圆锥曲线总览：同一个圆锥切出不同曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲线看起来差别很大：有的闭合，有的向远处打开，有的甚至分成左右两支。它们却有同一个来源：用一个平面去截圆锥面。
这里的“圆锥”最好先想成双圆锥：两个相同的圆锥尖端相接。这样做不是为了把图画复杂，而是为了让双曲线的两支自然出现。平面截一叶时，可能得到圆、椭圆或抛物线；平面同时穿过两叶时，就会得到双曲线。
圆锥曲线来自平面截双圆锥：不同截法对应不同曲线。
这一章不急着推导标准方程。我们先把四类曲线放在同一张地图上：它们从哪里来，图像怎样区分，焦点、准线、离心率这些词在说什么，以及为什么后面要用坐标和方程来研究它们。
为什么叫圆锥曲线
把一个平面想象成一把很薄的刀，把双圆锥切开。刀的方向不同，截出来的边线就不同。
- 平面垂直于圆锥轴线时，截线是圆。
- 平面斜着切一叶圆锥，但没有平行于母线时，截线是椭圆。圆可以看作椭圆的一种特殊情形。
- 平面恰好平行于圆锥的一条母线时，截线是抛物线。
- 平面穿过上下两叶圆锥时，截线是双曲线。
这里有两个词需要先说清。圆锥的轴线是从顶点穿过底面圆心的中心线；母线是从顶点沿圆锥表面走向底面的直线。判断截面时，常常要看平面相对于轴线和母线的位置。
这套分类讨论的是“不经过圆锥顶点”的普通截线。如果平面刚好经过圆锥顶点，可能只得到一个点、一条直线或两条相交直线，这些叫退化情形。初学圆锥曲线时，我们先把主要精力放在非退化的四类曲线上。
下面这个交互可以先拖一拖。它不要求你记公式，只要求你把“截面怎么切”和“曲线是什么”连起来。
四种截面怎么判断
判断截面类型时，可以按“先看是否闭合，再看是否穿过两叶，再看是否平行母线”的顺序想。
不要把“平面倾斜”直接等同于“椭圆”。如果平面倾斜到与母线平行，得到的是抛物线；如果倾斜得穿过两叶，得到的是双曲线。真正起决定作用的是平面和圆锥的相对位置。
例题：根据截面方式判断曲线类型
用一个平面截双圆锥，判断下面三种情形分别得到什么曲线。
- 平面水平放置，垂直于圆锥轴线，并且只切上面一叶。
- 平面倾斜，但仍然只切上面一叶，截线是闭合的。
- 平面从上面一叶切入，又穿过顶点附近延伸到下面一叶。
第一种情形中，平面垂直于轴线。截面上所有方向对称，截线是圆。
第二种情形中，平面只切一叶，截线又是闭合曲线。它不是水平圆截面，所以是椭圆。
第三种情形中，平面同时穿过双圆锥的两叶。截线会分成两支，因此是双曲线。
如果题目说“平面平行于一条母线”，就要优先想到抛物线。这个条件比“倾斜”更具体。
四种图像先分清
从图像上看，四类曲线最容易用“有没有边界”和“开口方式”来区分。
圆和椭圆是闭合曲线，抛物线单向开放，双曲线由两支开放曲线组成并接近虚线渐近线。
圆和椭圆都把一块区域围起来。圆在各个方向上同样宽，椭圆有长轴和短轴。抛物线不会围成封闭区域，它像一个方向打开的轨迹，离顶点越远越宽。双曲线有两支，每一支都向远处延伸，而且常常会靠近两条直线，这两条直线叫渐近线。
“看起来像 U 形”还不足以判断为抛物线。真正的抛物线有焦点和准线定义，也能写成二次方程的标准形式。图像识别只是第一步，后面还要用方程和几何条件确认。
焦点、准线和离心率的第一眼
圆锥切割给了我们空间来源；焦点、准线和离心率给了我们平面里的统一语言。
先在平面里固定一个点 和一条直线 。对平面上的动点 ，比较两段距离： 到焦点 的距离，以及 到准线 的垂直距离。把它们的比值记为 ：
当这个比值保持不变时，点 的轨迹就是一条圆锥曲线。这个固定点叫焦点，固定直线叫准线，常数 叫离心率。
同一焦点和准线下，离心率 e=PF/d 决定曲线类型。
离心率可以先这样理解：它描述曲线上的点更愿意“靠近焦点”，还是更愿意“离准线远一点”。
- 当 时， 小于到准线距离的固定倍数，曲线是椭圆。
- 当 时，点到焦点和准线的距离相等，曲线是抛物线。
- 当 时，点到焦点的距离比到准线距离更大，曲线是双曲线。
- 圆的离心率是 ，可以看作椭圆的特殊极限情形；在普通平面里，它没有一条有限准线像抛物线那样直接可见。
下面的交互把焦点和准线固定住，只改变 。拖动时注意两件事：曲线是否闭合，以及它打开的方式怎样变化。
离心率不是曲线的“大小”。同一种离心率下，曲线可以整体放大或缩小；离心率更像形状参数，控制曲线偏离圆的程度和开放方式。
圆锥切出来，为什么又会有焦点
“平面截圆锥”和“焦点准线距离比”看上去是两套说法。它们其实能互相连接。直观桥梁叫丹德林球：在圆锥内部放入与圆锥面相切、同时又与截面相切的球。
以椭圆为例，斜切一叶圆锥时，可以在截面上下各放一个相切球。两个球与截面的切点，正好就是椭圆的两个焦点。截线上任意一点到两个焦点的距离之和保持不变，这就是椭圆的焦点性质。
两个相切球分别与截面相切，切点形成椭圆的两个焦点。
本章不证明丹德林球的细节，只借它说明一件事：焦点不是凭空加到图形上的点，它和圆锥截面的空间结构有关系。后面学习椭圆、双曲线、抛物线时，焦点会成为建立方程的关键对象。
为什么坐标和方程会接手
只看图像，我们能大致分辨圆锥曲线；但要回答更精确的问题，就需要坐标和方程。
例如：
- 一条直线和椭圆有几个交点？
- 一个点在不在某条双曲线上？
- 抛物线的焦点在哪里，准线是哪一条？
- 椭圆的长轴、短轴、焦距怎样从条件中算出来？
这些问题都可以转成坐标里的关系。点的位置用 表示，距离可以用距离公式表示，对称轴可以用坐标轴或直线表示。整理之后，圆锥曲线通常会落入二次方程的范围：
这里的 是常数项，不是焦点。这个式子不是让你现在立刻分类所有二次曲线，而是先看见一个事实：圆锥曲线之所以适合解析几何，是因为它们的几何条件能稳定地翻译成二次代数关系。
从几何条件到坐标表示，再到二次方程，并由方程读回图形。
后面几章会反复使用同一条路线：先选择合适的坐标系，再把几何条件写成方程，化简成标准形式，最后从方程读回图像。
同一个家族为什么值得学
圆锥曲线不是为了考试才被整理出来的形状。它们的焦点性质在很多场景里会自然出现。
圆锥曲线不只是方程：轨道、反射与定位中都能看到同一个家族的影子。
行星和卫星的许多轨道可以用椭圆来近似描述。抛物线的焦点性质让平行光线或信号在理想情况下汇聚到一点，所以会出现在反射器的剖面图里。双曲线常和“距离差保持不变”的定位问题联系在一起，也会出现在一些工程外形的截面模型中。
这些例子不需要你现在会建模。它们只是提醒我们：圆锥曲线的定义不是孤立公式，而是空间截面、距离关系、方程表达共同指向的一族对象。
例题：根据图像识别圆锥曲线
判断下列图像最可能是哪一种圆锥曲线。
- 图像围成一个封闭的长圆形，有两条互相垂直的对称轴。
- 图像只有一个最低点，向上无限延伸，左右关于一条竖直线对称。
- 图像分成左右两支，每一支都向远处延伸，并逐渐接近两条斜直线。
- 图像是封闭曲线，而且每个方向到中心的距离都相同。
第一幅图像是闭合曲线，但不同方向宽度不同，所以判断为椭圆。
第二幅图像只有一个顶点，并且单向开放，所以判断为抛物线。
第三幅图像有两支，并且靠近两条渐近线，所以判断为双曲线。
第四幅图像到中心各方向距离相同，所以判断为圆。圆也是椭圆的特殊情形，但在识别时可以单独说出圆。
例题：比较开放性和边界
把椭圆、抛物线、双曲线按“是否有边界”来比较。
椭圆是闭合曲线。它把平面中的一块区域围起来，因此曲线本身有有限范围。
抛物线不闭合。它有一个顶点，但沿开口方向无限延伸，所以没有被围住的内部边界。
双曲线也不闭合，而且分成两支。每一支都向远处延伸，并且常常接近自己的渐近线。
因此，椭圆有边界；抛物线和双曲线都是开放曲线。抛物线是一支单向开放，双曲线是两支开放。
这个比较很重要。后面读标准方程时，只要看到图像是否闭合、有没有两支、有没有渐近线，就能先判断研究方向。
常见误区
不要把椭圆简单理解成“随便压扁的圆”。在解析几何中，椭圆有明确的距离定义和标准方程；图像像被拉长的圆，只是它的外观特点。
不要把双曲线的一支当作完整双曲线。双曲线通常由两支组成，两支共同满足同一个方程，也共同分享中心、焦点和渐近线等结构。
不要只凭“二次函数图像”理解抛物线。初中、高中函数里的 是竖直开口抛物线的一种坐标形式；解析几何中的抛物线还可以向左、向右或向下开口，核心定义是到焦点和准线距离相等。
自测练习
- 一个平面只截双圆锥的一叶，截线闭合但不是圆。它是什么曲线？
它是椭圆。只截一叶且闭合，说明不是抛物线或双曲线；又不是垂直于轴线的圆截面，所以是椭圆。
- 某曲线上的点到焦点的距离总等于它到一条准线的垂直距离。它是哪一种圆锥曲线？
它是抛物线。此时离心率 ，也就是 。
- 一条曲线分成两支，每一支都越走越接近一条直线，但不与那条直线重合。它最可能是哪一种圆锥曲线？
它最可能是双曲线。双曲线有两支，渐近线正是用来描述曲线向远处延伸时逐渐接近的直线。
- 判断对错：离心率越大，曲线一定越大。
错误。离心率主要描述形状和类型，不直接表示尺寸。曲线可以整体放大或缩小，但离心率保持不变。
本章收束
这一章只做一件事：把圆、椭圆、抛物线、双曲线放进同一个框架。
从空间看，它们来自平面截双圆锥；从平面几何看，它们可以用焦点、准线和离心率统一描述；从解析几何看，它们适合放进坐标系，用二次方程研究。
接下来进入椭圆时，要带着这张地图去看细节：焦点在哪里，距离关系是什么，为什么方程会长成标准形式，以及方程中的参数怎样控制图像。