、宽的方向为 $x$ 轴，那么可以取 $a=10$ 、 $b=6$ ，得到截面方程

\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1

这个模型没有把材料厚度、真实结构和三维形状都放进去，但它抓住了平面轮廓的主要尺寸。解析几何里的“方程”经常这样使用：先抓住关键几何量，再把复杂对象简化成可以计算的图形。

识别椭圆图像时，先做三件事。

先把方程右边化成 $1$ 。例如 $16x^2+25y^2=400$ 要先除以 $400$ 。
看 $x^2$ 和 $y^2$ 的系数是否同号，并且标准式中两个分母是否为正。
看较大的分母在哪个变量下方。较大的分母给出长轴方向，也给出焦点所在的轴。

不是所有“看起来像椭圆的封闭曲线”都能直接写成这里的标准方程。标准方程描述的是中心在原点、轴与坐标轴平行的椭圆。若图形平移了，方程中会出现 $(x-h)^2$ 、 $(y-k)^2$ ；若图形旋转了，方程里可能出现 $xy$ 项。

练习

椭圆的焦点为 $(0,\pm 4)$ ，长轴长为 $10$ ，求它的标准方程。

已知椭圆

\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{9}=1

写出它的长轴长、短轴长、焦点坐标和离心率。

对椭圆

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1

判断点 $(2,1)$ 、 $(4,0)$ 、 $(0,3)$ 的位置。

某椭圆的长半轴为 $6$ ，短半轴为 $6$ 。它的焦点在哪里？它还是通常意义上的椭圆吗？

回到本章主线

椭圆的学习可以压缩成一条线索：先抓住几何条件 $|PF_1|+|PF_2|=2a$ ，再选择让焦点对称的坐标系，用距离公式写出方程，最后化成标准形式。标准方程里的大分母告诉你长轴方向， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $e$ 告诉你图形的大小、焦点位置和扁平程度。

到这里，椭圆已经不只是一个“扁圆形”。它是由距离和条件定义出来的点集，也是可以通过方程精确读取的几何对象。