参数方程与极坐标中的圆锥曲线

到目前为止，我们大多用 $x$ 和 $y$ 的方程描述曲线。这样的方程很适合回答“点在哪里”，例如椭圆

告诉我们所有满足这个关系的点组成一条椭圆。但如果问题改成“这个点从哪里出发、按什么方向运动、什么时候到达某处”，只靠 $x$ 与 $y$ 的关系就不够用了。

参数方程把一个新的量 $t$ 引进来，让 $x$ 和 $y$ 都随 $t$ 改变。极坐标则把点看成“从一个固定焦点出发，沿某个方向走多远”。这两种表达都不是为了替代直角坐标，而是让同一条曲线在不同问题里露出不同侧面。

参数驱动点的运动，点的连续位置留下圆锥曲线轨迹。

参数方程先描述点的运动

参数方程的一般形式是

这里的 $t$ 常常可以理解成时间，也可以只是一个顺序编号。每给定一个 $t$，就得到一个点 $(x(t),y(t))$；当 $t$ 连续变化，这些点连起来就是一条轨迹。

最熟悉的例子是圆。圆心为 $(h,k)$、半径为 $r$ 的圆可以写成

当 $t=0$ 时，点在 $(h+r,k)$；当 $t$ 增大时，点沿圆逆时针运动。这里的 $t$ 同时控制横坐标和纵坐标，所以它比单独的 $x$ 或 $y$ 更像“运动进度”。

例题：写出圆上的运动点

圆心为 $(2,-1)$，半径为 $3$。用参数方程描述圆上一点逆时针运动一周，并求 $t=\frac{\pi}{3}$ 时点的位置。

椭圆的参数表示来自圆的伸缩

圆的参数表示很自然：横坐标取 $\cos t$，纵坐标取 $\sin t$。如果把圆沿水平方向伸缩 $a$ 倍、沿竖直方向伸缩 $b$ 倍，就得到椭圆的参数表示：

对应的直角坐标方程是

要注意，椭圆中的 $t$ 不一定等于从椭圆中心看出去的几何角。比如在

中，当 $t=\frac{\pi}{4}$ 时，点是 $(2\sqrt2,\sqrt2)$。从原点看这个点的方向角 满足

所以 $\varphi$ 并不是 $\frac{\pi}{4}$。参数 $t$ 是从“辅助圆”来的，它用来同步生成椭圆上的点。

消去参数只得到形状，不保留全部运动信息

从参数方程回到直角坐标方程，常用方法是消去参数。对椭圆来说，最有用的是恒等式

例题：把椭圆参数方程化为直角坐标方程

已知

消去参数，并说明图形是什么。

参数方程与直角坐标方程描述同一条椭圆，箭头和高亮弧段体现参数保留的运动方向与范围信息。

消去参数以后，我们看到了形状。但有三类信息可能被压掉：

• 参数范围：$0\le t\le\pi$ 只会描出上半条椭圆。
• 运动方向：$t$ 增大时顺时针还是逆时针，需要回到参数方程判断。
• 描出次数：$x=4\cos 2t,\ y=2\sin 2t$ 在 内会把同一条椭圆描两遍。

参数变化怎样影响图形

对

可以把各个量分开理解：

• $h,k_0$ 改变椭圆中心。
• $a,b$ 改变横向和纵向半轴长度。
• $k$ 改变描迹速度；当 $k$ 是整数时，固定时间区间内可能重复描出。
• $\alpha$ 改变起点，相当于把运动进度提前或推后。
• 的取值范围决定描出整条曲线还是其中一段。

参数变化会改变圆锥曲线的描出范围、方向和速度，但不一定改变图形本身。

下面的交互可以直接拖动参数。观察时不要只看椭圆大小，也要看点的起点、方向和轨迹是否重复。

极坐标把焦点放在核心位置

直角坐标用横向距离和纵向距离定位点。极坐标用两个量定位点：到极点的距离 $r$，以及从极轴转过的角 $\theta$。二者与直角坐标的关系是

圆锥曲线有一个统一定义：给定一个焦点和一条准线，曲线上任意一点 $P$ 到焦点的距离，与 $P$ 到准线的距离之比是常数 $e$。这个常数叫离心率。

离心率决定曲线类型：

• $0<e<1$：椭圆。
• $e=1$：抛物线。
• $e>1$：双曲线。

极坐标下的焦点-准线统一形式：曲线上一点到焦点的距离与到准线距离的比值由离心率 e 描述。

如果把焦点放在极点，准线到焦点的距离记为 $d$，圆锥曲线可以写成下面几类形式：

或

分母里出现 $\cos\theta$，说明准线与竖直方向有关，曲线的主方向通常沿水平轴；分母里出现 $\sin\theta$，说明准线与水平方向有关，曲线的主方向通常沿竖直轴。正负号对应准线在焦点的哪一侧。

例题：读懂极坐标下的圆锥曲线

判断下面方程表示哪类圆锥曲线，并说明离心率和准线距离：

极坐标形式适合描述轨道

在天体运动或中心力问题里，研究对象往往围绕一个固定焦点运动。把这个焦点放在极点，位置就可以用“方向角 $\theta$ 与距离 $r$”来描述。这时常见的轨道形式是

这里的 $\ell$ 是一个长度参数，$e$ 仍然控制形状。$e$ 很小时轨道接近圆；$0<e<1$ 是闭合椭圆；$e=1$ 是抛物线；$e>1$ 是双曲线式的逃逸轨迹。

同一焦点下，不同参数对应从闭合轨道到逃逸轨迹的几何模型。

这个模型暂时不需要深入物理推导。你只要抓住一个直觉：直角坐标常把中心放在图形中间，而轨道问题常把焦点放在中心天体处。极坐标的优势正来自这个选择。

下面的交互可以改变 $e$ 和 $d$，观察椭圆、抛物线、双曲线如何从同一个焦点-准线形式中出现。

三种表达方式各有用处

同一条曲线可以有多种方程。选择哪一种，不是看哪一种更“高级”，而是看问题在问什么。

综合例题：带范围地消去参数

已知

求对应的直角坐标方程，并说明实际描出的部分。

练习

1. 写出圆心为 $(-1,3)$、半径为 $2$ 的圆的一组参数方程，并求 $t=\pi$ 时的点。

2. 消去参数：

并说明描出的部分。

3. 判断极坐标方程表示哪类圆锥曲线：

4. 参数方程

和 $x=4\cos t,\ y=2\sin t$ 描出的椭圆是否相同？运动过程有什么不同？

小结

参数方程让圆锥曲线变成“点的运动”。圆和椭圆的基本参数形式来自 $\cos t$ 与 $\sin t$，消去参数时常用 $\cos^2t+\sin^2t=1$，但消参以后还要回头检查参数范围、方向和描出次数。

极坐标让圆锥曲线围绕焦点来表达。焦点在极点、准线距离为 $d$ 时，椭圆、抛物线和双曲线可以统一写成

或

判断类型的关键是离心率 $e$：小于 $1$ 是椭圆，等于 $1$ 是抛物线，大于 $1$ 是双曲线。到这里，你已经看到同一条曲线可以有三种表达：形状的方程、运动的方程、以焦点为中心的方程。

因为 $0\le t\le\frac{\pi}{2}$，所以 $x\ge0$，$y\ge0$，只描出第一象限中的四分之一椭圆弧，从 $(3,0)$ 到 $(0,4)$。

所以图形相同。但当 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 时，$2t$ 从 $0$ 到 $4\pi$，点会把同一条椭圆描出两遍，速度也相当于原来的两倍。